等比数列的求和公式优秀课件
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4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
Sn
na1, a1(1 qn)
1 q
a1
(q 1) an q , 1 q
(q 1)
由a1 1,q 2,n 64,可得
S64
1 264 1 2
264 1
1.841019.
按1000颗麦粒的质量 为40g，那么象棋发 明者想要的麦粒总质 量超过7000亿吨，约 是2016-2017年度世界 小麦产量的981倍， 因此，国王根本不可 能实现他的诺言.
典例分析
例1 已知数列{an}是等比数列.
当q
1时, Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
错位相减法
等比数列的前n项和公式： 若等比数列{an }的首项为a1,公比为q,则{an }的前n项和公式为Sn Nhomakorabeaa1
(1 q 1q
n
)
，q
1
na1，
q1
Sn
a1 anq 1q
，q
1
na1，
q1
有了上述公式,那就可以解决麦粒问题：
证明：设等比数列{cn }的首项c1 an,公比为q a1b,则其前n 1项和为
Sn1 an an1b an2b2 abn1 bn
an[1 (a1b)n1 ] an a b 1 n1 an1 bn1
1 a1b
1 a1b a b .
43.. 设等比数列{an }的前n项和为Sn,已知a2 6，6a1 a3 30. 求an和Sn .
解：设这个等比数列的首项为a1,公比为q. 当q 1时,显然不合题意,∴q 1.
∴
a1 a1
(1 q5 ) 10
1q (1 q10 )
50 1q
,
两式相除,并化简整理得1
演示文稿等比数列求和公式
a11＋q＋q2＝155，
解得a1＝5， q＝5，
a1＝180， 或q＝－56.
从而
Sn＝14×5n＋1－54或
1 Sn＝
080×[1－－56n]
11
.
目前七页\总数九十一页\编于三点
(2)由 Sn＝a111－－qqn，an＝a1·qn－1 以及已知条件得
189＝a111－－22n， 96＝a1·2n－1，
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.
①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.
②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.
即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．
目前十七页\总数九十一页\编于三点
跟踪练习
1. 求和 Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann. 解：分a＝1和a≠1两种情况． 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋ 2 1； 当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann， 上式两边同乘以1a，得 1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋ann＋1，
3．在含字母参数的等比数列求和时，应分 q＝1 与 q≠1 两种情况进行讨论．
目前三十六页\总数九十一页\编于三点
随堂练习
1．等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝2，则 Sn 等于
数列{an}是等差数列,a5=
5 2
, a7 =
7 2
.
(1)求{bn}的通向公式。
(2) 若cn=an.bn,n=1,2,3…..求；数列{cn}前n项和Tn
目前二十页\总数九十一页\编于三点
例题讲解
类型三 等比数列的综合应用
解得a1＝5， q＝5，
a1＝180， 或q＝－56.
从而
Sn＝14×5n＋1－54或
1 Sn＝
080×[1－－56n]
11
.
目前七页\总数九十一页\编于三点
(2)由 Sn＝a111－－qqn，an＝a1·qn－1 以及已知条件得
189＝a111－－22n， 96＝a1·2n－1，
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.
①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.
②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1.
即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．
目前十七页\总数九十一页\编于三点
跟踪练习
1. 求和 Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann. 解：分a＝1和a≠1两种情况． 当a＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn＋ 2 1； 当a≠1时，Sn＝1a＋a22＋a33＋…＋ann， 上式两边同乘以1a，得 1aSn＝a12＋a23＋…＋n－an 1＋ann＋1，
3．在含字母参数的等比数列求和时，应分 q＝1 与 q≠1 两种情况进行讨论．
目前三十六页\总数九十一页\编于三点
随堂练习
1．等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝2，则 Sn 等于
数列{an}是等差数列,a5=
5 2
, a7 =
7 2
.
(1)求{bn}的通向公式。
(2) 若cn=an.bn,n=1,2,3…..求；数列{cn}前n项和Tn
目前二十页\总数九十一页\编于三点
例题讲解
类型三 等比数列的综合应用
等比数列求和公式PPT教学课件
解：当x≠0，x≠1，y≠1时
(x 1 ) (x2 1 ) ... (xn 1 )yΒιβλιοθήκη y2yn(x
x2
...
xn
)
(1 y
1 y2
...
