悬链线方程的求解及其应用
系泊系统悬链线方程
系泊系统悬链线方程引言系泊系统是一个用于固定船只或其他浮动物体的装置。
在海洋工程中，悬链线常被用作系泊系统的一部分，用于支撑和固定船只。
了解悬链线方程可以帮助工程师更好地设计和计算系泊系统，以确保船只的安全。
本文将介绍悬链线的概念以及如何推导悬链线的方程。
我将向您解释悬链线的基本原理，并提供一个简单的数学推导，从而得出悬链线的方程。
悬链线的基本原理悬链线是指在自由悬挂的条件下所呈现的线形。
当在自由空间中的两个点之间拉起悬链线时，其形状与悬链线的长度和两个拉力有关。
悬链线形成的原因是张力与重力在平衡状态下相互作用。
在船只的系泊系统中，悬链线呈现出类似于倒钟的形状。
这是因为船只的重力在悬链线上形成一个上向的张力，而风力和浪力则在悬链线上形成一个下向的张力。
这种平衡状态使船只能够固定在一个位置，并抵抗外部的力量。
推导悬链线的方程为了推导悬链线的方程，我们可以使用悬链线微元的分析方法。
假设有一段长度为ds的悬链线，在这段悬链线上的张力为T，重力为dF。
考虑到悬链线的长度非常小，我们可以使用近似的方法进行推导。
首先，我们可以将悬链线微元的受力分解为水平方向和垂直方向的分量。
垂直方向的受力平衡可以表示为：T * cosθ = dF其中，θ表示悬链线微元的倾角。
我们可以将dF表示为悬链线微元的重力分量dm乘以重力加速度g，即dF = dm * g。
然后，我们可以将水平方向的受力平衡表示为：T * sinθ = T * dθ悬链线微元的弧长长度可以表示为：ds = R * dθ其中，R表示悬链线微元与悬链线中心线的距离，也就是悬链线的半径。
将上述方程联立解得：T * cosθ = dm * gT * sinθ = R * dθ我们可以进一步将cosθ与sinθ之间的关系表示为：sinθ = √(1 - cos²θ)将这个关系带入前面的方程，我们可以得到：dm * g = R * dθ * √(1 - cos²θ)对上述方程进行微分运算，并将dm表示为dM/dθ：g * dM/dθ = R * dθ * √(1 - cos²θ)将上述方程进行变量分离和积分运算，得到：∫dθ/√(1 - cos²θ) = ∫g * R / M dM其中，M表示总质量等效值。
悬链线长度计算
悬链线长度计算摘要：1.悬链线长度计算公式及原理2.悬链线长度的应用场景3.悬链线长度在工程实践中的重要性4.如何使用数学方法计算悬链线长度5.实例分析：不同形状的悬链线长度计算6.悬链线长度计算在实际工程中的案例分享7.总结与展望：悬链线长度计算的发展趋势与应用前景正文：悬链线长度计算在工程领域具有很高的实用价值，它可以应用于桥梁、电缆、塔架等各种工程结构的设计与优化。
本文将从悬链线长度的计算公式、应用场景、重要性等方面进行全面阐述，并通过实例分析与案例分享，让大家更好地理解和掌握悬链线长度的计算方法。
一、悬链线长度计算公式及原理悬链线长度计算的核心公式为：L = 2πε / γ，其中L表示悬链线长度，ε为悬链线的曲率半径，γ为悬链线的倾斜角度。
根据这一公式，我们可以计算出不同形状的悬链线长度。
二、悬链线长度的应用场景悬链线长度在工程实践中具有重要意义，它可以用于以下几个方面：1.桥梁结构设计：通过计算悬链线长度，可以确定桥梁的主跨长度，从而保证桥梁的稳定性和安全性。
2.电缆布线设计：在输电线路设计中，悬链线长度的计算有助于优化电缆的布设方式，降低电缆的张力，提高输电效率。
3.塔架结构设计：通过计算悬链线长度，可以确定塔架的结构形式和尺寸，确保塔架在风力等外力作用下的稳定性。
三、悬链线长度在工程实践中的重要性悬链线长度计算在工程实践中具有以下重要性：1.保证结构稳定性：准确计算悬链线长度，有助于工程结构在设计阶段就具备良好的稳定性。
2.优化结构形式：通过计算悬链线长度，可以优化结构形式，降低成本，提高工程效益。
3.提高设计质量：悬链线长度计算有助于发现问题，提前预防潜在安全隐患，提高设计质量。
四、如何使用数学方法计算悬链线长度1.确定悬链线的曲率半径：根据悬链线的形状，通过数学方法计算出曲率半径。
2.确定悬链线的倾斜角度：根据悬链线的形状和受力情况，通过数学方法计算出倾斜角度。
3.代入公式计算：将曲率半径和倾斜角度代入悬链线长度计算公式，得出结果。
浅谈导线悬链线方程近似算法的应用
浅谈导线悬链线方程近似算法的应用随着国家经济快速发展，社会用电量增长迅速，近些年来电网规模日益递增。
以聊城地区为例，截至2012年年底市辖220kV线路长度为768千米，而伴随着新变电站投入运行，仅仅2013年上半年就投运了8条220kV配出线路，线路长度直逼1000千米。
工农业发展、市政建设、人民生活等各个方面对电力供应可靠性的要求越来越高，预防输电线路故障作为线路运行维护中不可避免的一个难点，使得输电线路运行维护单位不得不在线路防外力破坏、雷击、盗窃、防护区危急树木整治等方面投入大量的人力、物力，而人员匮乏、老化、整体文化程度不高的现状在各地供电单位输电部门普遍存在。
研究如何提高输电线路故障定位速度和精度，在减少故障查找人力投入、缩短故障查找时间、使线路尽快恢复供电方面显得越来越重要。
1 导线悬链线方程近似算法的提出背景及应用输电线路发生故障后，变电站继电保护装置及故障录波会给出一个故障点到保护安装处的距离数值。
通常在接到调度通知后，线路运行人员先从线路台账中查看杆塔明细表，利用明细表中杆塔累距或者直接把档距相加的方法来与调度通知的故障距离对比，同时结合故障相别、重合闸情况（判断是瞬时故障还是永久故障），通过距离数值对比来确定发生故障的杆塔号或档号。
考虑到保护装置和故障录波存在的装置误差，我们还要结合运行经验（以往跳闸原因、线路附近施工情况、树木情况、交跨情况等）对得出的故障杆塔号或档号按照扩大10%范围的原则进行一定的修正，然后通知运行人员对确定出的故障范围开展逐基重点巡视。
从确定故障范围的整个过程中，可以看出我们是利用杆塔累距来直接对照调度给出的故障距离，而调度给出的这个故障距离数值其实是保护安装处到实际故障点的导线长度。
