概率论习题解答

概率论习题解答文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

概率论第六章习题解答

1、在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 落在与之间的概率。

解 因为2(52,6.3)N ，所以

2、在总体(12,4)N 中随机抽取一容量为5的样本1X ，2X ，3X ，4X ，5X ， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。

（2）求概率12345{max(,,,,)15}P X X X X X >，12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <

解 （1）总体均值为12μ=，，样本均值5

1

14(12,)55

i

i X X N ==∑

所求概率为

（2）1234512345{max(,,,,)15}1{max(,,,,)15}P X X X X X P X X X X X >=-≤ 51((1.5))=-Φ51(0.9332)0.2923=-=. （3） 12345{min{(,,,,)10}P X X X X X <

3、求总体(20,3)N 的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值不超过的概率。

解 设容量为10的样本均值为X ，样本容量为15的样本均值为Y ， 则 3

(20,

)10

X

，3

(20,

)15

Y ，331()(0,

)(0,)10152

X Y N N -+= 4、（1）设126,,,X X X 样本是来自总体(0,1)N ，

22123456()()Y X X X X X X =+++++，

试确定常数C ，使CY 服从2χ分布。 （2）设125,,

,X X X 来自总体(0,1)N 样本，121

22

22345

()

()

C X X Y X X X +=

++，试确定常数

C 使Y 服从t 分布。

（3）已知()X

t n ，求2(1,)X F n

解 （1）因为126,,,X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，

由2(,)i

i i X N μσ知22

2

121212()

(,)N n n X X X N μμμσσσ++

+++

+++

+）

故 123(0,3)X X X N ++，456

(0,3)X X X N ++，

且相互独立，因此

(0,1)

N (0,1)N

且两者相互独立，由222

12,,,n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，则统计量

由2χ分布的定义知

即

2(2)3

Y

χ，所以13

C =。

（2）因为设125,,

,X X X 是来自总体(0,1)N 的样本12

(0,2)X X N +，

(0,1)

N ，

又有 22

2234

5(3)X X X χ++

且

，22

234

5X X X ++相互独立，于是由t 分布的定义知

因此所求常数为 C =。 （3） 因为()X

t n ，故X

其中(0,1)Z N ，2()Y n χ，且Z ，Y 相互独立，按F 分布的定义知

2

(1,)X F n 。

5、（1）已知某种能力测试的得分服从正态分布2(,)N μσ，随机地取10个人 参加这一测试，求他们的联合概率密度，并求这10个人得分的平均值小于μ的概率。

（2）在（1）中设62μ=，225σ=，若得分超过70就能得奖，求至少有一人得奖 的概率。

解 设i X 表示参加测试的i 个人的得分（1,2,

,10i =），则2(,)i

X N μσ，

22

()2()x X f x μσ--=，0σ>，x -∞<<∞

由于1210,,,X X X 相互独立，所以它们的联合的联合分布密度为

又 101110i i X X ==∑，1010

11

11()()()1010i i i i E X E X E X μ=====∑∑

故2

(,

)10

X N σμ，则

（2） 因为(62,25)i

X N ，若一人得分超过70就能得奖，则一人得奖的

概率为

则10个人得奖可以看作是一个二项分布：(10,0.0548)b ，设A 表示没有人

得奖，则

即至少有一得奖的概率为。 6、设总体(1,)X

b p ，12,,

,n X X X 是来自总体的样本。

（1）求12(,,

,)n X X X 的分布律；

（2）求1

n

i i X =∑的分布律；

（3）求()E X ，()D X ，2()E S 解 （1）因为12,,

,n X X X 相互独立，且有(1,)i

X b p ，1,2,

,i n =，

即i X 具有分布律 1{}(1)i i x x i P X x p p -==-，0,1i x =，

因此12(,,

,)n X X X 分布律为 （各个样本的分布律的乘积）