误差理论与数据处理第二章1.ppt
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误差理论及数据处理
205.30
204.94 205.63
205.71
204.7 204.86
1.修正值不要考虑了 2.算术平均值 3.计算残差
205.24
206.65 204.97 205.36 205.16
205.35
205.21 205.19 205.21 205.32
x 205.30V
vi xi x
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
i 1 n
i 1
i
i
i 1 2
i
n
B
n xi yi xi yi
i 1 i 1 i 1
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
n
n
2
A 2, B 1
第二章 测量误差理论与数据处理
2、 曲线拟合
y 2.66 0.422 x
第二章 测量误差理论与数据处理
曲线拟合例题2
[例] 已知
x y xj yj 0 100 1 223 2 497 3 1104 4 2460 5 5490
1）绘y_x曲线（a） 2)初步估计：y=ax2+b 3) 变换： y’=ax’+b (y’=y, x’=x2)
i 1 i 1 i 1 i 1 n
n
n
n
第二章 测量误差理论与数据处理
直线拟合（续）
求极值（求偏导数） n A, B [2( yi A Bxi )] 0 A i 1 n A, B [2 xi ( yi A Bxi )] 0 B i 1 求解方程
2000
1000
0
0
5
10
15
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204.94 205.63
205.71
204.7 204.86
1.修正值不要考虑了 2.算术平均值 3.计算残差
205.24
206.65 204.97 205.36 205.16
205.35
205.21 205.19 205.21 205.32
x 205.30V
vi xi x
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
i 1 n
i 1
i
i
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B
n xi yi xi yi
i 1 i 1 i 1
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
n
n
2
A 2, B 1
第二章 测量误差理论与数据处理
2、 曲线拟合
y 2.66 0.422 x
第二章 测量误差理论与数据处理
曲线拟合例题2
[例] 已知
x y xj yj 0 100 1 223 2 497 3 1104 4 2460 5 5490
1）绘y_x曲线（a） 2)初步估计：y=ax2+b 3) 变换： y’=ax’+b (y’=y, x’=x2)
i 1 i 1 i 1 i 1 n
n
n
n
第二章 测量误差理论与数据处理
直线拟合（续）
求极值（求偏导数） n A, B [2( yi A Bxi )] 0 A i 1 n A, B [2 xi ( yi A Bxi )] 0 B i 1 求解方程
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误差理论与数据处理培训课程ppt97页.pptx
弹着点集中靶心。 相当于系统误差 与随机误差均小， 即精密度、准确 度都高，从而精 确度高。
17
第四节 有效数字与数据运算
一、有效数字
• 测量精度有限 最末一位有效数字应与测量精度同一量级 • 可靠数字 + 一位存疑数字 = 有效数字 • 有效位数是该数中有效数字的个数。指从该数左方第一个
非零数字算起到最末一个数字（包括零）的个数，它不取 决于小数点的位置 。
5. 在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数表，或用
（n+1）位对数表，以免损失精度。
6. 三角函数运算时，所取函数值的位数应随角度误差的减小而 增多
20
第二章 误差的基本性质与处理
第一节 随机误差 第二节 系统误差 第三节 粗大误差 第四节 测量结果的数据处理实例
21
第一节 随机误差
一、随机误差产生的原因 二、随机误差的分布及其特性 三、算术平均值 四、测量的标准差 五、测量的极限误差 六、不等精度测量 七、随机误差的其他分布
1、研究误差的意义 2、误差的基本概念 3、误差与精度 4、有效
第一节 研究误差的意义
第二节 误差的基本概念
误差的定义 误差的分类 误差的来源
7
一、误差的定义及表示法
误差 ＝ 测得值 － 真值
表示形式
误差
性质特点
绝对 误差
相对 误差
系统 误差
随机 误差
粗大 误差
8
