线面垂直_面面垂直的性质定理
线面定理性质
线面、面面平行和垂直的定理性质
一、线面平行
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：
二、面面平行
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：
变形：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：
（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示：
（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
变形：垂直于同一条直线的两个平面平行
四、面面垂直
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直）
其他：两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角，则这两个平面互相垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
线面垂直面面垂直的性质定理
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)20世纪初，孙中山提出“民族、民权、
民生”三民主义，成为以后辛亥革命
的
指导思想。
(2)三民主义没有明确提出反帝要求，也
没
有提出废除封建土地制度，是一个
不彻
底的资产阶级革命纲领。
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵 制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D 三项表述都有错误。 答案：A
D．航空运输
解析：根据所学1872年李鸿章创办轮船招商局，这是洋务
运动中由军工企业转向兼办民用企业、由官办转向官督商
办的第一个企业。具有打破外轮垄断中国航运业的积极意
义，这在一定程度上保护了中国的权利。据此本题选C项。
答案：C
2. 右图是1909年《民呼日报》上登载的 一幅漫画，其要表达的主题是( ) A．帝国主义掠夺中国铁路权益 B．西方国家学习中国文化 C．西方列强掀起瓜分中国狂潮 D．西方八国组成联军侵略中国
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为
机械动力牵引的新式交通工具，火车、
立体几何线面与面面垂直的证明
那么另一条也垂直于这个平 a 的无数条直线”是“ I 丄a B.必要不充分条件线面垂直与面面垂直专题复习【知识点】一.线面垂直(1) 直线与平面垂直的定义：如果直线l 和平面a 的 __________________ 一条直线都垂直，我们就说直线 I 与平面a 垂直,记作 _____________ .重要性质： ____________________________________________________________________________(2) 直线与平面垂直的判定方法：①判定定理：一条直线与一个平面的两条 ___________________ 都垂直，那么这条直线就垂直于这 个平面.用符号表示为：②常用结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 面.用符号可表示为：(3)直线与平面垂直的性质：① 由直线和平面垂直的定义知：直线与平面垂直，则直线垂直于平面的 ________ 直线.② 性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.用符号可表示为： 二、面面垂直(1) 平面与平面垂直的定义：两平面相交，如果它们所成的二面角是 _____________________ ，就说这两个平面互相垂直.(2) 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条 _____________________ ，那么这两个平面互相垂直.简述为 "线面垂直，则面面垂直”，用符号可表示为：(3)平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 用符号可表示为：【题型总结】 题型一小题：判断正误1. “直线I 垂直于平面 A.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知如图，六棱锥 P — ABCDE 的底面是正六边形， 下列结论不正确的是( ).A.CD// 平面 PAFB. DF 丄平面 PAFC. CF//平面 PAB 2.设m n, I 是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，判断命题正误:理科数学复习专题立体几何①m,m ,则//⑥m n, m// ,则n②m,// ,则m⑦m n,n 1,则m//l③m,m//n,则n⑧, ,则〃④m,n ,则m//n⑨m n,n//I,则m 1⑤m,m n,则n//⑩,//，则题型「二证明线面垂直P归纳：①证明异面直线垂直的常用方法：_________________________________________②找垂线（线线垂直）的方法一：______________________________________________ 2.四棱锥P ABCD中，底面ABCD的边长PD PB 4, BAD 600, E 为PA 中点•1如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形,/ DAB = 60° AB= 2AD, PD 丄底面ABCD .（1）证明：BD丄面PAD （2）证明：PA丄BD;求证：BD 平面PAC ；4的菱形,归纳：找垂线（线线垂直）的方法找垂线（线线垂直）的方法三：3、如图，AB是圆0的直径，C是圆0上不同于A, B的一点，PA 平面ABC , E是PC 的中点，AB 3 , PA AC 1.求证：AE PB•Z归纳：找垂线（线线垂直）的方法四：____________________________________4.如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC, BCA 900,AP=AC,点D , E分别为棱PB、PC的中点，且BC〃平面ADE求证：DE丄平面PAC ;归纳：_____________________________________________________________________________________ 题型三面面垂直的证明（关键：找线面垂直）1、如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD 的交点，SA 平面ABCD.求证：平面SAC 平面SBD ;2. （2016理数）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中面ABEF 为正方形,AF=2FD, AFD 90：,证明：平面ABEF 平面EFDC ;题型四面面垂直的性质（注意：交线）1、如图所示，平面EAD 平面ABCD , ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点, 求证：EG 平面ABCD ；2、如图，平行四边形ABCD中，CD 1, BCD 600, BD CD，正方形ADEF，且面ADEF 面ABCD •求证：BD 平面ECD ;综合运用如图所示，PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1) 求证：MN //平面PAD.(2) 求证：MN丄CD.⑶若/ PDA = 45 °求证：面BMN丄平面PCD.【练习】1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:金a〃b a M a M a//M① b M ②a//b ③b/ M ④b± Ma Mb M a b a b其中正确的命题是( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.给出以下四个命题：CD如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直 面面垂直
