2019-2020学年高中数学 2.1.2椭圆及其简单几何性质导学案(3)新人教A版选修1-1.doc
2019-2020学年高中数学 椭圆的几何性质(二)导学案新人教版选修1-1.doc
2019-2020学年高中数学 椭圆的几何性质（二）导学案新人教版选修1-1【问题导学】请阅文科《选修1—1》P 4041-或理科《选修2—1》P 4648- ：1、点P (x 0， y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2 1；（2）点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2 1；（3）点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2 1。
2、直线m kx y +=与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的位置关系判断方法：联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y ax m kx y ，消去y 得到方程02=++C Bx Ax ，则有(1)△ 0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点；(2)△ 0 ⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点；(3)△ 0 ⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．3、（理科）弦长公式：设直线m kx y +=，椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x .直线与椭圆的两个交点为),(),,A 2211y x B y x （， 则2122122212214)()1()()(||x x x x k y y x x AB -+⋅+=-+-=【预习自测】1.点A (a,1)在椭圆22=142x y +的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a < 2 B ．a <－2或a > 2 C ．－2<a <2 D ．－1<a <12．直线240x y +-=与椭圆22=182x y +的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定3．直线1y x =+被椭圆22=142x y +所截得的线段的中点坐标是 ( ) A ．25(,)33 B. 47(,)33 C ．21(,)33- D ．1317(,)22-- 【典例探究】例1、点M(,x y )与定点F(3，0)的距离和它到直线l ：x =253的距离之比是35，求动点M 的轨迹。
高二数学2.1.2椭圆及其简单几何性质导学案(3)新人教A版选修1-1
高中数学 2.1.2
椭圆及其简单几何性质（3）导学案
【自主学习】1、若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为
),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式
子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差
法”。
2、若直线b kx y l :与椭圆相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则
【合作探究】
例1．过椭圆1416
22y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线
的方程。
2、已知椭圆方程为1222y x
与直线方程21
:x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长
【目标检测】
1．过椭圆x2
25＋y2
9＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为_______
2、过椭圆22
24
x y的左焦点作倾斜角为0
30的直线，则弦长 |AB|= _______
3、求以椭圆x2
16
＋
y2
4
＝1内的点M(1,1)为中点的弦所在的直线方程。
4、已知斜率为1的直线l过椭圆
2
21
4
x
y的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．。
2.1.2椭圆的简单几何性质(导学案)
2.1.2椭圆的简单几何性质（导学案）一、课前导读（一）学习目标：1.理解椭圆的简单几何性质①范围②对称性③顶点④离心率；2.掌握ea,,的几何意义及相互关系；,bc3.会通过椭圆的方程求椭圆的范围、对称性、顶点、离心率；4.会通过椭圆的性质求椭圆的标准方程；5.体会用代数方法研究几何问题的思想方法.（二）学法指导：通过几何图形观察，代数方程验证椭圆几何性质的学习过程，体会数形结合的数学思想.（三）学习重点及难点：1.由椭圆的方程求其相关几何性质；2.利用椭圆的性质求椭圆方程.二、学习过程（一）复习案：1.椭圆的定义： .2.椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上时：；（2）焦点在y轴上时：；3.椭圆中,,a b c的关系是 .（二）探究案：[学生活动1]①在稿纸上作出一个椭圆；②类比椭圆标准方程的建立过程，将所作椭圆置于直角坐标系中.探究一：椭圆的对称性[问题1]观察所作椭圆，它具有对称性吗？如果有,是什么？能否用椭圆的标准方程论证其对称性？[结论]从图形上看，椭圆关于，，对称.[论证]在椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中：①把x 换成x -方程不变，说明图像关于 轴对称； ②把y 换成y -方程不变，说明图像关于 轴对称；③把x 换成x -，同时把y 换成y -方程不变，说明关于 对称，因此 是椭圆的对称轴， 是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做 .探究二：椭圆的顶点坐标[问题2]所作椭圆与对称轴有交点吗？若有，有几个交点？从方程如何求出交点？[结论]椭圆与对称轴有 个交点.[求解]由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a by a x 知：交点为：( , ) 、 ( , ) 、 ( , ) 、 ( , ). [定义]线段12A A 叫做椭圆的 ，其长度为 . 线段12B B 叫做椭圆的 ，其长度为 .a b 和分别叫做椭圆的 和 . 探究三：椭圆的范围[问题3]请同学们观察所作椭圆，结合椭圆的对称性和顶点坐标，考察椭圆横纵坐标的取值范围是什么？从方程如何求出椭圆的范围呢？[结论]从图形上看，椭圆上点的横坐标的范围是 ；椭圆上点的纵坐标的范围是 .[求解]由椭圆的标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 知：①222210y x b a =-⇒22ax 1，即 ≤≤x ；②222210x y a b=-⇒22by 1，即 ≤≤y .因此)0(12222>>=+b a by a x 位于直线 和 围成的矩形里.探究四：椭圆的离心率[定义]椭圆与之比称为椭圆离心率，用表示，即 .[意义]刻画椭圆的量.[范围] .[问题4]离心率是如何影响椭圆形状的呢？若e越接近1，椭圆越；若e越接近0，椭圆越接近于 .[学生活动2]度量自己所作椭圆，写出其标准方程、长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标.