随机过程及其应用-清华大学
随机过程及其在金融领域中的应用
高等学校教材随机过程及其在金融领域中的应用王 军 王 娟 编著清华大学出版社北京交通大学出版社·北京·内容简介本书主要包括两部分内容：一部分是概率空间、随机过程的基本概念、Ｐｏｉｓｓｏｎ过程、更新过程、Ｍａｒｋｏｖ链、Ｂｒｏｗｎ运动、鞅、随机微分方程等；另一部分是数理金融学的基本概念和基本知识、金融领域中的数学模型、期权定价理论、Ｂｌａｃｋ桘Ｓｃｈｏｌｅｓ公式、随机过程的一些理论在金融领域中的应用等。
本书适用于应用数学、金融（金融工程，金融数学等）、管理科学、经济学，以及高等院校高年级学生与研究生的教学，也可供有关专业技术人员参考。
本书封面贴有清华大学出版社防伪标签，无标签者不得销售。
版权所有，侵权必究。
侵权举报电话：０１０６２７８２９８９ １３５０１２５６６７８ １３８０１３１０９３３ 图书在版编目（ＣＩＰ）数据 随机过程及其在金融领域中的应用／王军，王娟编著．—北京：清华大学出版社；北京交通大学出版社，２００７畅４（２００９畅７重印） ＩＳＢＮ９７８７８１０８２９５７１ Ⅰ畅随… Ⅱ畅①王… ②王… Ⅲ畅随机过程应用金融学高等学校教材 Ⅳ畅Ｆ８３０ 中国版本图书馆ＣＩＰ数据核字（２００７）第０２３６１６号责任编辑：黎 丹 出版发行：清华大学出版社 邮编：１０００８４ 电话：０１０６２７７６９６９北京交通大学出版社 邮编：１０００４４ 电话：０１０５１６８６４１４印刷者：北京瑞达方舟印务有限公司经销：全国新华书店开本：１８５×２３０ 印张：１７ 字数：３７８千字版次：２００７年４月第１版 ２００９年７月第２次印刷书号：ＩＳＢＮ９７８７８１０８２９５７１／Ｆ·２１７印数：４００１～６０００册 定价：２６畅００元本书如有质量问题，请向北京交通大学出版社质监组反映。
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随机过程及其应用-清华大学解析
4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=)(0)()(t N k k t t t S使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E ==对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。
但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下，n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。
不过就他们的和nt t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以2))((2)2)(())((22)())(|)((20t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E nk k λ====-=-==∑=从而有4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。
定义风险率)(t λ如下)(1)()(t F t f t -=λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。
定义随机过程)(t N 如下}),,..,m ax (:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=-这里A #表示集合A 中的元素个数。
如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。
事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。
很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。
假定t ∆充分小，在0,...,X X n 中只有n X 在],(t t t ∆+上，因此111-11-11111))())(()((),...,(]),((),...,],,(()),...,max(],,(()),...,max(],,(()1)()((--∞=-∆+∆=≤≤∆+∈=≤≤∆+∈=>∆+∈>∆+∈==-∆+∑n n n n n n n n n n n n t F t o t t f t X t X P t t X P t X t X t t X P X X X t t X P X X X t t X P t N t t N P所以)()()(1)()())(())()(()1)()((21t o t t t F t o t t f x F t o t t f t N t t N P n n ∆+∆=-∆+∆=∆+∆==-∆+∑∞=-λ另一方面，可以证明)()2)()((t o t N t t N P ∆=≥-∆+ 所以)(t N 是非齐次的Poisson 过程，强度)(t λ。
清华大学应用随过程课后习题答案林元烈-V1
清华大学应用随过程课后习题答案林元烈-V1清华大学应用随机过程是一门重要的课程，在本科生的学习生涯中占据着重要的地位。
而针对这门课程的习题集，林元烈老师所编写的《清华大学应用随机过程习题集解答》可以说是学生们必备的辅助书籍之一。
