2013年高考一轮：第一章 第2单元 匀变速直线运动

(3)解题的基本思路：
[典题例析] [例1] 一辆汽车以72 km/h的速度行驶，现因故紧急刹车并 最终停止运动。已知汽车刹车过程加速度的大小为5 m/s2，
则从开始刹车经过5 s，汽车通过的距离是多少？
[审题指导] 解答本题时应注意以下两点：
(1)将汽车的初速度单位转化为国际单位。 (2)汽车刹车的总时间与t＝5 s的大小关系。
[知识检索] (1)正、负号的规定： 直线运动可以用正、负号表示矢量的方向，一般情况 下，我们规定初速度的方向为正方向，与初速度同向 的物理量取正值，反向的物理量取负值，当v0＝0时，
一般以a的方向为正方向。
(2)物体先做匀减速直线运动，速度减为零后又反向做匀 加速直线运动，全程加速度不变，对这种情况可以将 全程看做匀变速直线运动，应用基本公式求解。
4．逆向思维法
把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题 的方法，一般用于末态已知的情况。
5．图像法
应用v－t图像，可把较复杂的问题转变为较为简单 的数学问题解决，尤其是用图像定性分析，可避开 繁杂的计算，快速得出答案。 6．推论法
匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之
差为一恒量，即sn＋1－sn＝aT2，对一般的匀变速直 线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先 考虑用Δs＝aT2求解。
2．匀变速直线运动的两个重要推论 (1)Δs＝aT2，即任意相邻相等时间内的位移之差相等。可以推广 到 sm－sn＝(m－n)aT2。 v0＋vt (2)v ＝ 2 ， 某段时间的中间时刻的瞬时速度等于该段时间内
t 2
的平均速度。 vs＝
2
v0 2＋vt 2 ，某段位移的中间位置的瞬时速度不 2
等于该段位移内的平均速度。 可以证明，无论匀加速还是匀减速，都有 v t ＜v s 。
2．中间时刻速度法 利用“任一时间 t 中间时刻的瞬时速度等于这段时间 t 内的平均速度”即 v 2t ＝ v ，适用于任何一个匀变速直线 运动，有些题目应用它可以避免常规解法中用位移公式列 出的含有 t2 的复杂式子，从而简化解题过程，提高解题速 度。
3．比例法 对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀 减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动 的重要特征的比例关系，用比例法求解。
2
2
3．初速度为零的匀变速直线运动中的几个重要结论
(1)1T末，2T末，3T末……瞬时速度之比为： v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。 (2)1T内，2T内，3T内……位移之比为： s1∶s2∶s3∶…∶sn＝1∶22∶32∶…∶n2。
(3)第一个 T 内，第二个 T 内，第三个 T 内，„，第 N 个 T 内的位移之比为： sⅠ ∶sⅡ∶sⅢ∶„∶sN＝1∶3∶5∶„∶(2n－1)。 (4)通过连续相等的位移所用时间之比为： t1 ∶t2 ∶t3 ∶„∶tn ＝1∶( 2－1)∶( 3－ 2)∶„∶( n－ n－1)。
[应用升级] 1．汽车进行刹车试验，若速率从 8 m/s 匀减速至零，需 用时间 1 s，按规定速率为 8 m/s 的汽车刹车后拖行路 程不得超过 5.9 m， 那么上述刹车试验的拖行路程是否 符合规定 A．拖行路程为 8 m，符合规定 B．拖行路程为 8 m，不符合规定 C．拖行路程为 4 m，符合规定 D．拖行路程为 4 m，不符合规定 ( )
1 2 提示：(1) AB ＝v0T＋ aT ， 2 故 BC － AB ＝aT2。
1 2 BC ＝(v0＋aT)T＋ aT 2
(2)vB＝v0＋aT，vC＝v0＋2aT。 AB ＋ BC v＝ ＝v0＋aT。 2T vA＋vC v0＋v0＋2aT ＝ ＝v0＋aT。 2 2
[知识联动] 1．三个基本公式 (1)速度公式：vt＝v0＋at。 1 2 (2)位移公式：s＝v0t＋ at 。 2 (3)速度—位移关系式：vt2－v0 2＝2as。
答案：1 m/s2
[知识检索]