引用误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument）
二、误差的来源
误差的起因: 测量过程中，由于实验方法和实验设备的不完善，周围
环境的影响，人们认识能力所限，实验所得数据和被测量 的真值之间存在差异。
误差理论与数据处理课件(很实用)
报告审核与修改
对报告进行同行评审或专家审核，根据反馈 进行必要的修改和完善。
06
案例分析与实践
案例一：医学数据处理
总结词
医学数据处理是误差理论应用的重要领域，涉及临床 试验、诊断、治疗等多个方面。
详细描述
医学数据处理中，误差的来源包括测量误差、随机误 差和系统误差等。这些误差可能导致数据失真，影响 医学研究的准确性和可靠性。因此，医学数据处理需 要遵循严格的标准和规范，如临床试验数据管理规范 、医疗器械检测标准等。同时，医学数据处理也需要 采用各种误差处理技术，如数据清洗、数据变换、数 据筛选等，以减小误差对数据的影响。
数据预处理包括数据的排序、筛选、分组和编码等操作，为后续的数据分析提供 准确和一致的数据集。
03
误差的识别与控制
系统误差的识别与控制
系统误差的识别
系统误差通常表现为数据呈现一定的 规律性偏差，可以通过对比实验数据 与理论值、检查实验装置和环境条件 等方式进行识别。
系统误差的控制
控制系统误差的方法包括改进实验装 置、优化实验环境、采用标准仪器和 设备、定期校准和检测等措施，以减 小系统误差对数据的影响。
先滞后关系。
时间序列平稳性
检验时间序列数据的平 稳性，以确定是否适合
进行时间序列分析。
05
实验设计与数据分析
实验设计原则
01
02
03
04
科学性原则
实验设计应基于科学理论和实 践经验，确保实验的合理性和
可行性。
随机性原则
实验对象的分配应随机化，以 减少系统误稳定性和可靠性
案例二：金融数据分析
总结词
金融数据分析中，误差的来源包括数据采集、数据处 理和数据分析等多个环节。
检测技术 第二章：误差分析与数据处理
可以得到精确的测量结果，否则还可能损坏仪器、设备、元器件等。
2．理论误差 理论误差是由于测量理论本身不够完善而采用近似公式或近似值计算测量 结果时所引起的误差。例如，传感器输入输出特性为非线性但简化为线性 特性，传感器内阻大而转换电路输入阻抗不够高，或是处理时采用略去高 次项的近似经验公式，以及简化的电路模 型等都会产生理论误差。
误差，周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。如图2.1所示，其中1为定值系差，2 为
线性系统误差，3为周期系统误差，4为按复杂规律变化的系统误差。 系统误差的来源包括仪表制造、安装或使用方法不正确，
测量设备的基本误差、读数方法不正确以及环境误差等。
系统误差是一种有规律的误差，故可以通过理论分析采 用修正值或补偿校正等方法来减小或消除。
•理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条件下，根据一定的理论，按定义确定的数值。 例如三角形的内角和恒为180°一般情况下，理论真值是未知的。 •约定真值是指用约定的办法确定的最高基准值，就给定的目的而言它被认为充分接近于 真值，因而可以代替真值来使用。如：基准米定义为“光在真空中1/299792458s的时间 间隔内行程的长度”。测量中，修正过的算术平均值也可作为约定真值。
表等级为0.2级。
r＝
0.12 100% 100% 0.12 A 100
在选仪表时,为什么应根据被测值的大小,在满足被测量数值范围的前提下,尽可能 选择量程小的仪表，并使测量值大于所选仪表满刻度的三分之二。在满足使用 要求时，满量程要有余量，一般余量三分之一，为了装拆被测工件方便。 （同一精度，量程越大，误差越大，故量程要小，但留余量）
第二章 误差分析与数据处理
三．测量误差的来源
1．方法误差 方法误差是指由于测量方法不合理所引起的误差。如用电压表测量电压时，
第二章 误差与数据处理
P ydx x f ( x ) dx
x1
1
x2
x2
这里的P就是在x1～x2这个范围内测量值出现的 概率, 在正态分布曲线图上表现为曲线下x=x1和 x=x2两条直线之间所夹的面积。
为了把一个普通的正态分布转换为标准正态分布,
xμ 设 u u称为标准正态变量 σ
x为测定值，µ 为总体平均值，σ总体标准偏差。
二 偶然误差（随机误差）
由不确定原因产生
1．特点：
1)不具单向性（大小、正负不定）
2)不重复、不可测定 3）不可消除（原因不定）
但可减小（测定次数↑）
4) 分布服从统计学规律（正态分布）
二 偶然误差（随机误差）
偶然误差的分布
消除系统误差后，同样条件下重复测定，偶然
重复性和再现性的差别
在相同条件下，对同一样品进行多次重复测定，所
得数据的精密度称为方法的重复性。 在不同条件下，用同一方法对相同样品重复测定多 次，所得数据的精密度称为分析方法的再现性。
2-4 随机误差的分布规律
测量值x的分布规律——正态（高斯）分布曲 x 线 1
2
y f x
解： x 10 .43 %
d
n
