(完整版)矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t和变矢A，如果对于t在某个范围D内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则称A为数性变量t的矢量函数，记作A=A)(t（1.1.1）并称D为矢函数A的定义域。
在Oxyz直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A{})(),(),()(tAtAtAtzyx=（1.1.2）其中)(),(),(tAtAtAzyx都是变量t的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A)(t的起点取在坐标原点。
这样当t变化时，A)(t的终点M就描绘出一条曲线l（图1.1），这样的曲线称为矢函数A)(t的矢端曲线，也称为矢函数A)(t的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
愿点O也称为矢端曲线的极。
由于终点为),,(zyxM的矢量OM对于原点O的矢径为zkyjxiOMr++==当把A)(t的起点取在坐标原点时，A)(t实际上就成为其终点),,(zyxM的矢径，因此)(tA的三个坐标)(),(),(tAtAtAzyx就对应地等于其终点M 的三个坐标zyx,,，即)(),(),(tAztAytAxzyx===（1.1.3）此式就是曲线l的参数方程。
(完整版)电磁场与电磁波(第四版)课后答案详解--谢处方
电磁场 与电磁波（第四版） 课后答案第一章 习 题 解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e4y z =-+B e e 52x z =-C e e求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的 分量；（6）⨯A C ；（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。
解 （1）23A x y z +-===e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e ee 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （4）由cos AB θ=14-==⨯A B AB ，得1cos AB θ-=(135.5= （5）A 在B 上的分 量 B A =A cos AB θ=1117=-A B B （6）⨯=A C 123502x yz-=-e e e 41310x y z ---e e e（7）由于⨯=B C 041502x yz-=-e e e 8520x y z ++e e e⨯=A B 123041xyz-=-e e e 1014x y z ---e e e所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e（8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z---=-e e e 2405x y z -+e e e()⨯⨯=A B C 1238520xy z -=e e e 554411x y z --e e e1.2 三角形的三个顶点 为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。
矢量分析与场论
i
F ds lim F P ds
S N i 1 i N S N i 1 i
i
L
F dl lim F Pi
N i 1
N
dli
F ds lim F P ds
i
标 量 场
标量场：随空间和时间变化的单值标量函数，如温度场。
ˆ cos cos cos G l l x y z
显然，在直角坐标系中有
ˆ grad G x ˆ ˆ y z x y z
矢 量 场
矢量场：随空间和时间变化的单值矢量函数，如流速场。
一年四季大气流速分布
F t F t0 ，则称 F 在 t0处连续。 连续：若 lim t t
0
F t F0 ，则称 lim F t F0 。 t t
0
导数：
增量： F F t t F t
F t
F
dF F 可导： lim t 0 t dt lim F t t F t t
a e a j m a
x ,y ,z
ˆe a j
x ,y ,z
ˆm a
矢 量 代 数
运算规则：当以坐标分量表示时，形式上与实矢量运算 规则相同。 但是没有任何几何意义！
ˆ ay by z ˆ a x bx y ˆ a z bz abx ˆ ay by z ˆ a x bx y ˆ a z bz ab x
f f x1, x 2 , x 3, x 4 , f f x1, x 2 , x 3, x 4 ,
电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
第一章习题解答1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下：A e x e y 2 e z 3 Be y 4 e zC e x 5 e z 2求：（ 1） a A ；（ 2） AB；（3）AgB；（4）AB ；（ 5）A 在B 上的分量；（ 6） A C；（ 7） Ag(B C)和(A B )gC ；（ 8） ( A B ) C 和A (B C ) 。
解 （ 1） a AA e x e y 2 e z 31 e y2 e z3 A12 22 (e x14143)214（2）A B (e xe y 2 e z 3) ( e y 4 e z )e x e y 6 e z 453（3）AgB(e x e y 2 e z 3) g( e y 4 e z )－11（ 4）由 cosABAgB11 11 ，得 AB cos 1 (11 ) 135.5oA B1417238 238（ 5） A 在B 上的分量A BA cos ABAgB 11B17e x e y e z（6）A C1 2 3 e x 4 e y 13 e z 105 02e x e y e z（ 7）由于 BC0 4 1 e x 8 e y 5 e z 205 0 2e x e y e zA B1 2 3 e x 10 e y 1 e z 40 4 1所以Ag(B C ) (e xe y 2 e z 3)g (e x 8 e y 5 e z 20)42( A B )gC( e x 10 e y 1 e z 4)g( e x 5 e z 2)42e xe ye z（8）(A B) C10 1 4 e x 2 e y 40 e z 5 5 0 2e xe y e zA(BC)1 2 3 e x 55 e y 44 e z 1185 201.2 三角形的三个顶点为P 1(0,1, 2) 、 P 2 (4,1, 3) 和 P 3 (6, 2,5) 。
（ 1）判断 PP 12 P 3 是否为一直角三角形；（ 2）求三角形的面积。
矢量分析与场论第四版_谢树艺习题答案
4i 4 j 12k,
4i 4 j 12k 方向的方向导数最大
M
176 4 11 。
1 2 1 3 ( x y 2 ) 中 u 0, ,1, ,2 的等值线，并画出场在 M 1 ( 2, 2 ) 与点 2 2 2
M 2 ( 3, 7 ) 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：
2 ；因 OM OC CM 有
r xi yj 2a cos i 2a sin j a cos 2 i a sin 2 j
则
x 2a cos a cos 2 , y 2a sin a sin 2 .
