方波的傅里叶分解与合成

方波的傅里叶分解与合成

教 学 目 的 1、用RLC 串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅

与相位关系。

2、将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。

3、了解傅立叶分析的物理含义和分析方法。

重 难 点 1、了解串联谐振电路的基本特性及在选频电路中的应用； 了解方波的傅立叶合成的物理意义。

2、选频电路将方波转换成奇数倍频正弦波的物理意义。

教 学 方 法 讲授与实验演示相结合。 学 时 3学时。 一、实验仪器

FD-FLY-I 傅立叶分解合成仪，DF4320示波器，标准电感，电容箱。

二、原理

任何具有周期为T 的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即：

∑∞

=++=10)

sin cos (21

)(n n n t n b t n a a t f ωω

其中：T 为周期，ω为角频率。ω＝T π

2；第一项20a 为直流分量。

所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有ｎ阶谐波的迭加。

如图1所示的方法可以写成：

h (0≤t ＜2T

)

)(t f =

-h (-2T

≤t ＜0)

此方波为奇函数，它没有常数项。

数学上可以证明此方波可表示为：

)

7sin 715sin 513sin 31(sin 4)( ++++=t t t t h t f ωωωωπ

∑∞

=--1

])12sin[()121

(

4n t n n h

ωπ

同样，对于如图2所示的三角波也可以表示为：

t

T h

4 (-4T ≤t ≤4T )

)(t f =

2h(1-T t 2) (4T ≤t ≤43T

)

)7sin 715sin 513sin 31(sin 8)(2222 +-+-

=

t t t t h

t f ωωωωπ

∑∞

=----1

2

1

2

)12sin()12(1

)1(8n n t

n n h

ωπ

（a ）周期性波形傅里叶分解的选频电路

我们用RLC 串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进行频谱分解。在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。

本仪器具有1KH ｚ的方波和三角波供做傅里叶分解实验，方波和三角波的输出阻抗低，可以保证顺利地完成分解实验。

实验线路图如图3所示。这是一个简单的RLC 电路，其中R 、C 是可变的。L 一般取0.1H~1H 范围。

当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率0ω为：

0ω=LC 1

这个响应的频带宽度以Q 值来表示：

Q ＝R L 0ω

当Q 值较大时，在0ω附近的频带宽度较狭窄，所以实验中我们应该选择Q 值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。

如果我们调节可变电容C ，在n 0ω频率谐振，我们将从

此周期性波形中选择出这个单元。它的值为：

t n b t V n 0sin )(ω= 图3 波形分解的RLC 串联电路

这时电阻R 两端电压为：

)sin()(00ϕω+=t n R I t V R

此式中

R X

tg 1

==ϕ，X 为串联电路感抗和容抗之和

Z b I n

=

0， Z 为串联电路的总阻抗。

在谐振状态X ＝0

此时，阻抗Z ＝ｒ＋R ＋R L ＋R C ＝ｒ＋R ＋R L

其中，ｒ方波（或三角波）电源的内阻；R 为取样电阻；R L 为电感的损耗电阻；R C 为标

准电容的损耗电阻。 (R C 值常因较小而忽略）

由于电感用良导体缠绕而成，由于趋肤效应，R L 的数个将随频率的增加而增加。实验证

明碳膜电阻及电阻箱的阻值在1KHz~7KHz 范围内，阻值不随频率变化。

(b) 傅里叶级数的合成

本仪器提供振幅和相位连续可调的1KHz ，3KHz ，5KHz ，7KHz 四组正弦波。如果将这四

组正弦波的初相位和振幅按一定要求调节好以后，输入到加法器，叠加后，就可以分别合成出方波、三角波等波形。 三、实验内容和使用方法

A 、方波的傅里叶分解

1KHz t sin ω

3KHz t sin ω

5KHz t sin ω

1、 求RLC 串联电路对1KHz ，3KHz ，5KHz 正弦波谐振时的电容值C 1、C 3、C 5，并与理论值进行比较。

实验中，要求学生观察在谐振状态时，电源总电压与电阻两端电压的关系。学生可从李萨如图为一直线，说明此时电路显示电阻性。

理论值

L C i i 21

ω=

表1为1KHz 、3KHz 、5KHz 正弦波谐振时测得电容值，仅供参考。

2、将1KHz 方波进行频谱分解，测量基波和n 阶谐波的相对振幅和相对相位。

将1KHz 方波输入到RLC 串联电路。如图3所示。然后调节电容值至C 1，C 3，C 5值附近，可以从示波器上读出只有可变电容调在C 1，C 3，C 5时产生谐振，且可测得振幅分别为b 1，b 3，b 5；而调节到其它电容值时，却没有谐振出现。

实验数据如下：(供用户参考) (一)取方波频率f =1000Hz ，取样电阻R=22Ω ，信号源内阻测量得r=6.0Ω电感L=0.100H 。