高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（）设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦，则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =，即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。

椭圆的弦长公式

椭圆的弦长公式椭圆是常见的几何图形，它与圆相似，但形状略有不同。

在本文中，我们将探讨椭圆的弦长公式及其推导过程。

椭圆的定义椭圆是在平面上定义的几何图形，它是固定点F（称为焦点）和固定直线L （称为直角边）到平面上点P的距离之和与一定的常数2a成比例的点的集合，即PF1 + PF2 = 2a其中F1和F2是一个椭圆的两个焦点，a是一个椭圆的半长轴。

椭圆的弦长弦是在椭圆内部连接两个不相邻的点的线段。

图中AB和CD是椭圆的两条弦，其长度为l。

我们的目标是推导出椭圆弦长的公式。

椭圆的标准方程为了推导椭圆的弦长公式，我们需要引入椭圆的标准方程。

标准方程是将椭圆放在坐标系中并将椭圆的中心与坐标系的原点重合时的方程。

一个椭圆的标准方程为：x²/a² + y²/b² = 1其中a和b是椭圆的半长轴和半短轴。

椭圆的弦长公式的推导现在我们来推导椭圆的弦长公式。

假设椭圆的标准方程是x²/a² + y²/b² = 1弦AB的两个端点的坐标可以表示为：A（-x1, y1）和B（x2, y2）根据标准方程，我们可以得到：y1²/b² = 1 - x1²/a² (1)y2²/b² = 1 - x2²/a² (2)将式(1)和式(2)相加：y1²/b² + y2²/b² = 2 - x1²/a² - x2²/a²将x1和x2相加，得到：x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2）我们假设椭圆的中心为（0, 0），则坐标系中任意一点P的坐标为（x, y）。

以y1作为y坐标，可以得到：x = a²x1/（a² - b²），y = b²y1/（a² - b²）同样地，以y2作为y坐标，可以得到：x = a²x2/（a² - b²），y = b²y2/（a² - b²）令l为弦AB的长度，则：l² = （x2 - x1）² + （y2 - y1）²将x1和x2代入上式，得到：l² = （a²x2/（a² - b²）- a²x1/（a² - b²））² + （b²y2/（a² - b²）- b²y1/（a² - b²））²整理后得到：l² = a²(x2 - x1)²/（a² - b²）² + b²(y2 - y1)²/（a² - b²）²将x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2）代入上式，得到：l² = 4a²b²（x1 - x2）²/（a² - b²）⁴ + 4a²b²（y1 + y2）²/（a² - b²）⁴将x1 + x2代入上式中的（x1 - x2）²，得到：l² = 4a²b²（x1 + x2）²/（a² - b²）⁴ + 4a²b²（y1 + y2）²/（a² - b²）⁴ - 8a²b²x1x2/（a² - b²）⁴由于x1 + x2 = -（a²/b²）（y1 + y2）/（x1 - x2），所以8a²b²x1x2/（a ² - b²）⁴可以改写为4（a² - b²）（y1 + y2）²。

高中数学椭圆弦长公式推导过程

高中数学椭圆弦长公式推导过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是数学中常见的曲线形状之一，在高中数学学习中，我们经常会接触到椭圆的相关知识，其中就包括椭圆的弦长公式。

椭圆弦长公式是求椭圆上任意两点之间的弦长的公式，通过推导可以得到其具体表达式。

下面，我将详细介绍椭圆弦长公式的推导过程。

让我们来了解一下椭圆的基本定义和性质。

椭圆可以看作是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。

我们用椭圆的两个焦点表示为F1和F2，椭圆的长半径为a，短半径为b，焦距为2c。

椭圆的标准方程可以表示为：$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $椭圆上的一点P(x, y)到两个焦点的距离之和等于常数2a，即：$ PF1 + PF2 = 2a $我们将这个式子记为(1)。

接下来，我们需要推导出椭圆的弦长公式。

假设椭圆上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要求这两点之间的弦长AB的长度。

我们需要找到连接两点A和B的直线方程。

由于椭圆是一个二次曲线，因此椭圆上的点满足椭圆的标准方程。

点A(x1, y1)和B(x2, y2)分别满足椭圆方程：连接两点A和B的直线方程可以表示为：$ (y-y1) = \frac{y2-y1}{x2-x1} \times (x-x1) $将这个直线方程代入椭圆的标准方程，可以得到连接两点A和B的方程。