M
2 xi xy 2 j 3 z 4 k
M
4i 3k ，其方向余弦为
cos
4 3 , cos 0, cos . 5 5
在点 M ( 2,0,1) 处有
u u u 2 xz 3 4, 4 yz 0, 3 x 2 z 2 2 y 2 12, x y z
x2 y2 2．求数量场 u 经过点 M 1,1, 2 的等值面方程。 z
解：经过点 M 1,1, 2 等值面方程为
ux Βιβλιοθήκη y 2 12 12 1， z 2
2 2
即 z x y ，是除去原点的旋转抛物面。 3．已知数量场 u xy ，求场中与直线 x 2 y 4 0 相切的等值线方程。 解：设切点为 x0 , y0 ，等值面方程为 xy c x0 y0 ，因相切，则斜率为
面 Ax By Cz D 0 平行的空间。
2 场所在的空间区域是除原点以外的 z 2 x 2 y 2 的点所组成的空间部分。
矢量分析报告与场论课后问题详解
矢量分析与场论习题11．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
()1x a t y b t cos ,sin == ()2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos ===解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。
()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2223x z +=之交线，为一椭圆。
4．求曲线3232,,t z t y t x ===的一个切向单位矢量τ。
解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3232++= 则其切向矢量为k t tj i dtdr222++= 模为24221441||t t t dtdr+=++= 于是切向单位矢量为222122||/t kt tj i dt dr dt dr +++=6．求曲线x a t y a t z a t 2sin ,sin 2,cos ,===在t π4=处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 ra ti a tj a tk 2sin sin2cos =++切向矢量为ra ti a tj a tk tτd sin22cos2sin d ==+- 在t π4=处，t r ai ak tπτ4d d 2===- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,122-=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。
解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r-+-++=在2=t 的点M 处，切向矢量k j i k t j ti dtdr t t 244])64(42[22++=-++====τ于是切线方程为142525,244545+=-=-+=-=-z y x z y x 即 于是法平面方程为0)4()5(2)5(2=++-+-z y x ，即 01622=-++z y x8．求曲线r ti t j t k 23=++上的这样的点，使该点的切线平行于平面x y z 24++=。
完整版电磁场与电磁波第四版谢处方版思考题目答案资料
一：1.7 什么是矢量场的通量？通量的值为正，负或 0 分别表示什么意义？矢量场F 穿出闭合曲面S 的通量为： 当 大于 0时，表示穿出闭合曲面 S 的通量多于进入的通量，此时 闭合曲面S 内必有发出矢量线的源，称为正通量源当 小于 0 时，有汇集矢量线的源，称为负通量源。
当 等于 0 时 闭合曲面内正通量源和负通量源的代数和为 源。
1.8 什么是散度定理 ?它的意义是什么？ 矢量分析中的一个重要定理：矢量场 F 在限定该体积的闭合积分， 是矢量的散度的体积与该矢量的 闭合曲面积分之间的一个变换关系。
1.9 什么是矢量场的环流？环流的值为正，负，或 0 分别表示什么意 义？ 矢量场F 沿场中的一条闭合回路 C 的曲线积分，称为矢量场F 沿的环流。
大于 0 或 小于 0，表示场中产生该矢量的源，常称为旋涡等于 0，表示场中没有产生该矢量场的源1.10 什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？该定理能用于闭合曲 面吗？ 称为散度定理。
意义：矢量场 F 的散度 在体积V 上的体积分等于 小于 等于 0，或闭合面内无通量在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲面C为周界的曲面S,存在如下重要关系这就是是斯托克斯定理矢量场的旋度在曲面S 上的面积分等于矢量场F 在限定曲面的闭合曲面积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲面积分之间的一个变换关系。
能用于闭合曲面.1.11如果矢量场F 能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?=0,即F 为无散场。
