(人教B版)高中数学必修四全册同步ppt课件：1-3-1-2

解析 (1)－1≤sin2x≤1，∴－2≤－2sin2x≤2， ∴1≤3－2sin2x≤5，即1≤y≤5. ∴y∈[1,5]． (2)设t＝2x＋π3－6π≤x≤π6， ∴t∈0，23π.∵π2∈0，23π，∴sint∈[0,1]． ∴y∈[0,2]．
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
1．3 三角函数的图象与性质
1．3.1 正弦函数的图象与性质
第二课时 正弦函数的性质
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 借助图象理解正弦函数的性质(如周期性、单调性、最大 值和最小值、图象与x轴交点等).
自学导航 1.正弦函数的周期性 (1)周期函数的定义 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个 非零常数T ，使得定 义域内的每一个x值，都满足 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫 做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
解析 T＝2ωπ＝22π＝3π. 3
答案 D
3．函数f(x)＝2sin2x－π4的一个单调递减区间是(
)
A.58π，98π
B.－8π，38π
C.38π，78π
D.π8，58π
解析 令2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋32π，k∈Z ∴kπ＋38π≤x≤kπ＋78π，k∈Z 当k＝0时，38π≤x≤78π， ∴f(x)的一个单调递减区间为[38π，78π]．
(2)最小正周期的定义 对于一个 周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个最小正数 就叫做它的最小正周期．
2．正弦函数的图象和性质 函数
y＝sinx
图象
定义域 值域
奇偶性 周期
x∈R －1≤y≤1
奇函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2π
函数
y＝sinx
单调性
在每一个闭区间 －π2＋2kπ，2π＋2kπ (k∈Z)上是 增函数； 在每一个闭区间 π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z )上是 减函数
自测自评
1.函数y＝2sinx，x∈π6，23π的值域为(
)
A．[1， 3]
B.12，
3 2
C．[1,2]
D．[ 3，2]
解析 结合正弦曲线可知，y∈[1,2]． 答案 C
2．函数y＝2sin23x＋6π的最小正周期为(
)
A．π
3π B. 2
C．2π
D．3π
(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝|2ωπ|.
3．确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法
(1)把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－
π 2
≤ωx＋φ≤2kπ＋
π 2
(k
∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间；由2kπ＋
π 2
≤ωx＋
φ≤2kπ＋32π(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．
sin43π<sin116π，故C错； sin－193π＝sin－3π，sin－265π＝sin－π6， ∴sin－193π＜sin－6π，故D正确．
答案 D
名师点拨 1.对函数y＝sinx的对称性的理解 对于y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心及对称轴如下所示： 令ωx＋φ＝kπ，k∈Z. ∴x＝kπω－φ，∴对称中心为(kπω－φ，0)(k∈Z)． 令ωx＋φ＝kπ＋2π，k∈Z. ∴x＝kπ＋ω2π－φ，k∈Z，
答案 C
4．下列大小关系正确的是( ) A．sin23π＜sin43π B．sin1＜sin3 C．sin116π＜sin43π D．sin－193π＜sin－256π
解析 sin23π＝sinπ3＞0，sin43π＝－sin3π＜0，故A错； sin3＝sin(π－3)，∵0＜π－3＜1，∴sin(π－3)＜sin1， ∴sin1＞sin3，故B错； sin116π＝sin－6π，sin43π＝sin－3π， ∵－π2＜－3π＜－π6＜0，∴sin－3π＜sin－π6，
函数
最大值与 最小值
y＝sinx x＝2π＋2kπ时，ymax＝1(k∈Z)； x＝－2π＋2kπ时，ymin＝－1(k∈Z)
思考探究 1.若f(2x＋T)＝f(x)恒成立，T是f(x)的周期吗？ 提示 不是．自变量x本身加非零常数T，T才是周期即f(x ＋T)＝f(x)． 2．正弦函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形， 它的对称中心和对称轴分别是什么？ 提示 对称中心(kπ，0)(k∈Z)；对称轴x＝kπ＋2π(k∈Z).
∴对称轴方程为x＝kπ＋ω2π－φ(k∈Z)．
2．函数的周期
(1)函数的周期性的定义是对定义域内的任意一个x来说
的，如果只有个别x满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．
例如sinπ4＋π2＝sinπ4，但sin3π＋π2≠sin3π.
就是说
π 2
不能对于x在定义域内的每一个值都有sin
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω<0)，可先用诱导公式
转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝－Asin(－ωx－φ)的增(减)区
间即为函数y＝Asin(ωx＋φ)的减(增)区间.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 求下列函数的值域． (1)y＝3－2sin2x(x∈R)； (2)y＝2sin2x＋3π－6π≤x≤π6； (3)y＝2cos2x＋5sinx－43π≤x≤56π. 剖析 利用正弦函数的值域求解．
x＋π2
＝
sinx，因此2π不是sinx的周期．
(2)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内 的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现 的自变量x的增加值．周期函数的周期不止一个，若T是周期， 则kT(k∈N＋)一定也是周期．
(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最 小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周 期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期．