di
0 .036 % × dr%= d × 100 % 100 % 0 . 35 % x 10 .43 %
s
0 . 18 % 0 . 036 % 5
d i2 n 1
8 .6×10 7 4 .6 ×10 4 0 .046 % 4
准确度低 精密度高
准确度高 精密度差
准确度高 精密度高
准确度低 精密度差
测量点
x1
1
x2
x2
这里的P就是在x1～x2这个范围内测量值出现的 概率, 在正态分布曲线图上表现为曲线下x=x1和 x=x2两条直线之间所夹的面积。
为了把一个普通的正态分布转换为标准正态分布,
xμ 设 u u称为标准正态变量 σ
x为测定值，µ 为总体平均值，σ总体标准偏差。
二 偶然误差（随机误差）
由不确定原因产生
1．特点：
1)不具单向性（大小、正负不定）
2)不重复、不可测定 3）不可消除（原因不定）
但可减小（测定次数↑）
4) 分布服从统计学规律（正态分布）
二 偶然误差（随机误差）
偶然误差的分布
消除系统误差后，同样条件下重复测定，偶然
重复性和再现性的差别
在相同条件下，对同一样品进行多次重复测定，所
得数据的精密度称为方法的重复性。 在不同条件下，用同一方法对相同样品重复测定多 次，所得数据的精密度称为分析方法的再现性。
2-4 随机误差的分布规律
测量值x的分布规律——正态（高斯）分布曲 x 线 1
2
y f x
解： x 10 .43 %
d
n
di
0 .036 % × dr%= d × 100 % 100 % 0 . 35 % x 10 .43 %
s
0 . 18 % 0 . 036 % 5
d i2 n 1
8 .6×10 7 4 .6 ×10 4 0 .046 % 4
准确度低 精密度高
准确度高 精密度差
准确度高 精密度高
准确度低 精密度差
测量点
误差ppt第一章
特点与性质
粗大 误差
1.2.2 误差分类
1.系统误差（Systematic Error） 系统误差（ 系统误差 ） 定义： 定义：在同一条件下，多次重复测量同一量值时，绝对值 例如： 例如：用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差[绝对值和符号保持不
变]；用千分表读数时，表盘安装偏心引起的示值误差[按某一确定 规律变化]；刻线尺的温度变化引起的示值误差[在条件改变时，按 某一确定规律变化]。 实际估计系统误差常用适当次数的重复测量的算术平均值减去约定真值 来表示，也称为测量器具的偏移 偏畸 偏移或偏畸 偏移 偏畸（Bias）。 由于系统误差具有一定的规律性，因此可以根据其产生原因，采取一定的 技术措施，设法消除或减小；也可以在相同条件下对已知约定真值的标准 器具进行多次重复测量的办法，或者通过多次变化条件下的重复测量的办 法，设法找出其系统误差的规律后，对测量结果进行修正。
1.2.2 误差来源
测量方法误差 由于测量方法的不完善引起的误差，如 采用近似的测量方法、计算公式等原因所 引起的误差，又称为理论误差。
如用均值电压表测量交流电压时，其读数是按 照正弦波的有效值进行刻度，由于计算公式 α = KFU =πU / 2 2 中出现无理数 π 和 2，故 取近似公式 α ≈1.11 ，由此产生的误差即为理论 U 误差。
标准器件误差
设计测量装置 时，由于采用 近似原理所带 来的工作原理 误差 组成设备的 主要零部件 的制造误差 与设备的装 配误差
仪器误差
设备出厂 时校准与 定度所带 来的误差
附件误差
数字式仪 器所特有 的量化误 差
读数分辨 力有限而 造成的读 数误差
1.2.2 误差来源
测量环境误差 指各种环境因素与规定的标准状态不一致而 造成的误差。
第02讲 误差与分析数据的处理1
1.66 1.63 1.54 1.66 1.64 1.64 1.64 1.62 1.62 1.65
1.60 1.63 1.62 1.61 1.65 1.61 1.64 1.63 1.54 1.61 1.60 1.64 1.65 1.59 1.58 1.59 1.60 1.67 1.68 1.69 数据以1.62为中心，按上述规律分布。 小于1.62的数据39个，大于1.62的数据有44个，等于1.62的数据 有7个。
三、过失误差
杜绝过失误差
在分析测定过程中因操作者的失误而引起的分析误差，称为 过失误差。 例如： 损失试样；
加错试剂；
记录或计算错误等。 存在过失误差的数据，无论好坏，均无任何分析价值，应舍弃。
课堂练习
下列情况各引起什么误差？如何消除？ 1.砝码腐蚀。 仪器误差，校正或更换新砝码。 2.称量时试样吸收了空气中的水分。 试剂误差。对照试验。 3.称量过程中，天平的零点稍有变动。 随机误差。增加平行测定次数。 4.读取滴定管读数时，最后一位估测不准。 随机误差。增加平行测定次数。 5.以含≈98%的金属锌作为基准物质，标定EDTA的浓度。 试剂误差。提纯或更换试剂。 6.试剂中含有微量被测组分。 试剂误差。更换试剂或做空白试验。
滴定分析的量器或仪表的刻度不准而又未校正。
