§4随机变量函数的分布

§3.4 随机变量函数的分布对离散型随机变量，我们讨论过随机变量函数的分布问题，对一般的随机变量当然也存在同样的问题。

例如，若ξ是N （2,σμ）分布的随机变量，为了解决计算中的查表问题，在中曾经引入变换η=σξa -这个新出现的随机变量η就是原来的随机变量ξ的一个函数。

现在来讨论连续型随机变量函数的分布问题，先介绍一个便于应用的定理。

定理3.1 设ξ是一个连续型随机变量，其密度函数为p (x)，又y =)(x f 严格单调，其反函数)(x h 有连续导数，则=η)(ξf 也是一个连续型随机变量，且其密度函数为⎩⎨⎧<<*=其他,0|],)(|)([)('βαϕy y h y h p y （3.51） 其中α=min{)(-∞f ,)(+∞f }β=min{)(-∞f ,)(+∞f } (证明略)例3.11（略）例3.12（略）2χ—分布 我们先给出下述一个式子：p (x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ-0,00,)2(212x x x ny n我们通常把以上述（3.53）式(其中n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为n 的2χ—分布（2χ读作“卡方”），并记作)(2n χ，它是数理统计中一个重要的分布。

（一）和的分布设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x,y)，现在来求ηξζ+=的分布，按定义为F ζ(y)= P (ζ<y)= P (ηξ+<y)如果),(ηξ表示平面上点的坐标，则P (ηξ+<y)表示点落入ηξ+= y 左边部分的概率(图略)。

由（3.37）式有F ζ(y)=⎰⎰<+yx x dxdx x x p 212121),(=dx dx x x p )),((221⎰⎰∞∞-∞∞- （3.54）如果ξ与η是独立的，由（3.48）知P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数，用P ξ(x)·P η(y)代替（3.54）式中的p (x 1,x 2)便得F ζ(y) =dx dx x p x p ))()((221⎰⎰∞∞-∞∞-ηξ=dx dz x z p x p y))()((11⎰⎰∞∞-∞--ηξ=dz dx x z p x p y))()((11⎰⎰∞-∞∞--ηξ由此可得ζ的密度函数为F ζ(y)= F 'ξ(y)=dx x y p x p ⎰∞∞--)()(ηξ （3.55）由对称性还可得F ζ(y)=dx x p x y p ⎰∞∞--)()(ηξ （3.56）由（3.55）或（3.56）式给出的运算称为卷积，通常简单地记作P ζ=P ξ* P η例3.13（略）我们已经知道某些分布具有可加性，其实还有一些其它分布，也具有可加性，其中2χ—分布的可加性在数理统计中颇为重要，我们这里顺便证明这个结论。

为此，可以讨论更一般形式的一个分布—Γ分布。

如果随机变量ξ具有密度函数为p (x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ--0,00,)(1x x e x xβαααβ （3.57）（其中α>0, β>0为两个常数），这时称ξ是参数为（α,β）的Γ分布的随机变量，相应的分布称作参数为（α,β）的Γ分布，并记作Γ(α,β). 例3.14（略）（二）商的分布设),(ηξ是一个二维连续型随机变量，密度函数为p (x 1,x 2)，现在来求ηξζ=的分布，按照定义F ζ(y)= P (ζ<y)= P (ηζ<y) 若仍然),(ηξ把看成平面上点的坐标，则P (ηζ<y)表示点落入下图中阴影部分的概率。

（图略）利用（3.56）式，有F ζ(y)=⎰⎰<y x x dx dx x xp 2212121),(=⎰⎰><0;21212221),(x y x x dx dx xx p +⎰⎰<<0;21212221),(x y x x dx dx xx p=20121)),((2dx dx x x p yx ⎰⎰∞∞-+20121)),((2dx dx x x p yx ⎰⎰∞-∞于是ζ的密度函数为P ζ(y)=F 'ξ(y)=20222),(dx x y x p x ⎰∞–20222),(dx x y x p x ⎰∞-=⎰∞∞-dx x yx p x ),(|| （3.58）例3.16（略）F —分布 我们先给出下述一个式子：P ζ(y)=21222)()2()2()2(nm nm n m ny y m n m n n m +-+ΓΓ+Γ （3.59）我们通常把以上述（3.59）式(其中m ，n 是参数)为密度函数的分布称为是参数为m ，n 的F —分布，并记作F (n ，m )，它也是数理统计中最常用的分布之一。

