浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系
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如果辣nPn
_。l。一，_
一厂飞np(1-p)“
戈一nP
Jnp，一，)
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“np(1-p) j
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”冲。一K二
__{b-np)_{。一，)
‘’{nP(I-P){一’{np(I-p){
泊松定理的证明见文献【1]。由该定理可知，当二项分
布b (n, p)的参数n很大，P很小，而兄二np大小适中时，
去近似二项分布，却会产生较大的误差。直观上也可以想象得
到，p很小，n又不大，则np =几一定不会很大。由定理3
可知，正态分布就不能很好地近似泊松分布，因而也就不能近
似被泊松分布十分逼近的二项分布。
在”充分大，P既不接近于0也不接近于1时(实际上最
好满足0.1 S p S 0.9)，用正态分布去近似二项分布，效果就
时，事件发生的频数的分布。实际表明，在一般情况下，当
p<wenku.baidu.com.1时，这种近似是很好的，甚至n不必很大都可以，这
点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。例
如，当p = 0.01时，甚至”=2时，这种近似程度已经很好
了。表1说明了这一情况，其中np = 0.02。
衰，二项分布与泊松分布的比较
P{a‘戈‘小。
时p最好满足O.15P50.9(参见文献[21). At外，文献[3]
还指出，由于我们是用一个连续分布来近似离散分布，在实际
应用中.为了减少近似误差.常用
这就是二项分布的泊松逼近。当然n应尽可能地大，否则
近似效果往往不佳。
二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件(即每次
试验中事件出现的概率p很小)’，当伯努利试验的次数n很大
特征函数的定义:
109
1
“不石e2}rnpg
(k-v)'
服从或近似服从正态分布，这正是正态分布在理论与实践上都
极其重要的原因。
1_(、一np l
一nP9 wl np-q)
2主要结果
2.1二项分布与泊松分布之间的关系
定理I(泊松定理)在n重伯努利试验中，
验中发生的概率为Pn，它与试验次数有关，
=.A>0，则对任意给定的m，有
定理2就是概率论中著名的棣莫弗一拉普拉斯中心极限定
理，它的证明见文献【27。该定理表明，当n充分大时，二项
分布可用正态分布来近似，即二项分布的正态逼近。例如，
P {Xn·、卜心，‘(1一，)n_‘和P毛a、Xn、b}-
E CRpkqn-kx#。充分大时计算是十分困难的。根据定理:，
nsk<b
由于
戈一nP
服从或近似服从正态分布，这正是正态分布在理论与实践上都
极其重要的原因。
1_(、一np l
一nP9 wl np-q)
2主要结果
2.1二项分布与泊松分布之间的关系
定理I(泊松定理)在n重伯努利试验中，
验中发生的概率为Pn，它与试验次数有关，
=.A>0，则对任意给定的m，有
P夏a‘戈‘b}
(2)
事件A在每次试
衰，二项分布与泊松分布的比较
P{a‘戈‘小。
来代替(2)式。
(b+0.5一，、‘厂。一0.5一，、
{nP(l_p){一(np(l_p){
2.3泊松分布与正态分布之间的关系
由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似，
也可以用正态分布近似。显然，泊松分布和正态分布在一定条
件下也具有近似关系，下面的定理说明泊松分布的正态通近。
较好。
表2是用泊松分布与正态分布去近似二项分布b (n, p)
的比较，其中，二2500，p一0.02，np二50,了而万=
了49=7。可见，在数值上三者是大致相等的。
由定理3易知，泊松分布X一二(刃当A-+树的极限分
布是正态分布N(A, a.)。
为了进一步讨论泊松分布和正态分布的分布函数之间的近
似关系，需要用到随机变量的特征函数的相关知识，首先给出
定理2就是概率论中著名的棣莫弗一拉普拉斯中心极限定