（三）考点透析案：求椭圆221625400x y+=的长轴长、离心率、焦点和顶点坐标.求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）经过点(3,0),(0,2)P Q--；（2）长轴长等于20，离心率35.三、总结提升（一）知识要点：（二）思想方法：四、检测与反馈1.已知椭圆方程为121222=+y x ，则它的：长轴长： ；短轴是： ； 焦距是： ；离心率： ； 焦点坐标是：_________________________； 顶点坐标是：_________________________.2.已知椭圆长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ，求该椭圆的标准方程.3.已知中心在原点的椭圆的右焦点为(1,0)F ，离心率等于12，求椭圆的标准方程.4.已知椭圆221:1124x y C +=，222:1168x y C +=，比较12C C 、哪个更圆，哪个更扁？并说明理由.5.椭圆的中心在原点，一个顶点是（0，2），离心率 23=e ，求椭圆的标准方程.。
椭圆几何性质导学案
2.1.2椭圆的简单几何性质导学案数学组 弓爱芳学习目标：1.通过图形直观感知椭圆的几何性质2.会用代数方法研究椭圆的几何性质3.理解离心率对椭圆形状的影响学习重点：通过方程探究几何性质学习难点：离心率学习过程：一、复习回顾1. 椭圆的定义？2. 椭圆的标准方程？3. 椭圆中a 、b 、c 的几何意义及其关系？二、性质探究观察椭圆, 你能看出椭圆有哪些几何性质？（一）对称性1）曲线的对称性与点的对称性有什么关系？2）如果曲线关于y 轴对称，那么曲线上的点的对称点在哪里？3）点P （X ，Y ）关于x 轴，y 轴，原点的对称点的坐标是什么？4）椭圆的方程与椭圆有什么关系？5）曲线的方程与方程的曲线什么关系？6）能否从方程角度去判断椭圆的对称性？曲线的对称性？练习1.下列方程所表示的曲线中，关于原点对称的是（ ），关于y 轴对称的是（ ），关于x 轴对称的是（ ）。
C. x 2-4y 2=5x （二）范围1）曲线的范围从代数的角度指的是什么？2）能否根据方程求变量x ，y 的取值范围？y x A 2.2=04.2=+x y B 49.22=+y x D3）根据线性规划知识，该范围表示什么区域？（三）顶点1）椭圆上那些点比较特殊？2）这些点决定了椭圆的什么几何性质？3）这些点坐标如何求？4）过椭圆中心做椭圆的弦，有没有最长的弦，最短的弦？几何意义是什么？ 5）练习2 . 求 的顶点坐标，长轴长短轴长，并画出这个椭圆。
（四）形状1）为什么有的椭圆圆一些，有的扁一些？2）什么量决定着椭圆的形状？3）这个量的大小与椭圆形状有什么关系？练习3.下面两个椭圆哪个更圆，哪个更扁？三、巩固推广1.例1：见课本P40，例42.四、小结提升1. 知识上有什么收获？2. 思想方法上有什么收获？14922=+y x 112161392222=+=+y x y x。
《2.1.2椭圆的几何性质》导学案(新部编)1
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.1.2椭圆的几何性质》导学案【学习目标】1.理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长；2.掌握椭圆的离心率及c b a ,,的几何意义；3.会应用椭圆的简单几何性质解题.【重点难点】椭圆的简单几何性质及其应用 ；椭圆离心率【学习过程】一、问题情景导入1. 我们知道圆222R y x =+有边长为R 2外切正方形，圆上所有的点都在这个正方形的范围内，同样，椭圆12222=+by a x ()0>>b a 也有一个外切矩形，这个矩形的长为a 2，宽为b 2，椭圆上所有的点都在这个矩形的范围之内.2.圆是中心对称图形又是轴对称图形.同样地，椭圆是中心对称图形，又是轴对称图形.3.圆上的各点到圆心的距离相等，而椭圆上的各点到椭圆的中心距离有最大，也有最小.4.有些椭圆很扁平，有些椭圆凸的很接近圆，描述这种“扁”与“凸”的性质时，专门有个几何量，叫椭圆的离心率.二、自学探究：(阅读课本第37-42页，完成下面知识点的梳理)思考：⑴ 椭圆12222=+bx a y ()0>>b a 时，其性质如何？ ⑵椭圆的离心率的范围是什么？为什么？⑶离心率e 的大小与椭圆的扁或圆的关系是怎样的？三、例题演练：例1、求椭圆4x 2+9y 2=36的长长轴和短轴长、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形.例2 在我国某卫星发射基地升空的“探测一号”赤道星，运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，其近地点与地球表面相距555km ，远地点与地球表面相距74051km .已知地球半径约为6371km ，求“探测一号”星运行轨道的近似方程(长短半轴长精确到1km ).例3 有一椭圆形溜冰场，长轴长100m ，短轴长60m .现要在这溜冰场上划定一个顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个矩形区域面积最大，那么应把这个矩形的顶点定在何处？这时矩形的面积是多少？【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.求下列椭圆的焦点坐标：⑴13610022=+y x ；⑵8222=+y x .2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，31,6==e a ； ⑵焦点在y 轴上，53,3==e c .；3.⑴若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为______________.⑵若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为______________. ⑶若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为______________. ⑷若椭圆19822=++y k x 的离心率为21，则： k =_____ ⑸若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e =__________。
高中数学《椭圆的简单几何性质》导学案
2.1.2椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程□01x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)□02y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围□03－a≤x≤a且－b≤y≤b□04－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点□05A(±a,0)，B(0，±b)□06A(0，±a)，B(±b,0)轴长短轴长＝□072b，长轴长＝□082a焦点□09(±c,0)□10(0，±c)焦距|F1F2|＝□112c对称性对称轴□12x轴、y轴，对称中心□13(0,0)离心率e＝□14c a(0<e<1)1．椭圆几何性质的应用(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点；若已知椭圆的标准方程，则根据a，b的值可确定其性质．(2)明确a，b的几何意义，a是长半轴长，b是短半轴长，不要与长轴长、短轴长混淆，由c2＝a2－b2，可得“已知椭圆的两个顶点，求焦点”的几何作图法，只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是焦点．