直
定义
性质
问题2 , a , a ,判断a与位置关系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已知平面，，直线a,且 , AB,
a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
α
Aa
β
a⊥β
符号语言：
ab
a ,b a / /b
α
线面垂垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则：注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
B
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
b
bl
l
b 又a
线面垂直
a // b 性质
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果 ，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .求证：AB DE ⊥ 9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PADVDCBA SA10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。
面面垂直推线面垂直定理
面面垂直推线面垂直定理
面面垂直，一面内有一直线垂直于这两面交线，得到线面垂直。
已知α⊥β，
α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP?α。
求OP⊥β。
过O在β内作OQ⊥l，由二面角知识可知
∠POQ是二面角α-l-β的平面角。
因为α⊥β所以∠POQ=90°，即OP⊥OQ，因为OP⊥l，l∩OQ=O，l?β，OQ?β，所以OP⊥β。
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
直线与平面垂直定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条
直线与此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数
学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论
入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。
性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。
性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。
性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线
也垂直于这个平面。
性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。
推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。
该推论意味
着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。
由性质定理2可知，过空间内一点无论是否在已知平面上，有且只有一条直线与平面
垂直。
下面就讨论如何作出这条唯一的直线。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
线面垂直性质
符号语言：a b
a // b
ab
图形语言：
O
简述为：线面垂直 线线平行
已知：直线l∥平面a 则有：直线l上各点到平面a的距离相等。
直线和平面的距离：
b A lB
如果一条直线和一个平面平
行，这条直线上任意一点到
这个平面的距离，叫做这条
A’
B’
直线和这个平面的距离．
例：如图，P是△ABC所在平面外的一 点，PA⊥PB , PB⊥PC , PC⊥PA , H是 △ABC的垂心 , 求证：PH⊥平面ABC
线面垂直的性质
复习
直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线 都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
符号表示：
m ,n
l
m nP
l
l m,l n
P
mn
简记为：线线垂直
线面垂直
直线与平面垂直的性质1：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线垂直于面上任意直线．（定义）
符号语言：a b
a
b
ab
图形语言：
O
简述为：线面垂直 线线垂直
直线与平面垂直的性质2：
推论1
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于这个平面．
符号语言：a / /b
a
b a b
图形语言： O
直线与平面垂直的性质3：
推论2
如果两条直线同时垂直于一个平面，
那么这两条直线直
C EH D
B
线线垂直
练习
12.如图,在三棱锥V ABC中,VA VC, AB BC 求证VB AC
V
.D
C
A
线面垂直判定与性质
•知识点1•直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直 •2. 线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面 判定定理： ______ . 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 .3. 三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜 线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平 面上的射影垂直. •题型示例【例1】 如图所示，已知点 S 是平面ABC 外一点，/ ABC=90 ° , SA 丄平面 ABC ，点A 在直线SB 和SC 上的 射影分别为点 E 、F ，求证：EF 丄SC.【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF 丄SC 成立，结合 AF 丄SC 可推证SC 丄平面AEF ，这样 SC ± AE ,结合AE 丄SB ,可推证 AE 丄平面SBC ,因此证明 AE 丄平面SBC 是解决本题的关键环节.由题设SA 丄平面ABC , / ABC=90。
，可以推证 BC 丄AE ,结合 AE 丄SB 完成AE 丄平 面SBC 的证明.【规范解答】【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解线面垂直例1题图决问题的关键•【例2】已知：M A N=AB,PQ丄M于Q , P0丄N于O, 0R丄M于R,求证：QR丄AB.【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有(1) a // b,a丄c= b丄c;(2)a丄a ,b~ a = a丄b;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”“四条线” •所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.【例3】已知如图⑴所示，矩形纸片AA' A' !A I,B、C、B i、C i分别为AA' ,A i A'的三等分点，将矩形纸片沿BB i,CC i折成如图⑵形状(正三棱柱)，若面对角线AB i丄BC i，求证:A i C丄AB i.