第四章 信号的频域分析 6 信号的时域抽样
时域抽样
n
x (t nT ) xT (t )
例:已知x(t)，求x2(t)。
x(t) 1 0
x (t+2) x2(t) 1 x (t)
xT (t )
n
x (t nT )
1
t
x (t-2)
1
0
1
2
t
抽样
连续信号频谱X(jw)与理想抽样信号频谱Xs(jw)的关系
m
xa m T m T ht d
m
x m T ht m T
a
m
xa m T sin c[
T
t m T ]
*输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。
抽样
3）内插函数 sin c[ (t mT )] 的特性： T
0.8 π
X ( e j )
1 T
抽样
0
w sam 2w m
wm T wm
1 T
2π 2w m
内插函数波形
在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上， 其值为0。这保证了各抽样点上信号值不变。
抽样
4) xa t xa m Tsin c[ t m T] 的说明 T m
（1）在抽样点上，信号值不变； （2）抽样点之间的信号则由各抽样函 数波形的延伸叠加而成。 xa (t )
信号的抽样
•连续信号频谱X(jΩ)与抽样信号频谱X (ejw )的关系 •时域抽样定理 •抗混叠滤波
•信号的重建
•连续信号的离散处理
抽样
本节主要介绍模拟信号与数字信号 之间相互转换的基本数学原理。 为了利用数字系统来处理模拟信号， 必须先将模拟信号转换成数字信号，在 数字系统中进行处理后在转换成模拟信 号。其典型框图如下：
实验四时域抽样与频域抽样
实验四 时域抽样与频域抽样一、实验目的加深理解连续时间信号的离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握时域抽样定理的基本内容。
掌握由抽样序列重建原连续信号的基本原理与实现方法，理解其工程概念。
加深理解频谱离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握频域抽样定理的基本内容。
二、 实验原理时域抽样定理给出了连续信号抽样过程中信号不失真的约束条件：对于基带信号，信号抽样频率sam f 大于等于2倍的信号最高频率m f ，即m sam f f 2≥。
时域抽样是把连续信号x (t )变成适于数字系统处理的离散信号x [k ] ；信号重建是将离散信号x [k ]转换为连续时间信号x (t )。
非周期离散信号的频谱是连续的周期谱。
计算机在分析离散信号的频谱时，必须将其连续频谱离散化。
频域抽样定理给出了连续频谱抽样过程中信号不失真的约束条件。
三．实验内容1. 为了观察连续信号时域抽样时抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进行抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产生不同波形的原因，提出改进措施。
)102cos()(1t t x ⨯=π)502cos()(2t t x ⨯=π)0102cos()(3t t x ⨯=π（1）t0 = 0:0.001:0.1;x0 =cos(2*pi*10*t0);plot(t0,x0,'r')hold onFs = 50;t=0:1/Fs:0.1;x=cos(2*pi*10*t);stem(t,x);hold offtitle('x1(t)及其抽样信号')（2）t0 = 0:0.001:0.1;x0 =cos(2*pi*50*t0);plot(t0,x0,'r')hold onFs = 50;t=0:1/Fs:0.1;x=cos(2*pi*50*t);stem(t,x);hold offtitle('x1(t)及其抽样信号')（3）t0 = 0:0.001:0.1;x0 =cos(2*pi*100*t0); plot(t0,x0,'r')hold onFs = 50;t=0:1/Fs:0.1;x=cos(2*pi*100*t);stem(t,x);hold offtitle('x1(t)及其抽样信号')x 1(t)的最高谐波频率是10，x 2(t)最高谐波频率是50，x 3(t)的最高频率是100，根据采样定理，采样频率至少是最高频率的两倍，题目给出的采样频率是50hz ，大于x 1(t)的最高谐波频率的两倍，但是小于x 2(t)和x 3(t)的最高谐波频率的两倍，所以对后面两个信号的采样已经失真。
信号的频域分析及采样定理
专题一 信号的频域分析及采样定理
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信号的频域分析及采样定理
信号的分类 确定性信号的特性
连续信号的时域分析
连续信号的频域分析 离散信号的频域分析 信号的时频对应关系 采样定理
信号的频域分析及采样定理——信号的分类
x(t )
x(t ) h(t )
y(t )
信号的频域分析及采样定理 ——连续信号的时域分析 x(t) LTI y(t)
h(t)
y(t ) x(t ) h(t )
卷积的物理意义：线性时不变系统的零 状态响应等于系统的输入同系统的单位 冲激响应之卷积。
信号的频域分析及采样定理 ——连续信号的时域分析
卷积的性质
x1 (t ) x2 (t ) x2 (t ) x1 (t )
x1 (t ) [ x2 (t ) x3 (t )] x1 (t ) x2 (t ) x1 (t ) x3 (t )
[ x1 (t ) x2 (t )] x3 (t ) x1 (t ) [ x2 (t ) x3 (t )]
若分解成三角函数或指数函数集，则为“傅 里叶级数”
信号的频域分析及采样定理 ——连续信号的频域分析 三角形式的傅里叶级数
f (t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t )
n 1
经三角变换：
f (t ) a0 cn cos n1t n） （
信号的频域分析及采样定理 ——确定性信号的特性 时域和频域
不同频率信号的时域图和频域图
信号分析的基本思想：将一复杂信号分解为若
信号抽样与抽样定理
（1）信号在时域周期化，周期为 T ，则频谱离散化，
抽样间隔为 ω0＝2π/T。 （2）信号在时域抽样，抽样间隔为 TS ，则频谱周期化，
重复周期为 ωS＝2π/TS 。
四、频域抽样与频域抽样定理
矩形单脉冲信号的频谱 F ( ) E Sa 0
2
m0 Sa 2 m
( ns m0 )
四、频域抽样与频域抽样定理
f 0 t
E
F0 ( )
E
2
0
a
E
2
t
2
0
2
f1 t
b
F1
E 0
T 0
2
T
c
E
2
t
2
0
2
d
f s t
E 0 Ts
T
Fs
二、时域抽样定理
时域抽样定理：一个频谱受限的信号 f (t) ，如果频谱只占据 , m m
的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的抽样值
样间隔 Ts 不大于 2f
1
m
f (nTs ) 唯一地表示，只要抽
，其中 f m为信号的最高频率，
或者说，抽样频率 f s 满足条件
通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率 f s 2 f m 称为奈奎斯特频率， 1 1 把最大允许的抽样间隔 Ts 称为奈奎斯特间隔 。 fs 2 fm
如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失
真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精 辟的回答。
抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十 分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、 数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么 可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。
信号的频域分析-36页精选文档
a0 0
an 0
0 2 /T
2)其余参数代 入公式计算
2.4信号的频域分析 计算：
该周期方波可写成：
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频谱图
2.4 信号的频域分析
重庆大学材料学院
求图2所示三角波的频谱：
A(2A/T)tT/2t0 x(t) A(2A/T)t0tT/2
x(t)a 2 0 (anco ns0tbnsinn 0t)(n1,2,,3,...)