(3)如图所示椭圆中的△OF2B2中，a，b，c，e对应的线段或量为a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝ca＝|OF2||F2B2|＝cos∠OF2B2.(4)若椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则椭圆与x轴的交点A1，A2到焦点F2的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2|＝a－c.2．椭圆的离心率对椭圆形状的影响椭圆的焦距与长轴长的比称作椭圆的离心率，记作e＝2c2a＝ca.∵a>c>0，∴0<e<1.e越接近于1，则c就越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆，当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，这时图形就变为圆，此时方程即为x2＋y2＝a2.3．利用方程研究曲线对称性的方法若把曲线方程中的x换成－x，y换成－y，方程不变，则曲线关于原点对称；若把曲线方程中的y换成－y，方程不变，则曲线关于x轴对称；若把曲线方程中的x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称．4．点P(x0，y0)和椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的关系(1)P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1；(2)P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；(3)P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2>1.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)椭圆x2＋9y2＝36的短轴的端点为________．(2)椭圆x24＋y29＝1的离心率e＝________.(3)设P(m，n)是椭圆x225＋y29＝1上任意一点，则m的取值范围是________．答案(1)(0,2)，(0，－2)(2)53(3)[－5,5]探究1 椭圆的简单几何性质例1 已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >mm ＋3.∴椭圆焦点在x 轴上．∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.拓展提升1.用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出a ，b ，c .(4)写出椭圆的几何性质．2．根据椭圆的几何性质求标准方程此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．【跟踪训练1】 (1)求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；解 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)． (2)求适合下列条件的椭圆的标准方程． ①长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)； ②离心率e ＝35，焦距为12.解 ①若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎨⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.②由e ＝c a ＝35，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6， ∴b 2＝a 2－c 2＝64.当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1；当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为y 2100＋x 264＝1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1. 探究2 椭圆的离心率问题例2 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[解析] 不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0，b )和左焦点(－c,0)，b >0，c >0，则直线l 的方程为bx －cy ＋bc ＝0，由已知得bc b 2＋c 2＝14×2b ，解得b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2a 2＝14，即e 2＝14，所以e ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝－12舍去.故选B.[答案] B[解法探究] 例2有没有其他解法呢？ 解 如图，由题意得在椭圆中，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14×2b ＝12b ，BF ＝a .在Rt △OFB 中，|OF |·|OB |＝|BF |·|OD |，即c ·b ＝a ·12b ，解得c a ＝12，所以椭圆的离心率e ＝12.拓展提升求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca 求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．【跟踪训练2】 (1)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22答案 C解析 设P (m ，n )，PF 1→·PF 2→＝c 2＝(－c －m ，－n )·(c －m ，－n )＝m 2－c 2＋n 2，∴m 2＋n 2＝2c 2,2c 2－m 2＝n 2①，把P (m ，n )代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1得b 2m 2＋a 2n 2＝a 2b 2②，把①代入②得m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≥0，∴a 2b 2≤2a 2c 2，∴b 2≤2c 2，∴a 2≤3c 2，∴e ＝c a ≥33.又m 2＝a 2b 2－2a 2c 2b 2－a 2≤a 2，∴a 2≥2c 2，∴e ＝c a ≤22.综上知此椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.故选C.(2)已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．解 解法一：由已知可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，c 2＝a 2－b 2，F 1(－c,0)，∵PF 1⊥F 1A ， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 1－c 2a 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ， ∵AB ∥PO ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，∴b ＝c ，∴a 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝22.