理，它的证明见文献【27。该定理表明，当n充分大时，二项
分布可用正态分布来近似，即二项分布的正态逼近。例如，
P {Xn·、卜心，‘(1一，)n_‘和P毛a、Xn、b}-
E CRpkqn-kx#。充分大时计算是十分困难的。根据定理:，
nsk<b
由于
戈一nP
充分大的n。不过，当p较大或较小时近似效果较差，应用
时p最好满足O.15P50.9(参见文献[21). At外，文献[3]
还指出，由于我们是用一个连续分布来近似离散分布，在实际
应用中.为了减少近似误差.常用
这就是二项分布的泊松逼近。当然n应尽可能地大，否则
近似效果往往不佳。
二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件(即每次
布，记为X一N(u,a2)。
正态分布的概率密度中的两个参数产和a，分别就是该分
布的数学期望和方差。特别地，当,t=O,a2 =1时的正态分
布.称为标准正态分布，记为X一N(0,1)，标准正态分布的
产
密度函数记为(Pkx) -了歹e2r‘，-0o < x <+00·
正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量
来代替(2)式。
(b+0.5一，、‘厂。一0.5一，、
{nP(l_p){一(np(l_p){
2.3泊松分布与正态分布之间的关系
由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似，
也可以用正态分布近似。显然，泊松分布和正态分布在一定条
件下也具有近似关系，下面的定理说明泊松分布的正态通近。
定理3对任意的a<b，有
│2│0. 0001│0. 0002│
└─┴─────────┴───────┘
“一几
万不，”-
18一兄
万
。定理3的证明见文献[1〕。
2.2二项分布和正态分布之间的关系
定理2设随机变里X。一b (n, pX0<p<1, n=1,2,
则对于任意x，有
lim{ Xn -npn-am np(1-p)·丹·Jr瓮-Zdt00 2;r一、
InP(1-P)
近似服从N(0,1)或等价地Xn近似服从
以np,np(1-P))，于是可以近似地用正态分布来计算上述概
率，即P毛Xn=*}=心，‘(1一，)”一‘
如前文所述，二项分布的泊松近似和正态近似各自适用的
条件是不同的。当P很小时，即使n不是很大，用泊松分布近
似二项分布，已经相当吻合。但是在这种倩形下，用正态分布
P夏a‘戈‘b}
(2)
事件A在每次试
如果辣nPn
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一厂飞np(1-p)“
戈一nP
Jnp，一，)
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”冲。一K二
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‘’{nP(I-P){一’{np(I-p){
泊松定理的证明见文献【1]。由该定理可知，当二项分
较好。
表2是用泊松分布与正态分布去近似二项分布b (n, p)
的比较，其中，二2500，p一0.02，np二50,了而万=
了49=7。可见，在数值上三者是大致相等的。
由定理3易知，泊松分布X一二(刃当A-+树的极限分
布是正态分布N(A, a.)。
为了进一步讨论泊松分布和正态分布的分布函数之间的近
似关系，需要用到随机变量的特征函数的相关知识，首先给出
班分布称为二项分布，是因为CApk9"-kt.&为(9+ p)k
二项展开式的各项系数.这种概率模型也被称为伯努利概
型。X服从参数为n, p的二项分布，记为X一b (n, p)。
由二项分布的定义知.随机变量X是n重伯努利试验中事
件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。二项
分布的数学期望和方差分别是EX = np，DX=np(l一月。
布b (n, p)的参数n很大，P很小，而兄二np大小适中时，
实际中n'a100，pS0.1，np<_10时(见文献[21)，二项
分布可用参数为兄=np的泊松分布来近似，即
C pk (1一PT‘二
ak
，.一一几
—匕
k!