n1
1)偶函分数析,因为
x(t) x(t) bn 0
2)其余参数代 入公式计算
2.4 信号的频域分析 计算：
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于是有：
x (t) A 2 4 A 2(c o s 0 t 9 1 c o s3 0 t 2 1 5 c o s5 0 t ...) 频谱图
n1
其 中 ， narctga bn n
具体过程->
2.4 信号的频域分析
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式中:
T /2
a 0
1 T
x (t )d t;
T /2
T /2
a n
2 T
T /2 x (t) co s n 0td t;
T /2
b n
2 T
T /2 x (t) sin n 0td t;
T――周期， T=2π/ω0； ω0――基波圆频率；
{cno 0ts,sin n0t}
2.4信号的频域分析
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1)傅里叶级数的一般表达形式：
x(t)a 2 0 (anco ns0tbnsinn 0t)(n1,2,,3,...) n1 各变量含义->
时域抽样与频域抽样
实验三时域抽样与频域抽样一、实验目的1.如深理解连续时间信号的离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握时域抽样定理(奈奎斯特采样定理)的基本内容。
2.加深对时域取样E信号频谱变化的认识。
掌握由抽样序列重建原连续信号的基本原理与实现方法，理解其工程概念。
3.加深理解频谱离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握频域抽样定理的基本内容。
二、实验原理1.时域抽样。
时域抽样定理给出了连续信号抽样过程中信号不失真的约束条件：信号抽样频率九大于等于2倍的信号最高频率心即九A 2无。
时域抽样先把连续信号”(十)变成适合数字系统处理的离散信号x[/c];然后根据抽样E的离散信号恢复原始连续时间信号"⑺完成信号重建。
信号时域抽样(离散化)导致信号频谱的周期化，因此需要足够的抽样频率保证各周期之间不发生混叠；否则频谱的混叠將会造成信号失真，使原始时域信号无法准确恢复。
2.频域抽样。
非周期离散信号的频谱是连续的周期谱，计算机在分析离散信号的频谱时，必须将其连续频谱离散化。
频域抽样定理给出了连续频谱抽样过程中信号不失真的约束条件：频域采样点数N大于等于序列长度M,即"n M 频域抽样把非周期离散信号x(ri)的连续谱力@®变成适合数字系统处理的离散谱/(A);要求可由频域采样序列XW变换到时域后能够不失真地恢复原信号x(C。
三、实验内容1.已知模拟信号，x fl(r) = sin(20jir),0<r<l 分别以7；二0.01s、0.05s、0. 1s的采样间隔釆样得到(1)当T=0.01s时，采样得到x(n),所用程序为：%产生连续信号x (t)t=0:0. 001:1;x=s i n(20*p i *t);subp Iot(4,1,1)plot (t, x, ' r')ho Id ontitleC原信号及抽样信号’)%信号最高频率fm为10 Hz%按100 Hz抽样得到序列fs=100;n二0:1/fs:1;y二s i n(20*p i *n);subp Iot(4,1,2)stem (n, y) 对应的图形为:(2)将上述程序的fs修改为20Hz,得到抽样序列:(3)再将fs修改为10Hz,所得图形:逹竣洁号及共站样洛号为了对比，可将这三幅抽样图形和原图放在一起比较:对抽样结果的分析：根据奈奎斯特采样定理，抽样频率至少是信号最高频率的两倍。
常用信号的频谱分析及时域采样定理
常用信号的频谱分析及时域采样定理开课学期 2016-2017 学年第 2 学期实验课程信号与系统仿真实验实验项目常用信号的频谱分析及时域采样定理班级学号学生姓名实验时间实验台号A11 操作成绩报告成绩一、实验目的1.掌握常用信号的频域分析方法；2.掌握时域采样定理；3.掌握时域采样信号恢复为原来连续信号的方法及过程。
二、实验性质验证性三、预习内容1.时域采样定理的内容及信号时域采样过程；2.连续信号经时域采样后，信号的频谱发生的变化；3.时域采样信号恢复为原来连续信号的方法及过程。
四、实验内容(编写程序，绘制实验结果)1.实现周期信号的频谱f(t)=sin( 2*80t)程序：fa='sin(2.*pi.*80.*t)';%原信号fs0=10000; %采样频率tp=0.1;%时间范围t=[-tp:1/fs0:tp];%信号持续时间范围k1=0:999;k2=-999:-1;m1=length(k1);m2=length(k2);f=[fs0*k2/m2,fs0*k1/m1];%信号频率范围w=[-2*pi*k2/m2,2*pi*k1/m1];fx1=eval(fa);%把文本fa赋值给信号fx1FX1=fx1*exp(-j*[1:length(fx1)]'*w);%进行傅立叶变换figuresubplot(2,1,1),plot(t,fx1,'r');title('原信号');xlabel('时间t(s)');%原信号的时域波形图axis([min(t),max(t),min(fx1),max(fx1)]);subplot(212),plot(f,abs(FX1),'r');title('原信号频谱');xlabel ('频率f(Hz)');%频域波形图axis([-100,100,0,max(abs(FX1))+5]);2.实现非周期信号的频谱,要求记录结果并对结果进行分析讨论.(1)门函数信号)(t g τ的频谱分析,(2)尺度变换之后门函数)(at g τ的频谱分析. 程序：令tao=1 syms tx=heaviside(t+0.5)-heaviside(t-0.5); F=fourier(x); subplot(211);ezplot(x,[-2,2]); subplot(212);ezplot(F,[-10,10]);程序：令tao=1，a=4syms tx=heaviside(t+(1/8))-heaviside(t-(1/8)); F=fourier(x);subplot(211);ezplot(x,[-2,2]);axis([-2,2,-1,2])subplot(212);ezplot(F);axis([-5,5,-0.5,0.5]);分析：经过尺度变换，门函数的时间常数tao改变了，tao从1变成了1/4，门函数的幅度保持不变，但频谱变化幅度比尺度变换前缓慢，频谱的基波分量降低了3.时域采样及其恢复运行给定实验程序，绘制运行实验结果，总结实验结果，说明采样过程及恢复原信号的原理。