例3题图解(i)【解前点津】题设主要条件是AB i丄BC,而结论是AB i丄A i C，题设，题断有对答性，可在2 / i0ABB i A i上作文章，只要取A I B I中点D i，就把异面直线AB i与BC i垂直关系转换到ABB J A I同一平面内AB i与BD i 垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理•自然想到题断AB i与A i C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB 中点D即可，只要证得A i D垂直于AB i，事实上DBD i A i,为平行四边形，解题路子清楚了•【解后归纳】证线线垂直主要途径是：（i）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化• 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法【例4】空间三条线段AB,BC,CD,AB丄BC,BC丄CD,已知AB=3,BC=4,CD=6,则AD的取值范围是____________ •【解前点津】如图，在直角梯形ABCD i中,CD i=6,AD i的长是AD的最小值，其中AH丄CD i,AH=BC=4,HD i=3,••• AD i=5;在直角△ AHD 2中,CD2=6,AD2是AD的最大值为.HD；AH 2= ；（6 3）242 = 97例4题图a//b =b_Ma _M b_ M =allha_M③ a：b Mal/M④a_b "丄M.D.①②④B.DM丄平面PEFC.PM丄平面A. DP丄平面PEF4. 设a、b是异面直线，下列命题正确的是（A. 过不在a、b上的一点P 一定可以作一条直线和B. 过不在a、b上的一点P 一定可以作一个平面和C. 过a 一定可以作一个平面与b垂直D. 过a 一定可以作一个平面与b平行5. 如果直线l,m与平面a ,3，丫满足：1= 3门Y ,l II DEF D. PF 丄平面DEF）a、b都相交a、b都垂直A. a丄丫且I丄m6.AB是圆的直径，的距离为（）,m：- a和m l 丫，那么必有（）C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，贝U P到ABA.1B.2 2.5C.-53.5D.-5【解后归纳】本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手，其实冷静分析, 找出隐藏的条件很容易得出结论••对应训练分阶提升一、基础夯实1•设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:其中正确的命题是（）A. ①②B.①②③C.②③④2. 下列命题中正确的是（）A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C. 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D. 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3. 如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把厶ADE、△ CDF和厶BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P —DEF中，必第3题图7. 有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行;£ B E个平面与a垂直; ②过平面a的一条斜线I有且仅有-二、思维激活11.如图AB 是斜边，三个顶点在平面 a 的同侧，它们在a 内的射 B ' C '是正三角形，且 AA '= 3cm, BB '= 5cm, CC '= 4cm ,ZV71:\1 \ i*广\ // *BC第12题图12. 如图所示，在直四棱柱A i B i C i D i — B i D i （注:填上你认为正确的一种条件即可 13. 如图所示，在三棱锥 V — ABC 中，当三条侧棱 VA 、VB 、VC 之间满足条件 VC 丄AB.（注：填上你认为正确的一种条件即可）ABCD 满足条件 ，不必考虑所有可能的情形） 时，有A i C时，有③ 异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与 b 都不垂直其中正确命题的个数为 （）A.0B.1C.2D.38. d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面 a 、 3满足a 丄a, b 丄B ，则下面正确的结论是 （ ）A. a 与3必相交且交线m // d 或m 与d 重合B. a 与3必相交且交线 m // d 但m 与d 不重合C. a 与3必相交且交线 m 与d 一定不平行D. a 与3不一定相交9. 设I 、m 为直线，a 为平面，且I 丄a ，给出下列命题①若m l a ,贝U m// I ;②若m 丄I ,贝U m // a ;③若m // a ，贝U m ± I ;④若m // I ，贝U m ± a , 其中真命题的序号是 （）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10. 已知直线I 丄平面a ，直线m 平面3，给出下列四个命题：①若a // 3，贝y I 丄m ；②若a 丄3，则I // m ；③若I // m ,则a 丄3 ；④若I 丄m ,则a // 3 . 其中正确的命题是 （ ）A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②三、能力提高14. 如图所示，三棱锥V-ABC 中,AH 丄侧面VBC,且 H 是厶VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高. （1） 求证:VC 丄AB;（2） 若二面角E — AB — C 的大小为30° ,求VC 与平面ABC 所成角的大小.15. 如图所示，PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1) 求证：MN //平面FAD.(2) 求证：MN丄CD.⑶若/ PDA = 45 °，求证：MN丄平面FCD.16. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，/ BAD = 60 ° , AB = 4, AD=2，侧棱PB = J5 , PD = ,3 .(1)求证：BD丄平面PAD.(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P —BC—A的大小.17. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1 中，/ ACB=90 °，/BAC=30° ,BC=1 , AA j= .. 6 , M 是CC1 的中点, 求证：AB」A1M .A M B第15题图第16题图18. 如图所示，正方体 ABCD — A ' B ' C ' D '的棱长为a , M 是AD 的中点，N 是BD '上一点, 且 D ' N : NB = 1 : 2, MC 与 BD 交于 P.(1) 求证：NP 丄平面 ABCD.(2) 求平面PNC 与平面CC ' D ' D 所成的角 (3) 求点C 到平面D ' MB 的距离.第18题图第4课线面垂直习题解答1. A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行 .2. C 由线面垂直的性质定理可知.3. A 折后 DP 丄 PE,DP 丄 PF , PE 丄 PF.4. D 过a 上任一点作直线 b '// b,则a , b '确定的平面与直线 b 平行.5. A映世总,m 丄 丫且m U a ，则必有a 丄丫，又因为1= 3 n Y 则有I U 丫，而m 丄丫贝U I 丄m,故选A. 22—AC BC 26. DP 作 PD 丄 AB 于 D ，连 CD ，贝U CD 丄 AB , AB=、AC BC - 5 , CDAB f7. D 由定理及性质知三个命题均正确 .8. A 显然a 与3不平行•9. D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直 10. B Ta// 3 , I 丄 a ,• I 丄 m 11.3cm 2设正三角A ' B ' C '的边长为a.22 2 2 2 2 2 ,…AC =a +1,BC =a +1,AB =a +4,A B••• PD= , PC 2 CD 2i5.证明: 又 AC 2+BC 2=AB 2,「・ a 2=2.=H 3232S ^A B ，C 一a cm .4212. 