接下来，我们要求直线与椭圆的交点，即求方程组：可以得出AB弦长的计算公式为：可见，椭圆弦长公式的推导过程并不复杂，只要我们掌握了椭圆的基本性质和相关知识，就可以很轻松地推导出弦长公式。

通过这个推导过程，我们可以更加深入地理解椭圆的性质和特点，为我们深入学习和理解椭圆奠定了基础。

椭圆是数学中非常重要的一个曲线，在高中数学学习中，我们需要掌握椭圆的基本知识和相关公式。

弦长公式是椭圆的一个重要性质，通过推导过程，可以更好地理解椭圆的几何特性。

椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及其应用在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ222221cos 2c a ab F F -=。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-⨯⨯α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。

分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2222=-+--by a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32+=c c a （1），又由焦点弦长公式有3cos 22222πc a ab -=516 （2）又 222c b a += （3）。

解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13)1(4)4(22=-+-y x 。

例3、已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的52，求椭圆C 的方程。

椭圆中的弦长公式推导

椭圆中的弦长公式推导椭圆是一种经典的曲线，它的研究和应用在流体力学、空间结构、航天学、机械设计等广泛的领域中被广泛使用。

因此，研究椭圆的形状特性非常重要。

椭圆的一个重要形状特性是，它存在一种弦长公式，即在椭圆上任意一动点P处，弦PP’的长度可用下式表示：d=2ae√1-e2sin2α其中，a, e,分别表示椭圆的长轴、离心率、弦PP与椭圆的长轴的夹角。

下面我们将通过推导证明上式的正确性。

以P(x, y)为弦PP上的任意一点，x = acost, y = bsint，坐标系以椭圆的中心为原点，a,b分别为椭圆的长短轴，e为离心率，将P位置投影到椭圆的长轴，得到点P1(acosθ, 0)，与他重合的点P1(a/cosθ, 0)，θ为PP与椭圆的长轴的夹角，由此投影出点P(a/cos θ, bsinθ)，即为PP上的另一点。

由PP上任意一点P可求出P，再求出弦PP的长度。

设PP的长度为d，根据勾股定理可得：d2=x2+y2=(acost)2+(bsinθ)2=a2cos2θ+b2sin2θ又由椭圆方程可知：b2/a2=1-e2所以有：d2=a2cos2θ+b2sin2θ=a2cos2θ+a2(1-e2)sin2θ=a2{cos2θ+(1-e2)sin2θ}令cos2θ+(1-e2)sin2θ=c（c为任意常数）即有：d2=a2c,又因为e2=1-b2/a2,可得cos2θ+(1-e2)sin2θ=cos2θ+(1-(1-b2/a2))sin2θ=cos2θ+b2/a2sin2θ即有：c=cos2θ+b2/a2sin2θ代入方程d2=a2c，可得：d2=a2{cos2θ+(1-e2)sin2θ}即有：d=2ae√1-e2sin2α因而可以得出：在椭圆上任意一点P处，弦PP的长度可用弦长公式下式表示：d=2ae√1-e2sin2α上式的证明也完成了，由此可以看出，椭圆中的弦长公式是一个非常重要的特性。

它可以用来研究椭圆的形状特性以及在实际应用中的使用，可以更好地满足工程的需要。

过椭圆焦点的弦长公式

过椭圆焦点的弦长公式
过椭圆焦点的弦长公式：
|AF2|/|AH|=e|AF2|
椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。

由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

焦点弦公式推导过程

焦点弦公式推导过程1. 椭圆焦点弦公式推导。

- 设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)-b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。

- 设直线与椭圆交点为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。

- 将直线方程y = k(x - c)代入椭圆方程frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1，得到：- frac{x^2}{a^2}+frac{k^2(x - c)^2}{b^2} = 1。

- 展开并整理得(a^2k^2+b^2)x^2-2a^2ck^2x+a^2(c^2k^2-b^2) = 0。

- 根据韦达定理，x_1+x_2=frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2}，x_1x_2=frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。