只要查一查标准正态分布函数表4o容易得到尸{。‘X<b}
的相当精确的值。原则上(1)式和(2)式适用于任何给定的p和
的随机现象都是服从或近似服从正态分布的。文献【1]指出，
如果一个随机指标受到许多微小的、独立的随机因素的影响，
而其中任何一个因素都不起决定性作用，则可认为该随机指标
[作者简介】于洋(1979-),男，大连人，东北财经大学讲师，硕士学位.研究方向:概率统计、数f经济学。
108
1
“不石e2}rnpg
(k-v)'
k!
k=0,1,2,---，其中A. >0是常数，
则称X服从参数为兄的泊松分布，记为X一‘(刃。
泊松分布的重要性质是它的数学期望和方差都等于参数兄。
1 .3正态分布
设连续型随机变量x的概率密度为:
I(x) _ 1- e
一J27rs
(x一月产
2,5'
-00 < x < +00，其中PIC为
常数，口>0，则称溯及从参数为从口的正态分布或高斯分
特征函数的定义:
109
实际中n'a100，pS0.1，np<_10时(见文献[21)，二项
分布可用参数为兄=np的泊松分布来近似，即
C pk (1一PT‘二
ak
，.一一几
—匕
k!
只要查一查标准正态分布函数表4o容易得到尸{。‘X<b}
的相当精确的值。原则上(1)式和(2)式适用于任何给定的p和
充分大的n。不过，当p较大或较小时近似效果较差，应用
浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系
1预备知识
1.1二项分布
在同一条件下重复做n次独立试验，每次试验只可能有两
种对立的结果:A和A之一，并设在同一次试验中A发生的
概率是P (A) = p，0<p<1，而p(A)=，一，=。。这时，
在n次独立试验中，出现A的总计次数k是一个随机变量.
并且总有
P夏X=k卜心Pk9_k，(k=o，LZ，…，n)
InP(1-P)
近似服从N(0,1)或等价地Xn近似服从
以np,np(1-P))，于是可以近似地用正态分布来计算上述概
率，即P毛Xn=*}=心，‘(1一，)”一‘
如前文所述，二项分布的泊松近似和正态近似各自适用的
条件是不同的。当P很小时，即使n不是很大，用泊松分布近
似二项分布，已经相当吻合。但是在这种倩形下，用正态分布
去近似二项分布，却会产生较大的误差。直观上也可以想象得
到，p很小，n又不大，则np =几一定不会很大。由定理3
可知，正态分布就不能很好地近似泊松分布，因而也就不能近
似被泊松分布十分逼近的二项分布。
在”充分大，P既不接近于0也不接近于1时(实际上最
好满足0.1 S p S 0.9)，用正态分布去近似二项分布，效果就
试验中事件出现的概率p很小)’，当伯努利试验的次数n很大
时，事件发生的频数的分布。实际表明，在一般情况下，当
p<0.1时，这种近似是很好的，甚至n不必很大都可以，这
点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。例
如，当p = 0.01时，甚至”=2时，这种近似程度已经很好
了。表1说明了这一情况，其中np = 0.02。
│2│0. 0001│0. 0002│
└─┴─────────┴───────┘
“一几
万不，”-
18一兄
万
。定理3的证明见文献[1〕。
2.2二项分布和正态分布之间的关系
定理2设随机变里X。一b (n, pX0<p<1, n=1,2,
则对于任意x，有
lim{ Xn -npn-am np(1-p)·丹·Jr瓮-Zdt00 2;r一、
,jk_一4，
飞，几‘1 r0
乙-石-=了万Ja“
a<k<口几;Y‘拍
尸
2去，其中
浊a=
┌─┬─────────┬───────┐
│k│C.I Pk (1一P )"-k│(，)‘e一”Ik!│
├─┼─────────┼───────┤
│0│0. 9801│0. 9802│
│1│0. 0198│0. 0196│
定理3对任意的a<b，有
,jk_一4，
飞，几‘1 r0
乙-石-=了万Ja“
a<k<口几;Y‘拍
尸
2去，其中
浊a=
┌─┬─────────┬───────┐
│k│C.I Pk (1一P )"-k│(，)‘e一”Ik!│
├─┼─────────┼───────┤
│0│0. 9801│0. 9802│
│1│0. 0198│0. 0196│
1.2泊松分布
泊松分布刻画了稀有李件在一段时间内发生次数这一随机
变盘的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数.某公