大家知道，线路某两基杆塔之间的水平距离（即档距）与导线的实际长度并不一样，对于弧垂较大的导线来说，导线实际长度要远大于档距值。
这种算法会造成线路故障点定位不够准确，因此欲消除该误差，需要引入导线悬链线方程来准确计算杆塔之间的实际导线长度。
悬链线方程数值解法及在ADSS光缆设计中的应用
ｓ 一ｂｚ ｈ 』 （ － ） ａ 口 ｃ
（ ５ ）
上述 各 式 中 ， 为 光 缆 抗 张 元 件 的 杨 氏 模 量 ， ￡ Ｓ
为抗 张元 件 的截 面 积 ， ａ为光 缆 在 （ ， ） 的切 线 与 水 ＸＹ 点
平面夹角。
：
Ｔ（ ）：旦
：
∞ （） ３
Ｍ 、 点 之 间 ， 取 Ｏ 点 为 坐 标 原 点 。 图 中 Ｍ 、 点 的 Ｎ 而 Ｎ
坐 标 分 别 为 Ｎ（ ， ） Ｍ（ ， ｚ 。其 中 ， 一ａ １ 和 ｂｙ） Ｂ＝（ ＋ｂ ａ ）
为 跨 距 ， ：（ 一 １ 为 高 差 ， Ａ ２ ） Ｆ为 弧 垂 。 悬 链 线 方 程 为 ２ ｆ ＝ Ｄｃ ＾ 一 Ｄ
（） ２ （ ）光 缆 应 力 、 变 ２ 应
１ 数 学 模 型 …
由于 Ａ Ｓ跨 距 较 大 ， 以 可 近 似 地 认 为 是 安 全 ＤＳ 所 的柔 索 。ＡＤ Ｓ敷 设 在 铁 塔 上 而 承 受 张 力 时 ， 数 学 Ｓ 其 模 型 可用悬 链 线 加 以描 述 ， 图 １所 示 。 光 缆 敷 设 在 如
作 者 简介 ：郭 致 星 （ ９ ６一） 男 ， 东 临 邑人 ， 士 ， 师 ， １７ ， 山 硕 讲 主
要 从 事 电 力 系统 特 种 光 缆 应 用 的研 究 。
（ ）ａ 与 ｂ的 计 算 ５
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
维普资讯
２０ ０ ２年 第 １ 期 １
电 力
光 缆 比载 。
适 用 Ａ Ｓ光 缆来 进 行通 信 传输 。随着 电力 系统 主干 ＤＳ
网 络 的 建 设 ， ＤＳ Ａ Ｓ光 缆 的 市 场 需 求 量 正 呈 逐 渐 增 大 的 趋 势 。ＡＤ Ｓ光 缆 具 有 以 下 特 点 ： Ｓ １ ）ＡＤ Ｓ光 缆 为 全 介 质 结 构 ， 工 时 一 般 不 需 要 Ｓ 施 停 电； ２ ）具 有 良好 的 温 度 、 境 特 性 ， 合 于 架 空 环 境 ； 环 适 ３ ）具 有 较 高 的 模 量 、 良好 的 应 力 、 变 特 性 ， 量 应 重 轻 、 杆 塔 影 响小 ； 对 ４ ）线 路 成 本 低 、 工 方 便 。 施 本 文 主 要 分 析 在 Ａ Ｓ光 缆 敷 设 时 涉 及 的 架 空 悬 ＤＳ
悬链线方程的求解及其应用
= 5. 70 kN 式中 f ——阻力系数, 取 0. 18
8 ——船体浸水面积, 1 500 m 2 v ——水流速度, 取 v = 1. 5 m s 波浪漂流阻力:
R 3=
3 4
k
ΘgB
(
1 4
H
1
3) 2co s0°× 10-
2 kN
= 0. 75 × 0. 7 × 104. 61 × 9. 8 × 15. 8
解: 通过程序进行计算, 并将计算过程汇总于表 3:
(3) 已知该浮船坞某锚链的挂链力 T = 1 623. 5 kN , 若要求沉石不产生上拔力, 求该链抛锚距离 x 的最小值。
19 © 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
1 000
27 560
14 330
2
990
26 006
13 530
3
980
24 539
12 770
悬链长 L (m )
27 733 26 179 24 711
悬链重 G (t)
1 433 1 353 1 277
Β角 (°)
89164 89162 89159
是否满足 y= h
不满足 不满足
160. 76
选取锚重:
G = R 5= 8 963 5= 1 793 kg (取锚的抓重为 5;
实取 2 000 kg 斯贝克锚 2 只为首锚, 备用锚一只)
选取锚机: 5 46～ 48 电动锚机。
9. 554 9. 553 9. 553
46. 83 46. 82 46. 82
悬链线的实际解法 -回复
悬链线的实际解法-回复悬链线，也被称为悬臂悬链线，是指在一个绳子或链条的一端固定，另一端悬挂物体的情况下，求解该绳子或链条的形状和张力分布。
悬链线的实际解法，以悬链线的特性、方程的建立和解方程的方法为主题。
本文将一步一步回答有关悬链线的实际解法，并对解法进行详细的解释。
第一步：了解悬链线的特性悬链线的特点是其形状和张力分布在重力作用下达到平衡状态。
这意味着在整个线的长度上，每一点的受力都满足力的平衡方程。
在任何一段绳子或链条上，张力的大小和方向都是连续变化的。
第二步：建立悬链线的方程悬链线的形状可以通过建立方程来描述。
首先，我们假设悬链线的形状为一个函数y(x)，其中x表示线的长度，y表示线的高度。
我们可以使用一些基本的物理原理，如受力平衡和力的投影等，来推导出悬链线的方程。
考虑悬链线上一小段dx的任意一点P，其坐标为(x,y)。
根据受力平衡，我们可以得到以下方程：1. 排除重力的作用下，绳子在x方向上的受力为零，即-T * sinα+ T * sin α+ T * dy/dx * cosα= 0。
2. 在y方向上，绳子的受力等于该点的重力，即-T * cosα+ T * cosα+ T * dy/dx * sinα= -dmg。
α表示绳子在该点的倾角，m表示单位长度的绳子或链条质量，g表示重力加速度。
根据三角函数的定义，我们有sinα= dy/ds，cosα= dx/ds，其中ds 表示线元的长度。
结合上面的方程，我们可以得到以下方程：-T * dy/ds * dx/ds + T * dy/ds * dx/ds + T * dy/ds * dy/dx = -dmg。