- 弦长| AB|=√(1 + k^2)| x_1-x_2|。

- 先求(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2。

- 将x_1+x_2和x_1x_2的值代入可得：- (x_1-x_2)^2=(frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2})^2-4frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。

- 化简得(x_1-x_2)^2=frac{4a^2b^4(1 + k^2)}{(a^2k^2+b^2)^2}。

- 所以| AB|=√(1 + k^2)·frac{2ab^2}{a^2k^2+b^2}。

- 当直线斜率不存在时，直线方程为x = c，代入椭圆方程得y=±frac{b^2}{a}，此时弦长| AB|=frac{2b^2}{a}。

2. 双曲线焦点弦公式推导（以焦点在x轴为例）- 设双曲线方程为frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)+b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。

椭圆的焦点弦长公式推导

椭圆的焦点弦长公式推导例：设椭圆方程为12222=+by a x ，直线l ：b kx y +=交椭圆于A 、B 两点，求AB 长度。

解：椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，将直线l ：t kx y +=带入①得：()0222222=-++b a t kx a x b ，整理得， ()022********=-+++b a t a ktx a x b k a ， ∴222222221222221,2b k a b a t a x x b k a kt a x x +-=+-=+， ∴()()()()()222222222222222222222224212212214444b k a t b k a b a b k a b a t a b k a t k a x x x x x x +-+=+-⨯-+=-+=- ∴2222222212t b k a b k a ab x x -++=- ∴22222222212121t b k a k b k a abx x k AB -+++=-+= 若直线AB 经过左焦点1F （- c ，0），则kc t =，带入上式可得到，122222221++=-k bk a ab x x ， ()12122222222222222++=-+++=k b k a ab t b k a k b k a ab AB ……焦点弦长公式① 若直线l 的倾斜角为θ，即θtan =k ，则有：()()θθθ22222222222222cos 21tan tan 212c a ab b a ab k b k a ab AB -=++=++=……焦点弦长公式② 《简爱》是一本具有多年历史的文学着作。

