等比数列的求和公式优秀课件
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①—② ，得
(1 q )S n a 1 0 0 a 1 q n
(1q)Sna1a1qn
显然，当q=1时，
Sn na1
q 1时:
Sn
a1a1qn 1q
a1anq 1q
注意：
1.使用公式求和时，需注意对q 1和q 1
的情况加以讨论；
2.推导公式的方法：错位相减法。
等比数列的前n项和表述为：
12
练习
求等比数列 3 , 3 , 3 ,从第3项到第7项的和.
2 48
解 ： a1 2 3,q1 2,
3
1
1
7
2 S7
2 1 1
381. 128
2
所以从第3项到第7项的和为：
S72 34 31328819 41 12 5.8 3 13
• 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋… ＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2ห้องสมุดไป่ตู้于 ________．
有关的性质
复习回顾 引入新课
等比数列的前n项和表述为：
{ Sn
na1,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq , (q≠1).
1 q
1 q
例 3 已 知 数 列 a n 前 n 项 和 S n 2 n 1 ， 求 此 数 列 的
例2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解 a ： 11 ,q2 , SS140111((111222241)0)115.02. 3
从第5项到第10项的和: S10 S410 213 510.08
s10
a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ,a 6 a 1.0
s4
？
第1格： 1 第2格： 2 第3格： 2 2
第4格： 2 3
……
第63格： 2 62
第64格： 2 63
2 30 - 1 = 1073741823
请同学们考虑如何求出这个和？
S 6 4 1 2 2 2 2 3 2 6 的这3 .方种法求,和就(1 )
即
2
2
S
S
64 64
2 2 (1 2 2 2 2 3 2 22 3 2 6 3 是 2 减错2 6 4 法6 位.3!)相.
1.国84王无1论01如9 何是不能实现发明 者的要求的。
如何求等比数列的Sn:
错位相减法
S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n
S n a 1 a 1 q a 1 q 2 a 1 q n 2 a 1 q n 1 ① q n S a 1 q a 1 q 2 a 1 q 3 a 1 q n 1 a 1 q n ②
(1 )a 13 ,q2 ,n6 ;
S6
3(126) 12
18.9
1 (2)a18,q2,n5; S5
8
1
1 2
5
1 1
31 . 2
2
(3 )a 1 8,a 1 5 1,a 6 n0 .
q4 a5 16 q 2 s5
a1 81
3
81 16 1 2
2 3
211
3
15
等比数列的前n项和（二）
(2 )
2S64 S64 (2 2 那2 如么 果这2 13 些0 0麦02 粒粒4 麦 的粒总重质 为量2 46 就3 0克 是，2 6 4 )
(1 2 7 302 0多2 亿2 吨3 。 根2 据4 统… 计资 料2 6 显3 )
示，全世界小麦的年产量约为
S64
264
1168亿4吨46，7就4是40说7全37世0界9都55要1615 1000多年才能生产这么多小麦，
{ Sn
na1,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq , (q≠1).
1 q
1 q
例1 求等比数列
1 2
,
1 4
,
1 8
,的前8项的和.
解:
a1
1,q1,n8 22
S8
1 2
1
1 2
8
1 1
2
255 . 256
Sn
a1(1 qn) 1 q
10
例2、在等比数列an中，求满足下列条件的 量 :
答案： 13(4n－1)
解析： 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝2n－ 1.易知等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝1，
∴an＝2n－1，于是 an2＝4n－1， ∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)
作业
根据下列条件，求相应的等比数列 a n 的 S n
(1)a1a32,求 sn
(2)q2,n5,a11 2.求 an和 sn
( 3 ) a 1 1 ,a n 5,s 1 n 3 2. 求 4 q 和 1 n
当q 1时，S 1 (1) 说明： 解(3：) ((当将 代 12a s因 解 ))qq5 5 a3为 2 得 14a q 11a入 a 时 a1 ： n 2 1１ 1２n11 q ，即 1 .n,2 1.并作 在 在 4a1 a , 数a1 n a且 qn五为 利q 2 311(列1 2 q1 要2 个 n 0第 用n 5 为 n55 1 根 变一 公 1q,,212 常 2a 5 s 1据量,要 式1 4 an 所 1)1数1 q2 具 (a2素 ， 1 11以 . 列 ,解 体,q8 1 2 q来 一a Sqn2 1 ,题2)n得 考 定n1 ， 5 1 ,52意 a虑 要 ， ： 12nq 22，1 ， q ,。 注 [11qSn 3 n选((中 ， 4意1得 3 11择12 ，))所qn代 2的 适(]1 只以 当取 入 2知： S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
2
创设情境、提出问题
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说：
陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
等比数列的求和公式优秀课件
知识回顾：
1.等比数列的定义：
an 1 an
q（常数）（ q0,nN）
2.通项公式：
a a q an a1qn1 ,
mn
m
n
3.等比数列的主要性质：
① a,G,b 成等比数列 G2 ab(G,a,b ≠ 0)
a ②在等比数列{ n }中，若 m npq
则 aman apaq ( m,n,p,qN)
(1 q )S n a 1 0 0 a 1 q n
(1q)Sna1a1qn
显然，当q=1时，
Sn na1
q 1时:
Sn
a1a1qn 1q
a1anq 1q
注意：
1.使用公式求和时，需注意对q 1和q 1
的情况加以讨论；
2.推导公式的方法：错位相减法。
等比数列的前n项和表述为：
12
练习
求等比数列 3 , 3 , 3 ,从第3项到第7项的和.