(三)试剂误差 提纯试剂或对照试验 由于试剂不纯或使用的溶剂中含有微量杂质所引起分析误差， 称为试剂误差。
(四)操作误差
空白试验和对照试验
在正常操作情况下，由于分析工作者掌握的操作规程与正确 的控制条件稍有出入而引起的测量误差，称为操作误差。 例如： 使用缺乏代表性的试样； 试样分解不完全；
个可变的偏差。自由度也可以理解为：数据中可供对比的数目。
误差理论与数据处理-第二章.part4+第三章.part1
第9页 页
异常值判断准则
特点：
3σ准则比较保守，因为在测量次数有限时，出现在靠近±3σs界 限处的数据极少，除非有较大的粗大误差，否则|v|＞3σs而导致 数据被剔除的可能性很小。
在测量次数小于10次时， 3σ准则失效。为什么？
3σ准则只宜用于重复测量次数较多（有的资料推荐测量次数n>50） 的重要测量中。
′ ′ ′ ′ 以上的r10，r10，r11，r11，r21，r21，r22，r22，分别简记为rij，rij′，
第15页 页
异常值判断准则
,n)， 选定显著性水平α，查表得D(α ,n)， 选取计算出的rij 、rij′ 中的数值大者， 即： 若rij > rij′ , 则选rij， 若rij > D(α , n)， 则x′ 为异常值， n 若rij < rij′ , 则选rij′， 若rij′ > D(α , n), 否则判断为 没有异常值。 则 x′ 为 异 常 值 ， 1
∂f ∂f ∂f dy = dx1 + dx 2 + ⋯ + dx n ∂x n ∂x1 ∂x 2
第24页 页
2.函数误差的计算 ——a.已定系统误差 函数误差的计算 已定系统误差
计算公式（续）
若已知各个直接测量值的系统误差 可近似得到函数的系统误差为：
∆x1 , ∆x2 , ⋯ , ∆xn
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + ⋯ + ∆x n ∂x1 ∂x 2 ∂x n
第20页 页
引子
圆柱体体积V的测量
用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为 10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测 量结果。 直径d (mm) 高度h (mm) 10.085 10.105 10.085 10.115 10.090 10.115 10.080 10.110 10.085 10.110 10.080 10.105
异常值判断准则
特点：
3σ准则比较保守，因为在测量次数有限时，出现在靠近±3σs界 限处的数据极少，除非有较大的粗大误差，否则|v|＞3σs而导致 数据被剔除的可能性很小。
在测量次数小于10次时， 3σ准则失效。为什么？
3σ准则只宜用于重复测量次数较多（有的资料推荐测量次数n>50） 的重要测量中。
′ ′ ′ ′ 以上的r10，r10，r11，r11，r21，r21，r22，r22，分别简记为rij，rij′，
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异常值判断准则
,n)， 选定显著性水平α，查表得D(α ,n)， 选取计算出的rij 、rij′ 中的数值大者， 即： 若rij > rij′ , 则选rij， 若rij > D(α , n)， 则x′ 为异常值， n 若rij < rij′ , 则选rij′， 若rij′ > D(α , n), 否则判断为 没有异常值。 则 x′ 为 异 常 值 ， 1
∂f ∂f ∂f dy = dx1 + dx 2 + ⋯ + dx n ∂x n ∂x1 ∂x 2
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2.函数误差的计算 ——a.已定系统误差 函数误差的计算 已定系统误差
计算公式（续）
若已知各个直接测量值的系统误差 可近似得到函数的系统误差为：
∆x1 , ∆x2 , ⋯ , ∆xn
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + ⋯ + ∆x n ∂x1 ∂x 2 ∂x n
第20页 页
引子
圆柱体体积V的测量
用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为 10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测 量结果。 直径d (mm) 高度h (mm) 10.085 10.105 10.085 10.115 10.090 10.115 10.080 10.110 10.085 10.110 10.080 10.105
误差分析与数据处理ppt课件.ppt
（4）缓变误差： 是指数值上随时间缓慢变化的误差,一般它是由零部件的
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