共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数，宇宙中单位体积内
星球的个数.耕地上单位面积内杂草的数目等。
设随机变量x所有可能取得值为0,1,2,-..，而取各个值的
概率为P{X=月二
兄ke_x
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一厂飞np(1-p)“
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‘’{nP(I-P){一’{np(I-p){
泊松定理的证明见文献【1]。由该定理可知，当二项分
布b (n, p)的参数n很大，P很小，而兄二np大小适中时，
去近似二项分布，却会产生较大的误差。直观上也可以想象得
到，p很小，n又不大，则np =几一定不会很大。由定理3
可知，正态分布就不能很好地近似泊松分布，因而也就不能近
似被泊松分布十分逼近的二项分布。
在”充分大，P既不接近于0也不接近于1时(实际上最
好满足0.1 S p S 0.9)，用正态分布去近似二项分布，效果就
时，事件发生的频数的分布。实际表明，在一般情况下，当
p<wenku.baidu.com.1时，这种近似是很好的，甚至n不必很大都可以，这
点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。例
如，当p = 0.01时，甚至”=2时，这种近似程度已经很好
了。表1说明了这一情况，其中np = 0.02。
衰，二项分布与泊松分布的比较
P{a‘戈‘小。
时p最好满足O.15P50.9(参见文献[21). At外，文献[3]
还指出，由于我们是用一个连续分布来近似离散分布，在实际
应用中.为了减少近似误差.常用
这就是二项分布的泊松逼近。当然n应尽可能地大，否则
近似效果往往不佳。
二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件(即每次
试验中事件出现的概率p很小)’，当伯努利试验的次数n很大
特征函数的定义:
109
1
“不石e2}rnpg
(k-v)'
服从或近似服从正态分布，这正是正态分布在理论与实践上都
极其重要的原因。
1_(、一np l
一nP9 wl np-q)
2主要结果
2.1二项分布与泊松分布之间的关系
定理I(泊松定理)在n重伯努利试验中，
验中发生的概率为Pn，它与试验次数有关，
=.A>0，则对任意给定的m，有
定理2就是概率论中著名的棣莫弗一拉普拉斯中心极限定
理，它的证明见文献【27。该定理表明，当n充分大时，二项
分布可用正态分布来近似，即二项分布的正态逼近。例如，
P {Xn·、卜心，‘(1一，)n_‘和P毛a、Xn、b}-
E CRpkqn-kx#。充分大时计算是十分困难的。根据定理:，
nsk<b
由于
戈一nP
服从或近似服从正态分布，这正是正态分布在理论与实践上都
极其重要的原因。
1_(、一np l
一nP9 wl np-q)
2主要结果
2.1二项分布与泊松分布之间的关系
定理I(泊松定理)在n重伯努利试验中，
验中发生的概率为Pn，它与试验次数有关，
=.A>0，则对任意给定的m，有
P夏a‘戈‘b}
(2)
事件A在每次试
衰，二项分布与泊松分布的比较
P{a‘戈‘小。
来代替(2)式。
(b+0.5一，、‘厂。一0.5一，、
{nP(l_p){一(np(l_p){
2.3泊松分布与正态分布之间的关系
由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似，
也可以用正态分布近似。显然，泊松分布和正态分布在一定条
件下也具有近似关系，下面的定理说明泊松分布的正态通近。
较好。
表2是用泊松分布与正态分布去近似二项分布b (n, p)
的比较，其中，二2500，p一0.02，np二50,了而万=
了49=7。可见，在数值上三者是大致相等的。
由定理3易知，泊松分布X一二(刃当A-+树的极限分
布是正态分布N(A, a.)。
为了进一步讨论泊松分布和正态分布的分布函数之间的近
似关系，需要用到随机变量的特征函数的相关知识，首先给出
定理2就是概率论中著名的棣莫弗一拉普拉斯中心极限定
理，它的证明见文献【27。该定理表明，当n充分大时，二项
分布可用正态分布来近似，即二项分布的正态逼近。例如，
P {Xn·、卜心，‘(1一，)n_‘和P毛a、Xn、b}-
E CRpkqn-kx#。充分大时计算是十分困难的。根据定理:，