实验四时域抽样与频域抽样
频域抽样实验结果分析
频域抽样实验的原理
实验过程及数据采集
实验结果展示及分析
结果与理论预期的对比
抽样定理的验证与讨论
实验结果展示：通过图表和数据 展示实验结果
实验误差分析：讨论实验误差产 生的原因和影响
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
抽样定理验证：分析实验结果是 否符合抽样定理
结论与讨论：总结实验结果，提 出对抽样定理的进一步理解和思 考
数据分析：对实验数据进行处理和分析，比较不同抽样方法的性能指标
结果展示：将实验结果以图表、表格等形式展示，便于观察和比较
结论总结：根据实验结果总结实验结论，分析实验中存在的问题和改进方 向
05
实验结果分析
时域抽样实验结果分析
信号恢复效果：通过时域抽样，成功恢复原始信号，无明显失真。 抽样率对恢复效果的影响：随着抽样率的提高，信号恢复效果越好。 抗噪声性能：在加入噪声的情况下，时域抽样仍能较好地恢复原始信号。 适用性分析：适用于各种类型的信号，具有较强的通用性。
频域抽样的基本概念
添加项标题
频域抽样是信号处理中的一种重要方法，通过对信号的频域进行 采样和重构，实现对信号的频域分析和处理。
添加项标题
频域抽样的基本原理是将信号的频谱进行离散化处理，通过对离 散化后的频谱进行采样和重构，得到信号的频域表示。
添加项标题
频域抽样的主要应用包括信号分析、数字信号处理、通信等领域， 是数字信号处理中的重要概念之一。
06
实验总结与思考题
实验总结
实验目的：掌握四时域抽样与频域抽样的基本原理和实现方法 实验过程：详细记录了实验步骤和数据采集、处理的过程 实验结果：对实验结果进行了详细的分析和比较，得出结论 实验反思：总结了实验中的不足和需要改进的地方，提出了改进方案和未来研究方向
时域及频域采样定理
时域及频域采样定理
时域采样定理（Nyquist采样定理）和频域采样定理（Shannon采样定理）是两个基本的采样定理，用于指导信号采样和重构的过程。
时域采样定理（Nyquist采样定理）：时域采样定理是由哈利·尼奎斯特（Harry Nyquist）在20世纪20年代提出的。
该定理指出，要恢复一个连续时间信号，采样频率必须至少是信号最高频率的两倍。
简而言之，对于最高频率为f的信号，采样频率应该大于2f。
如果采样频率低于2f，那么在重构信号时将会产生混叠现象，导致信号失真。
频域采样定理（Shannon采样定理）：频域采样定理是由克劳德·香农（Claude Shannon）在1949年提出的。
该定理表明，如果一个信号在频域上没有频率成分超过一半的采样频率，那么可以通过其离散时间域的采样来完全恢复该信号。
简而言之，对于信号的最高频率为f，采样频率应该大于2f才能完全还原原始信号。
这两个采样定理的要点是：采样频率必须满足一定条件，以避免采样过程中的信息丢失和信号失真。
如果采样频率不满足定理的要求，就会出现混叠效应，导致无法准确地恢复原始信号。
因此，在信号处理和通信系统中，遵循时域采样定理和频域采样定理是非常重要的，以保证信号采样和重构的准确性和有效性。
时域抽样与频域抽样
实验三 时域抽样与频域抽样一、 实验目的1.加深理解连续时间信号的离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握时域抽样定理（奈奎斯特采样定理）的基本内容。
2.加深对时域取样后信号频谱变化的认识。
掌握由抽样序列重建原连续信号的基本原理与实现方法，理解其工程概念。
3.加深理解频谱离散化过程中的数学概念和物理概念，掌握频域抽样定理的基本内容。
二、实验原理1.时域抽样。
时域抽样定理给出了连续信号抽样过程中信号不失真的约束条件：信号抽样频率 f s 大于等于2倍的信号最高频率f m ，即 f s ≥ 2f m 。
时域抽样先把连续信号x (t )变成适合数字系统处理的离散信号x [k ]；然后根据抽样后的离散信号x [k ]恢复原始连续时间信号x (t )完成信号重建。
信号时域抽样（离散化）导致信号频谱的周期化，因此需要足够的抽样频率保证各周期之间不发生混叠；否则频谱的混叠将会造成信号失真，使原始时域信号无法准确恢复。
2.频域抽样。
非周期离散信号的频谱是连续的周期谱，计算机在分析离散信号的频谱时，必须将其连续频谱离散化。
频域抽样定理给出了连续频谱抽样过程中信号不失真的约束条件：频域采样点数 N 大于等于序列长度 M ，即 N ≥ M 。
频域抽样把非周期离散信号x (n )的连续谱X (e j ω)变成适合数字系统处理的离散谱X (k )；要求可由频域采样序列X (k )变换到时域后能够不失真地恢复原信号 x (n )。
三、实验内容1.已知模拟信号，分别以T s =0.01s 、0.05s 、0.1s 的采样间隔采样得到x (n )。
（1）当T=0.01s 时，采样得到x(n),所用程序为：%产生连续信号x （t ）t=0:0.001:1;x=sin(20*pi*t);subplot(4,1,1)plot(t,x,'r')()sin(20),01a x t t t =π≤≤hold ontitle('原信号及抽样信号')%信号最高频率fm为10 Hz%按100 Hz抽样得到序列fs=100;n=0:1/fs:1;y=sin(20*pi*n);subplot(4,1,2)stem(n,y) 对应的图形为：（2）将上述程序的fs修改为20Hz,得到抽样序列：（3）再将fs修改为10Hz,所得图形：为了对比，可将这三幅抽样图形和原图放在一起比较：对抽样结果的分析：根据奈奎斯特采样定理，抽样频率至少是信号最高频率的两倍。