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从中我了解到了作者夏洛蒂．勃郎特的许多事。

高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即AB = 1 k 2x 1 x 2或者 AB= 1+( k 1)2y 1 y 2 ，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式： 2ab2AB 2 2a 2b 2 ，如果记住公式，可以给我们解题带来方便 .a2 c 2 cos 2下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用 .解法一：根据弦长公式直接带入解决 .22题：设椭圆方程为 x2 y2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab圆于A( x 1 , y 1), B ( x 2 , y 2 )两点，求弦长 AB .22椭圆方程 x2 y 2 1可化为b 2x 2a 2y 2 a 2b 2⋯⋯①， a2b 2直线 l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c ( 斜率不存在即为 m 0时 ) ，代入①得：(b 2m 2a 2)y 2 2mcb 2 y b 2c 2 a 2b 2 0 ，整理得， (b 2m 2 a 2)y 22mcb 2y b 4∴y1y 2b 2m 22mcb 22 ,y 1y 2 a b 4b 2m 2aAB = 1+( k 1)2y 1y 21 m2(2 2 bm 2mcb 2 )2 2)a4b 42 2 2b m a1 m 24a 2b 4(1 m 2)2 2 2 2(b m a )∴ AB2ab 22 2 2 b m a1m1)若直线 l 的倾斜角为，且不为 90o ,则1 tan ，则有：ABb 2m 2a 2b a 2 1 m 2b m a2ab 22 1 2 b 2 atan1tan 2由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为AB2ab 22 2 2 a c cos②.2)若 =90o ，则 m 0，带入 AB2 2ab 22 2 2 b m a1 m 2,得通径长为 2b 2，同样满足②式 .并且由a解法二：根据余弦定理解决22题：设椭圆方程为 x 2 y2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab 圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .AB2ab 21 m2 =2a(b 2m 2a 2) 2a 32ab 22 2 21 m =2 2 2b m a b m a2a2a 2(a 22 b 22) 2a2a(a 22 b 2) 2b 2b m a a,当且仅当 m 0 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为2b 22b，故可知通径是最短的焦点弦， a综上，焦点弦长公式为 AB2ab 22 2 2 a c cos22题：设椭圆方程为 x 2 y 2 a 2 b21，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .解：如右图所示，连结 F 1 A, F 1B ，设 F 2A=x, F 倾斜角为，则由椭圆定义可得AF 1F 2 中，由余弦定理得cos( )(2c)2x 2(2a x)2，化简可得4cxBF 1F 2 中，由余弦定理同理可得b 2a ccosABb 2b 2ya ccos a ccos2ab 2222a c cos解法三：利用焦半径公式解决解：由解法一知x 1x 2=my 1 c my 2 c m(y 1 y 2 ) 2c22 2m 2cb 2 2 2 2bm a 2c22a 22c2 .由椭圆b 2m 2a 2的第二定义可得焦半径公式，那么 F 2A a ex 1, F 2B aex 2，则弦长2 F 1A =2a x中结得AB③2 abkc为a2果带入③将此b 1 k 22 2 2 a 2b 2(1 k 2)2 2 2 b 2 a 2k 2b2 a 2k2 A'B'b 2m2 A'B' =b 2 a 2k 22 2 2b 2 a 2k 22 2 2b 2 a 2k 2后面分析同解法解法四：利用仿射性解决22题：设椭圆方程为 x 2 y 2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .b 1 k 2a 2b 2(1 k 2) 2ab 2(1 k 2)，由 k tan ，带入得AB = b 1 k 2AB =b 2 a 2k 22ab 2m 2 2ab 2 故AB =a ex 1 a ex 2 2a e(x 1 x 2)2 2 2b m ax' x解：利用仿射性，可做如下变换 a ，则原椭圆变为 (x')2 (y')2 y' ya 2，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆 . 假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为 bak .椭圆中弦长 AB = 1 k 2x 1 x 2 ，经过变换后变为 A'B' 1 (a k)2 x 1x 2 ，带入，得变换前后弦长关系为AB =(akc )2 b 1 (a bk )2bA'B' =2 a 22ab 2a 2 c 2 cos 22ab 2(1 m 2)勾股定理求得弦长为而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得 .如图所示，假设直线y a k(x c) ，圆心到直线的距 b离为 d，根据半径1 (a bk)2a4上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明 22 例 1已知椭圆 x y25 21 AB2ab 2，2 2 2，a c cos1，过椭圆焦点且斜率为 3 的直线交椭圆于 A, B 两点，求 AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解解：由题， a 5,b 2 21,c 24， = , 带入 AB 3 2ab 2 222a c cos 得 AB =10. 例 2已知点 P(1, 3) 在椭圆 C ：x2 2 a 22y2 1(a> b> 0)上，过椭圆 C 的右焦点 F 2 (1,0)的直线 l与b 椭圆 C 交于 M,N 两点 . 1)求椭圆的标准方程； 2)若AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，且MN PAB ，W AB MN 2,试判断 W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由 . 分析：因为 l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单 9 2 2 2 21 ，又 a b c 4b2 1 解：(1)由题知 c 1，将点 P 带入得 12 a 2 ，解得 a 2 4,b 23 ，故椭 22 圆方程为 x y1. 43 2)假设 A(m,n) ，则 AB 2 m 2 n 2，设倾斜角为，则 cos m m 2 n 2 ，根据过焦点的弦长公式则 MN 2ab 22 a 22 c cos 12 2 m 22 mn3m 212(m 2 4n 2 ，故 W n 2) AB MN m 2 =4( 4 2 n )=4. 3 例3如图，已知椭圆 1的左右焦点为 F 1,F 2，过 F 2 的直线 l 1 交椭圆于 A,C 两点，过 F 1 的直线 l 2交椭圆于 B,D 两点， l 1,l 2交于点 P ( P 在x 轴下方)，且 F 1PF 2 43 ，求四边形 ABCD 的面积的最大值 . 分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成F 1PF 23的点 P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值2解：假设 l 1 的倾斜角为,则 l 2的倾斜角为 3+，由椭圆的焦点弦长公式得： AC12 4 cosBD 12 S=1 2ACBD12 12 cos ( )4 2cos4 cos 2() 4设 f( (4 cos )(4 cos ( 7(72 cos2 )( 1 12sin 2 )4))49 7 ( sin2 44+cos 21)+ sin4 8设 sin2 cos2t(t2, 2 ) ，则sin4 t 21,带入得 f(t)49 7t+1(t 2 4481)即f(t)1t 28 7t 97 48f (t)min 99 14 2,此时 t 2，即 sin2 cos22 ，得到综上，四边形 ABCD 的最大值为 288 2 S=99 14 2 = 8 ，得到l 2的倾斜角为 8 ,刚好两直线关于 y 轴对称，如右图所示 .5.14 .此时。

