高一数学 函数应用题专题

∴当电价最低定为 0.6元／kw·h 时，仍可保证电力 部门的收益比上年至少增长 20 ％ .
3. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知， 从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间 的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本
与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。
（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系
290 8
＋16000＝45000
答：当污水长为16米，宽为12.5米时； 总造价最低为45000元.
6. 一辆新汽车使用一段时间后，就值不到原来的价钱了。 假若一辆新车价值18万元，按下列方式贬值：每年的车价
2
是原来的 3。问：购买18个月后，此车贬值多少？从购买日 起t个月后呢？（贬值量Q＝原价P－汽车现在价值W）
该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表
所示：
月 份 用水量（m3） 水费（元）
月份
1
9
9
用水量（m3）2
15
19
水费（元） 3
22
33
（1）根据上表中的数据，求a、b、c；
（2）若用户四月份用水量为30立方米，应交水费多少元？
解：设每月用水量为xm3，支付费用为y元，则：
y=
88
c c
b(
75 8
。
前5年的总利润为
W1
75 8
5
375 （万元）。 8
设在后5年中，x万元用于本地销售投资，
60-x万元用于异地销售投资，则总利润为
W2
[ 1 160
(x 40)2
10] 5 [ 159 160
x2
119 2
x] 5
5[(x 30)2 900] 当x=30时，W2有最大值4500。
3
。
t
2 12
设t＝12n，则f（t）＝180000×
3
。
Байду номын сангаас
3
22
18个月后，W＝180000×
3
＝98000，
Q＝180000－98000＝82000，即贬值了82000元。
从购买日起t个月后，Q＝180000×
1
2 3
t 12
。
7.某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部 需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此 产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为
x
a)
0≤x≤a （x＞a）
① ②
由题意知0＜C≤5 ∴8+C≤13
由表知第二、三月份的费用均大于13元，故用水量15m3， 22m3均大于最低限量am3，将x=15，x=22分别代入②，得
19 33
8 8
c c
b(15 a) b(22 a)
b
2
∴2a=c+19 ③
再分析一月份的用水量是否超过最低限量
不妨设9＞a，将x=9代入②得 9=8+c+2（9－a） ∴2a=c+17 与③矛盾 ∴9≤a
∴一月份的付款方式应选①式，由8+c=9得c=1 故a=10，b=2，c=1
（2）四月份应交水费为: 8+1+2(30-10)=49 (元)
答：a、b、c的值依次为10，2，1；四月份应交水费49元。
5. 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级
(Ⅰ)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与 实际电价x的函数关系式； (Ⅱ)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力 部门的收益比上年至少增 长20%? （注：收益=实际用电量(实际电价成本价)）
解：(Ⅰ) 设下调电价为 x 元／k w•h ,
则新的用电量为 —X—–k 0—.4 +a .
0 x 1.
解不等式得 0 x 1 ． 3
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加， 投入成本增加的比例应满足 0＜x＜0.33 ．
2. 某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量 为a kW·h.本年度计划将电价降到0.55元/ kW·h至 0.75元/ kW∙h之间， 而用户期望电价为 0.4元/ kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量 与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系 数为k）。该地区电力的成本价为0.3元/ kW·h。
1 H（x）=500x－ 2 x2
其中x是产品售出的数量，且0≤x≤500 （1）若x为年产量，y表示利润，求y=f(x)的解析式； （2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多
少？
（3）当年产量为何值时，工厂有盈利（已知：21.5625 =4.65）
解：（1）当0≤x≤500时，产品全部售出；当x＞500时，
第④步：实际结果 ④答
实际问题
就是对实际问题的结论作出回答。
1. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入 成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量 为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产 品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本 增加的比例为x (0＜x＜1) ，则出厂价相应提高的 比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x． 已知年利润=（出厂价–投入成本）年销售量． （Ⅰ）写出本年度预计的年利润y与投入成本增 加的比例x 的关系式； （Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加， 问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
数学应用问题，就是指用数学的方法将一个表面 上非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化 的数学问题。
求解数学应用问题的思路和方法，我们可以用 示意图表示为：
