板壳力学ch1-小挠度问题

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TONGJI University 2) 边界条件的确定 (1) 固支边 (OA) 平 板 理 论
边界条件，x=0 时： 也反映
x
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TONGJI University 上面表达式中 平 板 理 论
为板的弯曲刚度 (单位宽度内) 若 =0，板变为梁，形式为D=EI。 特别需要说明：以上的内力分量均为板单位宽度的分量 同时，没有给出剪力Qx、Qy分量，因yz、zx 未知，不能 通过积分得到。
第二章 薄板小挠度问题的差分及变分解
第三章 薄板的振动
第四章 薄板的稳定
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平 板 理 论
第五章 目 录 第六章 薄板的有限元理论 薄板大挠度理论
第七章 各向异性板
第八章 中厚板及厚板
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TONGJI University 无法求得 剪力。
可通过以上关于Qx、Qy 与Mx、My 的关系式导出
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TONGJI University 6) 用内力表示的应力分量 (材料力学方法) 平 板 理 论
12M x z x h3
y
12M y z h3 12M xy z h3
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参 考 书
• 徐芝纶. 弹性力学. 高等教育出版社, 1992 • 杨耀乾. 平板理论. 中国铁道出版社, 1980
平 板 • Maan H. Jawad. Theory and design of plate and shell structures. NY, USA. 1994 理 论
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研究生课程
罗永峰 李元齐
2012年
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教 材
板 壳 理 论
何福保 沈亚鹏
西安交通大学出版社
1993
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联系方式：
罗永峰：土木大楼A730 65980531 yfluo93@tongji.edu.cn 李元齐：土木大楼A720 65980586 liyq@tongji.edu.cn
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图示为横向荷载作用下，板单位长度上的内力
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TONGJI University 力矩的方向： 平 板 理 论 Mx—— x 取某值的截面上，绕 y 轴(旋转)的弯矩 My—— y 取某值的截面上，绕 x 轴(旋转)的弯矩 Mxy—— x 取某值的截面上，绕 x 轴(旋转)的扭矩
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TONGJI University 4) 计算的基本假定——用于薄板弯曲小挠度理论 平 板 理 论 (1) 垂直于中面方向的正应变 z 可忽略不计 即中面的任一根法线上、板厚内的所有各点挠度相同,
沿板厚度不变。
——板厚度不变。
与梁比较！
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TONGJI University 板中微元上的应力 平 板 理 论
则对上式关于 x 微分可得
(C)
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TONGJI University 4) 薄板小挠度弯曲微分方程 平 板 理 论 将 (B)、(C) 代入 (A), 且有 Mxy=Myx, 得到
上式称为: 用内力表示的薄板小挠度弯曲微分方程 或平衡方程 —— 力法方程
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TONGJI University 将力矩 Mx、My、Mxy 与挠度 w 的关系, 带入用内力表示 的薄板小挠度弯曲微分方程中，可得 平 板 理 论
或
其中
上式为矩形薄板小挠度弯曲控制微分方程。—位移法方程
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5) 板中的剪力 平 板 理 论 由 和
6Qx h 2 2 xz 3 z h 4 6Qy h 2 2 yz 3 z h 4
xy
最大正应力在板表面；最大剪应力xz、yz 在板中面。
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简化后 (A)
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TONGJI University 2) 由 绕 y 轴弯矩平衡条件, 即 Mx=0 平 板 理 论 得到
括号中项乘 dy，后一微项可忽略，则得
则对上式关于 y 微分可得
(B)
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TONGJI University 3) 由绕 x 轴弯矩平衡条件, 即My=0，同法可得 平 板 理 论
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TONGJI University 上两式中，曲率Kx、Ky 与板受弯后挠度有关。 由曲率与变形的数学关系可知： 平 板 理 论 在薄板小挠度弯曲变形理论中, 挠度w 对应于y, 用w 替换 上式中的 y ，则可得到 x 向曲率为
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TONGJI University 根据基本假定(4)中的小变形假设，因 平 板 理 论 在小变形条件下有
Myx—— y 取某值的截面上，绕 y 轴(旋转)的弯矩
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TONGJI University 与主要应力对应的薄板中面内力表达式为 平 板 理 论 将应力-变形关系表达式代入，则有：
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TONGJI University 或 平 板 理 论
同理可得 y 向曲率为
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TONGJI University 将曲率Kx、Ky 代入以上应变表达式，可得到距中面 平 板 理 论 为 z 的点在板平面内的两个正应变：
z=0，则x=y=0，即中面无变形或中面不受力(基本假定?)