本文将着重介绍林元烈老师及其所编写的习题集。
首先，林元烈老师是清华大学数学系教授，主要研究领域涵盖随机过程、随机分析、金融数学等方向。
其执教清华大学应用随机过程课程已有多年，对学生的教学效果和学习科研起到了积极的推动作用。
此外，林元烈老师曾多次获得国家自然科学基金委员会资助，担任过多个国内外著名数学期刊编委，同时是国际著名数学杂志《Stochastic Processes and their Applications》编委。
这一切足以证明林老师在学术研究上的造诣和成就。
其次，林元烈老师编写的《清华大学应用随机过程习题集解答》是目前学生们普遍使用的习题解答书籍。
该习题集共分为17章，涵盖了该课程中的所有重要知识点和难点。
每章中包含了若干道课后习题，习题种类繁多，包括大量的证明题和计算题，对于提高对随机过程的理解、巩固掌握知识点均有很大的帮助。
再次，习题解答书籍的价值在于对学生而言既是为了复习所学的知识点，也是在新的问题中寻找新的思路和新的解决方式。
林元烈老师编写的习题解答中，不仅对每一个习题都给出了详细的解答和说明，而且在许多题目共性比较强的地方，林老师还给出了非常详尽的思路和解决方法，这为学生们在学习过程中提供了有力的支持和帮助。
最后，在使用习题解答书籍时，我们需要注意的是不能仅仅依赖于它，而是需要在理解每个问题的基础上独立思考和解决问题。
同时，不能忽略课程自身的特点和难点，在理论知识的建立上，还需要重视实例的演示和练习。
学习随机过程，更需要自己去慢慢领悟，逐步积累对随机过程的理解和认识。
总之，林元烈老师所编写的《清华大学应用随机过程习题集解答》既是对课程的补充和巩固，也是对学术研究的重要贡献，希望该书籍能够为广大学生和相关研究者在随机过程方面的学习和研究上提供帮助。
工学硕士研究生课程教学大纲
工学硕士研究生课程教学大纲1、课程编号：063301 课程中文名称：组合数学32学时/ 2学分英文译名：Combinatorics适用领域：计算机应用技术、计算机软件理论、计算机系统结构及通信、交通运输、实验设计、排程等方面任课教师：钱真、沈晶教学目的：组合数学是现代数学中发展最快的数学分支。
组合数学的研究对象是排列、模式、设计、调度和布局等。
高速计算机使得各领域中实际组合问题的求解成为可能，而计算机科学的发展本身有带来了大量具有挑战性的组合问题。
本课程的教学目的是：1．使学生掌握计数的基本原理和方法。
2．使学生了解组合设计的基础知识。
3．使学生了解一些优化问题和模型。
4．培养学生的组合思维方法和组合技巧。
教学方式及学时分配：1．教学方式为课堂授课。
2．学时分配：第一章排列与组合，8学时第二章母函数与递推关系，8学时第三章容错原理和鸽巢原理，8学时第四章Polya定理，4学时第五章组合设计，2学时第六章线性规划，2学时教学主要内容及对学生的要求：1．教学主要内容：介绍组合数学的基本工具；围绕组合数学的基本问题，重点介绍组合计数问题、简介组合数学求解中的存在问题和组合优化问题。
2．要求：学生学习本课程应具备的先修知识是高等数学(I)、(II)、离散数学。
内容摘要：在第一章中主要介绍组合数学的基本工具，包括加法规则、乘法规则、一一对应规则；线排列和圆排列、不可重组合与可重组合、二项式及多项式定理、排列和组合的生成算法；在第二章至第四章中重点介绍组合计数问题，包括递推关系及其求解；用母函数求解递推关系，母函数在排列组合中的应用；物件性质的组合，特定、全非、恰K性质型容斥原理；鸽巢原理，Ramsey原理；Burnside引理，polya定理，母函数型的Polya定理；在第五章中简介存在问题，包括拉丁方设计，均衡不完全的区组设计，Hadamard矩阵；第六章简介组合优化问题，包括搜索与优化，动态规划法，分支定界法，背包问题、调度问题、最大流量问题的求解，匹配问题。
清华大学研究生金融专业课程设置
[考研外校] 清华大学金融专业课程设置（研究生）教师：裴宇红课程1：国际金融简介：在金融一体化及新信息技术条件下，建立分析现代金融宏观框架，充分了解外汇市场、货币市场、资本市场和金融衍生证券之间的关联性，掌握国际金融原理及我国在国际金融领域的具体实践。
着重培养学生独立思考、正确处理国际金融业务的能力。
内容：虚拟经济对金融的深远影响；外汇、国际结算、外汇交易等知识；货币市场、外汇期货、外汇期权、金融互换等基本衍生金融工具定价关系以及在外汇风险管理方面的运用；国际收支及不平衡调节；经济变量之间平价关系与汇率预测；国际金融市场、国际资本流动、国际货币体系及国际金融组织等。
教材：国际金融原理，张陶伟，清华大学出版社参考书：1.期权、期货及其他衍生产品，华夏出版社，2.Sercu, P., and R. Uppal, International Financial Markets and the Firm3:《国际金融市场》人大出版社教师：张丽宏课程2：应用随机过程简介：主要内容包括：概率论基础；Possion 过程；Markov过程；平稳过程；Brown运动；停时与鞅论；随机积分；随机微分方程等教师：陈涛涛课程3：国际经济学简介：《国际经济学》课程借鉴MIT斯隆商学院和哈佛商学院开设类似课程的方法，全程采用十几个真实的国家案例，试图通过全新的案例教学方式，为学生们提供一个体会国际经济基本原理在真实世界中的作用方式与机制的机会。
课程内容分为“宏观经济分析”“国际贸易”“发展中国家发展战略”“发达国家的经济问题”以及“国际经济一体化”五个部分。