老化、机械零件内应力变化引起的。由于它有不平稳随机 过程的特点，误差值在单调缓慢变化，因此不能象对系统 误差那样引进一次修正量即能校正，又不能象对一般随机 误差那样按平稳随机过程的特点来处理，因而常需不断进 行校正，测量准确度与对仪器仪表的校正周期有关。
1） 直间接测量：从一个或几个直接测
或量具就可直接得到被测量 量结果按一定的函数关系计算出来
值的测量；
的过程，称为间接测量。
➢例如：用直尺测量长度；
以表计时间；
天平称质量；
M
安培表测电流。
d
V hd 2
h
4
M V
4M
d 2h
1
2）等精度测量和非等精度测量
2
1.2真值、代表值与误差
1.2.1真值
指在某一时刻和某一位置的某个物理量客观存在的真实值。严 格地讲，真值是无法测得的，只能测得真值的近似值。实际应 用中真值是指测量次数无限多时的平均值作为真值。
➢理论真值：理论上证明过的某些已知的固定量值，如三角 形之和为180º。
➢约定真值：国际计量组织通过决议规定的某些计量单位的 量值，如规定铂铱合金的国际千克原器为1kg的质量单位。 光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485为1米。
仪器
天平不等臂
6
➢系统误差的分类
1）按系统误差产生的原因分 ➢设备误差：由于测量仪器、工具的不准确或安装不正确造成的，如 仪器的零位不准，空行程、不水平、不垂直、导线的影响等。 ➢环境误差：由于测量环境条件变化的影响，如温度、压力、外电磁 场的影响。 ➢人员误差：由测量人员自身造成的，如读数的偏大、偏小、测量的 超前或滞后等。 ➢方法误差：由于测量方法不完善，计算公式的近似简化引起的。
误差理论与数据处理第二章
vi2 (mm)
0.001225 0.000025 0.000625 0.002025 0.000225 0.002025 0.000225 0.000625 0.000025 0.001225
x 75.045mm
v
i 1
10
i
0
v
i 1
10
2 i
0.00825mm 2
0.250 1.253 mm 0.0330mm 1010 1
11 i
v l
i 1
11x 22000.74mm 22000.737mm 0.003mm
规则２：
n 11 0.5 0.5 5, A 0.001mm 2 2 11 n v 0 . 003 mm 0 . 5 A 0.005mm i 2 i 1
x
l (l
i 1 i
n
n
n
i 1
o
li )
n
l nl
i 1 i
n
o
n
l0
l
i 1
n
i
n
l0 x 0
三、算术平均值
例 2-1 测量某物理量10次，得到结果见表，求
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
理论值
x
vi
0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01
vi n(n 1)
四、测量标准差（方均根误差）
表 23
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
li (mm)
第二章误差和数据处理
1）与经典方法进行比较 2）校准仪器：消除仪器的误差 3）空白试验：消除试剂误差 4）对照实验：消除方法误差 5）回收实验：加样回收，以检验是否存在方法误差
第二节 有效数字及其运算法则
一、有效数字 二、数字的修约规则 三、有效数字的运算规则
一、有效数字 (significant figure)
定义：是指在分析工作中实际上能测量到的数字， 有效数字位数包括所有准确数字和一位欠准数字。
解：R= 4.10 0.0050 / 1.97 =0.0104 R/R=-0.02/4.10+0.0001/0.00500–(-0.04)/1.97
=0.035 = 3.5% R =R 0.035 = 0.035 0.0104 = 0.00036 = R - R = 0.0104 - 0.00036 =0.01004
系统误差的来源
•方法误差：方法不恰当或不完善 •仪器误差：仪器不准或未校正 •试剂误差：试剂不纯 •操作误差：个人操作问题
（主观误差）
系统误差的表现方式
•恒量误差：多次测定中系统误差的 绝对值保持不变 •比例误差：系统误差的绝对值随样 品量的增大而成比例增大，相对值不 变。
偶然误差
又称随机误差或不可定误差，是由某些偶 然因素引起的误差。
偶然误差特点
a.方向不确定（误差时正时负） b.大小不确定（误差时大时小） c.符合统计规律
绝对值相等的正负误差出现概率基本相等 小误差出现的概率大,大误差出现的概率小
d.可增加平行测定次数消除
过失误差
在正常情况下不会发生过失误差，是仪器失灵、 试剂被污染、试样的意外损失等原因造成的。 一旦察觉到过失误差的发生，应停止正在进行 的步骤，重新开始实验。
•平均偏差:各个偏差绝对值的平均值。
第二节 有效数字及其运算法则
一、有效数字 二、数字的修约规则 三、有效数字的运算规则
一、有效数字 (significant figure)