时域采样与频域分析
实验二：时域采样与频域分析一、实验原理与方法1、时域采样定理：（a ）对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(Ωj X 是原模拟信号频谱)(ωj X a 以采样角频率)2(s s π=ΩΩ为周期进行周期延拓。
公式为：[]∑∞-∞=Ω-Ω==Ωn s a a a jn j X T t x FT j X )(1)()( （b ）采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。
2、频域采样定理：公式为：[])()()()(n R iN n x k X IDFT n x N i N N N ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==∑∞-∞=。
由公式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N ≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点[])(k X IDFT N 得到的序列()N x n 就是原序列)(n x ,即)()(n x n x N =。
二、实验内容1、时域采样理论的验证。
给定模拟信号)()sin()(0t u t Ae t x t a Ω=-α式中A =444.128，α=502π，0Ω=502πrad/s ，它的幅频特性曲线如图2.1图2.1 )(t x a 的幅频特性曲线现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。
按照)(t x a 的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即s F =1k Hz ，300Hz ，200Hz 。
观测时间选ms T p 50=。
为使用DFT ，首先用下面公式产生时域离散信号，对三种采样频率，采样序列按顺序用)(1n x ，)(2n x ，)(3n x 表示。
)()sin()()(0nT u nT Ae nT x n x nT a Ω==-α因为采样频率不同，得到的)(1n x ，)(2n x ，)(3n x 的长度不同， 长度（点数） 用公式s p F T N ⨯=计算。
时域采样和频域采样
一、实验目的时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论.要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化,以与如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念,以与频率域采样定理与其对频域采样点数选择的指导作用.二、实验原理与方法时域采样定理的要点是：a.对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样,形成的采样信号的频谱)(ˆΩj X是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω〔T s /2π=Ω〕为周期进行周期延拓.公式为： )](ˆ[)(ˆt x FT j X a a =Ω )(1∑∞-∞=Ω-Ω=n s a jn j X T b.采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上,才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠.利用计算机计算上式并不方便,下面我们导出另外一个公式,以便用计算机上进行实验.理想采样信号)(ˆt xa 和模拟信号)(t x a 之间的关系为： 对上式进行傅立叶变换,得到：在上式的积分号内只有当nT t =时,才有非零值,因此：上式中,在数值上)(nT x a ＝)(n x ,再将T Ω=ω代入,得到：上式的右边就是序列的傅立叶变换)(ωj e X ,即 T j a e X j X Ω==Ωωω)()(ˆ上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到,只要将自变量ω用T Ω代替即可.频域采样定理的要点是：a) 对信号x<n>的频谱函数X<e j ω>在[0,2π]上等间隔采样N 点,得到则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x<n>以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列,公式为：b) 由上式可知,频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M<即N ≥M>,才能使时域不产生混叠,则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就是原序列x<n>,即()N x n =x<n>.如果N>M,()N x n 比原序列尾部多N-M 个零点；如果N<M,z 则()N x n =IDFT[()N X k ]发生了时域混叠失真,而且()N x n 的长度N 也比x<n>的长度M 短,因此.()N x n 与x<n>不相同.在数字信号处理的应用中,只要涉与时域或者频域采样,都必须服从这两个采样理论的要点. 对比上面叙述的时域采样原理和频域采样原理,得到一个有用的结论,这两个采样理论具有对偶性："时域采样频谱周期延拓,频域采样时域信号周期延拓〞.因此放在一起进行实验.三、 实验内容与步骤〔1〕时域采样理论的验证给定模拟信号,)()sin()(0t u t Ae t x t a Ω=-α式中A =444.128,α=502π,0Ω=502πrad/s,它的幅频特性曲线如图图)(t x a 的幅频特性曲线现用DFT<FFT>求该模拟信号的幅频特性,以验证时域采样理论.