1 yn
)
x(1 xn ) 1 x
1 y
(1
1 yn
)
1 1
y
x xn1 1x
yn 1 yn1 yn
练习: 求下式的和
（2 35) (4 352 ) (6 353) ... (2n 35n )
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)
=a1+q(Sn-an)
sn
a1 anq 1q
当公比q 1时，Sn na1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q
1)
na1(q 1)
an a1qn1
Sn
a1 anq 1 q
(q
1) .
na1(q 1)
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
(q
(1) (2)
(2) (1)得：1 q2n
1 qn
82
1 q2n 821 qn 82 1 qn
qn 81 q 1
a1 0, q 1 {an}是递增数列
an 54
a1q n1
54
a1 q
qn
54
a1
2 3
q由 a1(1 81) 1 q
80得：
a1 2,q 3
例4：已知Sn是等比数列{an }的前n项和， S3, S9 , S6成等差数列，
求证：a , a , a 成等差数列。 285
等比数列求和PPT课件
Sn a1 a1q a1q2 a1qn1
两边同乘以q，得
qSn a1q a1q2 a1qn1 a1qn
两式相减，得
Sn a1(1 qn ) (q 1) 1 q
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 22 23 262 263 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
Sn
a1 anq 1 q
当q 1时， Sn na1.
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(1) a1, an , q, Sn 和各已知 a1, n, q, Sn
三个可求第四个。
(2)注意求和公式是qn，不要和通项公 式中的qn1混淆。 (3)注意q是否等于1，如果不确定，就要 分q 1和q 1两种情况讨论。
解:
Sn
11 2
2
1 4
31 8
4 1 16
(nΒιβλιοθήκη 1 2n)反思
(1
1 2
)
(2
1 4
)
(3
1 8
)
(n
1 2n
)
(1
2
3
n)
(1 2
1 4
1 8
1 2n
)
n(n 1) 2
1 [1 (1)n ] 22
1 1
n
2
2
n
1
1 2n
2
分组求和
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和
（1
1) x
(2
1 x2
a2 a3 a4 ...... an q(a1 a2 a3 ...... an 1)
即 Sn a1 q(Sn an)
Sn qSn a1 qan
两边同乘以q，得
qSn a1q a1q2 a1qn1 a1qn
两式相减，得
Sn a1(1 qn ) (q 1) 1 q
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
1 2 22 23 262 263 ?
这实际上是求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。
Sn
a1 anq 1 q
当q 1时， Sn na1.
Sn
a1(1 qn ) 1 q
(1) a1, an , q, Sn 和各已知 a1, n, q, Sn
三个可求第四个。
(2)注意求和公式是qn，不要和通项公 式中的qn1混淆。 (3)注意q是否等于1，如果不确定，就要 分q 1和q 1两种情况讨论。
解:
Sn
11 2
2
1 4
31 8
4 1 16
(nΒιβλιοθήκη 1 2n)反思
(1
1 2
)
(2
1 4
)
(3
1 8
)
(n
1 2n
)
(1
2
3
n)
(1 2
1 4
1 8
1 2n
)
n(n 1) 2
1 [1 (1)n ] 22
1 1
n
2
2
n
1
1 2n
2
分组求和
选用公式、变用公式、理解内化
变式练习：求和
（1
1) x
(2
1 x2
a2 a3 a4 ...... an q(a1 a2 a3 ...... an 1)
即 Sn a1 q(Sn an)
Sn qSn a1 qan
等比数列求和公式的推导与应用PPT
公比对等比数列求和有影响 当公比为1时，等比数列为常数列，其和等于首项与末项之差 等比数列求和公式推导 利用错位相减法，将等比数列的和表示为无穷级数，然后通过数学运算进 行化简得到 应用公比调整等比数列和 根据实际问题，适当调整公比，可以更准确地计算等比数列的和
02
等比数列求和公式的推导 过程
利用错位相减法进行推导