2 48
解 ： a1 2 3,q1 2,
3
1
1
7
2 S7
2 1 1
381. 128
2
所以从第3项到第7项的和为：
S72 34 31328819 41 12 5.8 3 13
• 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋… ＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2ห้องสมุดไป่ตู้于 ________．
有关的性质
复习回顾 引入新课
等比数列的前n项和表述为：
{ Sn
na1,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq , (q≠1).
1 q
1 q
例 3 已 知 数 列 a n 前 n 项 和 S n 2 n 1 ， 求 此 数 列 的
例2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解 a ： 11 ,q2 , SS140111((111222241)0)115.02. 3
从第5项到第10项的和: S10 S410 213 510.08
s10
a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ,a 6 a 1.0
s4
？
第1格： 1 第2格： 2 第3格： 2 2
第4格： 2 3
……
第63格： 2 62
第64格： 2 63
2 30 - 1 = 1073741823
请同学们考虑如何求出这个和？
S 6 4 1 2 2 2 2 3 2 6 的这3 .方种法求,和就(1 )
即
2
2
S
S
64 64
2 2 (1 2 2 2 2 3 2 22 3 2 6 3 是 2 减错2 6 4 法6 位.3!)相.
1.国84王无1论01如9 何是不能实现发明 者的要求的。
如何求等比数列的Sn:
错位相减法
S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n
S n a 1 a 1 q a 1 q 2 a 1 q n 2 a 1 q n 1 ① q n S a 1 q a 1 q 2 a 1 q 3 a 1 q n 1 a 1 q n ②
(1 )a 13 ,q2 ,n6 ;
S6
3(126) 12
18.9
1 (2)a18,q2,n5; S5
8
1
1 2
5
1 1
31 . 2
2
(3 )a 1 8,a 1 5 1,a 6 n0 .
q4 a5 16 q 2 s5
a1 81
3
81 16 1 2
2 3
211
3
15
等比数列的前n项和（二）
(2 )
2S64 S64 (2 2 那2 如么 果这2 13 些0 0麦02 粒粒4 麦 的粒总重质 为量2 46 就3 0克 是，2 6 4 )
(1 2 7 302 0多2 亿2 吨3 。 根2 据4 统… 计资 料2 6 显3 )
示，全世界小麦的年产量约为
S64
264
1168亿4吨46，7就4是40说7全37世0界9都55要1615 1000多年才能生产这么多小麦，
{ Sn
na1,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq , (q≠1).
1 q
1 q
例1 求等比数列
1 2
,
1 4
,
1 8
,的前8项的和.
解:
a1
1,q1,n8 22
S8
1 2
1
1 2
8
1 1
2
255 . 256
Sn
a1(1 qn) 1 q
10
例2、在等比数列an中，求满足下列条件的 量 :
答案： 13(4n－1)
解析： 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝2n－ 1.易知等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝1，
∴an＝2n－1，于是 an2＝4n－1， ∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)
作业
根据下列条件，求相应的等比数列 a n 的 S n
(1)a1a32,求 sn
(2)q2,n5,a11 2.求 an和 sn
( 3 ) a 1 1 ,a n 5,s 1 n 3 2. 求 4 q 和 1 n
当q 1时，S 1 (1) 说明： 解(3：) ((当将 代 12a s因 解 ))qq5 5 a3为 2 得 14a q 11a入 a 时 a1 ： n 2 1１ 1２n11 q ，即 1 .n,2 1.并作 在 在 4a1 a , 数a1 n a且 qn五为 利q 2 311(列1 2 q1 要2 个 n 0第 用n 5 为 n55 1 根 变一 公 1q,,212 常 2a 5 s 1据量,要 式1 4 an 所 1)1数1 q2 具 (a2素 ， 1 11以 . 列 ,解 体,q8 1 2 q来 一a Sqn2 1 ,题2)n得 考 定n1 ， 5 1 ,52意 a虑 要 ， ： 12nq 22，1 ， q ,。 注 [11qSn 3 n选((中 ， 4意1得 3 11择12 ，))所qn代 2的 适(]1 只以 当取 入 2知： S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
2
创设情境、提出问题
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说：
陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
等比数列的求和公式优秀课件
知识回顾：
1.等比数列的定义：
an 1 an
q（常数）（ q0,nN）
2.通项公式：
a a q an a1qn1 ,
mn
m
n
3.等比数列的主要性质：
① a,G,b 成等比数列 G2 ab(G,a,b ≠ 0)
a ②在等比数列{ n }中，若 m npq
则 aman apaq ( m,n,p,qN)