第三步：解方程现在我们可以解上述的方程，以得到悬链线的形状和张力分布。
为简化计算，我们可以将方程重新组织如下：-T * dx = -dy/ds * T * dx * sinα- dy/ds * T * dx * sinα- dy/dx * T * dy/ds * dx * sinα+ mg * ds。
悬链线长度计算
悬链线长度计算
（原创版）
目录
1.悬链线的定义与性质
2.悬链线计算公式
3.悬链线长度计算的实际应用
正文
一、悬链线的定义与性质
悬链线，又称为悬链曲线，是一种在数学和物理学中常见的曲线。
它是由两个固定的点以及一个沿着这两点连线方向作简谐振动的质点所形成的轨迹。
悬链线具有以下几个性质：
1.悬链线是一种特殊的正弦曲线，其方程可以用三角函数表示。
2.悬链线上的任意一点都在其相邻两点的连线上，且与这两点的距离之和为常数。
3.悬链线在数学和物理学中有广泛的应用，如在机械工程中，可用于计算悬链的长度。
二、悬链线计算公式
悬链线的计算公式较为复杂，一般通过微积分方法求解。
在悬链线长度计算中，通常采用以下公式：
L = 2π * sqrt((T/2π)^2 + (h/2)^2)
其中，L 表示悬链线的长度，T 表示振动周期，h 表示振动幅度。
三、悬链线长度计算的实际应用
悬链线长度计算在实际应用中有很多场景，下面以机械工程中的悬链线长度计算为例进行说明。
假设某机械设备上的悬链长度需要满足一定的运动范围要求，我们可以根据振动周期和振动幅度计算出悬链线的长度。
具体操作步骤如下：
1.根据机械设备的实际工作需求，确定振动周期和振动幅度。
2.利用悬链线长度计算公式，计算出悬链线的长度。
3.根据计算结果，设计出满足运动范围要求的悬链线。
通过以上步骤，我们可以确保悬链线在机械设备运行过程中能够满足其功能需求。
总之，悬链线长度计算在理论研究和实际应用中都具有重要意义。
悬链线原理的应用
悬链线原理的应用悬链线原理（也称为悬链方程）是描述和分析悬链线的力学性质的一种数学模型。
悬链线实际上是由自身重力以及外界施加的拉力所支持的弯曲形状。
悬链线原理的应用广泛，涵盖了各个领域。
下面将详细介绍悬链线原理及其应用于建筑、桥梁、航空航天和机械设计等领域。
首先，悬链线原理在建筑设计中有着重要的应用。
例如，在建造大跨度的拱壳结构或者悬链线构型的穹顶时，悬链线原理可以用来计算和预测结构的受力情况和变形。
通过悬链线原理，可以确定合适的材料和结构形状，以及支撑结构所需的支撑点和支撑力。
悬链线原理还可以帮助设计师优化结构，使其能够承受最大的荷载并保持平衡稳定。
其次，悬链线原理在桥梁设计中也有着重要的应用。
对于悬索桥、斜拉桥和悬臂桥等大跨度桥梁，悬链线原理可以用来计算和设计桥梁的弯曲曲线和拱度。
通过悬链线原理，可以确定合适的悬索或拉索的材料和长度，以及塔楼或桥墩所承受的压力和受力分配。
悬链线原理还可以通过调整悬索或拉索的张力和桥墩的高度来优化桥梁的结构和性能。
此外，悬链线原理在航空航天领域也有着重要的应用。
例如，在设计飞机的悬挂布局和燃油传输系统时，悬链线原理可以用来计算和预测悬挂布局的稳定性和平衡性。
通过悬链线原理，可以确定合适的悬挂点和连接件的位置和材料，以及悬挂物体所承受的各种荷载和风压力。
悬链线原理还可以帮助设计师优化悬挂布局，使其能够实现最佳的飞行性能和稳定性。
最后，悬链线原理在机械设计中也有着广泛的应用。
在设计和分析各种工程机械、输送设备和起重装置时，悬链线原理可以用来计算和预测机械部件的受力和变形。
通过悬链线原理，可以确定合适的机械部件的材料和尺寸，以及各种外界荷载和内部张力的分布。
悬链线原理还可以帮助设计师优化机械部件的结构和性能，使其能够满足各种工作条件和要求。
总之，悬链线原理是一种重要的力学原理，广泛应用于建筑、桥梁、航空航天和机械设计等领域。
通过应用悬链线原理，可以预测和计算结构的受力和变形，从而指导设计和优化各种工程和机械系统。
悬链线方程课件ppt
【属于4-1】对于实腹拱
g 调整前拱轴系数: m
j
g
d
调整后拱轴系数:
g'
m g '
j '
d
gx –假载,一层均布荷载
'
g g g
m g g g '
j '
j
x
d
d
x
gx得符号当m’>m时为负;m’<m时为正
【属于4-1】对空腹拱
◎调整拱轴系数,使拱跨1/4点得拱轴线坐标y 1/4改变; ◎假载gx可用下式求:
4-5 主拱施工验算
保证施工中主拱得强度满足要求、稳定性可靠,防止倾 覆;合理确定施工加载程序,拱圈吊运过程构件内力, 各种临时措施,如吊点得位置,拱圈分段位置、辅助索 内力。
◎无支架施工得大、中跨径拱桥,需验算拱得纵、横向稳定 性;
3-2-1、 纵向稳定性
◎将拱圈换算为相当长度得压杆,按平均轴向力计算; 验算公式:
◎当主拱得长细比大于规范规定得数值时,按临界力控
制稳定;
临界平均轴向力
K1
NL Nj
4
~
5
N R A
b
/
荷载效应计算的平均轴向力
j
am
3-2-2、横向稳定性
2)整体浇筑,一般地区相当于降 低20℃,干燥地区30℃;分段 浇筑10~15℃;装配结构5～ 10℃;
3)考虑混凝土徐变影响,计算收 缩内力可采用0、45得 折减 系数;
2-6 拱脚变位引起得附加内力
1)拱脚相对水平位移 2)拱脚相对垂直位移 3)拱脚相对转角
三、主拱得强度及稳定性验算
*根据最不利情况得荷载内力组合,验算控制截面得强度及 拱得稳定性;
悬链线方程的推导过程
悬链线方程的推导过程悬链线是一种曲线，其形状类似于悬链。
悬链线最早由德国数学家焦若贝利在1725年所提出，也被称为Catenary（猫enary）曲线。
这条曲线具有许多独特的性质和应用领域，因此悬链线的推导过程也非常有趣。
悬链线的推导涉及到一些微积分和几何的知识。
在这里，我将尽量简明扼要地介绍悬链线方程的推导过程。
第一步：设定问题和坐标系我们假设有一根不可伸长、重力平均作用于其上的悬链线。
我们希望找到这条悬链线的方程。
为此，我们首先将悬链线放在一个笛卡尔坐标系中。