定义：是指在分析工作中实际上能测量到的数字， 有效数字位数包括所有准确数字和一位欠准数字。
解：R= 4.10 0.0050 / 1.97 =0.0104 R/R=-0.02/4.10+0.0001/0.00500–(-0.04)/1.97
=0.035 = 3.5% R =R 0.035 = 0.035 0.0104 = 0.00036 = R - R = 0.0104 - 0.00036 =0.01004
系统误差的来源
•方法误差：方法不恰当或不完善 •仪器误差：仪器不准或未校正 •试剂误差：试剂不纯 •操作误差：个人操作问题
（主观误差）
系统误差的表现方式
•恒量误差：多次测定中系统误差的 绝对值保持不变 •比例误差：系统误差的绝对值随样 品量的增大而成比例增大，相对值不 变。
偶然误差
又称随机误差或不可定误差，是由某些偶 然因素引起的误差。
偶然误差特点
a.方向不确定（误差时正时负） b.大小不确定（误差时大时小） c.符合统计规律
绝对值相等的正负误差出现概率基本相等 小误差出现的概率大,大误差出现的概率小
d.可增加平行测定次数消除
过失误差
在正常情况下不会发生过失误差，是仪器失灵、 试剂被污染、试样的意外损失等原因造成的。 一旦察觉到过失误差的发生，应停止正在进行 的步骤，重新开始实验。
•平均偏差:各个偏差绝对值的平均值。
第二章 误差的基本性质与处理
x 75.045mm
v
i 1
10
i
0
v
i 1
10
2 i
0.00825mm 2
解：计算得到的值分别填于表中，因此有
0.250 mm 0.0330mm 1010 1 0.250 z 1.253 mm 0.0104mm 10 10 1
1.253
4 5
f ( ) d
1 2
可解得或然误差为 ：
2 3
0.6745
第一节 随机误差
图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的 坐标。σ（标准差）值为曲线上拐点A的横坐标，θ （平均误差）值为曲线右半部面积重心B的横坐标， ρ（或然误差）值的横坐标线则平分曲线右半部面积。
x
n
第一节 随机误差
x
n
当n愈大，算术平均值越接近被测量的 真值，测量精度也愈高。
由图可知, x 的减小很 σ一定时，当n>10以后， 慢。因此一般情况下取n=10以内较为适宜。
第一节 随机误差
例2-4 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定 已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为 mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09， 75.06，75.02，75.08 。求算术平均值及其标准差。 解：本例题中的测量数据与表2-3中的测量数据一样， 表中的算术平均值为: n
第一节 随机误差
符合正态分布的随机误差分布密度如式（2-2） 所示。 1 2 /( 2 2 ) f ( ) e 2 由此式可知：σ值越小，e的指数绝对值越大， 因而f(δ)减小的越快即曲线变陡。而σ越小，在e 前边的系数变大，即对应于误差为零（δ=0）的纵 坐标也大，即对应零误差的纵坐标也大，曲线变高。 如图2-2所示。
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i 1
i 1
1
n
n
i
i 1
1 n
n i 1
li
L0
L0
1 n
n i 1
li
1 n
n
i
i 1
x
1 n
n
i
i 1
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说明：
(1) n=1, δ1= x-L0=l1-L0即为随机误差定义
(2)
n=2，1
2
均值 x 定义为：
x
l1 l2 n
ln
1 n
n
li
i 1
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3 x 与 L0之关系
对n个 i 求和，有
1 2 n l1 l2 ln nL0
=> 同除以n
n
n
i li nL0
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(一) 算术平均值
1 随机误差的表示方法
设被测量真值L0(理想、理论)，一系列测量 值为l0，则测量值中随机误差δi为
i li L0 (i=1,2,3…，n) 2 算术平均值定义
设 l1,l2, ,ln 为n次测量所得结果，则算术平
1
2
x
L0
(3) n→∞时，由随机误差的特征(抵偿性)
有 x L0
1
n
n
i
i 1
0
即：如能对同一量测无限次时，就可得到不受随
机误差影响的测量值，或影响甚微，可忽略。
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理论上讲，n→∞时，算术平均值定义为数 学期望(最大或然值)