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TONGJI University 1.2.4 薄板挠曲微分方程 板单元内力图 平 板 理 论
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TONGJI University 首先建立薄板内力平衡方程 平 板 理 论 1) 由 z 向内力平衡条件, 即Fz=0 得到
§1.3 边界条件
1) 边界的种类 平 板 理 论 (1) 固支或夹支 (fixed、clamped)
(2) 简支 (simply supported, hinged)
(3) 部分约束 (partially restrained) (或称弹性约束) (4) 自由 (free)
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TONGJI University 3) 板的薄厚 平 板 理 论 薄板——板厚远小于平面的最小尺寸 (t/b=1/5~1/8) 厚板 (中厚板)——t/b>1/5 膜——很薄且柔，抗弯刚度很弱或没有抗弯刚度 划分原则：考虑沿厚度方向(z向)的效应?
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第一章
薄板小挠度弯曲问题的经典解法
小挠度 (也称为线性?) 问题的理论描述； 经典求解方法。
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§1.1 薄板的概念及基本假定
1) 平板 定义：两个平面间所围部分形成的连续实体； 平 特点：平板的两个平面尺寸远大于厚度。 板 理 2) 中面 论 定义：平分平板厚度的几何平面。 梁的轴线(中性轴线)?
z
z(z)
zx(zx) xz(xz) x(x)
zy(zy)
yz(yz) y(y)
x
xy(xy) yx(yx)
y
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(2) 应力分量zx、zy、z 为次要应力, 它们所引起的变形
平 板 理 论 忽略不计 (但平衡条件要考虑应力), 即

rx
xdx
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TONGJI University 有几何关系 平 板 理 论
则上式简化后， x 向的主应变为
Kx、x 为在 x 方向的弯曲曲率及曲率半径，与 z 无关。 同理 Ky、y 为在 y 方向的弯曲曲率及曲率半径。 且有
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• 成祥生. 应用板壳理论. 山东科学技术出版社, 1989
• 翁智远, 王远功. 弹性薄壳理论. 高等教育出版社, 1986 • R. Szilard. 板的理论与分析. 中国铁道出版社, 1984
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第一章 薄板小挠度问题的经典解法 目 录
小变形条件下，满足工程应用精度要求。
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1.2.2 应力-变形方程 (物理方程) 平 板 理 论
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由弹性力学的物理方程 (三维) 可知：
根据板厚度方向无变形及直法线假定，则
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TONGJI University 则，在薄板小挠度弯曲理论中，主要应力矩阵变为 平 板 理 论
忽略z 表明: 假定薄板在外力作用下，其厚度t 始终
不变。 忽略 zx、zy 表明: 原垂直于中面的法线在板变形后 仍垂直于中面, 且原垂直于中面的直线 变形后仍为直线。—直法线假定
平截面假定??
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TONGJI University (3) 薄板中面内各点无平行于中面的位移 平 板 理 论 即板中面在 xy 平面内投影不变, 也即中面无伸长或缩短 变形或者说中面无应力，属于中性面。
(4) 板中面挠度远小于其厚度 (小变形假定)
工程上挠度小于板厚的1/5, 既可满足精度要求。 (5) 板材为各向同性板 (6) 外荷垂直于中面作用 (面内无荷载，中面无应力?)
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§1.2 弹性曲面弯曲微分方程
1.2.1 应变-变形关系 (几何关系或几何方程) 平 板 理 论 1) 正应变 从板内取一微元dxdy, 由几何关系可知, 微元上任一距 中面为 z 的任一线段 dx 的变形为: xdx 或 zxdx
即
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TONGJI University 需要特别注意的是, 虽然忽略z、zx、zy, 但不能忽略应力
zx、zy，否则，板单元受力无法平衡。即
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剪应力zx、zy 需要通过积分求得，而非应变求得。
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1.2.3 薄板中面内力表达式
TONGJI University 同理可得到剪切角 平 板 理 论
由此，得到剪应变 xy
但是，剪应变 xy 中的 u、v 未知。
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TONGJI University 板弯曲变形后, 中面由于板挠曲产生的 x 方向的挠曲角 (或 绕 y 轴的转角)为x， x 与 w 的几何关系为 平 板 理 论 根据中面不变形的基本假定(3), 可得距中面为 z 处的点的水平 位移 u 可表示为
x
即
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TONGJI University 同理可得 y 向水平位移 v 平 板 理 论
将求得的 u、v 代入剪应变表达式，得到
Kxy 称为扭率
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TONGJI University 3) 应变矩阵表达式
参照弹性力学的写法
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2) 剪应变 微元平面内几何变形 (距中面为 z ) 平 板 理 论
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TONGJI University 微元的剪切角 、 之和即为剪应变。 剪切角 为 平 板 理 论 根据小变形假定
则有
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