所选案例既包括美国、德国、法国等发达国家，也包括中国、韩国和墨西哥等发展中国家。
课程旨在帮助参加学习的学生提高对国际经济形势及其变化的感悟能力和培养一定程度的分析能力。
1.本课程采用10余个哈佛案例展开教学工作2.理论知识可以参看：Paul Krugman and Maurice Obstfeld's International Economics, Theory and Policy, Addison-Wesley, 6th Edition.教师：宋逢明课程4：金融工程案例分析教师：王桂琴课程5：管理沟通简介：This course is practice-oriented and the class language is English so that students' Englishwriting and speaking ability hopefully can be improved. It is designed to help students think strategically about communication goals and practice the skills to carry out the goals. It will help students improve their communication skills and acquire the expertise to prepare memoranda and other forms of written communication. Students will learn how to deliver presentations effectively and understand them.教师：赵冬青课程6：商业银行管理简介：商业银行是重要的金融中介机构，商业银行从事业务获取收益的过程就是接受风险和管理风险的过程，所以商业银行管理的核心问题是风险以及进行风险管理的方法和工具。
《随机过程及其在金融领域中的应用》习题二答案
0
sin
ux
f
xdx
0
sin
ux
f
xdx
0
0
sin
u
x
f
xdx
sin ux 0
f
x dx
0
令其中一式中的 x t
0
sin
ut
f
t
d
t
0
sin
ux
f
xdx
0
sin ut 0
证明：
X u
eiux f xdx
cos ux i sin ux f xdx
cos ux
f
xdx
i
sin
ux
f
xdx
（a）充分性：
当f
x
f
x时,sin ux
f
x
为奇函数
，
则i
c o vY Y, E Y 2 E Y 2 3 80
故（X,Y）的协方差矩阵为
cov X , X cov Y , X
1
cov X ,Y cov Y ,Y
18 0
0
3 80
4、已知二维随机变量（X,Y）服从联合正态分布，且
dFX
x
e tx f xdx
etxexdx etxdx
随机过程及其应用-清华大学
4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=)(0)()(t N k k t t t S使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E ==对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。
但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下，n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。
不过就他们的和nt t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以2))((2)2)(())((22)())(|)((20t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E nk k λ====-=-==∑=从而有4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。
定义风险率)(t λ如下)(1)()(t F t f t -=λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。
定义随机过程)(t N 如下}),,..,m ax (:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=-这里A #表示集合A 中的元素个数。
如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。
事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。
很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。