nsk<b
由于
戈一nP
充分大的n。不过，当p较大或较小时近似效果较差，应用
时p最好满足O.15P50.9(参见文献[21). At外，文献[3]
还指出，由于我们是用一个连续分布来近似离散分布，在实际
应用中.为了减少近似误差.常用
这就是二项分布的泊松逼近。当然n应尽可能地大，否则
近似效果往往不佳。
二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件(即每次
布，记为X一N(u,a2)。
正态分布的概率密度中的两个参数产和a，分别就是该分
布的数学期望和方差。特别地，当,t=O,a2 =1时的正态分
布.称为标准正态分布，记为X一N(0,1)，标准正态分布的
产
密度函数记为(Pkx) -了歹e2r‘，-0o < x <+00·
正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量
来代替(2)式。
(b+0.5一，、‘厂。一0.5一，、
{nP(l_p){一(np(l_p){
2.3泊松分布与正态分布之间的关系
由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似，
也可以用正态分布近似。显然，泊松分布和正态分布在一定条
件下也具有近似关系，下面的定理说明泊松分布的正态通近。
定理3对任意的a<b，有
│2│0. 0001│0. 0002│
└─┴─────────┴───────┘
“一几
万不，”-
18一兄
万
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2.2二项分布和正态分布之间的关系
定理2设随机变里X。一b (n, pX0<p<1, n=1,2,
则对于任意x，有
lim{ Xn -npn-am np(1-p)·丹·Jr瓮-Zdt00 2;r一、
InP(1-P)
近似服从N(0,1)或等价地Xn近似服从
以np,np(1-P))，于是可以近似地用正态分布来计算上述概
率，即P毛Xn=*}=心，‘(1一，)”一‘
如前文所述，二项分布的泊松近似和正态近似各自适用的
条件是不同的。当P很小时，即使n不是很大，用泊松分布近
似二项分布，已经相当吻合。但是在这种倩形下，用正态分布
P夏a‘戈‘b}
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一厂飞np(1-p)“
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‘’{nP(I-P){一’{np(I-p){
泊松定理的证明见文献【1]。由该定理可知，当二项分
较好。
表2是用泊松分布与正态分布去近似二项分布b (n, p)
的比较，其中，二2500，p一0.02，np二50,了而万=
了49=7。可见，在数值上三者是大致相等的。
由定理3易知，泊松分布X一二(刃当A-+树的极限分
布是正态分布N(A, a.)。
为了进一步讨论泊松分布和正态分布的分布函数之间的近
似关系，需要用到随机变量的特征函数的相关知识，首先给出
班分布称为二项分布，是因为CApk9"-kt.&为(9+ p)k
二项展开式的各项系数.这种概率模型也被称为伯努利概
型。X服从参数为n, p的二项分布，记为X一b (n, p)。
由二项分布的定义知.随机变量X是n重伯努利试验中事
件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。二项
分布的数学期望和方差分别是EX = np，DX=np(l一月。
布b (n, p)的参数n很大，P很小，而兄二np大小适中时，
实际中n'a100，pS0.1，np<_10时(见文献[21)，二项
分布可用参数为兄=np的泊松分布来近似，即
C pk (1一PT‘二
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，.一一几
—匕
k!
只要查一查标准正态分布函数表4o容易得到尸{。‘X<b}
的相当精确的值。原则上(1)式和(2)式适用于任何给定的p和
的随机现象都是服从或近似服从正态分布的。文献【1]指出，
如果一个随机指标受到许多微小的、独立的随机因素的影响，
而其中任何一个因素都不起决定性作用，则可认为该随机指标
[作者简介】于洋(1979-),男，大连人，东北财经大学讲师，硕士学位.研究方向:概率统计、数f经济学。
108
1
“不石e2}rnpg
(k-v)'
k!