在直四棱柱A i B i C i D i —ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC 丄BD （或任何能推导出这个条件 的其它条件，例如 ABCD 是正方形，菱形等）时,有A I C 丄B i D i （注:填上你认为正确的一种条件即可 不必考虑所有可能的情形）.点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线 定理但答案不惟一，要求思维应灵活13. VC 丄 VA , VC 丄AB.由 VC 丄VA , VC 丄AB 知 VC 丄平面 VAB. 14. (i)证明：•/ HVBC 的垂心,••• VC 丄BE,又AH 丄平面VBC,••• BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影，• AB 丄VC. (2)解:由(i)知 VC 丄 AB,VC 丄 BE,• VC 丄平面 ABE,在平面 ABE 上，作ED 丄AB,又AB 丄VC, • AB 丄面 DEC.• AB 丄CD, •••/ EDC 为二面角 E —AB — C 的平面角， •••/ EDC=30 ° ,••• AB 丄平面 VCD, •VC 在底面 ABC 上的射影为 CD .•••/ VCD 为VC 与底面 ABC 所成角，又VC 丄AB,VC 丄BE, • VC 丄面 ABE, • VC 丄DE, :丄 CED=90 °，故/ ECD=60 ° ,• VC 与面ABC 所成角为60° .（1）如图所示，取 PD 的中点E ,连结AE , EN ,1 1则有 EN // CD // AB // AM , EN = - CD = - AB = AM ，故 AMNE 为平行四边形 2 2 • MN // AE.•/ AE 平面 PAD , MN 平面 PAD , • MN //平面 PAD. (2) •/ PA 丄平面 ABCD , • PA 丄 AB.又AD 丄AB , • AB 丄平面 PAD. • AB 丄AE ,即卩AB 丄MN. 又 CD // AB , • MN 丄 CD.(3) •/ PA 丄平面 ABCD , • PA 丄 AD. 又/ PDA = 45° , E 为PD 的中点. • AE 丄 PD ,即 MN 丄 PD.又 MN 丄 CD , • MN 丄平面PCD.16.如图(1)证：由已知 AB = 4 , AD =2, / BAD = 60° ,2 2 21第15题图解故BD = AD +AB -2AD • ABcos60°= 4+16-2 X 2X 4 X - = 12.2tan Z PFE =PEEF22、3.317.连结AC1,ACMC1CC1■-6C1A1又AB2= AD2+BD2,•••△ABD是直角三角形，/ ADB = 90°,即AD 丄BD.在厶PDB 中，PD = 3 , PB= ..15 , BD = .. 12 ,•PB2= PD2+BD2，故得PD 丄BD.又PD n AD = D,•BD丄平面FAD.⑵由BD丄平面FAD, BD 平面ABCD.•平面PAD丄平面ABCD .作PE丄AD于E,又PE平面PAD,•PE丄平面ABCD，•/ PDE是PD与底面ABCD所成的角.•/ PDE = 60°,「. PE = PDsin60°=汉也=?2 2 '作EF丄BC于F，连PF，贝U PF丄BF ,•Z PFE是二面角P—BC—A的平面角.又EF = BD = ,12，在Rt△ PEF 中，J3 故二面角P —BC—A的大小为arctan——4•Rt △ACC [S Rt △MC1A1,•Z AC Q= Z MA1C1,•Z A1MC1 + Z AC1C= Z A1MC 计Z MA1C1=90 °.•A1M丄AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，•CC1 丄B1C1，又BQ」A1C1,「・B1C1 丄平面AC1M.由三垂线定理知AB1丄A1M.点评：要证AB1I A1M，因B1C1丄平面AC1,由三垂线定理可转化成证AC1 JA1M，而AC1I A1M 一定会成立.18.(1)证明：在正方形ABCD中，•/△ MPD CPB, 且MD =】BC2 ，• DP : PB= MD : BC = 1 : 2.又已知D' N : NB= 1 : 2,由平行截割定理的逆定理得NP // DD '，又DD '丄平面ABCD ,••• NP 丄平面 ABCD.(2) •/ NP // DD '// CC• NP 、CC '在同一平面内，CC '为平面NPC 与平面CC ' D ' D 所成二面角的棱• 又由CC '丄平面 ABCD ，得CC '丄CD , CC '丄CM ,•••/ MCD 为该二面角的平面角•在Rt △ MCD 中可知/ MCD = arctan 1，即为所求二面角的大小 .2a 2 .c⑶由已知棱长为a 可得，等腰△ MBC 面积S i = 2 ，等腰△ MBD '面积$2=4 a 2 ,设所求距离为 h ,即为三棱锥C —D ' MB 的高.•••三棱锥D '— BCM 体积为1S 1 D^=丄&人,3 3S 1 a■. 6--h a. S 2 3。
高中数学线面、面面垂直的判定与性质
线面、面面垂直的判定与性质知识回顾1．直线与平面垂直的判定（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．（2）判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．4．平面与平面的垂直的判定（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．（2）面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．题型讲解题型一例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交答案：C例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案：A例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．题型二例4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C例5、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ．求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． ∴ON12CD 12AB ， ∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．题型三例6、直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于( )A ．40°B ．50°C ．90°D ．150°答案：B例7、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________． 答案：(1)45° (2)30° (3)90° 题型四例6、在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．32答案：B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角． ∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．]例7、过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．答案：45° 题型五例8、下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β答案：C例9、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．9．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．题型六例10、平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能答案：D例11、如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．11．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24． ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝163．跟踪训练1．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )A ．33B ．22C ． 2D ． 3答案：C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥A 1O ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1AAO＝2，∴选C.2．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个 C ．有且只有一个或无数个 D ．可能不存在答案：C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 答案：A[解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C. 又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C.而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C.又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C.故选A. 4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________．答案：90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A －A′BB′的体积V ＝________.答案： 4[解析] ∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′， ∴AA′⊥β，∴V ＝13S △A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.6. 如图所示，已知PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E .求证：AE ⊥平面PBC .证明 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC . 而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . 又∵AE ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AE .又∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .7．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE.证明 取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF. ∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE.∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE.则GF ∥AB. 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB.则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD.∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF. 又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ， ∴AF ⊥平面CDE.∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE.∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE.8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．证明(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P－BC－D是45°的二面角．6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，且BC1⊥A1C．(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)若D、E分别是A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1.11解析： (1)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ， ∴ACC 1A 1为正方形， ∴A 1C ⊥AC 1.又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面ABC 1， 又∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC 1.(2)如图，取AA 1的中点F ，连接DF 、EF.∵D 、E 、F 分别为A 1C 1、BB 1、AA 1的中点， ∴DF ∥AC 1，EF ∥AB ，DF∩EF ＝F ， ∴平面DEF ∥平面ABC 1， ∴DE ∥平面ABC 1.。
(精选)面面垂直性质定理
（精选）面面垂直性质定理
1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
判定定理：
直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
线面垂直的判定与性质
线面垂直线面垂直●知识点1.直线和平面垂直定义直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. ●题型示例【例1】 如图所示，已知点S 是平面ABC 外一点，外一点， ∠ABC =90°，SA ⊥平面ABC ，点A 在直线SB 和SC 上的上的 射影分别为点E 、F ，求证：EF ⊥SC . 【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF ⊥SC 成立，结合AF ⊥SC 可推证SC ⊥平面AEF ，这样，这样 SC ⊥AE ，结合AE ⊥SB ，可推证AE ⊥平面SBC ，因此证明，因此证明 AE ⊥平面SBC 是解决本题的关键环节.由题设SA ⊥平面ABC ， ∠ABC =90°，可以推证BC ⊥AE ，结合AE ⊥SB 完成AE ⊥平⊥平 面SBC 的证明. 【规范解答】【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键. 例1题图题图【例2】 已知：M ∩N =AB ,PQ ⊥M 于Q ，PO ⊥N 于O ，OR ⊥M 于R ，求证：QR ⊥AB . 【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a ∥b ,a ⊥c Þb ⊥c ;(2)a ⊥α,b ÌαÞa ⊥b ;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA ′A ′1A 1,B 、C 、B 1、C 1 分别为AA ′,A 1A ′的三等分点，将矩形纸片沿BB 1,CC 1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB 1⊥BC 1，求证:A 1C ⊥AB 1. 【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥BC ，而结论是AB 1⊥A 1C ，题设，题断有对答性，可在ABB 1A 1上作文章，只要取A 1B 1中点D 1，就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ABB 1A 1同一平面内AB 1与BD 1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理自然想到题断AB 1与A 1C垂直用同法（对称原理）例3题图解(1) 转换到同一平面，取AB 中点D 即可，只要证得A 1D 垂直于AB 1，事实上DBD 1A 1，为平行四边形，解题路子清楚了. 