信号与系统第三次作业

《信号与系统》第三次作业

1. 试由s 域求系统的系统函数，零状态响应，零输入响应及完全响应。

（1）()5()4()2()5(),0y t y t y t f t f t t ''''++=+> 2()()t f t e u t -=，(0)2y -=，(0)5y -'=

①

②

将式中②两边求导后代入式①，随即求得系统的数学模型为

③ 将式③进行拉氏变换，得

④

由于在零状态下，

故有

令 ⑤

则得 Y(s)=H(s)X(s) ⑥

可见，在系统初始不储能的零状态下，系统输出的拉氏变换等于输入的拉氏

变换乘以H(s)，即

⑦

从式⑤、⑥可见，H(s)取决于系统的构成和有关参数（系数），而与输入信

号无关，它反映了输入信号通过系统以后所产生的变化，如系统的输入

x(t)=u(t) ，是有

（2）()3()2()4()3(),0y t y t y t f t f t t ''''++=+>

2()()t f t e u t -=，(0)3y -=，(0)2y -'=

当系统的输入是单位冲激信号，即

，则从式⑥求得 Y(s)=H(s),

y(t)=h(t)

上式表明系统在单位冲激激励下，其输出就等于系统的单位冲激响应

，如图所示，它恰好等于系统函数的拉氏反变换。所以系统函数又可定义为单位冲激响应的拉氏变换，即

⑧

LTI 连续系统的单位冲激响应 一旦测得系统的冲激响应，随即求得系统函数。同理，已知系统函数，随即求得相应的冲激响应。

系统函数 H(s) 在s 域表征连续系统的传输特性，而单位冲激响应 h(t) 是在时域描述连续系统的时间特性，因此它是时域分析最基本和最重要的特性参数。

2. 求离散时间LTI 系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。

（1）1[][1][]3y k y k f k --=，1[][]3k

f k u k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[1]1y -= 通过以上分析，若已知一个连续系统在

作用下的零状态响应 h(t) ，则利用LTI 系统的叠加性和非时变性，不难求得在任一信号作用下系统的零状态响应，从第三章式(3.1)得知，一个非周期信号可以分解为一系列冲激信号的线性组合。

按非时变性质，系统在

作用下零状态响应为

，故对

的响应应为

。利用线性系统叠加性质，求得系统对激励信号

的零状态响应为

①

上式说明，LTI系统的零状态响应

等于激励信号x(t)与系统单位冲激响应h(t)的卷积积分，简称卷积如图所示。该式反映了系统输入与输出之间

的关系，所以也是LTI系统的一种数学模型。在积分式中是积分变量，t是参变量，所以卷积结构是t的函数。当信号有不连续点或为有限长时限信号时，定义式①的积分上下限要发生变化。如果信号 x(t)在t=0时接入，在

t<0时等于零，则式①中的积分下限取零。此外，对于物理可实现的因果系统，由于在t<0时h(t)=0 ,所以在

即时，式①中的

，

于是该式中的积分上限应改写为t，即

(a) s域表示； (b) 时域表示

LTI系统的方块图

利用卷积法求系统的零状态响应，无论对系统的分析还是综合都要重要意义。因为在实际中对系统设计，初始状态均为零，不存在零输入响应，即使对系统分析，通过4.3节讨论将会知道，零输入响应也可以转化为零状态响应来求解。

（2）

1

[][1][][1]

3

y k y k f k f k

--=+-，

1

[][]

2

k

f k u k

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

，[1]1

y-=

交换律

表明卷积积分的次序可以任意交换。

分配律

表明LTI系统对n个输入相加信号的零状态响应于每人输入信号零状态响应的叠加。

结合律

与的两个LTI系统相级联，等效于冲激响应

表明冲激响应分别为

利用这些性质可以简化卷积运算。如图所示系统，由于

y(t)=x(t)*h1(t)+x(t)*h2(t)=x(t)*[h1(t)+h2(t)]

所以把两个卷积运算简化为一个卷积运算。同时表明，并联系统的冲激响应

等于各并联子系统冲激响应之和。同理可以证明，一个级联的因果系统，其冲

…。

激响应等于各级联子系统冲激响应的卷积，即

两个LTI并联系统