k=0,1,2,---，其中A. >0是常数，
则称X服从参数为兄的泊松分布，记为X一‘(刃。
泊松分布的重要性质是它的数学期望和方差都等于参数兄。
1 .3正态分布
设连续型随机变量x的概率密度为:
I(x) _ 1- e
一J27rs
(x一月产
2,5'
-00 < x < +00，其中PIC为
常数，口>0，则称溯及从参数为从口的正态分布或高斯分
特征函数的定义:
109
实际中n'a100，pS0.1，np<_10时(见文献[21)，二项
分布可用参数为兄=np的泊松分布来近似，即
C pk (1一PT‘二
ak
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只要查一查标准正态分布函数表4o容易得到尸{。‘X<b}
的相当精确的值。原则上(1)式和(2)式适用于任何给定的p和
充分大的n。不过，当p较大或较小时近似效果较差，应用
浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系
1预备知识
1.1二项分布
在同一条件下重复做n次独立试验，每次试验只可能有两
种对立的结果:A和A之一，并设在同一次试验中A发生的
概率是P (A) = p，0<p<1，而p(A)=，一，=。。这时，
在n次独立试验中，出现A的总计次数k是一个随机变量.
并且总有
P夏X=k卜心Pk9_k，(k=o，LZ，…，n)
InP(1-P)
近似服从N(0,1)或等价地Xn近似服从
以np,np(1-P))，于是可以近似地用正态分布来计算上述概
率，即P毛Xn=*}=心，‘(1一，)”一‘
如前文所述，二项分布的泊松近似和正态近似各自适用的
条件是不同的。当P很小时，即使n不是很大，用泊松分布近
似二项分布，已经相当吻合。但是在这种倩形下，用正态分布
去近似二项分布，却会产生较大的误差。直观上也可以想象得
到，p很小，n又不大，则np =几一定不会很大。由定理3
可知，正态分布就不能很好地近似泊松分布，因而也就不能近
似被泊松分布十分逼近的二项分布。
在”充分大，P既不接近于0也不接近于1时(实际上最
好满足0.1 S p S 0.9)，用正态分布去近似二项分布，效果就
试验中事件出现的概率p很小)’，当伯努利试验的次数n很大
时，事件发生的频数的分布。实际表明，在一般情况下，当
p<0.1时，这种近似是很好的，甚至n不必很大都可以，这
点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。例
如，当p = 0.01时，甚至”=2时，这种近似程度已经很好
了。表1说明了这一情况，其中np = 0.02。
│2│0. 0001│0. 0002│
└─┴─────────┴───────┘
“一几
万不，”-
18一兄
万
。定理3的证明见文献[1〕。
2.2二项分布和正态分布之间的关系
定理2设随机变里X。一b (n, pX0<p<1, n=1,2,
则对于任意x，有
lim{ Xn -npn-am np(1-p)·丹·Jr瓮-Zdt00 2;r一、
,jk_一4，
飞，几‘1 r0
乙-石-=了万Ja“
a<k<口几;Y‘拍
尸
2去，其中
浊a=
┌─┬─────────┬───────┐
│k│C.I Pk (1一P )"-k│(，)‘e一”Ik!│
├─┼─────────┼───────┤
│0│0. 9801│0. 9802│
│1│0. 0198│0. 0196│
定理3对任意的a<b，有
,jk_一4，
飞，几‘1 r0
乙-石-=了万Ja“
a<k<口几;Y‘拍
尸
2去，其中
浊a=
┌─┬─────────┬───────┐
│k│C.I Pk (1一P )"-k│(，)‘e一”Ik!│
├─┼─────────┼───────┤
│0│0. 9801│0. 9802│
│1│0. 0198│0. 0196│
1.2泊松分布
泊松分布刻画了稀有李件在一段时间内发生次数这一随机
变盘的分布，如电话交换台单位时间内接到的呼唤次数.某公
共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数，宇宙中单位体积内
星球的个数.耕地上单位面积内杂草的数目等。
设随机变量x所有可能取得值为0,1,2,-..，而取各个值的
概率为P{X=月二
兄ke_x