解法二：由解法一知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又△PF 1O ∽△BOA ，∴PF 1BO ＝F 1OOA ，∴b 2a b ＝c a ，即b ＝c ，∴a 2＝2c 2， ∴e ＝c a ＝22.探究3 直线与椭圆的位置关系例3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.[解] (1)由已知，a ＝2b .又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1，解得b 2＝1，所以a 2＝4， 所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0， ① 方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)， 由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，所以M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 的方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－22或C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－22，D ⎝⎛⎭⎪⎫－2，22，所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)，又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2)，所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.拓展提升1.利用设而不求的方法解决直线与椭圆位置关系问题的解题步骤 (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (2)联立直线与椭圆的方程．(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程． (4)利用根与系数的关系设而不求．(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，进而求解． 2．直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．【跟踪训练3】 (1)在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.(2)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(ⅰ)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (ⅱ)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (ⅰ)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52.(ⅱ)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(ⅰ)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .探究4 椭圆的中点弦问题例4 已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．[解] 解法一：如图，易知直线斜率存在，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0，(*) 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是(*)方程的两个根， ∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2.解得k ＝－12，且满足Δ>0. ∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.解法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A ，B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)， 即x ＋2y －4＝0.解法三：设所求直线与椭圆的一交点为A (x ，y )，另一交点为B (4－x,2－y )，∵A ，B 在椭圆上，∴x 2＋4y 2＝16，① (4－x )2＋4(2－y )2＝16.②①－②得x ＋2y －4＝0，则A ，B 在直线x ＋2y －4＝0上，而过A ，B 的直线只有一条，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 拓展提升解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )，则另一交点为B (2x 0－x ，2y 0－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．这三种方法中又以点差法最为常用，点差法中体现的设而不求思想还可以用于解决对称问题，因为这类问题也与弦中点和斜率有关．与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在的直线方程等．这类问题的解决，从不同的角度体现了判别式、根与系数的关系、点差法、椭圆的性质、线段的垂直平分线的性质等知识在直线与椭圆的位置关系中的作用，解法多、方法活．【跟踪训练4】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证法一：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1，①x 228＋y 224＝1，②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)8＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)8(y 1＋y 2)＝－12·x My M .又k OM ＝y M x M，∴k AB ·k OM ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．1.求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法；(2)方程法.2.判断直线与椭圆的位置关系的方法3.求弦长的两种方法(1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式 l ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]求解. 4.两个特殊结论(1)如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a ，称为通径. (2)椭圆上的点到一焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c . 5.