假定t ∆充分小，在0,...,X X n 中只有n X 在],(t t t ∆+上，因此111-11-11111))())(()((),...,(]),((),...,],,(()),...,max(],,(()),...,max(],,(()1)()((--∞=-∆+∆=≤≤∆+∈=≤≤∆+∈=>∆+∈>∆+∈==-∆+∑n n n n n n n n n n n n t F t o t t f t X t X P t t X P t X t X t t X P X X X t t X P X X X t t X P t N t t N P所以)()()(1)()())(())()(()1)()((21t o t t t F t o t t f x F t o t t f t N t t N P n n ∆+∆=-∆+∆=∆+∆==-∆+∑∞=-λ另一方面，可以证明)()2)()((t o t N t t N P ∆=≥-∆+ 所以)(t N 是非齐次的Poisson 过程，强度)(t λ。
《随机过程及其在金融领域中的应用》习题一答案
习题一1、设人民币存款利率为5%，每年计息一次，那么大约要多少年时间才能使存款额变为原来的4倍？如果利率变为4%，又要多少年？解：设初始投入资金为Q 元，大约需要n 年，其中的利率为r 。
依题意，可得：公式计算法：Q ∗5%∗n =Q 1−Q【PS: Q 1为存款后的利息+本金，Q 为本金】1) 当r=5%的时候：Q ∗5%∗n =4Q −Q所以：n =35%=602) 当r=4%的时候：Q ∗5%∗n =4Q −Q3) 所以：n =34%=75答：当利率为5％的时候，大约60年可以达到4倍。
利率为4％的时候，大约75年可以达到4倍。
2、如果利率为年复合利率r ，请给出一个公式，用它来估计要多少年才能使存款额变为原来的3倍。
解：【推导过程】当利率为r ，则一年之后存放余额为Q+rQ=(1+r)Q 之后连本带息存款，二年之后存放余额 Q (1+r )+Q (1+r )r =Q(1+r)2 ······依次类推n 年后存款达到Q(1+r)n依据上述公式和P3的(1—4)，可以得到：Q(1+r)n =3Q 且(1+r)n =e nr=>(1+r)n =3且(1+r)n =e nr且当n 充分大时=>(1+r)n ≈e nr ，则由题意得到Q(1+r)n =3Q=>(1+r )n =3且(1+r )n ≈e nr ,近似e nr ≈3n ≈ln3r =ln3r3、考虑期权定价C 问题，设利率为r ，在t=0时刻，某股票价格为100元，在t =1时刻，该股票的价格为200或50，即100(t =0)↗↘20050(t =1) 试证明：若C ≠100−50(1+r )−13，则存在一个购买组合，使得在任何情况下都能带来正的利润现值，即套利发生。
【本题默认执行价格为150】解：【分析过程：】t=0 t=1 期权S u =200 C uS=100S d =50 C d已知公式C =S ∗∆+B ，∆=C u −C dS u −S d ，B =C d −S d ∗∆1+r 。
随机过程及其应用
§4.5 随机过程的功率谱密度当我们在时间域内研究某一函数的特性时，如果确定起来不方便，在数学上我们可以考虑将此函数通过某种变换将它变换到另一区域，比如说频率域内进行研究，最终目的是使问题简化。
傅里叶变换提供了一种方法，就是如何将时间域的问题转换到频率域，进而使问题简化。
在频率域内，频率意味着信息变化的速度。
即，如果一个信号有“高”频成分，我们在频率域内就可以看到“快”的变化。
这方面的应用在数字信号分析和电路理论等方面应用极广。
是不是任何一个时间函数都可以将其通过傅氏变换变到频率域去研究呢？我们说当时间函数()()x t t -∞<<+∞满足绝对可积条件时可以。
()x t dt +∞-∞<∞⎰然而，随机过程的样本函数，即1(){(),,(),}n X t x t x t =,1(),,()n x t x t 一般不满足绝对条件，因此随机过程不能直接进行傅氏变换。
此外，很多随要过程的样本函数极不规则，无法用方程描述。
这样，若想直接对随要过程进行谱分解，显然也不行。
但是，对随机过程进行某种处理后，同样可对随机过程施行傅里叶变换。
§4.5.1 功率谱密度♦ 为了研究随机信号的傅氏变换，我们首先简单复习一下确定信号S (t )的频谱、能谱密度及能量概念，然后再引入随机过程的功率谱密度概念。
♦定理 设S (t )是一个确定信号且时间在(,)-∞+∞上满足绝对可积条件，则S (t )的傅氏变换存在，或者说具有频谱()()j tS S t edt ωω+∞--∞=⎰1()()2j t S t S e d ωωωπ+∞-∞=⎰1()()FF S t s ω-−−→ 对于定理的物理解释是，S(t )代表电流或电压，则定理条件要求()s t dt +∞-∞<∞⎰，即是要求S(t )的总能量必须有限。
由积分变换的巴塞伐公式21()()()2j t S t dt S t S e d dt ωωωπ+∞+∞+∞-∞-∞-∞=⎰⎰⎰*1()()2S S d ωωωπ+∞-∞=⎰ 1()()2j t S S t e dtd ωωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰ 即：221()()2S t dt S d ωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰下面我们来解释一下公式的物理含义：若把S (t )看作是通过1 Ω电阻上的电流或电压，则左边的积分表示消耗在1 Ω电阻上的总能量，故右边的被积函数2()S ω相应地称为能谱密度。
清华大学随机过程作业1
清华大学电子工程系版权所有
参考文献