设悬链线的轴线为x轴，y轴垂直于轴线。
第二步：表示悬链线的参数方程为了表示悬链线，我们引入参数t，表示悬链线上任意一点的位置。
我们假设悬链线的最低点为原点O(0, 0)，则悬链线的参数方程可以表示为：x = at， y = bch(a)，其中a和b是任意的正数，c是一个常数，表示悬链线的形状。
第三步：应用欧拉－积分方程为了求解悬链线的参数方程，我们需要应用欧拉－积分方程。
欧拉－积分方程是描述弹性形体的自平衡状态的一个重要方程。
我们令L表示悬链线的弧长，则有：L = ∫√(1 + (dy/dx)²)dx将悬链线的参数方程带入上式，可以得到：L = ∫√(1 + (a² + b²ch²(a)²)dt第四步：求解悬链线弧长的积分通过对上式中的积分进行变量替换和一些微积分的技巧可以求得L的积分形式。
最终我们得到：L = ∫csch(a)da，其中csch(a)是双曲正弦函数的倒数，定义为csch(a) = 1/sinh(a) = (2e^a)/(e^2a - 1)第五步：应用数值积分方法由于上述积分无法通过标准的解析方法求解，我们可以应用数值积分方法来计算L。
一种常用的数值积分方法是龙格－库塔法则，它可以在较高精度下计算复杂的积分。
第六步：求解悬链线方程通过数值积分得到L后，我们可以尝试通过方程L=c来求解a。
悬链线一般方程
悬链线一般方程悬链线是一种特殊的曲线，它的形状像一条被吊起的链子。
如果你在两个固定的点之间悬挂一根均质无弹力的链子，那么它所形成的曲线就是悬链线。
为了方便研究，我们通常把链子的质量看成无限小，而且只考虑在两个挂点处的张力作用。
下面我将为你介绍悬链线的方程和一些应用。
一、悬链线的方程悬链线的方程有多种推导方法，其中最常见的方法是利用牛顿-莱布尼茨公式和能量守恒定律。
经过推导，我们可以得到悬链线的一般方程如下：y = a * cosh(x/a)其中，y代表链子所在的位置的高度，x代表链子的长度，a则是一个常数，它与链子的张力、重力和挂点的距离有关。
二、悬链线的性质悬链线有一些特殊的性质：1. 它是对称的：悬链线在对称轴处呈现出对称性，即左右两侧的曲线完全相同。
2. 它是单峰的：悬链线的几何形状是单峰的，即它在中心位置最高，在两端位置最低。
3. 它是无穷光滑的：悬链线是无穷光滑的曲线，它不断变化，凸度不断改变。
三、悬链线的应用悬链线不仅仅是一个美妙的几何曲线，它还有一些重要的应用：1. 悬链桥的设计：悬链线的特殊性质使得它成为设计悬链桥的理想曲线。
悬链桥的主要结构是悬链线和桥塔，它可以承载大量的荷载和扭矩。
2. 物理学问题的解决：悬链线被广泛应用于物理学的许多问题中，如质点沿着悬链线的运动问题、悬链线的频率问题等等。
3. 工程结构的应用：悬链线的应用不仅限于桥梁和物理学问题，它还可以应用于建筑结构、电力电线杆、运动设备等领域中。
总之，悬链线是一条美妙的曲线，具有独特的性质和广泛的应用价值。
通过对悬链线的深入研究，我们可以更好地理解物理学问题，设计出更加牢固、高效的工程结构，创造出更加美好的未来。
一般状态下悬链线方程的应用_王丹
文章编号 1671-7953(2007)03-0026-03一般状态下悬链线方程的应用王 丹 刘家新武汉理工大学交通学院 武汉 430063摘 要 建立悬链线方程,分析悬链受力及方程的解法,结合实例运用悬链线方程计算锚链参数,完成工程船在具体海况下的锚泊设备选型。
关键词 悬链线方程 锚泊设备 工程船舶中图分类号 U 662 文献标识码 AApplication of the catenary curve 's equation in common conditionWANG D an LIU Jia -xinScho ol o f T r anspor tatio n W uhan U niver sity of T echnolog y W uhan 430063A bstract T his paper deduces the catenary cur ve 's equation in common conditio n ,discusses about the loading in the catenary cur ve.W ith an e xample ,the autho rs analy ze a pplica tion of the catena ry curv e 's equa -tion in reality which helps to cho ose the suitable a nchor equipments on eng ineering shipKey words equatio n o f catenar y curve anchor equipment eng ineering ship收稿日期 2006-09-20修回日期 2006-10-30作者简介 王 丹(1980-),女,硕士生。
工程船舶在海上定位时既要考虑风、浪、流载荷的影响,还要充分考虑施工区域的水深、周围环境及障碍物的影响。
悬链线的实际解法
悬链线的实际解法
悬链线是一种在两点之间的弯曲非直线路径，其形状由引力和张力共同作用的结果决定。
悬链线问题涉及到通过悬链线的自然形状来确定张力分布、曲线的形状等。
在实际工程中，解决悬链线问题通常需要使用微积分和静力学的原理。
以下是悬链线问题的实际解法步骤：
1. 建立力学模型：首先，你需要建立一个力学模型，考虑到重力和张力。
在悬链线问题中，张力始终沿着切线的方向作用于曲线上的点。
2. 使用微积分：通过微积分，你可以得到悬链线的微分方程。
这个方程描述了悬链线上各点处的曲率和张力之间的关系。
3. 解微分方程：求解微分方程，以获得悬链线的实际形状。
这可能需要使用数值方法或一些特殊的函数，具体取决于微分方程的复杂性。
4. 考虑边界条件：在解微分方程时，需要考虑边界条件，例如悬链线的两个端点的高度或位置。
5. 验证结果：解出的悬链线方程应该满足初始的边界条件，并且在整个曲线上保持平衡。