安照)(t x a 的幅频特性曲线,选取三种采样频率,即s F =1k Hz ,300Hz ,200Hz .观测时间选ms T p 50=.为使用DFT,首先用下面公式产生时域离散信号,对三种采样频率,采样序列按顺序用)(1n x ,)(2n x ,)(3n x 表示.因为采样频率不同,得到的)(1n x ,)(2n x ,)(3n x 的长度不同, 长度〔点数〕用公式s p F T N ⨯=计算.选FFT 的变换点数为M=64,序列长度不够64的尾部加零.X <k >=FFT[x <n >] , k =0,1,2,3,-----,M -1式中k 代表的频率为 k Mk πω2=. 要求： 编写实验程序,计算)(1n x 、)(2n x 和)(3n x 的幅度特性,并绘图显示.观察分析频谱混叠失真.〔2〕频域采样理论的验证给定信号如下：编写程序分别对频谱函数()FT[()]j X e x n ω=在区间]2,0[π上等间隔采样32和16点,得到)()(1632k X k X 和：再分别对)()(1632k X k X 和进行32点和16点IFFT,得到)()(1632n x n x 和：分别画出()j X e ω、)()(1632k X k X 和的幅度谱,并绘图显示x <n>、)()(1632n x n x 和的波形,进行对比和分析,验证总结频域采样理论.提示：频域采样用以下方法容易变程序实现.1〕直接调用MATLAB函数fft计算就得到在的32点频率域采样2〕抽取的偶数点即可得到在的16点频率域采样,即.3〕当然也可以按照频域采样理论,先将信号x<n>以16为周期进行周期延拓,取其主值区〔16点〕,再对其进行16点DFT<FFT>,得到的就是在的16点频率域采样 .四、实验程序1 时域采样理论的验证程序清单% 时域采样理论验证程序exp2a.mTp=64/1000; %观察时间Tp=64微秒%产生M长采样序列x<n>% Fs=1000;T=1/Fs;Fs=1000;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;xnt=A*exp<-alph*n*T>.*sin<omega*n*T>;Xk=T*fft<xnt,M>; %M点FFT[xnt>]yn='xa<nT>';subplot<3,2,1>;tstem<xnt,yn>; %调用自编绘图函数tstem绘制序列图box on;title<'<a> Fs=1000Hz'>;k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot<3,2,2>;plot<fk,abs<Xk>>;title<'<a> T*FT[xa<nT>],Fs=1000Hz'>;xlabel<'f<Hz>'>;ylabel<'幅度'>;axis<[0,Fs,0,1.2*max<abs<Xk>>]>%=================================================% Fs=300Hz和Fs=200Hz的程序与上面Fs=1000Hz完全相同.2 频域采样理论的验证程序清单%频域采样理论验证程序exp2b.mM=27;N=32;n=0:M;%产生M长三角波序列x<n>xa=0:floor<M/2>; xb= ceil<M/2>-1:-1:0; xn=[xa,xb];Xk=fft<xn,1024>; %1024点FFT[x<n>], 用于近似序列x<n>的TFX32k=fft<xn,32> ;%32点FFT[x<n>]x32n=ifft<X32k>; %32点IFFT[X32<k>]得到x32<n>X16k=X32k<1:2:N>; %隔点抽取X32k得到X16<K>x16n=ifft<X16k,N/2>; %16点IFFT[X16<k>]得到x16<n>subplot<3,2,2>;stem<n,xn,'.'>;box ontitle<'<b> 三角波序列x<n>'>;xlabel<'n'>;ylabel<'x<n>'>;axis<[0,32,0,20]>k=0:1023;wk=2*k/1024; %subplot<3,2,1>;plot<wk,abs<Xk>>;title<'<a>FT[x<n>]'>;xlabel<'\omega/\pi'>;ylabel<'|X<e^j^\omega>|'>;axis<[0,1,0,200]>k=0:N/2-1;subplot<3,2,3>;stem<k,abs<X16k>,'.'>;box ontitle<'<c> 16点频域采样'>;xlabel<'k'>;ylabel<'|X_1_6<k>|'>;axis<[0,8,0,200]>n1=0:N/2-1;subplot<3,2,4>;stem<n1,x16n,'.'>;box ontitle<'<d> 16点IDFT[X_1_6<k>]'>;xlabel<'n'>;ylabel<'x_1_6<n>'>;axis<[0,32,0,20]>k=0:N-1;subplot<3,2,5>;stem<k,abs<X32k>,'.'>;box ontitle<'<e> 32点频域采样'>;xlabel<'k'>;ylabel<'|X_3_2<k>|'>;axis<[0,16,0,200]>n1=0:N-1;subplot<3,2,6>;stem<n1,x32n,'.'>;box ontitle<'<f> 32点IDFT[X_3_2<k>]'>;xlabel<'n'>;ylabel<'x_3_2<n>'>;axis<[0,32,0,20]>五、实验程序运行结果与分析1、时域采样理论的验证程序运行结果exp2a.m如图所示.由图可见,采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓.当采样频率为1000Hz时频谱混叠很小；当采样频率为300Hz时,在折叠频率150Hz附近频谱混叠很严重；当采样频率为200Hz时,在折叠频率110Hz附近频谱混叠更很严重.图2 时域采样理论的验证程序exp2b.m运行结果如图所示.图该图验证了频域采样理论和频域采样定理.对信号x<n>的频谱函数X<e jω>在[0,2π]上等间X k]得到的序列正是原序列x<n>以16为周期进行周期延拓隔采样N=16时,N点IDFT[()N后的主值区序列：x n与x<n>不相同,如图图<c>和<d>所示.当由于N<M,所以发生了时域混叠失真,因此.()NN=32时,如图图<c>和<d>所示,由于N>M,频域采样定理,所以不存在时域混叠失真,因x n与x<n>相同.此.()N。
