(完整版)矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
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4
习题 1 解答
1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1 x acost, y bsint
2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost
解： 1 r a costi bsin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。
2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ， 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面
222
x 2 z 2 32 之交线，为一椭圆。
2．设有定圆 O 与动圆 c ，半径均为 a ，动圆在定圆外相切而滚
动， 所描曲线的矢量方程。
uuuur
解：设 M 点的矢径为 OM r
xi yj ， AOC
与 x 轴的夹角为
uuuur uuur ；因 OM OC uuuur
CM 有
r xi yj 2acos
i 2asin j acos 2 asin 2
则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acos
acos2 )i (2asin
asin2 )j
4．求曲线 x t,y
2
,z 2
t 3
的一个切向单位矢
量
解：曲线的矢量方程为
ti t
dr
则其切向矢量为 dt
2t j
模为|
d d r t
| 1 4t 2
4t 4
dr 于是切向单位矢量为
dt
/ | d d
r
t
6．求曲线 x asin 2
t,y
23
t 3
k
2t 2
k
2t
2tj 2t 2
k
2
1 2t 2
asin 2t,z acost,在 t
处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 r asin
2
ti asin2tj
acostk
求动圆上一定点 M
dr asin2ti 2acos2tj asintk dt
7. 求曲线 x t 2
法平面方程。 解：由题意得 在 t 2 的点 dr dt t 4
ai a 2
k 2
2 1, y 4t 3,z 2t 2 6t M (5,5, 4), 曲线矢量方程为 r
M 处，切向矢量 dr dt [2t
i
t2
在对应于
t
(t 2
1)
i
2 的点 M 处的切线方程和
(4t 3)j
(2t 2
6t)k ,
4j (4t 6)k] t2
4i 4j 2k
x5
于是切线方程为
4
,即
z4
于是法平面方程为 2(x
5) 2(y 5) (z 4) 0 ，
即
2x 2y
16 0
解：曲线切向矢量为
dr i dt
2tj 3t 2k ， ⑴
平面的法矢量为 n i
2j k ，由题知
ni
2tj 3t 2k i 2j k 1 4t 3t 2 0
得 t 1,
1
。将此依次代入⑴
式，
得
3
1 1 1 |
t 1
ij
k , | 1 i j k
t
3
3 9 27
故所求点为
1,1 1 , 1,1
,
1
39
27
习题 2
解答
3
t 3k 上的这样的
点，
使该点的切线平行于平面
1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值
面。
1u
1 Ax By Cz D
切向矢量为
8．求曲线 r ti t 2 j
x 2y
等值面为
面 Ax By Cz D 0 平行的空间。
等值面为 z 2 (x 2 y 2)sin 2 c ,(x 2
当 sinc 0 时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外） ； 当 sinc 0 时，是除原点外的 xOy 平面。
22
2．求数量场 u x y
经过点 M 1,1,2 的等值面方程。 z
解：经过点 M 1,1,2 等值面方程为
22
即 z x 2
y 2
，是除去原点的旋转抛物面。
3．已知数量场 u xy ，求场中与直线 x 2y 4 0 相切的等值线方程。
解：设切点为
x 0
, y 0 ，等值面方程为 xy c x 0 y 0 ，因相切，则斜率为
k
y0
1
，即 x 0 2y 0 x 0
2
点
x 0
,y 0 在所给直线上，有
x 0 2y 0 4 0
解之得 y 0 1,x 0 2 故 xy 2
2 2 2
4．求矢量 A xy 2i x 2yj zy 2
k 的矢量线方程。
解： 1 场所在的空间区域是除 Ax By
Cz D 0 外的空间。 1
C 1或
Ax By Cz
Ax By Cz D
1
C
1
0（ C 1 0为任意常数） ，这是与平
2 场所在的空间区域是除原点以外的
z 2 x 2
y 2 的点所组成的空间部分。
0)，
22
xy z
12 12
1，