随机过程及其应用-清华大学

4.1(等待时间的和)设诚恳按照参数λ的Poisson 过程来到公交站，公交车于时刻t 发出，那么在],0[t 时间段内到达的乘客等待时间总和的期望应该如何计算那？

对于某一个乘客而言，假设其到达时间为k t ，那么他等待时间就是

k t t -所以乘客总的等待时间为∑=-=)

(0)()(t N k k t t t S

使用条件期望来处理平均等待))(|)(())((n t N t E E t S E ==

对于某已成了而言，其到达时刻k t 随机],0[t 内均匀分布的随机变量。但在车站上，乘客是先后到达次序排队，所以在n t N =)(的条件下，

n t t t ,...,,21形成了独立均匀分布的顺序统计量。不过就他们的和n

t t ++...1而言，可以那他们看着顺序统计量，也可以把他们看着不排顺序的n 各独立的],0[t 内均匀分布的随机变量，所以

2))((2)2)(())((2

2)())(|)((2

0t t N E t t t N E t E E nt nt nt t E nt n t N t E E n

k k λ=

===-

=-==∑=从而有

4.2(数值记录)设},{N n X n ∈是一独立同分布的非负期望随机变量序列。定义风险率)(t λ如下)

(1)

()(t F t f t -=

λ 这里)()(t F t f 和分别是k X 的概率密度分布和分布函数。定义随机过程

)(t N 如下}),,..,m ax (:{#)(01t X X X X n t N n n n ≤>=-

这里A #表示集合A 中的元素个数。如果把)(t N 中的时间t 看做时间，那么)(t N 是一个非齐次Poisson 过程。事实上，由于k X 彼此独立，所以)(t N 具有独立增量性。很明显0)0(=N ，于是只需要检查一个时间微元内)(t N 的状态。

假定t ∆充分小，在0,...,X X n 中只有n X 在],(t t t ∆+上，因此

1

11-11-11111))

())(()((),...,(]),((),...,],,(()),...,max(],,(())

,...,max(],,(()1)()((--∞

=-∆+∆=≤≤∆+∈=≤≤∆+∈=>∆+∈>∆+∈==-∆+∑n n n n n n n n n n n n t F t o t t f t X t X P t t X P t X t X t t X P X X X t t X P X X X t t X P t N t t N P

所以

)()()(1)()())(())()(()1)()((21

t o t t t F t o t t f x F t o t t f t N t t N P n n ∆+∆=-∆+∆=

∆+∆==-∆+∑∞

=-λ

另一方面，可以证明)()2)()((t o t N t t N P ∆=≥-∆+ 所以)(t N 是非齐次的Poisson 过程，强度)(t λ。

这里所提到的风险率在可靠性研究中有着重要作用。假定某种起见的寿命为随机变量，其概率分布和密度分布为)()(t f t F 和，那么风险率微元)()(t o t t ∆+∆λ表示该器件在]1,0[时间段内为失效的条件下，将会在

],[t t t ∆+内失效的概率。由此可以说明“风险”一次的含义。从而可

知，与指数相应的风险率是常数，而且在所有非负连续随机变量的分布函数中，唯有指数分布相应的风险率为常数。事实上，由

)

ex p(1)(0

)0()),(1()(t t F F t F t F dt

d

λλ--==-=直接解得上式正好指数分布的分布函数。 4.3(Poisson 过程的和与差)两个独立的Poisson 过程的和仍然是Poisson 过程，事实上，设是两个和)()(21t N t N 独立的Poisson 过程，参数分别是21λλ和。则)()(21t N t N +的母函数为

))

1()ex p((),(),()

)(()(),(21)()()()()()(21212121-+====++z t t z G t z G z z E z E t z G N N t N t N t N t N t N t N λλ所以)()(21t N t N +是参数2

1λλ+的Poisson 过程。类似的结论可以拓广到n 个独立的Poisson 过程的和：

如果个是，

n t N t N n )(...,)(1独立的Poisson 过程，参数分别为n λλ...,1，，那么)(...)(1t N t N n ++仍然是Poisson 过程，参数n λλ++...1。

考虑两个独立Poisson 过程差21)(N N t X -=。可以肯定，)(t X 不是Poisson 过程，因为0)0)((>

)

1)(()exp())1)(exp()1)(exp(exp()

()()))((exp()))(((exp())))

()(((exp()(2121)()(2121112

1

-+=--+-=-=-=-=-ωλλωλωλωφωφωωωωφj P t j t j t j j t N j E t N j E t N t N j E j t N t N N N

这里)ex p()ex p()(2

122

11ωλλλωλλλωj j j P -++

+=

所有)(t X 是Poisson 过程，其中Poisson 过程参数n λλ+1，随机变量k Y 服从两点分布：2

122

11)1(,)1(λλλλλλ+=

=+=

=k k Y P Y P

4.4(事件分类)[0,t]内进入商店的顾客服从Poisson 过程，顾客有男有女之分。如果每次进入商店的顾客中，男顾客出现的概率为p ，女顾客出现的概率为q ，1=+q p 那么每次进入想点的男顾客人数)(t N m 有

∑==)

(0)(t N k k

m Y t N 其中，k Y 为取值0,1独立同分布的随机变量，不妨设男顾

客出现时k Y 取1，