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法. (2)点差法. (3)共线法.1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．7,2，357 B ．14,4，357 C ．7,2，57 D ．14,4，－57答案 B解析 先将椭圆方程化为标准形式：x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝35，则2a ＝14,2b ＝4，e ＝c a ＝357.故选B.2．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a < 2 B ．a <－2或a > 2 C ．－2<a <2 D ．－1<a <1 答案 A解析 由已知可得a 24＋12<1，∴a 2<2，即－2<a < 2.3．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.52B.33C.12D.13 答案 B解析 ∵PF 1⊥F 1F 2，F 1F 2＝2c ，∠F 1PF 2＝60°，∴|PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c ，∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴233c ＋433c ＝2a ，得e ＝c a ＝33.4．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13解析 把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13，所以中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.5．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．A 级：基础巩固练一、选择题1．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( ) A ．C 1与C 2顶点相同 B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同 D ．C 1与C 2焦距相等答案 D解析 由两个椭圆的标准方程可知，C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.2．椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( )A.x 22＋y 22＝1B.x 22＋y 2＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.y 24＋x 22＝1答案 C解析 设椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，则由题意得|AF 1|＝|AF 2|＝a ＝2，|F 1F 2|＝22，c ＝b ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 22＝1.3．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33 答案 C解析 把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.4．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|为( )A.32B. 3C.72 D ．4 答案 C解析 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝b 2a ＝12，∴|PF 2|＝4－12＝72.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案 C解析 由MF 1→·MF 2→＝0知MF 1⊥MF 2，∴椭圆上的点均满足∠F 1MF 2<90°，∴只需F 1，F 2与短轴端点形成的角为锐角，所以c <b ⇒c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，解得e ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，22.6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)的位置( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能 答案 A解析 由e ＝12知c a ＝12，a ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2得b ＝3c ，代入ax 2＋bx －c ＝0，得2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0，则x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝74<2.二、填空题7．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为________．答案 x 24＋y 23＝1解析 由题意可知a ＋c ＝3，a －c ＝1，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝3，又焦点在x 轴上，∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.8．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案 6解析 由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，O (0,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和上顶点分别为A 和B ，右焦点为F .若|AF |，|AB |,3|BF |成等比数列，则该椭圆的离心率为________．答案3－52解析 ∵|AF |＝a －c ，|AB |＝a 2＋b 2，3|BF |＝3a ，∴由|AF |·3|BF |＝|AB |2得，a 2＋b 2＝3a (a －c )， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2－3ac ＋a 2＝0，则e 2－3e ＋1＝0，解得e ＝3－52或e ＝3＋52(舍去)．三、解答题10．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝13，又知椭圆上一点M ，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程．解 ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝c a ＝13，∴a ＝3c .∵b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9c 2－c 2＝8c 2. 又∵M (c,4)在椭圆上，∴c 29c 2＋168c 2＝1， 解之得c 2＝94， ∴a 2＝814，b 2＝18， ∴所求椭圆的方程为x 2814＋y 218＝1.B 级：能力提升练1．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程．