[1] 陆大纟金. 随机过程及其应用. 清华大学出版社, 1986. [2] 陆大纟金，张灏. 随机过程及其应用（第二版）. 清华大学出版社,
1 概率论与随机过程 (2) ，homework1_intro © 清华大学电子工程系 1. 袋中装有 m 只正品硬币， n 只次品硬币（次品硬币两面都有国徽） 。在袋中任取一只， 将 它掷 r 次。已知每次都得到国徽，问取得的硬币是正品的概率。 2. 考虑一个如下定义的离散时间随机过程 X (n) , n = 1, 2, · · · 。无限次抛掷一枚硬币，对 n = 1, 2, · · · ，如果第 n 次抛掷结果为正面，则 X (n) = (−1) ；如果第 n 次抛掷结果为 反面，则 X (n) = (−1)
n+1 n
。
(1) 试画出随机过程 {X (n)} 的典型样本轨道。 (2) 求随机过程 {X (n)} 的一维概率分布列。 (3) 对两时刻 n, n + k ，求 X (n) 和 X (n + k ) 的两维联合分布列，n = 1, 2, · · · , k = 1, 2, · · · 。 3. 质点在直线上做随机运动，即在 t = 1, 2, 3, · · · 时质点可以在 x 轴上往右或往左做一个 单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为 p，往左移动一个单位距离的 概率为 q ，即 P {ξ (i) = +1} = p，P {ξ (i) = −1} = q ，p + q = 1，且各次游动是相互统 ∑n 计独立的。经过 n 次游走，质点所处的位置为 ηn = η (n) = i=1 ξi 。 (1) 求 {η (n)} 的均值函数。 (2) 求 {η (n)} 的自相关函数 Rηη (n1 , n2 )。 (3) 给定时刻 n1 , n2 ，求随机过程 {ξ (n)} 的二维概率密度函数及相关函数。 4. ([1] 第一章习题 7) 设有随机过程 {ξ (t) , −∞ < t < ∞}，ξ (t) = η cos (t)，其中 η 为均匀 分布于 （0,1） 间的随机变量， 求 {ξ (t)} 的自相关函数 Rξ (t1 , t2 )， 自协方差函数 Cξ (t1 , t2 )。 5. ([1] 第一章习题 3) 设有一随机过程 ξ (t)，它的样本函数为周期性的锯齿波。图 1 画出了 两个样本函数图。各样本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不
清华大学随机过程答案1
Rξξ (n1 , n2 ) = p2 + q 2 − 2pq 常见错误： 把随机过程 {η (n)} 的自相关函数和 {ξ (n)} 的搞混淆。认为 η (n1 ) 和 η (n2 ) 独立。 4. ([1] 第一章习题 7) 设有随机过程 {ξ (t) , −∞ < t < ∞}， ξ (t) = η cos (t)， 其中 η 为均匀分 布于 (0, 1) 间的随机变量，求 {ξ (t)} 的自相关函数 Rξ (t1 , t2 )，自协方差函数 Cξ (t1 , t2 )。 参考答案： Rξ (t1 , t2 ) = E {η cos t1 η cos t2 } { } = E η 2 cos t1 cos t2 ∫ 1 = η 2 dη cos t1 cos t2
8.（[2] 第一章习题 1) 设随机过程 ξ (t) = V sin ωt，其中 ω 为常数，V 为服从 (0, a) 内均匀 分布的随机变量。 (1) 画出 ξ (t) 的某一条样本轨道。 (2) 求 ξ (0)，ξ (π/4ω )，ξ (π/2ω )，ξ (5π/4ω ) 的概率密度。 概念复习： 连续状态连续时间随机变量的一维分布 参考答案： a 时，一条样本轨道为典型的正弦曲线。 2 (2) ξ (0) = 0，fξ(0) (x) = δ (x)；ξ (π/2ω ) = V ，其概率密度同 V 一样。 √ a 2, 0 < x < √ (π) V a 2 = √ , fξ( π ) (x) = ξ 4ω 0, 其他 4ω 2 (1) V = ( ξ 5π 4ω ) √ a 2, −√ <x<0 V a 2 = − √ , fξ( 5π ) (x) = 4ω 2 0, 其他
随机过程及其应用
§4.5 随机过程的功率谱密度当我们在时间域内研究某一函数的特性时，如果确定起来不方便，在数学上我们可以考虑将此函数通过某种变换将它变换到另一区域，比如说频率域内进行研究，最终目的是使问题简化。
傅里叶变换提供了一种方法，就是如何将时间域的问题转换到频率域，进而使问题简化。
在频率域内，频率意味着信息变化的速度。
即，如果一个信号有“高”频成分，我们在频率域内就可以看到“快”的变化。
这方面的应用在数字信号分析和电路理论等方面应用极广。
是不是任何一个时间函数都可以将其通过傅氏变换变到频率域去研究呢？我们说当时间函数满足绝对可积条件时可以。
然而，随机过程的样本()()x t t -∞<<+∞()x t dt +∞-∞<∞⎰函数，即,一般不满足绝对条件，因此随机过1(){(),,(),}n X t x t x t = 1(),,()n x t x t 程不能直接进行傅氏变换。
此外，很多随要过程的样本函数极不规则，无法用方程描述。
这样，若想直接对随要过程进行谱分解，显然也不行。
但是，对随机过程进行某种处理后，同样可对随机过程施行傅里叶变换。