焦点弦公式及其应用

焦点弦公式及其应用焦点弦公式及其应用论文关键词：焦点弦公式,应用在近年来的高考数学试题中，经常出现圆锥曲线焦点弦问题．用常规方法解决这类问题时，由于解题过程复杂，运算量较大，所以很容易出现差错．为了准确而迅速地解决圆锥曲线焦点弦问题．我们可以利用下面介绍的焦点弦公式．设圆锥曲线的离心率为，焦准距为,过焦点的弦AB与主轴(即椭圆长轴、双曲线实轴、抛物线对称轴)的夹角为θ,则可以推导出弦AB的长度公式，简称焦点弦公式．特别当离心率时，焦点弦公式还可以化简．１、当时,圆锥曲线为椭圆, ；２、当时，圆锥曲线为抛物线, ．图1下面对焦点弦公式进行证明．证法一如图1,设椭圆C:焦点为,过焦点F的弦AB的倾斜角为,当时,弦AB在直线 L:上．由直线L和椭圆C的方程可得．设点A、B的坐标分为和，则．由焦半径公式得弦AB的长度为∵焦准距为,∴．当时，公式也成立．对于双曲线和抛物线用同样的方法可以证明．证法二设圆锥曲线的离心率为，焦准距为，则极坐标方程为，过焦点的弦AB与x轴的夹角为θ．当时，如图2．∵，．∴．即．当时，同理可以推得．利用焦点弦公式，可以巧妙地解决与圆锥曲线焦点弦有关的各种问题．现在分别举例如下．一、在椭圆中的应用例1 （2008年高考安徽卷文科22题）已知椭圆，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过点F1(－2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.，求证：（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求的最小值．解：（Ⅰ）由已知得，又，所以．故所求椭圆C的方程为．（Ⅱ）因为直线AB倾斜角为，，，，。

由焦点弦，可得=得证．（Ⅲ）因为直线AB倾斜角为，则DE与轴的夹角可表示为。

因而，，。

? 当且仅当即时取“＝”．所以的最小值是．二、在双曲线中的应用例2(2006年高考安徽卷22题)如图5，F为双曲线C：的右焦点、P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点,已知四边形为平行四边形，．（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程．解:（Ⅰ）∵，，图4设右准线交PM于H，则，又,∴．（Ⅱ）当时，由得，即．由得，由此得双曲线为．∵时,, ,．在中,．P点的坐标为,则,．即．令AB与的夹角为,由AB∥OP得,．∵,∴,解得,即．由，可以解得．故所求双曲线的方程为．三、在抛物线中的应用例3 (2006年高考全国Ⅱ卷第21题）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值．解：（Ⅰ）可设,,AB的倾斜角为,则AB的斜率．由知AB过焦点．所以AB的方程为．将此式代入得．则．∵,∴过A、B两点的切线方程分为，．由此解得:,．即点M为．所以,．∴为定值．(Ⅱ)∵抛物线的焦准距,过焦点F的弦AB与对称轴夹角为．∴．又,由知．∴△ABM的面积为．当,即AB与轴平行时,F点是AB的中点,,△ABM的面积S有最小值4．求的表达式的方法如下:∵,∴．设,则可以解得．又，．∴．四、综合应用(2009湖南卷理)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅰ）求点P的轨迹C；（Ⅱ）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。

椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：若椭圆的焦点弦F i F 2所在直线的倾斜角为，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短2ab 2~22 2a c cos上面命题的证明很容易得岀，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长 AB 8，焦距F J F 2 4J2，过椭圆的焦点 F j 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设 PF 1X（0长？），当取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴PQ 是椭圆的焦点弦，且 a 4，c 2.. 2，从而b 2 2，故由焦厂譬 —及题设可得：2 4（2•斗 4 2，解得a c cos16 8cos2 2 2a c cos —3cos 2 2，即 arc cos . 22 或 arc cos . 2 2。