验证结果是否符合物理现象和力学规律。
请注意，悬链线问题可能会有不同的变体，例如考虑空气阻力、材料弯曲刚度等因素。
解决这些变体可能需要更复杂的模型和方法。
如果你有具体的悬链线问题或者更详细的背景信息，可以提供更多的细节，以便我能够提供更具体的帮助。
悬链线
悬链线科技名词定义中文名称：悬链线英文名称：catenary定义：两端悬挂的理想柔性软索的曲线。
工程计算中，可近似用抛物线计算。
应用学科：电力（一级学科）；输电线路（二级学科）以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布目录悬链线等高悬链线数学表达式的证明工程中的应用悬链线悬链线(Catenary) 是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。
适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其公式为：y = a*cosh(x/a) 其中a 是一个常数。
等高悬链线数学表达式的证明注释如右图，设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则B受一个斜向上的拉力T，设T 和水平方向夹角为θ，绳子的质量为m,受力分析有：Tsinθ=mg；Tcosθ=H，tanθ=dy/dx=mg/H，mg=ρs，，其中s是右段AB 绳子的长度，ρ是绳子线重量密度，代入得微分方程dy/dx=ρs/H;利用弧长公式ds=√(1+dy^2/dx^2)*dx;所以s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx; 所以把s 带入微分方程得dy/dx=ρ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H;.....(1) 对于(1)设p=dy/dx微分处理得p'=ρ/H*√(1+p^2)......(2) p'=dp/dx; 对（2）分离常量求积分∫dp/√(1+p^2)=∫ρ/H*dx 得ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H+C，即asinhp（反双曲正弦）=ρx/H+C 当x=0时，dy/dx=p=0；带入得C=0；整理得asinhp=ρx/H 另祥解：（ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H）；p=sh(ρx/H) （1+p^2=e^(2ρx/H)-2pe^(ρx/H)+p^2）；(p=[e^(ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx)；y=ch (ρx/H)* H / ρ（y=H/(2ρ)*[e^(ρx/H)+e^(-ρx/H)] ）；令a=H/ρ：y=a*cosh (x/a) (y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2)= a*cosh(x/a))。
悬链线方程在FPSO锚系相关计算中的应用
１７ １
将 Ａ 曲线所 对应 的悬 链线 曲线放 在一 个新 的坐 标 系 ０ ’ ，设 Ｄ 与 Ａ Ｂ 中 Ｂ是 同质 的 两端锚 链 ，
且 由他们组 成 的悬 链线 与水平 线相 切 的点 ０’ 为新坐 标 系的原 点 ， 点 的水 平 张力为 ，单位 为 Ｎ， 即 ０’
全施 工 的 目的。
众所 周知 ，锚 系在 水 中的重 量完 全 由单点 浮简承 载 。在南海 Ｆ Ｓ Ｐ Ｏ锚 系 中， 由于水 深较 深 ，从 水 面到海 底 的锚 系较长 。为 了减小 锚系在 浮 筒上 的载荷 ，通 常会 使用单 位长 度质 量较 小的锚 缆作 为锚 系 的主要 组 成部分 ，而在接 近 海底 的部 分则使 用单 位长 度质 量较 大 的锚链 ，用 以加强锚 系对 单点 位置 的
如 图 ４所 示。 （ ， ｚ ｚ ）
▲， Ｊ ’
图 ４ 新坐标 系中锚 系曲线
在 新坐标 系 中，令悬 链系 数为 ｎ ，那 么 ，ＡＢ段 悬 链线所 对应 的方 程为 ２
） 。 ｃｈ 一） ， 。 １ （ｓ ＝
Ａ Ｂ间 曲线 的长度 为
Ｌ 日 ＝ ｎ ｓｎ － ｔ Ｓｎ ｉｈ ｌ ｉｈ ２
收稿 日期：２ １．２ Ｉ ；修改稿收稿 日期： １—６１ ０ １ ．４ ０ １ ．７ ０
ｌ６ ｌ
中
国
造
船
学术论文
锚 链 和上段 锚 缆所对 应 的悬链线 方 程 ，并对 锚系 上各 点 的坐 标位 置和 张 力情况 进行 了分 析 。
１ ＦＳ Ｐ Ｏ锚 系悬 链 线 方 程
Ａ Ｂ曲线也是某条悬链线的一部分［，然而 由于锚缆 Ｏ ２ Ｊ 和锚链 Ａ 的单位长度质量不同， Ｂ 曲 Ｂ Ａ
悬链线方程——数学史上的难题之一，伽利略没能求出，难在哪里？
悬链线方程——数学史上的难题之一，伽利略没能求出，难在哪里？一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，并只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线。
1690年，荷兰物理学家、数学家、天文学家、发明家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在给德国著名博学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）的一封信中创造了这个名字。
悬链线与抛物线相似。
意大利伟大的天文学家、物理学家和工程师伽利略是第一个研究悬链线的人，并错误地将其形状认定为抛物线。
1691年，莱布尼茨、惠根斯和瑞士数学家约翰·伯努利分别得出了正确的形状。
他们都是为了响应瑞士数学家雅各布·伯努利（约翰的哥哥）提出的一项挑战，即得到“悬链线”方程。
