高等数学初等函数

初等函数
1．常数函数 y=C (C为常数) 2 ．幂函数 y= xu (μ 是常数 )
3 ．指数函数 y= ax (a 是常数且 a>0,a ≠ 1) 4 ．对数函数 y= log a x (a 是常数且 a>0,a ≠ 1) 5 ．三角函数 y=sinx, y=cosx, y=tanx,
y=cotx, y=secx, y=cscx
6 ．反三角函数 y=arcsinx, y=arccosx,
y=arctanx, y=arccotx
一、基本初等函数
1、幂函数 y x
y
y x2
1
(是常数)
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
2、指数函数 y a x (a 0, a 1) y e x
y (1)x a
一般地，若函数 y=f(u)的定义域为 D1，u=φ (x)的定义域
为 D2,值域 w2={u│u= φ (x),x∈D2}且 W2∩D1≠φ这样得到的
以 x 为自变量，y 为因变量的函数，称为由函数y=f(u)和 u= φ(x) 复合而成的复合函数,记作 y=f[φ (x)],其中 u 称为中 间变量。
一般来说，分段函数不是初等函数，但下例所示 的分段函数是初等函数。
例 1 y=∣x∣= x, x 0 是由 y= u 和 u= x 2 复合而成的复合函数,
x, x 0
那就是说，原函数与 x2 是同一个函数，因此它也是初等函数。
小结
函数的分类:
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec x
余割函数 y csc x
y csc x
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
复 合
1
vw 2
w x2 1
。
小结
➢复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的. ➢分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法，
从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算. ➢基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简 单函数.
练习
y=ln(tanex2 +2sinx )
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
复合函数
设有函数 y=u 2 和函数 u=1-sinx,则 y=(1 sin x)2 是两者的复 合函数。
• (0,1)
y ax (a 1)
3、对数函数 y loga x (a 0,a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4、三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
解 最外层是对数，即 y ln u,
次外层是正切，即 u tan v . 从外向里第三层是指数函数，即 v e w ,
最里层是简单函数，即 w x 2+ 2 sin x ,
所以，分解得 y ln u u tan v
v ew w x2 +2 sin x
初等函数
由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合所构成， 并可用一个式子表示的函数称初等函数。 前面讨论过的函数都是初等函数。今后本课程讨论 的函数除分段函数外，也都是初等函数。
初 等
函 数
函
无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
例：
设f
(x)
Βιβλιοθήκη Baidu

1 2
0

x

1 ,
求函数
f
(x

3)的定义域.
1 x2
解

f
(
x)

1 2
0 x1 1 x2

f
(
x

3)

1 2
0 x31 1 x32

1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
例 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数
y sin 2 1
函
x2 1
数 可
解 最外层是二次方，即 y u2 ，
进 行
次外层是正弦，即 u sin v
三 重
1
从外向里第三层是幂函数 ，即 v w 2
， 四 重
最里层是多项式，即 w x 2 1 ,
和 多
重
所以，分解得 y u2 u sin v