第四章3-时域采样与频域采样
抽样间隔(周期) 抽样角频率 抽样频率
T
(s)
wsam=2/T (rad/s)
fsam=1/T (Hz)
例 已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz)，试计 算对各信号x(2t)， x(t)*x(2t)， x(t)x(2t),
x(t)x(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。
解：根据信号时域与频域的对应关系得：
F ( jw)
1
f (t) F( jw)
最高频率： fm
wm
w
0 wm
最小抽样频率： 2fm
17
根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得：
f (2t) 1 F( jw )
22
最高频率： 2fm 最小抽样频率： 4fm
根据信号时域卷积与频域的对应关系及抽样定理得：
X (jw)
1 X (j ) T
X (e j )
W sam
ω
0 wm s
W sam
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
X ( jw)
wsam 2wm
1
w
wm 0 wm
X (e jwT )
X [ j(w wsam )]
1 X ( jw)
X [ j(w wsam )]
...
f (t)* f (2t) F( jw) 1 F( jw )
22
最高频率： fm
最小抽样频率： 2fm
根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得：
f (t) f (2t) 1 F( jw)* 1 F( j w )
2
22
1
1 F ( jw)* 1 F( jw )
2
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱信号与系统课设共10页word资料
1 引言随着科学技术的迅猛发展，电子设备和技术向集成化、数字化和高速化方向发展，而在学校特别是大学中，要想紧跟技术的发展，就要不断更新教学和实验设备。
传统仪器下的高校实验教学，已严重滞后于信息时代和工程实际的需要。
仪器设备很大部分陈旧，而先进的数字仪器(如数字存储示波器)价格昂贵不可能大量采购，同时其功能较为单一，与此相对应的是大学学科分类越来越细，每一专业都需要专用的测量仪器，因此仪器设备不能实现资源共享，造成了浪费。
虚拟仪器正是解决这一矛盾的最佳方案。
基于PC 平台的虚拟仪器，可以充分利用学校的微机资源，完成多种仪器功能，可以组合成功能强大的专用测试系统，还可以通过软件进行升级。
在通用计算机平台上，根据测试任务的需要来定义和设计仪器的测试功能，充分利用计算机来实现和扩展传统仪器功能，开发结构简单、操作方便、费用低的虚拟实验仪器，包括数字示波器、频谱分析仪、函数发生器等，既可以减少实验设备资金的投入，又为学生做创新性实验、掌握现代仪器技术提供了条件。
信号的时域分析主要是测量测试信号经滤波处理后的特征值，这些特征值以一个数值表示信号的某些时域特征，是对测试信号最简单直观的时域描述。
将测试信号采集到计算机后，在测试VI 中进行信号特征值处理，并在测试VI 前面板上直观地表示出信号的特征值，可以给测试VI 的使用者提供一个了解测试信号变化的快速途径。
信号的特征值分为幅值特征值、时间特征值和相位特征值。
尽管测量时采集到的信号是一个时域波形，但是由于时域分析工具较少，所以往往把问题转换到频域来处理。
信号的频域分析就是根据信号的频域描述来估计和分析信号的组成和特征量。
频域分析包括频谱分析、功率谱分析、相干函数分析以及频率响应函数分析。
信号在时域被抽样后,他的频谱X(j )是连续信号频谱X(j )的形状以抽样频率为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn加权。
因为Pn只是n的函数,所以X(j )在重复的过程中不会使其形状发生变化。
信号的频域分析
4 周期信号的频域分析 p 7
2. 三角形式的傅里叶级数
若 f (t)为实函数，则指数形式的系数必为(课本中已证明)：
f (t)
Cn
e jn0t
Cn
C
n
n=
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示为：
f (t) C0
1
Cn e jn0t
4 周期信号的频域分析 p 3
4 周期信号的频域分析 p 4
Fourier， 法国数学家、 物理学家。1768年3月21日生 于欧塞尔， 1830年5月16日 卒于巴黎。9岁父母双亡，被 当地教堂收养 。1798年随拿 破仑远征埃及时任军中文书 和埃及研究院秘书，1801年 回国后任伊泽尔 省地方长官。 1817年当选为科学院院士， 1822年任该院终身秘书，后 又任法兰西学院终身秘书和 理工科大学校务委 员会主席。
类似于此，在满足一定条件下，一般的信号也可以用一 个正交函数集中的函数来表示。傅里叶级数展开的思想类似 于此。
c2V2
c3V3
V
V3
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
o V1
V2
c2V2
c1V1
4 周期信号的频域分析 p 2
•理论已证明：
•三角函数集，{1, cos(n0t), sin(n0t)} n=0,1,2,…是一个完备
2 bn T0
t0 T0
t0
f (t) sin
n0t
dt
4 周期信号的频域分析 p 9
一、周期信号的傅里叶级数展开