1.12如果矢量场F 能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?=0即为无旋场1.13只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？不对。
电力线可弯，但无旋。
1.14无旋场与无散场的区别是什么？无旋场F 的旋度处处为0，即，它是有散度源所产生的，它总可以表示矢量场的梯度，即=0二章：2.1 点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况， 可将它看做一个体积很小而电荷 密度很大的带电小球的极限。
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第1章 矢量分析【圣才出品】
（4）由 cos AB
AB AΒ
11 14 17
11 238
，得 AB
arccos
11 135.5o 238
v （5）在 B 上的分量 AB
A cos AB
AB B
11 17
（6）由矢量的叉积公式知
ex ey ez A C 1 2 3 ex 4 ey13 ez10
5 0 2
（7）由矢量的叉积公式知
ex ey ez B C 0 4 1 ex 8 ey 5 ez 20
5 0 2
A B C ex ey 2 ez 3 ex8 ey 5 ez 20 42 ,
ur ur ur ur ur ur ur ur ur 又因为 A (B C) C ( A B) ( A B) C
1.14 无旋场与无散场的区别是什么？
答：无旋场 F 的旋度处处为 0，即
它是由散度源所产生的，它总可以表示
为某一标量场的梯度，即▽×（▽u）＝0。
无散场 F 的散度处处为 0，即▽·F ≡0,它是由旋涡源所产生的，它总可以表示为某一矢
量场的旋涡，即▽·（▽A）＝0。
（二）习题 1.1 给定三个矢量 A、B 和 C 如下：
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解：（1） eA
A A
ex e台y 2 ez 3 12 22 32
ex
1 14
ey
2 14
ez
3 14
vv （2） A－B＝
evx
evy 6 evz 4 ,
vv A－B
12 62 42
53
（3） A B ex ey 2 ez 3 ey 4 ez 11
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谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)配套题库【课后习题(1-4章)】【圣才出品】
当
时，表示穿出闭合曲面 S 的通量等于进入的通量，此时闭合曲面内正通
量源与负通量源的代数和为 0，或闭合面内无通量源。
1.8 什么是散度定理？它的意义是什么？ 答：矢量分析中的一个重要定理：
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称为散度（高斯）定理。 意义：矢量场 F 的散度▽·F 在体积 V 上的体积分等于矢量场 F 在限定该体积的闭合面 S 上的面积分，是矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。
1.7 什么是矢量场的通量？通量的值为正、负或 0 分别表示什么意义？ 答：矢量场 F 穿出闭合曲面 S 的通量为：
当
时，表示穿出闭合曲面 S 的通量多于进入的通量，此时闭合曲面 S 内
必有发出矢量线的源，称为正通量源。
当
时，表示穿出闭合曲面 S 的通量少于进入的通量，此时闭合曲面 S 内
必有汇集矢量线的源，称为负通量源。
1.5 在圆柱坐标系中，矢量 为什么？
其中 a、b、c 为常数，则 A 是常矢量吗？
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答：A 是常矢量。
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1.6 在球坐标系中，矢量 什么？
答：A 是常矢量。
其中 a 为常数，则 A 能是常矢量吗？为
∴A 为常矢量。
12 22 32
ex
1 14
ey
2 14
ez
3 14
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（2） A－B＝ex
ey 6 ez 4 ,
A－B
12 62 42
53
(完整版)矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
4习题 1 解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1 x acost, y bsint2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost解： 1 r a costi bsin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。