竖直上抛运动的研究方法 (1)分段法：可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速 运动和下降阶段的自由落体运动处理，下降过程是上 升过程的逆过程。 (2)整体法：从全过程来看，加速度方向始终与初速度的 方向相反，所以也把竖直上抛运动看成是一个匀变速
直线运动。
[典题例析]
[解析]
法一：逆向思维法
物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面。 1 1 2 故 sBC＝2atBC ，sAC＝2a(t＋tBC)2 1 又 sBC＝4sAC，解得：tBC＝t
法二：比例法 对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时 间里通过的位移之比为 s1∶s2∶s3∶„∶sn＝1∶3∶5∶„∶(2n－1) sAC 3sAC 现有 sBC∶sBA＝ 4 ∶ 4 ＝1∶3 通过 sAB 的时间为 t，故通过 sBC 的时间 tBC＝t。
法三：中间时刻速度法 利用教材中的推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移 的平均速度。 v＋v0 v0＋0 v0 v AC＝ 2 ＝ 2 ＝ 2 又 v0 2＝2asAC① vB 2＝2asBC 1 sBC＝4sAC ② ③
v0 解①②③得：vB＝ 。 2 可以看出 vB 正好等于 AC 段的平均速度， 因此 B 点是 中间时刻的位置。 因此有 tBC＝t。
(2)重物脱离气球后做竖直上抛运动；
(3)重物向上的速度为零时，上升到最高点。
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[答案] 40 m
[易错提醒]
解答本题时，不注意判断汽车是否在 5 s 内
已停止运动， 认为汽车运动的总时间为 5 s， 易出现 s＝v0t 1 2 1 ＋2at ＝[20× 2× 5＋ (－5)× 2] m＝37.5 m 的错误结论。 5
[知识检索] 运动学问题的求解一般有多种方法，除直接套用公式求 解外，还有如下方法： 1．平均速度法 s 1 定义式 v ＝ 对任何性质的运动都适用，而 v ＝ (v0＋vt) t 2 只适用于匀变速直线运动。
2．竖直上抛运动规律 (1)速度公式：vt＝v0－gt， 1 2 (2)位移公式：h＝v0t－2gt ， (3)速度—位移关系式：vt2－v0 2＝－2gh， v0 2 (4)上升的最大高度 H＝ 2g ， v0 (5)上升到最大高度用时：t＝ g 。
3．竖直上抛运动的重要特性 (1)对称性：如图1－2－3所示，物体以初 速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点， C为最高点，则：①时间对称性：物体上升
v0 8 解析： s＝ t 可得： 由 汽车刹车后拖行的路程为 s＝ × 2 2 1 m＝4 m＜5.9 m， 所以刹车试验的拖行路程符合规定， C 正确．
答案：C
[思维启动] 如图1－2－2所示，小球随热气球以速度v0
匀速上升，则绳断后，小球的运动性质是
________。小球上升至最高点经历的时间 t1＝________，小球能继续上升的最大高度 h＝________，到达最高点后，小球开始做 图1－2－2 ________运动，经过t2＝________到达地面，此时速度
[应用升级] 2．(双选)某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻
力，g取10 m/s2,5 s内物体的
A．路程为65 m B．位移大小为25 m，方向向上 C．速度改变量的大小为10 m/s D．平均速度大小为13 m/s，方向向上
(
)
解析：初速度为 30 m/s，只需 3 s 即可上升到最高点，上升 v02 1 高度为 h1＝ ＝45 m，再自由下落 2 s，下降高度为 h2＝ 2g 2 ×10×22 m＝20 m，故路程为 65 m，A 对；此时离抛出点高 25 m，故位移大小为 25 m，方向竖直向上，B 对；此时速度 为 v＝10×2 m/s＝20 m/s，方向向下，速度改变量大小为 50 25 m/s，C 错；平均速度为 v ＝ m/s＝5 m/s，D 错。 5 答案：AB
v＝________。