解 解法一：设椭圆的方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎨⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0.设弦两端点横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2. ∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12， 即a 2＝3b 2.②由①②得a 2＝75，b 2＝25，此时Δ>0. ∴椭圆的方程为x 225＋y 275＝1.解法二：设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线y ＝3x －2与椭圆交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b 2＝1， ①y 22a 2＋x 22b 2＝1.②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)a 2＝－(x 1＋x 2)(x 1－x 2)b 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝a 2(x 1＋x 2)－b 2(y 1＋y 2)＝－a 2(x 1＋x 2)b 2(y 1＋y 2). ∵k AB ＝3，AB 中点为(x 0，y 0)，x 0＝12，y 0＝－12， ∴3＝－a 2b 22×122×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝a 2b 2，即a 2＝3b 2.又a 2－b 2＝(52)2＝50， ∴a 2＝75，b 2＝25， ∴椭圆方程为y 275＋x 225＝1.数学•选修1－12．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. (2)直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c . 所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝a 2－c 2＝32a ＝5 3.。
2019-2020学年高中数学 2.2.2椭圆的简单几何性质(一)导学案 理新人教A版选修2-1.doc
2019-2020学年高中数学 2.2.2椭圆的简单几何性质（一）导学案 理新人教A 版选修2-1一、学习目标：1.会根据椭圆的标准方程确定曲线所在范围；2.会根据椭圆的标准方程求出其顶点坐标；3.会根据曲线方程判断曲线的对称性。
二、重点：椭圆的范围、对称性、顶点.难点：椭圆的范围、对称性、顶点.三、导思探究：1、你知道解析几何研究问题的核心吗？2、阅读课本4443P P -,体会它是如何通过椭圆的标准方程研究其性质的。
3、观察方程12222=+by a x （a>b>0）,对应的椭圆在坐标系下的位置如何？ 能否通过方程来说明？4、椭圆有哪些对称性，如何根据其标准方程分析其对称性？你能知道方程x y 22=对应的曲线有无对称性，请交流。
5、椭圆的顶点是如何定义的，给出椭圆方程如何求其顶点坐标？6、什么是椭圆的长轴、短轴、焦距，这些量与椭圆在坐标系中的位置 有关吗？四、导练展示：1.求椭圆400162522=+y x 的长轴和短轴的长，焦点坐标和顶点坐标。
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）经过点P （-3,0），Q （0，-2）；（2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3。
3.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距 离的最大值为3，求椭圆C 的标准方程。
五、达标训练：1.下列方程表示的曲线中：①022=+y x ； ②022=+y x ； ③1222=+y x ；④02=++y xy x ； ⑤1222=++y xy x ，关于x 轴对称的有关于y 轴对称的有 ；关于原点对称的有 。
2.48P 1，2.六、反思小结：。
椭圆的简单几何性质教案导学案有答案
2. 1.2椭圆的简单几何性质一、预习目标① 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．二 预习内容1．椭圆的定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． 注：①当2a ＝|F1F2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F1F2|时，P 点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b y ax ，其中( > >0，且=2a )(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx ay ，其中a ，b 满足： ．3．椭圆的几何性质(对12222=+b y ax ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ； (4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容课内探究学案一、学习目标1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；2．掌握标准方程中cba,,的几何意义，以及ecba,,,的相互关系，能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法重点：椭圆的几何性质难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质二、学习过程1.回答下列问题;（1（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的y x,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？cba,,的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是怎样的？2.完成下列表格：方程图像a 、b 、c 00>>>>c a b a焦点范围对称性 顶点长、短轴长离心率 3.例题例1．求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
2.1.2椭圆的几何性质(1)导学案
