北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末数学试卷及答案

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高一数学2018.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[三角函数与平面向量] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11.7sin6π=_____. 12.已知向量(1,2)=a ，(,2)x =-b ，若//a b ，则实数x =______.13.角θ的始边与x 轴正半轴重合，终边上一点坐标为(1,2)-，则tan θ=______. 14.函数()sin cos f x x x =+的最大值为______.15. 已知点(0,4)A ，(2,0)B ，如果2AB BC =，那么点C 的坐标为______；设点(3,)P t ，且APB ∠是钝角，则t 的取值范围是______. 16.已知函数()sin tan f x x x =. 给出下列结论：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 在区间(,0)2π-上是增函数；③函数()f x 的最小正周期是2π； ④函数()f x 的图象关于直线x =π对称.其中正确结论的序号是_____.（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知(,)2απ∈π，且3cos 5α=-.（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求cos2sin 21αα+的值.18．（本小题满分12分）已知函数π()sin(2)6f x x =+.（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在一个周期上的图象；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]122ππ上的最大值和最小值； （Ⅲ）写出()f x 的单调递增区间.19．（本小题满分12分）如图，已知AB BC ⊥，AB =，[1,3]a ∈，圆A 是以A 为圆心、半径为2的圆，圆B 是以B 为圆心、半径为1的圆，设点E 、F 分别为圆A 、圆B 上的动点，//AE BF（且AE 与BF 同向），设BAE θ∠=（[0,]θ∈π）.（Ⅰ）当a =6θπ=时，求AE AC ⋅ 的值； （Ⅱ）用,a θ表示出CE CF ⋅，并给出一组,a θ的值，使得CE CF ⋅最小.BAFE CB 卷 [学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上. 1．设全集U =R ，集合{|0}A x x =<，{|1}B x x =>，则()U A B =ð_____．2．函数()f x _____.3．已知函数122,1,()log ,01,x x f x x x ⎧>⎪=⎨<≤⎪⎩则1(())4f f =_____；若()1f x =，则x =_____．4．sin 2，13log 2，121log 3三个数中最大的是_____． 5．某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：如果在此网站上购买的三件商品价格如下图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为______折.在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为_______折（保留一位小数）.二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数21()f x ax x=+是偶函数. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论.7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()1f x x x a =--+，x ∈R .（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小值.8．（本小题满分10分）若函数()f x 满足：对于,[0,)s t ∈+∞，都有()0f s ≥，()0f t ≥，且()()()f s f t f s t +≤+，则称函数()f x 为“T 函数”.（Ⅰ）试判断函数21()f x x =与2()lg(1)f x x =+是否是“T 函数”，并说明理由； （Ⅱ）设()f x 为“T 函数”，且存在0[0,)x ∈+∞，使00(())f f x x =，求证：00()f x x =； （Ⅲ）试写出一个“T 函数”()f x ，满足(1)1f =，且使集合{|(),01}y y f x x =≤≤中元素 的个数最少.（只需写出结论）北京市西城区2017— 2018学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准2018.1A 卷[三角函数与平面向量] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1.C2.B 3.A 4.A 5.B 6.D 7.B8.C 9.B 10.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 11.12-12.1-13.2-(3,2)-；(1,3)16.①③④ 注：第15题每空2分.第16题少选得2分，多选、错选不得分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）解：解：（Ⅰ）因为(,)2απ∈π，3cos 5α=-，所以sin α………………3分45==. ………………4分所以sin 4tan cos 3ααα==-.………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）4sin 5α=，3cos 5α=-，所以4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-. ………………9分2237cos22cos 12()1525αα=-=⨯--=-. ………………11分 所以7cos 225724sin 21125αα-==-+-+. ………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 在[,]1212π11π-上的图象如图所示.………………5分说明：个别关键点错误酌情给分.（Ⅱ）π()sin(2)6f x x =+．