3.*纯余弦形式的傅里叶级数：
其中
六、时域信号采样及频谱研究
实验六、时域信号采样及频谱分析一、基本目的：① 掌握数字信号处理的基本概念、基本理论和基本方法；② 学会 MATLAB 的使用，掌握 MATLAB 的程序设计方法；③ 学会用 MATLAB 对信号进行分析和处理；④ 信号的各参数需由键盘输入，输入不同参数即可得不同的x(t> 和x(n>；⑤ 撰写课程设计论文，用数字信号处理基本理论分析结果。
二、实验原理1 、时域抽样定理令连续信号xa(t>的傅里叶变换为Xa(j>,抽样脉冲序列p(t>傅里叶变换为P(j>,抽样后的信号x^(t>的傅里叶变换为X^(j>若采用均匀抽样,抽样周期Ts,抽样频率为s=2fs,由前面分析可知:抽样的过程可以通过抽样脉冲序列p(t>与连续信号xa(t>相乘来完成,即满足:x^(t>=xa(t> p(t>，又周期信号f(t>傅里叶变换为：故可以推得p(t>的傅里叶变换为:其中:根据卷积定理可知:得到抽样信号x(t>的傅里叶变换为:其表明:信号在时域被抽样后,他的频谱X(j>是连续信号频谱X(j>的形状以抽样频率为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t>的傅里叶级数Pn加权。
因为Pn只是n的函数,所以X(j>在重复的过程中不会使其形状发生变化。
假定信号x(t>的频谱限制在-m~+m的范围内, 若以间隔Ts对xa(t>进行抽样,可知抽样信号X^(t>的频谱X^(j>是以s为周期重复。
显然,若在抽样的过程中s<2m,则X^(j>将发生频谱混叠现象,只有在抽样的过程中满足s>=2m条件,X^(j>才不会产生频谱的混叠,接收端完全可以由x^(t>恢复原连续信号xa(t>,这就是低通信号抽样定理的核心内容。
2、信号的重建从频域看,设信号最高频率不超过折叠频率:Xa(j>=Xa(j> ||<s/2Xa(j>=0 ||>s/2则理想取样后的频谱就不会产生混叠,故有:让取样信号x^(t>通过一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器:H(j>=T ||<s/2H(j>=0 ||>s/2滤波器只允许通过基带频谱,即原信号频谱,故:Y(j>=X^(j>H(j>=Xa(j>因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号:y(t>=xa(t>从时域上看,上述理想的低通滤波器的脉冲响应为:根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为:由上式显然可得:则:上式表明只要满足取样频率高于两倍信号最高频率,连续时间函数xa(t>就可用他的取样值xa(nT>来表达而不损失任何信息，这时只要把每一个取样瞬时值与内插函数式相乘求和即可得出xa(t>,在每一取样点上,由于只有该取样值所对应的内插函数式不为零,所以各个取样点上的信号值不变。
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(aliasing)。
信号的时域抽样和频域抽样
x(t ) x[k ]
时域抽样
CTFT DTFT
周期化
~ X (e ) X [m]
j 频域抽样
IDTFT
IDFS
X ( jw )
1 T
n
X (j
2 πn
T
)
x[k ] 周期化
1 X s ( jw ) X [ j(w nws )] T n
X s ( jw )
1 T
0 wm
w
ws 2.5wm
X [ j(w w s )]
X ( jw )
...
ws wm
0
X [ j(w w s )]
ws /2 wm ws
...
w
一、 信号的时域抽样
1、信号抽样的理论分析
一、 信号的时域抽样
3、抽样定理的工程应用 许多实际工程信号不满足带限条件
h(t ) x(t )
X ( jw )
抗 混
低通滤波器
H ( jw ) 1
0
w
x1 (t )
X 1 ( jw )
1
1
wm
0
wm w
wm
0
wm
w
一、 信号的时域抽样
3、抽样定理的工程应用 混叠误差与截断误差比较
X s ( jw )
理想抽样信号的频谱分析
抽样信号xs(t)频谱与抽样间隔T关系：
X ( jw )
1
wm
1 X s ( jw ) X [ j(w nws )] T n
X s ( jw )
1 T
0 wm
w
ws 2wm
X [ j(w w s )]
X ( jw )
X [ j(w w s )]
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Iex
Ecs1, 1 Eion1 Eion2 Eionm V1 V2 Vn
Ecs1, 2
Ecs1, p
Ecsn, 1
Ecsn, 2
Ecsn, p
神经元等效电路
一、 信号的时域抽样
4、抽样定理的实际应用举例
铁路控制信号识别
铁路控制信号的时域波形和频谱
一、 信号的时域抽样
4、抽样定理的实际应用举例
生物医学信号处理
Ionic conductances Electrical synapses (es)
+
Chemical synapses (cs)
Gion1
Gion2
Gionm
Ges1
Ges2
Gesn
Gcs1, 1
Gcs1, 2
Gcs1, p
Gcsn, 1
Gcsn, 2
Gcsn, p
CM
+
+
+
N 1 ~ X [m ] k 0
r
x[k rN ]W
m ( k rN ) N
mk ~N [k ]WN x k 0
N 1
将x[k]以N为周期进行周期化
X (e
j
)
2π m N
~ X [m] DFS( ~N [k ]) x
x [k]
1
2
2 1 2 3 4 5 6 7
若从抽样信号xs(t)中恢复原信号x(t)，需满足两个条件：
(1) x(t)是带限信号，即其频谱函数在|w|>wm各处为零； (2) 抽样间隔T需满足
T π / w m 1 /(2 f m )
，
或抽样频率fs需满足 fs 2fm （或ωs 2ω m） 。
fs = 2fm 为最小取样频率，称为Nyquist Rate.