•图1：从左到右分别是雅各布·伯努利，戈特弗里德·莱布尼茨，克里斯蒂安·惠更斯和约翰·伯努利莱布尼茨和惠更斯发给雅各布·伯努利的图如下所示。
他们发表在《博学学报》上，这是欧洲德语国家的第一份科学期刊。
•图1：莱布尼茨和惠更斯提交给雅各布·伯努利的答案。
约翰·伯努利很高兴，他成功地解决了他哥哥雅各布没能解决的问题。
27年后，他在一封信中写道：我哥哥的努力没有成功。
就我而言，我更幸运，因为我发现了这个问题的答案。
对于我当时的年龄和经验来说，这是一个巨大的成就。
……我满心欢喜地跑到哥哥那里，他一直在苦苦地与这个难题作斗争，却没有任何进展，总是像伽利略一样认为这个链线是一个抛物线。
我对他说，不要再折磨自己了，不要再试图用抛物线来寻求悬链的方程了，因为那是完全错误的。
——约翰·伯努利求悬链线方程为求悬链线方程，作以下假设：•悬链悬挂在两点之间，靠自身重量悬挂。
•悬链是灵活的，有一个统一的线性重量密度（等于w_0）。
为了简化代数上的繁琐，我们让y轴通过曲线的最小值。
悬链线方程
通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相对较长，因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定：（1）导线为理想的柔索。
因此，导线只承受轴向张力（或拉力），任意一点的弯矩为零。
这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。
（2）作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布。
一、悬链线方程及曲线弧长1.悬链线方程为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。
实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。
由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。
如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。
图2-5导线悬链线及坐标系同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。
根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。
我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。
首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D点承受拉力为T x=σx S，它与导线曲线相切，与x轴夹角为α；O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x，其中L x为OD段导线的弧长。
将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示，图2-6导线受力情况由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。
或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。
垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。
悬链式方程
悬链式方程
摘要：
一、悬链式方程的定义与背景
1.悬链式方程的概念
2.悬链式方程的来源和发展
二、悬链式方程的数学模型
1.悬链式方程的一般形式
2.悬链式方程的物理意义
三、悬链式方程的求解方法
1.分离变量法
2.矩方法
3.数值解法
四、悬链式方程在工程中的应用
1.桥梁工程
2.输电塔工程
3.其他工程领域
正文：
悬链式方程是一种描述绳索、链条、电线等受力平衡问题的数学方程。
它的名字来源于悬链这个形象的概念，就像悬在空中的链条一样。
悬链式方程广泛应用于桥梁工程、输电塔工程等领域，对于分析和预测这些工程结构的安全性能具有重要意义。
悬链式方程的数学模型一般形式为：
u/t = cu/x
其中，u 表示绳索或链条的位移，t 表示时间，x 表示绳索或链条的长度，c 表示绳索或链条的传播速度。
悬链式方程的求解方法有分离变量法、矩方法、数值解法等。
其中，分离变量法是一种较为直观且易于实现的求解方法，但仅适用于一维问题。
矩方法则可以解决多维问题，但计算过程较为复杂。
数值解法则可以处理更复杂的问题，但精度受到数值方法的选取和计算步长的限制。
悬链式方程在工程中的应用十分广泛。
在桥梁工程中，悬链式方程可以用于分析桥梁的挠度、位移等受力性能，为桥梁设计提供理论依据。
在输电塔工程中，悬链式方程可以用于分析输电塔的挠曲变形和风振响应，以确保输电塔的安全稳定。
悬链线方程
通常任何材料包括导线在内,都具有一定得刚性,但由于悬挂在杆塔上得一档导线相对较长,因此导线材料得刚性对其几何形状得影响很小,故在计算中假定:ﻫ(１)导线为理想得柔索。
因此,导线只承受轴向张力(或拉力),任意一点得弯矩为ﻫ零。
这样导线力学计算可应用理论力学中得柔索理论进行计算。
ﻫ(2)作用在导线上得荷载均指同一方向,且沿导线均匀分布。
一、悬链线方程及曲线弧长1。
悬链线方程为了分析方便,我们先从悬挂点等高,即相邻杆塔导线悬挂点无高差得情况讨论导线得应力及几何关系。
实际上,导线悬在空中得曲线形态,从数学角度用什么方程来描述就是进行导线力学分析得前题、由于假定视导线为柔索,则可按照理论力学中得悬链线关系来进行分析,即将导线架设在空中得几何形态视为悬链形态,而由此导出得方程式为悬链线方程。
如图2－5所示,给出了悬挂于A、B两点间得一档导线,假定为悬挂点等高得孤立档,设以导线得最低点Ｏ点为原点建立直角坐标系。