因为122x ππ≤≤，所以ππ7π2366x ≤+≤，………………7分当π262x π+=，即π6x =时，πsin(2)6x +最大值等于1，即()f x 的最大值等于1；………………8分当π266x 7π+=，即π2x =时，πsin(2)6x +最小值等于12-，即()f x 的最小值等于21-.………………9分所以()f x 在区间[,]122ππ上的最大值为1，最小值为21-.注：根据图象求出最大、最小值相应给分.（Ⅲ）函数()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππ-+π+π（k ∈Z ）.………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，与AB 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系.则(0,0)A，(3,C，E ，………………2分(3,AE AC ⋅=⋅=. ………………4分 （Ⅱ）(0,0)A，,)C a -，(2cos ,2sin )E θθ，cos ,sin )F θθ+，………………7分(2cos ,2sin )(cos ,sin )CE CF a a θθθθ⋅=+⋅+2sin()26a θπ=+⋅-+………………9分22[)]23sin ()66a θθππ=-+--因为[0,]θ∈π，所以1sin()[,1]62θπ-∈-， 以a 为变量的二次函数的对称轴)[6θπ-∈. 因为[1,3]a ∈，所以当1a =时，CE CF ⋅ 的最小值为3)6θπ+-，………10分又1sin()[,1]62θπ-∈-，所以CE CF ⋅ 的最小值为30θ=.所以，当1a =，0θ=时，CE CF ⋅的最小值为3. ………………12分B AFECx yB 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 1.{1}x x ≤2.[3,)+∞3.4；124.121log 35.7.5；6.7.注：第3题、第5题每空2分.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .由()()f x f x -=得2211ax ax x x-=+.………………3分所以0ax =.因为0ax =对于定义域中任意的x 都成立，所以0a =.………………5分 （Ⅱ）函数21()f x x=在区间(0,)+∞上是减函数.………………7分证明：在(0,)+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则12211222221212()()11()()x x x x f x f x x x x x +--=-=， ………………9分由120x x <<，得120x x +>，210x x ->，22120x x >， 于是12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以函数21()f x x =在区间(0,)+∞上是减函数. ………………10分7.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当0a =，[0,2]x ∈时，函数2()1f x x x =-+，………………2分因为()f x 的图象抛物线开口向上，对称轴为12x =，所以，当12x =时，()f x 值最小，最小值为34；当2x =时，()f x 值最大，最大值为3. ………………4分（Ⅱ）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+.若12a ≤-，则()f x 在(,]a -∞上单调递减，在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+；若12a >-，则函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a -=-；………………6分②当x a >时，2213()1()24f x x x a x a =-++=-++.若12a <，则()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a =+；若12a ≥，则()f x 在[,)a +∞上单调递增，2()()1f x f a a >=+.………………7分 所以，当12a ≤-时，22311()()042a a a +-+=-≥，()f x 的最小值为34a +.当12a ≥时，22311()()042a a a +--=+≥，()f x 的最小值为34a -.当1122a -<<时，()f x 的最小值为34a +与34a -中小者. 所以，当102a -<<时，()f x 的最小值为34a +；当102a ≤<时，()f x 的最小值为34a -.………………9分综上，当0a <时，()f x 的最小值为34a +；当0a ≥时，()f x 的最小值为34a -.………………10分8.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）对于函数21()f x x =，当,[0,)s t ∈+∞时，都有1()0f s ≥，1()0f t ≥，又222111()()()()20f s f t f s t s t s t st +-+=+-+=-≤，所以111()()()f s f t f s t +≤+. 所以21()f x x =是“T 函数”.………………2分对于函数2()lg(1)f x x =+，当2s t ==时，22()()lg9f s f t +=，2()lg5f s t +=， 因为lg9lg5>，所以222()()()f s f t f s t +>+.所以2()lg(1)f x x =+不是“T 函数”. ………………4分 （Ⅱ）设12,[0,)x x ∈+∞，21x x >，21x x x =+∆，0x ∆>.则211111()()()()()()0f x f x f x x f x f x x x f x -=+∆-≥+∆-=∆≥所以，对于12,[0,)x x ∈+∞，12x x <，一定有12()()f x f x ≤. ………………6分 因为()f x 是“T 函数”，0[0,)x ∈+∞，所以0()0f x ≥. 若00()f x x >，则000(())()f f x f x x ≥>，不符合题意. 若00()f x x <，则000(())()f f x f x x ≤<，不符合题意. 所以00()f x x =. ………………8分（Ⅲ）20,[0,1),(),[1,).x f x x x ∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩（注：答案不唯一）………………10分。