错位相减法的基本原理
将一个数列分为两部分，分别求和后再 相减，得到新的数列。
等比数列的特性
若一个数列为等比数列，则任意两项之比为公比且 不为零。
错位相减法的应用
利用错位相减法，可以简化等比数列的 求和运算。
利用等比中项的性质进行推导
定义等比数列 等比数列是一种数列，其中任意两个连续项的比都是相同的常数。 等比中项性质 若a、b、c成等比数列，则a^2=bc。 求和公式推导 根据等比数列求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，将等比中项性质a^2=bc代入可得。 应用实例 例如，对于等比数列{1,2,4,8,...}，当q=2时，求其前五项之和为31。
01
等比数列基本概念与性质
定义与通项公式
等比数列求和公式 等比数列求和公式为S=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。 应用定义 等比数列的应用广泛，例如在金融领域，复利计算就基于等比数列的求和公式。
等比中项与等比数列的判定
01
02
03
04
等比数列定义明确
等比数列是每一项与它 前一项的比为同一常数， 这个常数称为公比。
在实际Байду номын сангаас活中的应用
等比数列求和公式的推导 通过等差数列与等比数列的关系，将复杂的等比数列问题转化为简单的等差数列问题，简化了计算过程。 生活中的应用：金融投资 在复利投资中，投资收益的计算就是一个典型的等比数列求和问题。假设年化收益率为p，初始投资额为A，投资n年，总收益S=A(1+p)^n。 生活中的应用：细菌繁殖 细菌繁殖是典型的指数增长模型，即每次繁殖后的数量为上一次的k倍，可以用等比数列求和公式来预测n代后的总数量。
02
等比数列求和公式的推导 过程
利用错位相减法进行推导
错位相减法的基本原理
将一个数列分为两部分，分别求和后再 相减，得到新的数列。
等比数列的特性
若一个数列为等比数列，则任意两项之比为公比且 不为零。
错位相减法的应用
利用错位相减法，可以简化等比数列的 求和运算。
利用等比中项的性质进行推导
定义等比数列 等比数列是一种数列，其中任意两个连续项的比都是相同的常数。 等比中项性质 若a、b、c成等比数列，则a^2=bc。 求和公式推导 根据等比数列求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，将等比中项性质a^2=bc代入可得。 应用实例 例如，对于等比数列{1,2,4,8,...}，当q=2时，求其前五项之和为31。
01
等比数列基本概念与性质
定义与通项公式
等比数列求和公式 等比数列求和公式为S=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。 应用定义 等比数列的应用广泛，例如在金融领域，复利计算就基于等比数列的求和公式。
等比中项与等比数列的判定
01
02
03
04
等比数列定义明确
等比数列是每一项与它 前一项的比为同一常数， 这个常数称为公比。
在实际Байду номын сангаас活中的应用
等比数列求和公式的推导 通过等差数列与等比数列的关系，将复杂的等比数列问题转化为简单的等差数列问题，简化了计算过程。 生活中的应用：金融投资 在复利投资中，投资收益的计算就是一个典型的等比数列求和问题。假设年化收益率为p，初始投资额为A，投资n年，总收益S=A(1+p)^n。 生活中的应用：细菌繁殖 细菌繁殖是典型的指数增长模型，即每次繁殖后的数量为上一次的k倍，可以用等比数列求和公式来预测n代后的总数量。
等比数列求和1 PPT课件
1+x+x2+……+xn-1-x(1+x+x2+……+xn-1) =1-xn
1+q+q2+……+qn-1-q(1+q+q2+……+qn-1)=1-qn
在等比数列中，可用此方法消项！
Байду номын сангаас
等比数列的求和公式
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ · · · +an 即：Sn=a1+a1q+a1q2+· · · · · · +a1qn-2+a1qn-1 qSn= a1q+a1q2+a1q3+· · · · · · + a1qn1+a qn 1 错位相减得： （1-q）Sn=a1-a1qn
引 入
小丸子,我每天给你1000元,而你第一 天给我1元,第二天给我2元,第三天给 我4元,即后一天给我的钱是前一天的 2倍,如此下去一个月,怎么样?
?????, 好啊
?
问题化归：即求
?
回顾等差数列前n项求和公式的推导
倒序相加法
从等比数列的定义出发：
即在等比数列中的第k项与第k-1项q倍的差等于0
错 位 相 减 法
等比数列求和公式推导方法欣赏：运用等比定理
解决刚才提出的问题：
简单应用：
练习：1.书本P128 1 (1),(3) （1）已知a1,q,sn,求n.