2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ， 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面222x 2 z 2 32 之交线，为一椭圆。
2．设有定圆 O 与动圆 c ，半径均为 a ，动圆在定圆外相切而滚动， 所描曲线的矢量方程。
uuuur解：设 M 点的矢径为 OM rxi yj ， AOC与 x 轴的夹角为uuuur uuur ；因 OM OC uuuurCM 有r xi yj 2acosi 2asin j acos 2 asin 2则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acosacos2 )i (2asinasin2 )j4．求曲线 x t,y2,z 2t 3的一个切向单位矢量解：曲线的矢量方程为ti tdr则其切向矢量为 dt2t j模为|d d r t| 1 4t 24t 4dr 于是切向单位矢量为dt/ | d drt6．求曲线 x asin 2t,y23t 3k2t 2k2t2tj 2t 2k21 2t 2asin 2t,z acost,在 t处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 r asin2ti asin2tjacostk求动圆上一定点 Mdr asin2ti 2acos2tj asintk dt7. 求曲线 x t 2法平面方程。
解：由题意得 在 t 2 的点 dr dt t 4ai a 2k 22 1, y 4t 3,z 2t 2 6t M (5,5, 4), 曲线矢量方程为 rM 处，切向矢量 dr dt [2tit2在对应于t(t 21)i2 的点 M 处的切线方程和(4t 3)j(2t 26t)k ,4j (4t 6)k] t24i 4j 2kx5于是切线方程为4,即z4于是法平面方程为 2(x5) 2(y 5) (z 4) 0 ，即2x 2y16 0解：曲线切向矢量为dr i dt2tj 3t 2k ， ⑴平面的法矢量为 n i2j k ，由题知ni2tj 3t 2k i 2j k 1 4t 3t 2 0得 t 1,1。
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)章节习题-第1章 矢量分析【圣才出品】
=
2
xdx
2 22 dy
0
xdx
0
0dy 8
0
0
2
2 vv
vv
Ñ （2）要验证验证斯托克斯定理成立，只需要证明 Adl ( A)dS 即可。
l
S
因为
evx evy evz
v A
x y
z
evx 2 yz evz 2x
x x2 y2z
而且
v v ( A)dS
S
r
F
2z y2
r ex
6 yz2 2xy
r ey
2x 6y2z
r ez
r F
(1,1,1)
r 3ex
r 4ey
4
r ez
2．已知 f x2z y3z2 ， g 2yz2 xy2 ，求在点（1，0，2）的：（1） f g ； （2） f g 。
解：（1）
2 / 18
当 0 ，表示流出多于流入，说明此时在 S 内有正源；
当 0 则表示流入多于流出，此时在 S 内有负源；
当 0 则表示流入等于流出，此时在 S 内无源。
3．设任一矢量场为 Av(rv) ，写出其穿过闭合曲线 C 的环量表达式，并讨论之。 v
答：定义矢量场 A 环绕闭合路径 C 的线积分为该矢量的环量，其表达式为 vv
CA dl
讨论：如果矢量的环量不等于零，则在 C 内必然有产生这种场的旋涡源；如果矢量的
环量等于零，则我们说在 C 内没有旋涡源。
四、计算与证明题
1．已知：
r F (x, y,z)
x
2
r zex
y 3 z 2er y
xy
2
r zez
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4习题 1 解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1 x acost, y bsint2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost解： 1 r a costi bsin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。
2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ， 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面222x 2 z 2 32 之交线，为一椭圆。
2．设有定圆 O 与动圆 c ，半径均为 a ，动圆在定圆外相切而滚动， 所描曲线的矢量方程。