§4.5.1 功率谱密度♦为了研究随机信号的傅氏变换，我们首先简单复习一下确定信号S (t )的频谱、能谱密度及能量概念，然后再引入随机过程的功率谱密度概念。
♦定理 设S (t )是一个确定信号且时间在上满足绝对可积条件，则S (t )的傅(,)-∞+∞氏变换存在，或者说具有频谱 ()()j tS S t edt ωω+∞--∞=⎰1()()2j t S t S e d ωωωπ+∞-∞=⎰1()()FF S t s ω-−−→对于定理的物理解释是，S(t )代表电流或电压，则定理条件要求，即()s t dt +∞-∞<∞⎰是要求S(t )的总能量必须有限。
由积分变换的巴塞伐公式21()()()2j t S t dt S t S e d dtωωωπ+∞+∞+∞-∞-∞-∞=⎰⎰⎰*1()()2S S d ωωωπ+∞-∞=⎰1()()2j t S S t e dtd ωωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰即：221()()2S t dt S d ωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰下面我们来解释一下公式的物理含义：若把S (t )看作是通过1 Ω电阻上的电流或电压，则左边的积分表示消耗在1 Ω电阻上的总能量，故右边的被积函数相应地称为能谱密度。
对随机过程的理解及其应用的分析
对随机过程的理解及其应用的分析本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March对随机过程的理解及其应用的分析——《随机信号处理》结课论文学院通信工程学院专业信息工程班级 1301052班姓名徐益学号一、对随机过程的理解随机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。
它作为随机数学的一个重要分支，虽说不像经典代数那样有上百年的历史，却在过去的一百年中发展迅速，并表现出来巨大的应用价值。
它在自然科学、工程技术及社会科学中日益呈现出广泛的应用前景，尤其在通信领域有着不可取代的地位。
关于随机过程的具体含义，我将借助课本上的两个定义，即：定义1设随机试验E的样本空间为 S = { ξ } ，若对于每个元素ξ∈ {S} ，总有一个确定的时间函数Χ (t , ξ), t ∈ T 与之对应，则对于所有的ξ∈ { S } 得到一族时间t的函数，称为随机过程。
族中的每一个函数称为该随机过程的样本函数。
定义2对于每个特定的时刻ti， (ti , ξ )都是一个随机变量，依赖于时间t的一族随机变量 X(t1,ξ), X(t2,ξ),..., X(tn,ξ)就组成了随机过程Χ ( t ,ξ )。
以上两种定义从不同的角度来描述随机过程。
前者是将随机过程看作时变的随机变量；后者是将随机过程看作随机函数的集合。
可以看出，随机过程这一概念不仅将随机变量放在时间这一新的维度上进行分析，有了更强大的建模能力。
同时它也将函数这一概念在随机数学领域进行了延生，使函数变量的概念有了更普适的意义。
二、随机过程的发展历史在随机过程这一概念提出之前，一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。
应用随机过程教学大纲
遵义师范学院课程教学大纲应用随机过程教学大纲（试行）课程编号：280020 适用专业：统计学学时数：48 学分数：执笔人：黄建文审核人：系别：数学教研室：统计学教研室编印日期：二〇一五年七月课程名称：应用随机过程课程编码：学分：总学时：48课堂教学学时：32实践学时：16适用专业：统计学先修课程：高等数学、线性代数、概率论、测度论或者实变函数（自学）一、课程的性质与目标：（一）该课程的性质《应用随机过程》课程是普通高等学校统计学专业必修课程。
它是在学生掌握了数学分析、线性代数和概率论等一定的数学专业理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和及其研究方法。
（二）该课程的教学目标（1）从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程的内容和知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用。
（2）对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计和随机过程问题的方法。
着重基本思想及方法的培养和应用。
（3）结合学生实际，利用生活中的实例进行分析，培养学生的辩证唯物主义观点。
二、教学进程安排课外学习时数原则上按课堂教学时数1:1安排。
三、教学内容与要求 第一章 预备知识 【教学目标】通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。
【教学内容和要求】随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征函数；独立性和条件期望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识作简要的回顾和扩展。
其中概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等既是本章的重点，又是本章的难点。