ﻫ图２—5导线悬链线及坐标系同时假定导线固定在导线所在得平面,可随导线一起摆动,显然这就是一个平面力系。
根据这个坐标进行导线得受力分析,可建立导线得悬链线方程、ﻫ我们先从局部受力分析开始,再找出其一般规律、首先在导线上任取一点D(x,y),然后分析ＯD段导线得受力关系,由图2—5所示,此OD段导线受三个力而保持平衡,其中D点承受拉力为T x=σｘS,它与导线曲线相切,与x轴夹角为α; O点承受拉力为Ｔ０=σ0Ｓ,T0为导线O点得切线方向,恰与x轴平行,故又称水平张力;此外还有OD段导线自身得荷载为G＝gSL x, 其中L x为OＤ段导线得弧长。
ﻫ将OD段导线得受力关系画为一个三角形表示,如图2－6所示,ﻫﻫ图2-６导线受力情况ﻫ由静力学平衡条件可知,在平面坐标系中,其水平分力,垂直分力得代数与分别等于零。
或沿x 轴或y轴上分力代数与分别等于零。
垂直方向分力G＝T x siｎα=gSLｘ;水平方向分为Ｔ0=T xｃosα=σ0Ｓ、其中σ0、T0为导线最低点得应力与张力,σx、T x为导线任一点得应力与张力,S、g为导线截面与比载。
悬链线方程的推导过程
悬链线方程的推导过程悬链线 (Catenary) 是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。
适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其公式为：y = a*cosh(x/a)其中 a 是一个常数。
最低点处受水平向左的拉力H ，右悬挂点处受一个斜向上的拉力T ，设T 和水平方向夹角为θ，绳子一半的质量为m,受力分析有：T sin T co s θθ=m g ,=H并且对于绳上任意一点有tan θ=d y /d x =m g /H ，ρm g =s其中s 是右半段绳子的长度, ρ是绳子密度,认为绳子截面积是1,带入得微分方程ρd y /d x =s /H利用弧长公式d s x所以有，实际上就是弧长积分公式：⎰s =x所以把s 带入微分方程得ρ⎰d y /d x =d x /H （1）对于(1)设p =d y /d x 并做微分处理可得：ρ=d pp '=/H d x （2）对（2）分离常量求积分p ρ=⎰⎰1/H d x（3）得：ln (p x ρ+=/H +C边界条件：x =0，d y /d x =0，代入后可得C0=，整理后为：ln (p x ρ+=/H （4）由1ln )ln ln )p p xρ+==-=/H （5）即得x x ρρ⎡⎤⎣⎦p =e ^(/H )-e ^(-/H )/2=d y /d x （6）x x ρρρ⎡⎤⎣⎦ y =p =H /2e ^(/H )+e ^(-/H ) （7）如果令ρa =H /的话，则有/(2)co sh (/)x a x a a a x a =⎡⎤⎣⎦ y =p =e ^(/)+e ^(-/) （8） 即为双曲函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[ 设计与研究 ]
船 舶 SH IP & BOA T
悬链线方程的求解及其应用Ξ
Feb ruary, 2004 NO. 1
胡灵斌 (上海三航工程船舶公司 上海 200032) 唐 军 (上 海 船 舶 研 究 设 计 院 上海 200032)
[ 关键词 ]悬链线; 方程 [ 摘 要 ]本文结合实例介绍了悬链线方程的求解方法及其在船舶设计中的应用。 [ 中图分类号 ]U 66414+ 1 [ 文献标识码 ]A [ 文章编号 ]100129855 (2004) 0120017204
× (0. 25 × 1. 5) 2 × 1. 0 × 10- 2
= 11. 96 kN 式中 K ——系数, 0. 7
Θ——水的密度, 104. 61 kg. s2 m 4 g ——重力加速度 9. 8 m s2 B ——船宽 15. 8 m H 1 3 ——有义波高 1. 5 m
18 © 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
在浮船坞的链索泊碇工程中碰到的另一个问题
是: 有时要求出在测定的挂链力 T 下, 且已知水深 y , 想要求出使锚不产生上拔力, 锚至少应该抛多远 (x = ?) , 即要求得到 x = f 3 (y , R ) 这一关系式。而 R 又是 T 1 的水平分力, 显然, 从公式 (1) 要推导出 x = f 4 (y , T 1) 也很困难。 我们也可以编制某计算程序, 程序框图见图 2 (a) , 利用计算机每秒钟几千万次的 计算速度, 让其按一定规律从较大的水平阻力悬链 线方程曲线开始进行迭代计算搜索, 搜索过程见图 2 (b) , 当搜索到某一点, 这一点的 y 恰好等于设定 水深 h, T 1 等于测定的挂链力 T 。 这时, x 就是我们 要求的最小抛锚距离。 同样, 接下来就可以按公式 (2) 求得悬链长。
以某链索泊碇的浮船坞为例: 坞长 24614 m , 坞 宽 51 m , 坞深 18145 m , 采用 12 根U 3- 5 81 mm 锚 链, 海底桩锚为沉石, 每米链重 w = 0. 13 t, 水深 h = 20. 85 m。
(1) 已知该浮船坞在某潮位时进行链索预紧, 分 配到每根链索的水平力为 R = 372 kN , 预紧后要求 对沉石不产生上拔力。校核悬链张力 (即预紧力 T 1) 及校核抛锚距离 120 m 是否足够。
按计算得到挂链点拉力 T 1 (kN )
6 130 5 920 5 710
悬链长 L (m )
4 708 4 546 4 389
悬链重 G (t)
612 591 570
Β角 (°)
86152 86139 86127
表2
是否满足 y= h 不满足 不满足
427 108. 5849 521 108. 5839#
80. 03
131
184. 80
160. 75
80. 02
131