uuuur解：设 M 点的矢径为 OM rxi yj ， AOC与 x 轴的夹角为uuuur uuur ；因 OM OC uuuurCM 有r xi yj 2acosi 2asin j acos 2 asin 2则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acosacos2 )i (2asinasin2 )j4．求曲线 x t,y2,z 2t 3的一个切向单位矢量解：曲线的矢量方程为ti tdr则其切向矢量为 dt2t j模为|d d r t| 1 4t 24t 4dr 于是切向单位矢量为dt/ | d drt6．求曲线 x asin 2t,y23t 3k2t 2k2t2tj 2t 2k21 2t 2asin 2t,z acost,在 t处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 r asin2ti asin2tjacostk求动圆上一定点 Mdr asin2ti 2acos2tj asintk dt7. 求曲线 x t 2法平面方程。
解：由题意得 在 t 2 的点 dr dt t 4ai a 2k 22 1, y 4t 3,z 2t 2 6t M (5,5, 4), 曲线矢量方程为 rM 处，切向矢量 dr dt [2tit2在对应于t(t 21)i2 的点 M 处的切线方程和(4t 3)j(2t 26t)k ,4j (4t 6)k] t24i 4j 2kx5于是切线方程为4,即z4于是法平面方程为 2(x5) 2(y 5) (z 4) 0 ，即2x 2y16 0解：曲线切向矢量为dr i dt2tj 3t 2k ， ⑴平面的法矢量为 n i2j k ，由题知ni2tj 3t 2k i 2j k 1 4t 3t 2 0得 t 1,1。
将此依次代入⑴式，得31 1 1 |t 1ijk , | 1 i j kt33 9 27故所求点为1,1 1 , 1,1,13927习题 2解答3t 3k 上的这样的点，使该点的切线平行于平面1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。
1u1 Ax By Cz D切向矢量为8．求曲线 r ti t 2 jx 2y等值面为面 Ax By Cz D 0 平行的空间。
等值面为 z 2 (x 2 y 2)sin 2 c ,(x 2当 sinc 0 时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外） ； 当 sinc 0 时，是除原点外的 xOy 平面。
222．求数量场 u x y经过点 M 1,1,2 的等值面方程。
z解：经过点 M 1,1,2 等值面方程为22即 z x 2y 2，是除去原点的旋转抛物面。
3．已知数量场 u xy ，求场中与直线 x 2y 4 0 相切的等值线方程。
解：设切点为x 0, y 0 ，等值面方程为 xy c x 0 y 0 ，因相切，则斜率为ky01，即 x 0 2y 0 x 02点x 0,y 0 在所给直线上，有x 0 2y 0 4 0解之得 y 0 1,x 0 2 故 xy 22 2 24．求矢量 A xy 2i x 2yj zy 2k 的矢量线方程。
解： 1 场所在的空间区域是除 Ax ByCz D 0 外的空间。
1C 1或Ax By CzAx By Cz D1C10（ C 1 0为任意常数） ，这是与平2 场所在的空间区域是除原点以外的z 2 x 2y 2 的点所组成的空间部分。
0)，22xy z12 121，455矢量线满足的微分方程为 dr 0，dx2或xydy 2 xy dz 2 zy有xdxdx dz ydy,xz解之得2y C1 ,(C 1, C 2为任意常数 )C 2x5. 求矢量场A x 2i y 2j(x y)zk 通过点 M (2,1,1)的矢量线方程。
解 矢量线满足的微分方程为dx 2xdy2ydz (xy)z由 dx2x 2dy 2y得1x按等比定理有d(x 2xy)2ydz (x y)z,即d(x xyy) dz.解得 x zC 2 z .故矢量线方程为C 1,又M(2,1,1)求得 C 11,C 2 2故所求矢量线方程为 1．求数量场 数。
解： 因l cos 4 ,cos 5在点 M(2,0,u4 所以l5x 2z2xi12.习题 3 解答2y 2z 在点2xy j 3z 4k0,cos1) 处有 ux2,0,4i 1 处沿l2xi 2xy j3z 4k 的方向导 3k ，其方向余弦为2xz 34, u y4yz 0, u 3x 2z 2z2y 2 12,4 ?( 4) 0?0 3 ?122．求数量场 u 3x 2z xy z 2在点 M 1, 1,1 处沿曲线 x t, y t 2,z t 3朝t增大一方的方向导数。
解：所求方向导数， 等于函数 u 在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
曲线上点1, 从而在点 M 处沿所取方向，曲线的切向方向导数为dx dt 1,d d y t 2t t1 2,d d z t3t 2t 1 3 ， t12又ux (6xz My ) M 7, u y MxM1, uz M(3x 22z) M5。
于是所求方向导数为u ( M u u u cos )71 (2324 l cos x cosyz M141)14 51414其方向余弦为 cos 14 , cos 143．求数量场 u 1 处沿哪个方向的方向导数最大？x 2yz 3在点 M 2,1,解： 因 grad u l 0grad u cos ， 当 0 时，方向导数最大。
uuugradu M ( i j k)M x y z M3 2 3 2 2(2xyz 3i x 2z 3 j 3x 2yz 2k)4i 4j 12k,即函数 u 沿梯度 grad u M 4i 4j 12k 方向的方向导数最大最大值为grad u M 176 4 11。