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4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=)(0)()(t N k k t t t S使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E ==对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。
但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下，n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。
不过就他们的和nt t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以2))((2)2)(())((22)())(|)((20t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E nk k λ====-=-==∑=从而有4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。
定义风险率)(t λ如下)(1)()(t F t f t -=λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。
定义随机过程)(t N 如下}),,..,m ax (:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=-这里A #表示集合A 中的元素个数。
如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。
事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。
很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。
假定t ∆充分小，在0,...,X X n 中只有n X 在],(t t t ∆+上，因此111-11-11111))())(()((),...,(]),((),...,],,(()),...,max(],,(()),...,max(],,(()1)()((--∞=-∆+∆=≤≤∆+∈=≤≤∆+∈=>∆+∈>∆+∈==-∆+∑n n n n n n n n n n n n t F t o t t f t X t X P t t X P t X t X t t X P X X X t t X P X X X t t X P t N t t N P所以)()()(1)()())(())()(()1)()((21t o t t t F t o t t f x F t o t t f t N t t N P n n ∆+∆=-∆+∆=∆+∆==-∆+∑∞=-λ另一方面，可以证明)()2)()((t o t N t t N P ∆=≥-∆+ 所以)(t N 是非齐次的Poisson 过程，强度)(t λ。
这里所提到的风险率在可靠性研究中有着重要作用。
假定某种起见的寿命为随机变量，其概率分布和密度分布为)()(t f t F 和，那么风险率微元)()(t o t t ∆+∆λ表示该器件在]1,0[时间段内为失效的条件下，将会在],[t t t ∆+内失效的概率。
由此可以说明“风险”一次的含义。
从而可知，与指数相应的风险率是常数，而且在所有非负连续随机变量的分布函数中，唯有指数分布相应的风险率为常数。
事实上，由)ex p(1)(0)0()),(1()(t t F F t F t F dtdλλ--==-=直接解得上式正好指数分布的分布函数。
4.3(Poisson 过程的和与差)两个独立的Poisson 过程的和仍然是Poisson 过程，事实上，设是两个和)()(21t N t N 独立的Poisson 过程，参数分别是21λλ和。
则)()(21t N t N +的母函数为))1()ex p((),(),())(()(),(21)()()()()()(21212121-+====++z t t z G t z G z z E z E t z G N N t N t N t N t N t N t N λλ所以)()(21t N t N +是参数21λλ+的Poisson 过程。
类似的结论可以拓广到n 个独立的Poisson 过程的和：如果个是，n t N t N n )(...,)(1独立的Poisson 过程，参数分别为n λλ...,1，，那么)(...)(1t N t N n ++仍然是Poisson 过程，参数n λλ++...1。
考虑两个独立Poisson 过程差21)(N N t X -=。
可以肯定，)(t X 不是Poisson 过程，因为0)0)((><t X P ，这与Poisson 过程的非负明显矛盾。