§2.1.2 椭圆的几何性质（1）-------导学案一、学习任务：1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图 二、课前一小题：1.椭圆2211612xy+=上一点P 到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是 ． 2.方程2215xym +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ．三、课堂探究： 【问题】：椭圆的标准方程22221x y ab+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？（1）图形：（2）范围：x ： y ：（3）对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称； （4）顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴是 ，其长为 ；短轴是 ，其长为 ； （5）离心率：刻画椭圆 程度． 椭圆的焦距与长轴长的比ca 称为离心率，记c e a=，且01e <<．【试试】：椭圆221169yx+=的几何性质呢？（1）图形：（2）范围：x ： y ：（3）对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称； （4）顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴是 ，其长为 ；短轴是 ，其长为 ； （5）离心率： c e a== ．反思：ba或c b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？【例题分析】 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．【动手试试】求适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =；⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =；⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．四、课堂检测 1．若椭圆2215xym+=的离心率5e =，则m 的值是（ ）．A ．3B ．3或253 C32．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）． A ．34B ．23C ．12D ．143，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．24 4．已知点P 是椭圆22154xy+=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．6．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？ ⑴22936x y +=与2211612x y += ； ⑵22936xy +=与221610xy+= ．7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(0)P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ；⑶焦距是8，离心率等于0.8．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一课堂导学案
教学资料范本高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一课堂导学案编辑：__________________时间：__________________2.1.2 椭圆的几何性质（一）课堂导学三点剖析一、椭圆的几何性质【例1】已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m＞0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解析：椭圆的方程可化为：=1∵∴m＞即a2=m,b2=,c=由e=∴m=1∴椭圆的标准方程为∴a=1 b=c=∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F1(-，0)，F2(，0)，四个顶点分别为A1(-1，0)A2(1，0)B1(0，-)B(0，).2二、求椭圆的离心率【例2】在R t△ABC中，AB=AC=1.如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为()A. B.-1 C.D.解析：设另一个焦点为C′，则有AC+AC′=2a,BC+BC′=2a,又∵BC=，BC′=1-AC′，∴解得AC′=，a=,∴离心率e=,故选A.答案：A温馨提示本题运用椭圆的定义、离心率公式先列出关于某些特征量的方程组，然后通过解方程求出这些特征量，最后求出离心率的值，这是解圆锥曲线问题的常用方法.三、离心率的应用【例3】已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且c o s∠OFA=,求椭圆的方程.解析：∵椭圆的长轴长是6,c o s∠OFA=,∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点).∴|OF|=c,|AF|=a=3,∴.∴c=2,b2=32-22=5.∴椭圆的方程是温馨提示△OFA是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为b、c,斜边的长为a,∠OFA的余弦值是椭圆的离心率.各个击破类题演练1求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.解：把已知方程化成标准方程：+x2=1,这里a=5,b=1,所以c==2.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=2,两个焦点分别是F1(0，-2)、F2(0，2)，椭圆的四个顶点是A1(0，-5)、A2(0，5)、B1(-1，0)和B2(1，0).变式提升1已知点P(3，6)在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据P点的坐标最多可写出椭圆上几个点的坐标(P点除外)？这几个点的坐标是什么？解：根据椭圆关于两坐标轴对称及P点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标.这三个点的坐标分别是(3，-6)、(-3，-6)、(-3，6).类题演练2设椭圆=1(a＞b＞0)的右焦点为F1，右准线为l1,若过点F1且垂直于x轴的弦长等于点F1到准线l1的距离，则椭圆的离心率是_________.解析：由题意知，过F1且垂直于x轴的弦长为∴∴∴即e=∴应填：变式提升2椭圆(k＞0)具有()A.相同的长轴长B.相同的焦点C.相同的离心率D.相同的顶点解析：=k可化为=1故与=1有相同的离心率答案:C类题演练3已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，又知椭圆上一点M，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的方程.解：∵e=,∴∴可设所求椭圆方程为=1(t＞0),∴c2=9t-8t=t,c=t,M(t,4).∵M在椭圆上，∴∴t=.故所求椭圆的方程是变式提升3若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)、F2(3，0)，则其离心率为() A. B. C. D.解析：由F1，F2的坐标得2c=3-1 ∴c=1∵椭圆过原点a-c=1 a=1+c=2∴e=故选C。
高中数学 2.2.2椭圆的简单几何性质(三)导学案 新人教A版选修2-1
广东省惠州市惠阳一中实验学校高中数学 2.2.2椭圆的简单几何性质（三）导学案 新人教A 版选修2-1【学习目标】1、会求椭圆上的点到直线距离的最大值和最小值。
2、能判断椭圆与直线的位置关系．会求椭圆的弦长。
【学习重点与难点】教学重点：椭圆的弦长的求法。
教学难点：椭圆与直线的位置关系【使用说明与学法指导】1.先回顾2.2.2椭圆的简单几何性质（第1课时）知识梳理部分的内容，然后开始做导学案。
2.回忆一下直线与圆的位置关系以及求圆的弦长的方法预习案 一、问题导学1. 点与椭圆的位置如何判定？2、椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？椭圆的弦长公式是怎样推出来的？二、知识梳理1 、椭圆与直线的位置关系有哪些？怎样判断？2、直线与椭圆相交，得到弦，弦长12l x - ＝ ＝ 。