【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：证线线垂直主要途径是： （1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化. 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务. 证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法. 【例4】 空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值范围是 . 【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6, AD 1的长是AD 的最小值,其中AH ⊥CD 1,AH =BC =4,HD 1=3, ∴AD 1=5;在直角△AHD 2中,CD 2=6,AD 2是AD 的最大值为的最大值为974)36(22222=++=+AH HD【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论. 例4题图题图●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：表示直线，给出下列四个命题：①M b M a b a ^Þþýü^// ②b a M b M a //Þþýü^^ ③Þþýü^^b a M a b ∥M ④Þþýü^b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是其中正确的命题是 ( ) A.①②①② B.①②③①②③ C.②③④②③④ D.①②④①②④ 2.下列命题中正确的是下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) A.DP ⊥平面PEFB.DM ⊥平面PEFC.PM ⊥平面DEFD.PF ⊥平面DEF 4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行平行5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m Ìα和m ⊥γ,那么必有那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为的距离为 ( ) A.1 B.2 C.552 D.553 7.有三个命题：有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直都不垂直 其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是，则下面正确的结论是 ( ) 第3题图题图A.α与β必相交且交线m∥d 或m 与d 重合重合 B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合不重合 C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行一定不平行 D.α与β不一定相交不一定相交9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题，给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是的序号是 ( ) A.①②③①②③ B.①②④①②④ C.②③④②③④ D.①③④①③④ 10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确的命题是其中正确的命题是 ( ) A.③与④③与④B.①与③①与③C.②与④②与④D.①与②①与②二、思维激活11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是′的面积是 . 12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件满足条件时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件之间满足条件 时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可) 三、能力提高14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高. (1)求证:VC ⊥AB ; (2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC 所成角的大小. 第11题图题图第12题图题图第13题图题图第14题图题图15.如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面P AD . (2)求证：MN ⊥CD . (3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 16.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝60°，AB ＝4，AD ＝2，侧棱PB ＝15，PD ＝3. (1)求证：BD ⊥平面P AD . (2)若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 的大小. 17.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1，AA 1=6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M ．18.如图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 是AD 的中点，N 是BD ′上一点，且D ′N ∶NB ＝1∶2，MC 与BD 交于P . 第15题图题图第16题图题图522+BC AC 52×5354122++CD PC 333定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB . 14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心, ∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC , ∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC . (2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC , ∴AB ⊥面DEC . ∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角，的平面角， ∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD , ∴VC 在底面ABC 上的射影为CD . ∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE , ∴∠CED =90°,故∠ECD=60°, ∴VC 与面ABC 所成角为60°. 15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ，则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝21CD ＝21AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE . ∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . (2)∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥AB . 又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD . ∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN . 又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD . (3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD . 又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点. ∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD . 16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°，°， 故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×21＝12. 又AB 2＝AD 2+BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，°，即AD ⊥BD 在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12， ∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ， ∴BD ⊥平面P AD . (2)由BD ⊥平面P AD，BD 平面ABCD . ∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ， 又PE 平面P AD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD所成的角. 第15题图解题图解第16题图解题图解∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝23233=´. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ， ∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角. 又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中，中，tan ∠PFE ＝433223==EF PE . 故二面角P —BC —A 的大小为arctan 43. 17.连结AC 1，∵11112263A C CC MC AC===. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1，∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°. ∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，为直三棱柱，∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M . 由三垂线定理知AB 1⊥A 1M . 点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立．18.(1)证明：在正方形ABCD 中，中，∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝21BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2. 又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ， ∴NP ⊥平面ABCD . (2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，′，∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ， ∴∠MCD 为该二面角的平面角. 在Rt △MCD 中可知中可知∠MCD ＝arctan21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高. ∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131=¢×，6 1。
2.3.2《线面垂直、面面垂直的性质定理》教学设计(人教A版必修2)
2.3.2 《线面垂直、面面垂直的性质定理》教学设计【教学目标】（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
【导入新课】问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？ 新授课阶段1. 线面垂直的性质定理观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。
如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1、BB 1、CC 1、DD 1所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a ⊥α 、b ⊥α、那么直线a 、b 一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？观察得到：线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
例1如图1，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2。
(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。
图1(1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC 。
又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC 。
因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面PAD 。
故BC ⊥PA 。
(2)如图，在平面PAB 内作BM ⊥PA 于M ，连接CM ，由(1)中知AP ⊥BC ，得AP ⊥平面BMC 。
又AP ⊂平面APC ，所以平面BMC ⊥平面APC 。
在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得AB ＝41.在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2，在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2，所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋DB 2＝36，得PB ＝6，在Rt △POA 中，PA 2＝AO 2＋OP 2＝25，得PA ＝5，又cos ∠BPA ＝PA 2＋PB 2－AB 22PA·PB ＝13， 从而PM ＝PBcos ∠BPA ＝2，所以AM ＝PA －PM ＝3。
面面垂直的性质定理
面面垂直的性质定理
性质定理∶如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
一、面面垂直
（一）定义
若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
（二）性质定理
1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）
二、线面垂直
（一）定义
如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。
是将“三维”问题转化为“二
维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的"桥梁"。
（二）判定定理
直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）∶一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
推论1∶如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
推论2∶如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面.面面平行和垂直的八大定理
一、线面平行.