124. 画出平面场 u (x 22y 2）中 u 0, 1 ,1, 3,2的等值线，并画出场在22M 1(2, 2) 与点M 2（3, 7） 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向 u 增大的方向。
M 所对应的参数为 t22xy 解：所述等值线的方程为： x 2y 222 xy 220,x 2 y 21, 2,x 2 y 23, 其中第一个又可以写为 4,(如下图 ,图中G 1grad u M 1 ,G 2 grad u M 2,) 由于 grad u xi yj,故 grad u M 12i2j, grad u M 23i7j,由图可见，其图形都符合所论之事实。
u xy yz zx 在点 P 1,2,3 处沿其矢径方向的方向导数。
1 直接应用方向导数公式；2 作为梯度在该方向上的投影。
u( ucos ucos ucos )所以 lPx yz P1 2322 。
5 14 4 1431414。
2 grad u P ( xu iu u j k ) 5i 4j 3k,xyzP123 .又 cos14,cos14 ,cos14uz)Puu(y5,(xz)P 4,xPyPz解： 1 点 P 的矢径 r i 2j 3k,其模 r 14.其方向余弦为(x y) P 3 Px y 0, x y 0 为二直线，其余的都是以5．用以下二法求数量场Ox 轴为实轴的等轴双曲线grad u O 3i 2j 6k,grad u A 6i 3j 0k,其模依次为： 32( 2)2( 6)27, 6232023 5解：所给曲面可视为数量场 u x 2y 2xz 的一张等值面，因此，场 u 在点 M 处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即grad u M (2xy 2z)i x 2 j 2xk 2i j 2k, M M114i 2 14 j314k.故 ul grad u P ?r 05 14 4 143322。
14 146 ，求数量场 u x 22y 2 3z 2 xy 3x2y6z 在点O(0,0,0)与点 A(1,1,1) 处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为？解： grad u ( 2x y 3)i (4y x2)j (6z6)k,于是grad u O 的方向余弦为 cos3 ,cos726 ,cos77grad u A 的方向余弦为 cos,cos 5,cos 0.求使 grad u 0 之点，即求坐标满足2x y 3 0,4y x 2 0, 之点，由此解得 6z 6 0x 2, y 1,z 1 故所求之点为 ( 2,1,1).7．通过梯度求曲面 x 2 y 2xz4 上一点 M (1, 2,3) 处的法线方程。
故所求的法线方程为x1 2 y 2 z 3128．求数量场 u223x 2 5y 2 2z 在点 M 1,1,3 处等值面朝 Oz 轴正向一方的法线方向导数6xi 10yj 2kgrad u 6i 10j 2kM梯度与 z 夹角为钝角，所以沿等值面朝 Oz 轴正向一方的法线方向导数为下穿出 S 的通量 。
解：略4. 求下面矢量场 A 的散度。
2) A (2z 3y)i (3x z) j (y 2x)k;1. 设 S 为上半球面 x 2 22yza 2(z 0), 求矢量场rxi yj zk向上穿过 S 的通量。
【提示：注意 S 的法矢量 n 与 r 同指向】解：r dS r n dS r dS adS a 2 a 2 2 a 3.SS SS2. 设 S 为曲面 x 2 y 2 z 2 a 2 (0 z h), 求流速场v (x y z)k 在单位时间内下 侧穿 S 的流量 Q 。
习题4 y 2)dxdy, 其中 D 为 S 在 xOy 面上的投影区域： x 2 y 2h. 用极坐标计算，有 Q (rcos Drsin r2 )rdrd2h2232 h 3h 212d (r cos r sin r 3)dr [(cos sin ) ]d h 2.0034 2D 3. 设 S 是锥面 z x 2y 2在平面 z 4的下方部分，求矢量场 A 4xzi yzj 3zk 向解：因 grad uy jgrad u2 35(x y x 2解：Q (x y z)dxdyS1) A (x 3yz)i (y 2 xz)j (z 3 xy)k;3) A (1 ysin x)i (xcosy y)j.解：(1) div A 3x2 2y 3z2(2) div A 0(3) div A ycosx xsin y 15.求div A在给定点处的值： (1) A x3i y3j z3k在点M(1,0, 1)处；(2) A 4xi 2xyj z2k在点M (1,1,3)处；(3) A xyzr (r xi yj zk)在点M(1,3,2)处；解：(1) div A M(3x23y23z2)M6(2)div A M(4 2x 2z)M8(3)div A xyzdiv r grad (xyz) r 3xyz (yzi xzj xyk) (xi yj zk)6xyz，故div A M6xyz M36。