提示：绳断后，小球做匀变速直线运动(竖直上抛运动)，经 v0 v0 2 过时间 t1＝ g ，到达最高点，h＝ ，从最高点开始，小球 2g 做自由落体运动，经过 t2＝ ＝ 2gH。 2H g 到达地面，此时速度 v
[知识联动] 1．自由落体运动规律 (1)速度公式：vt＝gt 1 2 (2)位移公式：h＝ gt 2 (3)速度—位移关系式：v2＝2gh
[例3] 一个氢气球以4 m/s2的加速度由静止从地面竖直上升，
10 s末从气球上掉下一重物，此重物最高可上升到距地面多
高处？此重物从氢气球上掉下后，经多长时间落回到地面？ (忽略空气阻力，g取10 m/s2)
[审题指导]
解答本题时应注意以下三个方面：
(1)重物脱离气球前10 s内向上做匀加速直线运动；
[典题例析] [例2] 物体以一定的初速度冲上固定的光 滑的斜面，到达斜面最高点C时速度恰为零， 如图1－2－4所示。已知物体第一次运动到 图1－2－4
斜面长度3/4处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C
所用的时间。
[审题指导]
解答本题时应注意以下两点：
(1)物体沿斜面向上做匀减速直线运动，C点速度为零。 (2)AB段与BC段的长度关系为3∶1。
[答案] t
[拓展训练] 1．有一质点在连续12 s内做匀加速直线运动，在第一个 4 s内位移为24 m，在最后4 s内位移为56 m，求质点
的加速度。
解析：本题出现了三个连续相等时间间隔(4 s)，故想到 选用公式 Δs＝aT2，s2－s1＝aT2，s3－s2＝aT2， 所以 s3－s1＝2aT2， s3－s1 56－24 2 2 a＝ 2T2 ＝ 2 m/s ＝1 m/s 。 2×4
[解析]
设汽车由刹车开始至停止运动所用的时间为 t0，选
v0 的方向为正方向。 v0＝72 km/h＝20 m/s，由 vt＝v0＋at0，得： vt－v0 0－20 t0＝ a ＝ s＝4 s －5 可见， 该汽车刹车后经过 4 s 就已经静止， 最后 1 s 是静止的。
1 2 由 s＝v0t＋ at 知刹车后 5 s 内通过的距离为： 2 1 2 s＝v0t0＋ at0 2 1 ＝[20×4＋ ×(－5)×42] m＝40 m 2 因为汽车最终静止，也可以直接利用 vt2－v0 2＝2as 求出 刹车距离，即 vt2－v0 2 0－202 s＝ ＝ m＝40 m。 2a 2×－5
[思维启动]
如图1－2－1所示，一物体在做匀
加速直线运动，加速度为a，在A点 的速度为v0，从A运动到B和从B运动 到C的时间均为T。 图1－2－1
那么：(1) BC － AB ＝________。 (2)在 B 点时速度为 vB＝________。 在 C 点时速度为 vC＝________。 从 A 运动到 C 的时间内，物体的平均速度为 v ＝ vA＋vC ________， ＝________。 2
法四：图像面积法 利用相似三角形面积之比等于对应边 平方比的方法，作出 v－t 图像，如图所示。 S△AOC CO2 ＝ 2 S△BDC CD 且 S△AOC＝4S△BDC，OD＝t，OC＝t＋tBC。 t＋tBC2 4 所以 ＝ ，得 tBC＝t。 1 tBC2
法五：利用有关推论 对于初速度为 0 的匀加速直线运动， 通过连续相等的各段位移所用的时间之比 t1∶t2∶t3∶„∶tn＝1∶( 2－1)∶ ( 3－ 2)∶( 4－ 3)∶„∶( n－ n－1)。 现将整个斜面分成相等的四段， 如图所示。 设通过 BC 段的 时间为 tx，那么通过 BD、DE、EA 的时间分别为： tBD＝( 2－1)tx，tDE＝( 3－ 2)tx，tEA＝( 4－ 3)tx， 又 tBD＋tDE＋tEA＝t，得 tx＝t。
过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从 图1－2－3
C→A所用时间tCA相等，同理有tAB＝tBA。②速度对称 性：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点 的速度大小相等。③能量对称性：物体从A→B和从 B→A重力势能变化量的大小相等，均等于mghAB。
(2)多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时， 可能 处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解。