2(1)
2.以下列要求编两个题目给同桌做
（2）已知an,q,sn,求a1
小
结
备用题：一个球从a米高处自由落下，每次着地 后又跳回到原高度的一半后再落下，问当它第5 次着地时，共经过了多少米？
等比数列的求和公式第一课时ppt
11 2n 1 2
n 1
×
1 2 4 8 16 （ 2）
1 1 2n 1 2
×
a a （3）a
n个
例1、已知 a n 是等比数列，求出下列各量
1 1 （1）已知 a1 2 , q 2 , n 5 ，求
(1 q)Sn a1 a1q
n
n
a a q a ( 1 q ) 1 n 当q≠1时， S 1 n 1 q 1 q
等比数列an 的前n项和需要进行分类讨论 当q=1时，等比数列an an 0 为一个常数 列，前n项的和 Sn na1
a1 (1 q n ) 当q≠1时， Sn 1 q
a1 1 q n q 1 Sn 1 q na q 1 1
a1 an q 1 q Sn na 1 q 1 q 1
判断下列数列 an 的求和是否正确
（ 1） 1 2 2 2
2n
2
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学 源于生活
数学 用于生活
a1 a n q a1 (1 q n ) q 1 1q 1 q Sn 或 Sn na na q 1 1 1
知三求二 方 程 思 想
q 1 q 1
3 a3 例2、已知在等比数列an 中， 2 1
S 3 4 ，求 a 1 2
思考：
1 1 1 1 求数列 1 , 2 , 3 , 4 , 的前n项的和. 2 4 8 16
• 例3.在等比数列 an 中，a1 an 66 ， • a2 an1 128 且 sn 126 ，求项数 • n 和公比 q
等比数列的求和公式ppt 人教课标版
等比数列的求和公式
a n 1 1等比数列的定义： q an
2通项公式： a a q n 1
n 1
一、知识回顾：
3等比中项：
2
a , G , b 成等比 G ab G a
二、等比数列求和公式 :
2 3 4 63 1+2+2 +2 +2 +…+2 =？
S64=1+2+4+8+…+262+263 ① ① 2 得到：
2 3 n n an a 3 n 2 6
∴{ an }为等比数列.
a 23 n 1 3 n a 23 n
n 1
课堂小结：
(1)等比数列前 n项和的推导方法：
错位相销法；比例的性 质。
(2 ) 等比数列前 n 项和公式 :
n
a1(1 q ) (q 1 ) Sn 1 q na (q 1 ) 1
2S64=2+4+8+16…+263+264 ② 对①、②进行比较. S64=1+2+4+8+…+262+263 ① 2S64=2+4+8+16…+263+264
②
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an
公比为： q1
…① …②
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn ① - ②得：
S6=189
a n 1 1等比数列的定义： q an
2通项公式： a a q n 1
n 1
一、知识回顾：
3等比中项：
2
a , G , b 成等比 G ab G a
二、等比数列求和公式 :
2 3 4 63 1+2+2 +2 +2 +…+2 =？
S64=1+2+4+8+…+262+263 ① ① 2 得到：
2 3 n n an a 3 n 2 6
∴{ an }为等比数列.
a 23 n 1 3 n a 23 n
n 1
课堂小结：
(1)等比数列前 n项和的推导方法：
错位相销法；比例的性 质。
(2 ) 等比数列前 n 项和公式 :
n
a1(1 q ) (q 1 ) Sn 1 q na (q 1 ) 1
2S64=2+4+8+16…+263+264 ② 对①、②进行比较. S64=1+2+4+8+…+262+263 ① 2S64=2+4+8+16…+263+264
②
证法一：
Sn=a1+a2+…+ an
公比为： q1
…① …②
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-2 +a1qn-1 +a1qn ① - ②得：
S6=189
4.3.2等比数列的前n项和公式(教学课件(人教版))
练一练
3.若数列 an
的前
n
项和为
Sn
，且
Sn
4 3
an
1 3
，则
Sn
等于(
A. 4n 1
3
√B. 4n 1 3
C. 4n1 1
3
) D. 4n1 1
3
当
n
1 时，
a1
4 3
a1
1 3
，则 a1
1 ；当
n
2 时，
Sn1
4 3
an1
1 3
，则
an
4 3
an
4 3
an1
，
所以 an
4an1 ，则数列an 是首项为
1.