计算)(t X 的特征函数可以知道：)1)(()exp())1)(exp()1)(exp(exp()()()))((exp()))(((exp())))()(((exp()(2121)()(21211121-+=--+-=-=-=-=-ωλλωλωλωφωφωωωωφj P t j t j t j j t N j E t N j E t N t N j E j t N t N N N这里)ex p()ex p()(212211ωλλλωλλλωj j j P -+++=所有)(t X 是Poisson 过程，其中Poisson 过程参数n λλ+1，随机变量k Y 服从两点分布：212211)1(,)1(λλλλλλ+==+==k k Y P Y P4.4(事件分类)[0,t]内进入商店的顾客服从Poisson 过程，顾客有男有女之分。
如果每次进入商店的顾客中，男顾客出现的概率为p ，女顾客出现的概率为q ，1=+q p 那么每次进入想点的男顾客人数)(t N m 有∑==)(0)(t N k km Y t N 其中，k Y 为取值0,1独立同分布的随机变量，不妨设男顾客出现时k Y 取1，根据式))1)((ex p())(()()()()()(1-==ωφλωφωφt Y t Y t N t Y t j G j)1)(exp (exp()1)(exp (exp()1))(exp ((exp()),exp(()(-=-+=-=ωλωλωφλωφj pt q j p t j t t j Y t N m 得到可以看到，进入商店的男顾客人数)(t N m 服从参数为p λ的Poisson 过程。
同理女顾客人数服从参数为q λ的Poisson 过程。
4.6(散弹噪声分析)电真空以及半导体中的噪声有很大一部分来源于“散弹效应”。
单个电子在器件内渡越是会引起微小的窄脉冲电流，设该波形为)(t i 。
而阴极发射的电子数目服从Poisson 分布，大量电子的运动在电路中的总电流强度可以用过滤Poisson 过程进行近似。
⎪⎩⎪⎨⎧∈=-=∑=其他其中,0],0[,2)()()(2)(0a at N k k t t qt i t i t Y τττq 为电子所携带电荷量，a τ为电子在器件内的渡越时间。
由式a tY t d t h t Y E t m τττλ>==⎰设,),())(()(0得a tY s t q d i i t m τλττλ>=-=⎰,,)()(0如果设由式⎰=),min(0),(),(),(s t Y d t s h t h s t C 可知ττλ)(t Y 的协方差函数为⎰--=),min(0)()(),(s t Y d s i t i s t C τττλ整理后得到a a a a a a Y s t s t s t s t q s t C ττττττλ≤-⎪⎩⎪⎨⎧>-⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=||,||,0))((61))((214),(3242所以散弹效应所引起的噪声电流是宽平稳的随机过程。
4.7(发射强度很大时的Gauss 近似)过滤Poisson 过程的性质不仅仅受到滤波器冲击响应h 的影响，和标准Poisson 过程)(t N 的强度λ也有很大关系。
现需要研究当∞→λ时，过滤Poisson 过程)(t Y 的渐进形态，为此首先把)(t Y 归一化。
设令,))(()()),(()(t Y Var t t Y E t m Y Y ==σ)()()()(t t m t Y t Y Y ση-=则)(1))((,0))((t t Var t E ηηη。
==的特征函数满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)()()(exp )()()(t t m t jY t Y Y Y t σωφσωωφη取对数以后得到 )2exp()(2))(lg(12),()(2),()()()()1),()((exp()()())(lg()()())(lg(2)(2)(2022200)()(ωωφωωφλλωττλσωττλσωσωττσωλσωσωφσωωφηηη-→-→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰⎰⎰t t t Y tY Y Y tY Y Y Y t Y Y Y t o d t h t d t h t j t m t j d t h t jt m t jt t m t j也就是说时有所以当所以当单位时间内出现的脉冲个数趋于无穷大时，归一化的过滤Poisson 过程的极限分布为Gauss 分布。
4.8(特烈：Poisson 过程)如果某个更新过程的更新强度为⎩⎨⎧<≥=0,00,)(t t N λλ可以利用更新方程式来计算时间间隔的概率分布，由式τττλλd f t t t f T tN N T )()()()(0⎰--=得))(1()()(t F t F dtdt f T T -==λ立刻得 )exp(1)(t t F λ--=恰好说明分布函数就是指数分布。
4.7.6(周期性)状态i 的周期i d 是集合的最大公约数，即}0:{)(>=n ii i P n T}0:gcd{)(>=n iii P n d 如果,11=d 就状态i 非周期的。
如果1>i d ，则称状态i为周期态。
7.10(两个状态的Markov 链)设离散时间Markov 链的样本空间只有两个状态，这种连接在现实生活中十分常见。
比如天气预报问题，吧晴天和阴天作为(0,1)两种样本状态，可以通过构造Markov 链来研究天气在两种状态之间的统计规律。
两个状态Markov 链的一步转移概率为2*2的随机矩阵，为)11(ββαα--=P 其中。
，]1,0[∈βα要得到n 步转移概率，需要计算。