其中k 为直线的斜率，1122(,),(,)x y x y 是两交点坐标．当弦为焦点弦时，你还有其他方法求弦长吗？三、预习自测1、求直线310250x y +-=与椭圆221254x y +=的交点坐标．2．已知椭圆221259x y +=，直线l ：45400x y -+=。
椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最大？最大距离是多少？探究案一、合作探究例1. k 为何值时，直线2+=kx y 和曲线63222=+y x 有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？例2．经过椭圆2212x y +=的左焦点1F 作倾斜角为60的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．思路小结：一、课堂训练与检测。
2019-2020年苏教版选修1-1高中数学2.2.2《椭圆的几何性质》word导学案1
【学后反思】
课题：2.2.2椭圆的几何性质（1）检测案
班级： 姓名：学号：第学习小组
【课堂曲线中,关于x 轴、y轴都对称的是( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的焦 距、短轴长、长轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是______
标准方程
图 像
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
焦距
a ,b,c关系
离心率
【课堂研 讨】
例1．求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并画出这个椭圆的简 图。
例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(-3,0),Q(0,-2)；
（2）长轴长等于20,离心率等于 ;
（3）若椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的三倍，且椭圆经过点
3.阅读课本第31页至第33页，回答下列 问题：
问题1：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板的F1和F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。若细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，想象椭圆的“扁”的程 度的变化规律。
问题2：填表
轴，直线 交 轴于点 ,若 ，则椭圆的离心率为_____．
13.椭 圆 两个焦点分别为 ， 为椭圆上一点，
的最大值的范围为 ，则 的范围是_____________．
5、若椭圆的的 两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为
6．设椭圆的两个焦点分别为 ,过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，
若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
7.已知椭圆 的短轴长为6，焦点 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆 的离心率为________．
高中数学 2.1.2椭圆及其简单几何性质 精品导学案(3)新人教A版选修1-1
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 2.1.2椭圆及其简单几何性质（3）导学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；2．椭圆与直线的关系．点差法 弦长公式的应用【自主学习】1、若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式 子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
2、若直线b kx y l +=:与椭圆相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则【合作探究】例1．过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
2、已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长【目标检测】1．过椭圆x225＋y29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为_______2、过椭圆 2224x y += 的左焦点作倾斜角为030的直线，则弦长 |AB|= _______3、求以椭圆x 216＋y 24＝1内的点M (1,1)为中点的弦所在的直线方程。
4、已知斜率为1的直线l 过椭圆2214x y +=的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些我没学懂？教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。
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2019-2020学年高中数学 2.1.2椭圆及其简单几何性质导学案（3）
新人教A 版选修1-1
【学习目标】
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；
2．椭圆与直线的关系．点差法 弦长公式的应用
【自主学习】
1、若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式 子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
2、若直线b kx y l +=:与椭圆相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则
【合作探究】
例1．过椭圆14
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2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
2、已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程2
1:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长
【目标检测】
1．过椭圆x225＋y29
＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为_______
2、过椭圆 2224x y += 的左焦点作倾斜角为030的直线，
则弦长 |AB|= _______
3、求以椭圆x 216＋y 24＝1内的点M (1,1)为中点的弦所在的直线方程。
4、已知斜率为1的直线l 过椭圆2
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x y +=的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．
学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些我没学懂？。