a1 1 q6 S6 1 q q3 1 9 ，
S3 a1 1 q3 1 q
q 2 ，则 a2m qm 2m 5m 1 5 6 .由 y 2x 在定义域上单调递增， y 5 6 在 (1,) 上
am
m 1
m 1
x 1
单调递减，结合图象可得
2m
5
6 m 1
有唯一解
m
D. an 2n 1
根据题意知等比数列 an 1 的公比为 q q 0 ,记 bn an 1,则 b3 8,b1 b2 b3 14 ,
所以 b1q2 8, b1 b1q
6,
解得
q b1
2, 2,
故 bn
2n
,则 an
2n
1,
2 1 2n Sn 1 2
2 ,
所以 a5 31,选项 C 错误,故选 C.
1，公比为
4
的等比数列，则 Sn
1 4n 1 4
4n 1 .
等比数列前n项和公式ppt名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
1 （1）已知 a1 4 , q 2 ，求S10。
（2）已知 a1 1 , ak 243 , q 3 ，求Sk。
解:（1）
S10
a1(1 q10 ) 1 q
4[1 (1)10 ] 2
1 1
1023 128
2
（2）
Sk
a1 ak q 1 q
1 243 3 13
364
拓展训练 、深化认识
(1)-(2) Sn qSn a1 anq 整顿 (1 q)S n a1 anq
a a q 当q
1时，Sn
a1 anq 1 q
n
n1 1
Sn
a1(1 qn 1 q
)
当q 1时，Sn na1.
错位相减法
深化学生对公式旳认识和了解：
等比数列旳前n项和公
式当q 1时，
Sn
a1 anq 1 q
例。1 .写出等比数列 1,-3,9，-27…旳前n项和公式并求
出数列旳前8项旳和。
解：因为a1
1，q
3 1
3，所以等比数列的前
n项和公式为：
Sn
1[1 (3)n ] 1 (3)
1 (3)n 4
故
S8
1 （ 3）8 4
1640
变式强化： 深化对公式旳了解与灵活利用，巩固强化。
课堂练习 1．求等比数列中，
陛下，请您在这张棋盘旳第一 种小格内，赐给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这么下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这么摆满棋盘上所 有64格旳麦粒，都赐给您旳仆 人罢！
鼓励学生合作讨论， 经过自己旳努力处理问题， 激发进一步进一步学习旳爱好和欲望。
第1格： 1 第2格： 2
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题了. 由a1 1，q 2，n 64，
可得
S64
1 (1 264 ) 1 2
264
1
1.84 1019.
如果一千颗麦粒的质量约为40克，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨， 约是202X-202X年度世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.
思考：对于等比数列的相关量a1，q，n，an，S n ，已知几个量就可以确定其他量？
（1）若 （2）若
a1 a1
1227，，q a912，2求143S，8 q；
0，求 S8；
（3）若
a1
8，q
1 2
，Sn
31，求 2
n.
a1
q
n
an
Sn
（1）
1 2
1
8
√
√
2
知 三
1
（2） 27
√
9
243
√
求 二
（3） 8
1 2
√
√
31
2
例题讲授，学以致用
例2. 已知等比数列 an 的公比 q 1 ，前 n 项和为 Sn.
证明 Sn ， S2n Sn ， S3n S2n 成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：利用等比数列 an前 n 项和 Sn 的定义，得
Sn a1 a2 a3 an a1 a1q a1q2 a1qn1 a1(1 q q2 qn1），
公比 q(q 1)
首项 ， 公比
a1 ，末项
q(q 1)
an
首项 a1，项数 n ，
公比 q(q 1)
Sn
a1(1 qn ) 1 q
Sn
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1.国84王无1论01如9 何是不能实现发明 者的要求的。
如何求等比数列的Sn:
错位相减法
S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n
S n a 1 a 1 q a 1 q 2 a 1 q n 2 a 1 q n 1 ① q n S a 1 q a 1 q 2 a 1 q 3 a 1 q n 1 a 1 q n ②
①—② ，得
(1 q )S n a 1 0 0 a 1 q n
(1q)Sna1a1qn
显然，当q=1时，
Sn na1
q 1时:
Sn
a1a1qn 1q
a1anq 1q
注意：
1.使用公式求和时，需注意对q 1和q 1
的情况加以讨论；
2.推导公式的方法：错位相减法。
等比数列的前n项和表述为：
(2 )
2S64 S64 (2 2 那2 如么 果这2 13 些0 0麦02 粒粒4 麦 的粒总重质 为量2 46 就3 0克 是，2 6 4 )
(1 2 7 302 0多2 亿2 吨3 。 根2 据4 统… 计资 料2 6 显3 )
示，全世界小麦的年产量约为
S64
264
1168亿4吨46，7就4是40说7全37世0界9都55要1615 1000多年才能生产这么多小麦，
2
创设情境、提出问题
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说：
陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
第1格： 1 第2格： 2 第3格： 2 2
第4格： 2 3
……
第63格： 2 62
第64格： 2 63
2 30 - 1 = 1073741823
请同学们考虑如何求出这个和？
S 6 4 1 2 2 2 2 3 2 6 的这3 .方种法求,和就(1 )
即
2
2
S
S
64 64
2 2 (1 2 2 2 2 3 2 22 3 2 6 3 是 2 减错2 6 4 法6 位.3!)相.
