复数性质及其在数学上的应用毕业论文

【标题】复数性质及其在数学上的应用

【作者】齐耀秋

【关键词】数学复数应用

【指导老师】王进

【专业】数学与应用数学

【正文】

１引言

复数是中学数学知识的重要交汇点，它的代数、几何、三角等多种表示形式以及特有的性质和运算法则，决定了它与代数、几何、三角的紧密联系。代数与几何是中学数学的两大重要内容，在代数中复数及其相关性质是重要的学习内容，探讨怎样巧用复数性质解决数学问题十分有意义。通过对一些具体例子的论证，说明利用复数及其相关性质解决某些数学问题往往能起到避繁就简、化难为易的作用。本课题从复数在代数中的应用、复数在几何中的应用、复数在三角中的应用三个方面展开讨论。

2复数概念及性质

2.1复数概念

形如的数叫做复数。

复数的表示形式有：

代数形式；三角形式；指数形式。

几何形式：

用向量表示复数；

用点表示复数。

向量的长度称为复数的模，记为：，即。

向量与轴正半轴间的角即为复数的辐角，即为：。

复数与互为共轭复数。

2.2复数性质

设,于是有：

；纯虚数或零；。

；；。

；。

；。

棣莫弗公式：。

3复数性质在数学中的应用

3.1利用复数性质解决代数问题

例１设，求函数的最小值

分析：由于直接利用二次函数或根式的性质都不能求解，配方，联想复数的模可设复数，从而利用复数模性质将本题解决。

解：

设，

因为

而，

所以

因此函数的最小值为５。

由此例可见，巧设复数，利用复数的模能使问题得以快速解决。

例２设复数满足：，它们在复平面内分别对应于不同的点A点B，O为坐标原点，若，求使得△AOB有最大面积时的a的值，并求出最大面积．

解：由于，所以，首先应结合题目条件，考虑与的关系．

首先，，所以，，解这个关于的方程，得：．

所以，，

因此，

所以，

等号成立当且仅当，即时取得．此时，△AOB取得最大面积，为。

本课题通过复数的几何表示法及复数模的性质，平均值不等式求解三角面积的最大值显得尤为简单。

例３设a、b、x、y都是实数，求证：

分析：按常规无理不等式证明，此题是很难解决的。如果考虑式中五个根式都是复数的模，则利用模的性质来证明，问题就简单多了。

证明：设，则

，则

，则

，则

又因为

所以

由模的性质可知

所以

例４设a为任意实数，求证：

证明：因为

设，

根据（等号仅当同向时成立）

因，故有

例５：求证:

分析：由于，可以用数学归纳法证明以上等式，但由等式联想棣莫弗公式和二项

式定理，使证明更简明。

证明：设

则

由复数相等的定义可得：

这道题关键是由等式左边联想棣莫弗公式，等式右边结合二项式定理，才使证明简明扼要。

例６已知实数列，的各项均不为零，且，，，，为已知常数，求数列，的通项公式。

解：构造复数（）则

所以是以为首项，为公比的等比数列

所以

故

此题运用棣莫弗公式：，使运算量大大减少，优化了过程，提高了效率，可谓匠心独运，对能力提高大有帮助。

3.2利用复数性质证明几何问题

例７已知平行四边形的两个顶点A(0，0)，B(3，-5)，点P内分对角线AC为2∶1。当D点在以

Q（3，2）为圆心，3为半径的圆周上运动时，求P点的轨迹。

分析：如图,按常规方法，找出P点与D点的坐标关系后，利用D点的轨迹求解，其运算繁杂。若将直角坐标平面视为复平面，则解决起来会十分简便。

解：由题知点A、B、Q对应的复数分别为：

，，

设点P对应的复数为，根据题意有：

且

所以

又因为

所以

所以

故所求的P点的轨迹为以点（4，－2）为圆心，半径为2的圆。

正确理解复数的几何意义是数形结合和实现问题转化的关键。

例８为顶点依次顺时针方向排列的等腰直角三角形，其中A为定点，B是定圆上的动点，C为直角顶点，求C点的轨迹。

解：如图建立坐标系（确定复平面）

设定圆的半径为r，A、C对应的复数为

又因为

所以

因此，即

故C点的轨迹是以（a ,a）为圆心，以为半径的圆。

一个复数对应于复平面上的一个点,如果复数的实部与虚部是一对实数变量,则所对应的点就成为复平面上的动点。如果复数变量按某种条件变化,则复平面上的动点就构成具有某种特性的点集或轨迹,因此通过复平面可把复数与平面解析几何的某些曲线联系起来,而且用复数形式表示曲线方程显得更简单、清晰。

例９椭圆和直线（）交于P、Q两点，求直线

OP和OQ相互垂直的条件。

解：设P、Q两点在X轴上的坐标分别为，因P、Q在直线

上，利用复数表示有

，

若要，知必须应为纯虚数。

据其实部为零，有

即：（1）

再由

得

（2）

所以

代入（1）得（3）

因（2）要有两个不同的实根，须判别式

即（4）

以上条件（3）（4）即为所求的条件。

3.3利用复数性质解决三角问题

例１０求证：

分析：将，，，，分别看成是复数，，，的一个辐角，问题已转变为求四个复数辐角和，则利用即可。

证明：设，

则，，，，

所以

又因为

所以

又因为

所以

即

利用复数证明角相等，要注意讨论角的范围。

例１１已知，求的值

解：构造复数：，

则有

因为

所以