184. 79
160. 74#
80. 00
130. 9#
184. 78#
注: a) 抛锚距离 x 为计算值, 初值 1 000 系人为确定, 以后由程序搜索赋值。 b) 表中最后一行为计算结果。 T 1= 130. 9 kN ; L = 184. 78 m
校核锚链安全系数:
n= 1 270 T 1= 1 270 130. 9= 9. 7 (如对该结果 不满意, 可重新选链径, 第二次再算)
选取锚链长:
L = 184. 78+ 45+ 15= 244. 78 m (45 m 为安全
附加躺底锚链, 15 m 为锚链舱底到锚链筒口的链
长, 实取 245 m )
1 前 言
船舶设计者都知道按舾装数法来确定锚、系泊 设备, 而对于用抓持力法来确定锚、系泊设备则可能 由于其计算的局限性而令广大船舶设计人员感到陌 生。然而, 如灯船、电站船、起重船等工程船的锚泊设 备用抓持力法来确定为好, 则悬链线方程的应用是 必不可少的; 而对于较为复杂的多根锚链泊碇的浮 船坞, 其外力通过专用程序计算得到后确定其链力 也要用到悬链线方程。
计算抛锚工况: 水深 h = 80 m ; 设挂链水平力为 R = 101. 59 kN ;
设 Α= 0; (抛锚后要求对锚不产生上拔力)。 通过程序进行计算, 并将计算过程汇总于表 1: 表1
序号
抛锚距离 x (m )
按悬链线方程计算得到水深 y (m )
按计算得到挂链点拉力 T 1 (kN )
1
2 悬链线方程的求解
众所周知, 对应图 1 有以下著名的悬链线方程。
y=
a
secΑ ch
x a
-
1+
tgΑ
sh
x a
=
R w
1 co sΑ
xw
eR
-
+e 2
xw R
-
xw
- xw
1
+
tgΑ
eR
-e 2
R
(1)
图 1 锚泊悬链线
式中 y ——水深, m ; R ——作用在船上的外力, t; x ——锚泊点至挂链点的水平距离, m ; Α——起锚角, °; w ——每米链重, t m。
1 000
27 560
14 330
2
990
26 006
13 530
3
980
24 539
12 770
悬链长 L (m )
27 733 26 179 24 711
悬链重 G (t)
1 433 1 353 1 277
Β角 (°)
89164 89162 89159
是否满足 y= h
不满足 不满足
160. 76
Ξ [ 收稿日期 ]2003- 4- 29 [ 作者简介 ]胡灵斌 (1962- ) , 男, 工程师, 上海交通大学在读工业工程研究生, 从事船舶研究设计工作。 唐 军 (194618- ) , 男, 汉族, 江苏无锡人, 高级工程师, 从事船舶总体设计与研究工作。
17 © 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
悬链线方程的求解及其应用
作用在船上的外力: R= R1 + R2 + R3
= 83. 93 + 5. 70 + 11. 96 = 101. 59 kN 试取锚链拉力: T 1 = 101. 59 × 1. 3 = 132 kN
试取锚链: A M 2- 5 48, 破断力 1 270 kN , 链重 0. 0517 t m
2004 年 2 月 第1期
船 舶 SH IP & BOA T
Feb ruary, 2004 NO. 1
解: 设定 Α= 0; 通过程序进行计算, 并将计算过 程汇总于表 4:
序号
121 122 123
抛锚距离 x (m )
1 000 990 980
按悬链线方程计算得到水深 y (m )
4 430 4 269 4 113
3 悬链线方程的应用实例一
用抓持方法, 即根据锚及锚索在水底抓住泥土 时产生的抓持力与作用在船舶上的外力平衡条件来 确定锚及锚素的尺寸。
以某船为例: 船长 97 m , 船宽 15. 8 m , 型深 7. 7 m , 吃水 3. 8 m。 风阻力:
R 1= 0. 006 ΘV 2 (F ′+ 0. 31 F ) kN = 0. 006 × 0. 124 × 30 (107 + 0. 31 × 61. 6)
= 83. 93 kN
图 2 搜索计算程序框图
式中 Θ——空气密度, 为 0. 124 kg. s2 m 4 V ——风速, 海船 V = 30 m s F ′——上层建筑在舯剖面上的投影面积, F ′= 107 m 2 F —— 船体干舷部分在舯剖面上的投影面 积, F = 61. 6 m 2
水流阻力: R 2= 0. 01 f 8 v 1. 83 kN = 0. 01 × 0. 18 × 1 500 × 1. 51. 83
20. 85040 20. 85000
399. 1055 399. 1048#
111. 2096 111. 2086
注: a) 抛锚距离 x 为计算值, 初值 1 000 系人为确定, 其它由程序搜索赋值。
b) 表中最后一行为计算结果, 悬链张力 T 1= 399. 1 kN ; X = 108. 5839 m
解: 通过程序进行计算, 并将计算过程汇总于表 3:
(3) 已知该浮船坞某锚链的挂链力 T = 1 623. 5 kN , 若要求沉石不产生上拔力, 求该链抛锚距离 x 的最小值。
19 © 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
从以上公式中可以看出 y 是 R , x , Α, w 的函数, 即 y = f (R , x , Α, w )。 已知 R , x , Α, w 就可以求得水 深 y。而实际上船舶抛锚时, 通常设置有足够长度的 锚链, 以便有一段躺底锚链, 使锚不产生上拔力, 这 样, Α= 0; 而如果又选定了锚链, 则每米链重 w 也为
= 5. 70 kN 式中 f ——阻力系数, 取 0. 18
8 ——船体浸水面积, 1 500 m 2 v ——水流速度, 取 v = 1. 5 m s 波浪漂流阻力:
R 3=