0
w
FS
t
X(nw0)
0
0
w
x[k]
X(ej)
DTFT
0
~[ k ] xBiblioteka ... 2π π
0
...
π
2π
k
DFS
k
~ X [m]
...
N 0 N
...
m
0
X (e jΩ ) X s ( jw )
k
x(kT )e jΩk
(设Ω wT )
其中： T 为抽样间隔，ws=2p /T为抽样角频率。
一、 信号的时域抽样
1、信号抽样的理论分析
理想抽样信号的频谱分析
抽样信号xs(t)频谱与抽样间隔T关系：
X ( jw )
1
wm
思考题
(1) 根据时域抽样定理，对连续时间信号进行抽 样时，只需抽样速率 fs 2fm。在工程应用中，
抽样速率常设为 fs (3~5)fm，为什么？
(2) 若连续时间信号x(t) 的最高频率 fm 未知， 如何确定抽样间隔T？
一、 信号的时域抽样
4、抽样定理的实际应用举例
利用离散系统处理连续时间信号
AdLink PCI 9112 A/D, D/A Card
AI
生物信号采集系统组成框图
一、 信号的时域抽样
4、抽样定理的实际应用举例
生物医学信号处理
生物信号采集系统接口
一、 信号的时域抽样
4、抽样定理的实际应用举例
生物医学信号处理
采集的生物信号的模式识别
一、 信号的时域抽样
4、抽样定理的实际应用举例
r
2
x[k rN ] ~N [k ] x
将x[k]以N为周期进行周期化
-4 -3 -2 -1 0 1
x[k3]
-4 -3 -2 -1 0 1
2 2 1 1
2 2 1 2 3 4 5 1 6 7
~ [k ] x4
2 1 1
2 1 2 3 1
2
2 1 6 7
-4 -3 -2 -1 0 1
x[k+3]
2 3 4 5 6 7
结论：
4 5
当序列长度不超过N时,周 期化后的序列和原序列一个周 期内的值相同。 当序列长度超过N时，周 期化后的序列会出现混叠
-4 -3 -2 -1 0 1
~ [k ] x3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
-4 -3 -2 -1 0 1
2 3
4 5
6 7
信号的频域分析
连续周期信号的频域分析
连续非周期信号的频域分析
离散周期信号的频域分析
离散非周期信号的频域分析
信号的时域抽样和频域抽样
信号的时域抽样和频域抽样
信号的时域抽样
信号抽样的理论分析 时域抽样定理
抽样定理的工程应用
实际应用举例
信号的频域抽样
一、 信号的时域抽样
1 、信号抽样的理论分析
x (t )
例1 已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号x(2t)， x(t)*x(2t)， x(t)x(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。 解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得： 对信号x(2t)抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)； 对x(t)*x(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)； 对x(t)x(2t)抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。
x(t)
x[k] A/D
H(z)
y[k]
D/A
y(t)
生物医学信号处理 铁路控制信号识别
一、 信号的时域抽样
4、抽样定理的实际应用举例
生物医学信号处理
生物神经细胞（元）结构图
一、 信号的时域抽样
4、抽样定理的实际应用举例
生物医学信号处理
AB CB DB Personal Computers In Window Operation Environments DO AO
n
x[k nN ]
x(t)在时域的离散化导致对应 的频谱函数X(jw)的周期化。
X(ej)在频域的离散化导致对 应的时域序列x[k]的周期化。
时域抽样定理和频域抽样定理为利用数字化方式 分析和处理信号奠定了理论基础。
四种信号的时域与频域对应关系
x(t)
FT
t
X(jw)
0 ~ (t ) x
1
1 T
X ( jw )
...
ws wm
... 0
wm ws w
0
X 1 ( jw )
w
X s ( jw )
1
wm
...
ws wm
1 T
...
0
wm
w
w
0
wm
ws
不同抽样频率的语音信号效果比较
抽样频率fs=44,100 Hz
抽样频率fs=5,512 Hz
抽样频率fs=5,512 Hz 抽样前对信号进行了抗混叠滤波
xs (t )
T (t)
冲激串 ->序列
x[k ]
...
T
T (t )
... t
xs(t )
0 T
信号理想抽样模型
x [k ]
...
1 0 1
...
k
...
T 0 T
...
t
xs (t ) x(t ) T (t )
一、 信号的时域抽样
1、信号抽样的理论分析
理想抽样信号的频谱分析
若连续信号x(t)的频谱函数为X(jw)，则抽样信号 xs (t ) x(t ) T (t ) 的频谱函数Xs(jw)为