例2、在直角坐标系中, 线|通过点F ，且倾斜角为已知椭圆 E 的一个焦点为 F （ 3，1），相应于F 的准线为丫轴，直 —，又直线|被椭圆E 截得的线段的长度为 16，求椭圆 3 5 E 的方程。

分析：由题意可设椭圆 E 的方程为（X c 3） (y21) 1，又椭圆 b 2E 相应于F 的准线为丫轴，故有a 2（1），又由焦点弦长公式有2ab 216(2)又a 2b 2(3) 。

解由（1）、2（2）、（3）联列的方程组得：a 24，b 2从而所求椭圆 E 的方程为(x 4)2(y 1)2F i F 222a b2及其应用 a c cos分析：由题意可知点弦长公式F 1F 2半轴长和焦半距，则有例3、已知椭圆C:2x~2a b21 （a b 0），直线h ：-丄1被椭圆a b长为2、2，过椭圆右焦点且斜率为..3的直线12被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的圆C的方程。

2 2分析：由题意可知直线h过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有 a b 8，由焦点弦长公式得2ab2~2 2 2a c cos4a5（2）因tan =、. 3，得一3b2 2 （4）。

椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及其应用在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ222221cos 2c a ab F F -=。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-⨯⨯α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。

分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2222=-+--by a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32+=c c a （1），又由焦点弦长公式有3cos 22222πc a ab -=516 （2）又 222c b a += （3）。

解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13)1(4)4(22=-+-y x 。

例3、已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的52，求椭圆C 的方程。

过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式

椭圆是代数曲线的一种，是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

在椭圆的研究中，我们经常要涉及到椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式。

本文将从椭圆的基本概念开始，逐步介绍椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式，以便读者更加深入地理解和掌握该公式。

一、椭圆的基本概念1. 定义椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P 的轨迹，常数2a称为椭圆的长轴，F1和F2称为椭圆的焦点。

2. 椭圆的标准方程设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，椭圆的中心为坐标原点O，焦点F1(-c,0)，F2(c,0)。

则椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。

3. 弦长的定义弦是平面上连接两点的直线段，椭圆焦点垂直于x轴的弦长即为连接椭圆上焦点处的两点并且垂直于x轴的线段的长度。

二、过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导涉及到椭圆的几何证明和数学运算，下面我们将逐步进行推导。

1. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的定义设椭圆的焦点F1(-c,0)，F2(c,0)，横轴为x轴，焦点连线垂直于x轴的弦为CD，C点的坐标为(x,0)，D点的坐标为(-x,0)。

设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。

则C、D两点上线上满足椭圆方程。

2. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导根据椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，可得点C、D的坐标分别为$(a\cos\theta, b\sin\theta)$和$(-a\cos\theta, -b\sin\theta)$（其中$\theta$为椭圆上任意一点P的极角，即向量OP与x轴正方向的夹角）。

椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式即为CD的长度公式，根据两点之间的距离公式可得：CD的长度 = $\sqrt{(a\cos\theta-(-a\cos\theta))^2 +(b\sin\theta-(-b\sin\theta))^2}$3. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的进一步推导进一步利用三角恒等式和平方展开可得：CD的长度 = $\sqrt{(2a\cos\theta)^2 + (2b\sin\theta)^2}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$由于椭圆的轨迹方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，根据单位圆的性质可得$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，代入上式可得：CD的长度 = $\sqrt{4a^2(1-\sin^2\theta) +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta+进一步整理可得：CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta+4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2$CD的长度 = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4(a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta)}$ = $\sqrt{4(a^2-b^2\sin^2\theta + b^2\sin^2\theta)}$ = $\sqrt{4a^2 -b^2\sin^2\theta}$所以椭圆焦点垂直于x轴的弦长为CD的长度为$\sqrt{4a^2 -b^2\sin^2\theta}$。

椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及其应用在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ222221cos 2c a ab F F -=。

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设XPF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦点弦长公式θ222221c o s 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-⨯⨯α，解得αc o s ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。

分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2222=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32+=c c a （1），又由焦点弦长公式有3cos 22222πc a ab -=516 （2）又 222c b a += （3）。

解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13)1(4)4(22=-+-y x 。

例3、已知椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ），直线1l ：1=-b y a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的52，求椭圆C 的方程。