1.剖断定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直
线与这个平面平行.相符暗示：
2.性质定理：假如一条直线与平面平行,经由这条直线的平面和这
个平面订交,那么这条直线和交线平行. 符号暗示：
二.面面平行.
1.剖断定理：假如一个平面内有两条订交直线分离平行于另一个平面内的两条订交直线,那么这两个平面平行.
符号暗示：
2.性质定理：假如两个平面平行同时与第三个平面订交,那它们的
交线平行. 符号暗示：倍适用的性质：一个平面内的任一向线平行另一平面）
三.线面垂直.
1.剖断定理：假如一条直线与一个平面内的两条订交直线都垂直,
那么这条直线垂直这个平面. 符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线,假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 符号暗示：
2.性质定理：垂直统一平面的两条直线互相平行.（加倍适用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一向线.）
四、面面垂直.
1.剖断定理：经由一个平面的垂线的平面与该平面垂直.
2.性质定理：已知两个平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
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a b
理论迁移
例2 如图，已知 l,CA ,
于点A，CB 于点B，a , a AB,
求证：a // l .
C β
B
α
l
A
a
练习二
1.下列命题中错误的是( )
A.如果平面 , , l, 则l B.如果平面不垂直于平面 ,则内一定不存在 直线垂直于 C.如果平面 ,则内一定存在直线平行于 D.如果平面 ,则内所有直线都垂直于
线面垂直面面垂直的性质
复习引入
1. 直线与平面垂直判定？
l
a A
b
用符号表示?
2.平面与平面垂直的判定定理？
用符号表示?
a
知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理
思考1:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱 AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD
的位置关系如何？它们彼此之间具有什么
AB?⊥
在内引直线BE⊥ CD, 垂足为B,
则∠ ABE是二面角-CD- 的
平面角, 由 ⊥ 知,
AB⊥ BE,又BE与CD
是 内的两条
相交直线.
C
E
D
BA
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直
简记为:面面垂直,则线面垂直.
用符号怎么表示?
l
a
例1.如图,已知平面 , , ,直线a满足a , a 试判断直线 a与平面的关系.
知识探究（二）平面与平面垂直的性质定理
思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 中，平面AA1D1D与平面ABCD垂直,直线 AA1垂直于其交线AD.平面AA1D1D内的 直线AA1与平面ABCD垂直吗？
C1 B1
D1 A1
C
D
B
A
推导:平面与平面垂直的性质定理
设 ⊥ , CD, AB , AB⊥ CD且. AB CD B
位置关系？
C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
思考2:如果直线a，b都垂直于平面 α，由观察可知a//b，从理论上如 何证明这个结论？
a b b’
c
α
O
直线与平面垂直的性质定理.
垂直于同一个平面的两条直线平行
ab
用符号表示?
α
作用:1证明线线平行. 2 作平行线
其它性质:1.直线与平面垂直,则垂直于平面内的任意直线. 2.垂直于同一直线的平面平行.
练习一
❖ 1.判断下列命题正确的是_______ ❖ (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ❖ (2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ❖ (3)一条直线在平面内,另一条直线与主个平面 ❖ 垂直,则这两条直线互相垂直.
2.已知直线a,b和平面,且a b,a ,则b与的
位置关系是_______
❖ 2.已知两个平面垂直,下列命题为真命题的是____
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 一条直线.
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数 条直线.
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面 内任意一点作交线的垂线,则此垂线必 垂直于另一个平面.
选择=结果
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