x L0
(理想状态下得到真值的理论依据)
(4) 对有限次测量 n 时,但n较大
x L0
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4 残余误差表示
由于L0是未知，i li L0 一般不能用，可用
有限测量的算术平均值 x L0 进行上式分析
第二章 误差的基本性质与处理
本章的目的：(重点掌握）
1、研究三种误差的性质，出现 的规律与产生原因
2、找出相应减少误差的方法 3、综合分析问题
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2-1 随机误差
一．定义：
同一量值进行多次等精度的测量时，得到一 系列不同的测量值，每个测量值都含有误差， 而误差出现又没有确定规律，但就误差的总 体而言，却具有统计规律性。
a)
当
n
li
nx
，求得
x 为非凑整的准确数时，n vi
0
。
i 1
i 1
n
b) 当 li nx ，求得 x为凑整的非准确数时，
i 1
n
vi 为正，其大小为求 x 时的余数。
i 1
c)
当
n
li
nx
，求得
x
为凑整的非准确数时，
i 1
n
vi
为负，其大小为求
x
时的亏数(不足)。
i 1
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注：影响因素包括环境、人员、测试装置等
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二．随机误差特征(服从正态分布)：
1 对称性－绝对值相等正、负误差出现次数相等。 2 单峰性－绝对值小的误差比绝对值大的误差出现
次数多。 3 有限性－在一定测量条件下，随机误差不会超过
i 1
i 1
当x 为未凑整(即不用数字舍入规则)时，由定义
1
n
n i 1
li
x
(准确数)
n
vi 0
i 1
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应用：可用上式检验 x及残差计算的正确性(校核)
如对于凑整(即利用舍入规则时)，
x 成为非准确数
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三．随机误差的数字特征
1. 定义：用于描述随机误差分布特征的数值。 2. 随机误差的数字特征主要有：
a) 算术平均值、b)均方根偏差(标准差) 算术平均值－表示随机误差的分布中心，可述测量数和测量结
果的精度。 分散度反映单次测量值的不可靠性，作为不可 靠程度的评价标准，平均值一定，可能其标准 差不同。
如：x 39.28 则：A 0.01
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如： 1.372=1.37+0.002 (0.002为余数)
1.368=1.37-0.002 (0.002为亏数)
(3) 残余误差代数和绝对值满足：(残差和性质)
当n为偶数时，
n
vi
i 1
nA 2
当n为奇数时，
n
vi
i 1
(n 0.5) A 2
这里：A－实际求得的算术平均值 x 末位数的一个单位。
一定界限。 4 抵偿性－随测量次数增加，随机误差算术平均值
趋于零。(特征1的推理) 具有以上性质的误差分布规律，一般称正态分布 规律，或反之。
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正态分布曲线
f ( ) 分布密度
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即：
vi li x (i 1,2,3, , n)
li －－第i个测量值 vi －－li的残余误差
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说明：
(1) 一组测量值残差之和为零，即(精确值)
n
vi 0
i 1
证明如下：由定义，
n
n
vi li nx
假如有舍入误差
即
1 n
x
n
li
i 1
代入残差和公式中：
n
n
vi li nx
i 1
i 1
n
1n
i 1
li
n( n
i 1
li
)
n
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(2) 残余误差代数和满足以下条件(残差和性质)：
残差代数和校核残差及 x 的统一规则为：
随机误差
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随机误差的正态分布
✓大多数随机误差服从正态分布，其应用范 围包括各种物理、机械、电气、化学等特 性分布
✓例如：铝合金板抗拉强度，电容器电容变 化、噪声发声器输出电压
✓正态分布描述：密度函数、分布函数、数 学期望、方差、平均误差和或然误差表示
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