(1 )a 13 ,q2 ,n6 ;
S6
3(126) 12
18.9
1 (2)a18,q2,n5; S5
8
1
1 2
5
1 1
31 . 2
2
(3 )a 1 8,a 1 5 1,a 6 n0 .
q4 a5 16 q 2 s5
a1 81
3
81 16 1 2
2 3
211
3
15
等比数列的前n项和（二）
(1)a1a32,求 sn
(2)q2,n5,a11 2.求 an和 sn
( 3 ) a 1 1 ,a n 5,s 1 n 3 2. 求 4 q 和 1 n
当q 1时，S 1 (1) 说明： 解(3：) ((当将 代 12a s因 解 ))qq5 5 a3为 2 得 14a q 11a入 a 时 a1 ： n 2 1１ 1２n11 q ，即 1 .n,2 1.并作 在 在 4a1 a , 数a1 n a且 qn五为 利q 2 311(列1 2 q1 要2 个 n 0第 用n 5 为 n55 1 根 变一 公 1q,,212 常 2a 5 s 1据量,要 式1 4 an 所 1)1数1 q2 具 (a2素 ， 1 11以 . 列 ,解 体,q8 1 2 q来 一a Sqn2 1 ,题2)n得 考 定n1 ， 5 1 ,52意 a虑 要 ， ： 12nq 22，1 ， q ,。 注 [11qSn 3 n选((中 ， 4意1得 3 11择12 ，))所qn代 2的 适(]1 只以 当取 入 2知： S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
等比数列的求和公式优秀课件
知识回顾：
1.等比数列的定义：
an 1 an
q（常数）（ q0,nN）
2.通项公式：
a a q an a1qn1 ,
mn
m
n
3.等比数列的主要性质：
① a,G,b 成等比数列 G2 ab(G,a,b ≠ 0)
a ②在等比数列{ n }中，若 m npq
则 aman apaq ( m,n,p,qN)
答案： 13(4n－1)
解析： 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝2n－ 1.易知等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝1，
∴an＝2n－1，于是 an2＝4n－1， ∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)
作业
根据下列条件，求相应的等比数列 a n 的 S n
{ Sn
na1,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq , (q≠1).
1 q
1 q
例1 求等比数列
1 2
,
1 4
,
1 8
,的前8项的和.
解:
a1
1,q1,n8 22
S8
1 2
1
1 2
8
1 1
2
255 . 256
Sn
a1(1 qn) 1 q
10
例2、在等比数列an中，求满足下列条件的 量 :
12
练习
求等比数列 3 , 3 , 3 ,从第3项到第7项的和.
2 48
解 ： a1 2 3,q1 2,3117
2 S7
2 1 1
381. 128
2
所以从第3项到第7项的和为：
S72 34 31328819 41 12 5.8 3 13
• 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋… ＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于 ________．
有关的性质
复习回顾 引入新课
等比数列的前n项和表述为：
{ Sn
na1,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq , (q≠1).
1 q
1 q
例 3 已 知 数 列 a n 前 n 项 和 S n 2 n 1 ， 求 此 数 列 的
例2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解 a ： 11 ,q2 , SS140111((111222241)0)115.02. 3
从第5项到第10项的和: S10 S410 213 510.08
s10
a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ,a 6 a 1.0
s4
？