引理3.1 若随机变量ξ与η相互独立,又)(x f 、)(x g 是两个连续或逐段连续的函数，则)(x f 与)(ηg 相互独立。

这个引理的结论在直觉上可以说是显然的。

因为ξ与η的取值既然是独立的，也就是互相没有牵连，那么它们的函数)(x f 、)(x g 的取值也是没有牵连的，这就是说它们是独立的。

t —分布 我们先给出下述一个式子：P ζ(y)=212)1()2(2)21(+-+Γ+Γn n y n n π （3.60）我们通常把以上述（3.60）式(其中n 是参数)为密度函数的分布称为是自由度为n 的t —分布它也是数理统计中常用的分布之一。

入分布函数时，我们已经知道描述一般随机变量的统计规律需要用分布函数F (x)=P (x <ξ)，以代替离散场合用的分布列P (a =ξ)，在引入独立性的定义时，也作这样的替代，这时就有下面的定义。

定义 3.5 设二维随机变量(ηξ,)的联合分布函数为F (x,y)，又ξ与η的分布函数为F ξ(x)、F η(y)，若对任意的(x,y)有F (x,y)= F ξ(x)·F η(y) （3.47）成立，则称随机变量ξ与η是相互独立的。

如果(ηξ,)是二维连续型随机变量，则ξ与η也都是连续型随机变量，它们的密度函数分别为P ξ(x)及P η(y)。

这时容易验证ξ与η独立的充要条件为P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数 （3.48）现在来验证这一结论。

如果已知P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数，就有F (x,y)=dudv v p u p xy⎰⎰∞-∞-)(*)(ηξ=dv v p du u p xy⎰⎰∞-∞-*)()(ηξ= F (x,y)= F ξ(x)·F η(y)故（3.47）式成立；反之，若已知（3.47）式成立，则F (x,y)= F ξ(x)·F η(y)=dv v p du u p xy⎰⎰∞-∞-*)()(ηξ=dudv v p u p x y⎰⎰∞-∞-)(*)(ηξ对任意的(x,y)成立，因而P ξ(x)·P η(y)是(ηξ,)的密度函数（3.48）式成立。

由此可知，要判断连续型随机变量ξ与η是否独立？只要验证P ξ(x)·P η(y)是否是(ηξ,)的密度函数就可以了。

一般说来，这是比较容易的。

例3.10 若二维随机变量(ηξ,)服从N (1a ,1a ,21σ,22σ,0)分布，问ξ与η是否独立？解 这),(ηξ时有密度函数),(y x p =])()([21212222212121σσσπσa y a x e -+--由例3.8可知P ξ(x)=21212)(121σπσa x e--P ξ(x)=22222)(221σσa y e--显然这时P ξ(x)·P η(y)= p (x,y)成立，所以ξ与η相互独立。

反之，若ξ与η独立，则必有ρ=0。

所以对二维正态随机变量N (1a ,1a ,21σ,22σ,0)来说，ρ=0是它们相互独立的充要条件。

这一节我们从一般的n 维随机变量的定义出发，而后对二维随机变量作了较多的讨论，这主要是为了叙述和学习方便的缘故。

其实，把对二维的讨论推广到n 维，并没有什么实质性的困难。

例如，对n 维随机变量的独立性，就有下述定义。

定义3.6 设n 维随机变量(1ξ，2ξ，…，n ξ)的联合分布函数为F （x 1，x 2，… ，x n ），其边际分布为F 1ξ(x 1), F 2ξ(x 2),…, F n ξ(x n )，如果对任意的（x 1，x 2，… ，x n），有F （x 1，x 2，… ，x n ）= F 1ξ(x 1)·F 2ξ(x 2),…, F n ξ(x n ) （3.49）成立，则称1ξ，2ξ，…，n ξ是n 个相互独立的随机变量。

如果(1ξ，2ξ，…，n ξ)是连续型随机变量，相应的边际密度函数为p 1ξ(x 1),p 2ξ(x 2),…, p n ξ(x n )，则的等价形式为p 1ξ(x 1)·p 2ξ(x 2),…,p n ξ(x n )是(1ξ，2ξ，…，n ξ)的密度函数。

（3.50）。