实际问题
④ 答
实际结果
① 分析、联想 抽象、转化
③反演
建立数学模型
② 数 学
方 法
数学结果
① 分析、联想
第①步：实际问题
建立数学模型
抽象、转化
解：先建立汽车的现价W与使用时间t（t以月为单位） 的函数关系W＝f（t）。
当t＝0时，即刚买来，显然f（0）＝180000；
2
当当t＝买1了2时两，年即后买，了f（一2年4），＝f（181020）00＝×18020002×＝3800＝001；20000；
2 n 3
一般地，f（12×n）＝180000×
)
x1
x2－324 x1 x2
∵ 12.5 x1＜x2 16 x1－x2＜0
0＜x1 x2＜16 2＜324 x1 x2－324＜0
u1－u2＞0即u1＞u2
∴u＝x
＋
324 x
在区间［12.5 , 16］上是减函数
∴u＝16 时
um
in＝16＋
324＝ 16
290 8
ymin＝800
8. 某地区地理位置偏僻，严重制约经济发展，某种土
特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x万元，所
获利润为 P 1 (x 40)2 10 万元。为顺应开发大西 160
北的宏伟决策，拟开发此种土特产品，而开发前后用于
该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元。若开发该
产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万
∴ y=( —x－—k0—.4 ＋a)(x－0.3) (Ⅱ) 由题意知
( 0.55≤ x ≤0.75 )
( —x－—k0.—4 ＋a)(x－0.3) ≥a( 0.8－0.3 )(1＋20％ ) 即 x ²－1.1x＋0.3 ≥0 ∴ x≤0.5 或 x≥0.6
又 0.55≤ x ≤0.75
∴ 0.6≤x≤0.75
200 x
x
解之得：12.5≤x≤16
∴总造价y为
y＝400(x＋ 200 ) ×2＋2×248× 200＋80×200
x
x
＝800(x＋ 324 ) ＋16000 x
324 令u＝x ＋ x
设 12.5 x1＜x2 16
则u1－u2＝(
x1－x2
)＋324
(
1 x1
－
1 x2
)
＝( x1－x2
式 p f (t) ;写出图二表示的种植成本与时间 的函数关系式 Q g(t) ；
（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时
上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间
单位：天）
y=at＋b则b=300
∵100=200a＋b∴a=－1
100=200a＋b 300=300a＋b
产品只能销售500部，故利润函数为：
f(x)=
1 500x－ 2 x2－(5000+25x) (0≤x≤500)
125000－(5000+25x) (x > 500)
（2）当0≤x≤500时， f(x)= －0. 5(x－475)2+107812.5;
当x>500时， f(x)=120000－25x<120000－12500，
即每年只需从60万元专款中拿出40万元投资，可获最 大利润10万元，这10年的总利润的最大值为
W=10×10=100（万元）。
（ 2）若对该产品开发 前5年每年可用于对该产品的投资只有30万元，
而函数 P 1 (x 40)2 10 在( 0, 30 ］上递增， 160
所以当x=30时，P最大 =
污水处理池（平面图如下图），由于地形限制，长、宽都不
能超过16米。如果池四周围壁建造单价为每米长400元，中间
两道隔墙建造单价为每米长248元，池底建造单价为每平方米
80元，池壁的厚度忽略不计。试设计污水池的长和宽，使总
造价最低，并求出最低造价。
解：设污水池长为 x
依题意：
0＜x≤16
0＜ 200
，则宽为 ≤16
元投资修通一条公路，且5年可以修通。公路修通后该
土特产品在异地销售，每投资x万元，可获利润
Q 159 (60 x)2 119 (60 x) 万元。
160
2
问从十年的总利润来看，该项目有无开发价值？
解：（1）若按原来投资环境不变，则由
P 1 (x 40)2 10 160
知当x=40时，P最大 =10.
4、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控
手段来达到节约用水的目的，某市用水收收费的方法是：
水费=基本费+损耗费+超额费
若每月用水量不超过最低限量am3时，只付基本费8元
和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过am3时，除了付
同上的基本费和损耗费外，超过部分每m3付b元的超额费，已
知每户每月的定额损耗费不超过5元。
当200＜t≤300 时，配方整理得
h(t)= 1 (t 350)2 100 200
∴当 t=300时, 取得区间（200，300］上的最大值87.5
综上，由100＞87.5 可知，在区间[0，300]上可以 取得最大值100，此时 t=50 ，
即从二月一日开始的第50天时， 上市的西红柿纯收益最大。
a=2 b=－300
y=a(x－150)2＋100 a＝1／200
解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
f
(t)
300 t, 2t 300
0 t 200, 200 t 300
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
g(t) 1 (t 150)2 100, 200
0 t 300
应以审题(即明确题意)开始，通过分析和抽象
找出题设与结论的数学关系，建立合理的数学模型。
这一步可以称之为数学化。
第②步： 数学模型
②数学方法
数学结果
就是采用数学的方法，解决数学模型所表达
的数学问题。这一步可以称之为数学解决。
第③步： 数学结果
③反演
实际结果
就是将数学结论转译成实际问题的结论。
这一步可以称之为实际化。
∴十年的总利润有最大值：
375 8
+ 4500（万元）。
而
375 8
+
4500＞100，
故该项目具有极大的开发价值。
9. 某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与 时间t(天)的函数关系是:
t+20 (0<t<25 , t∈N) P=
－t+100 (25≤t≤30 , t∈N) 该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系是:
（Ⅱ）设时刻的纯收益为h(t) , 则由题意得
h(t)=f(t) －g(t)
即 h(t)=
1 200
t2
1 2
t
175 2
,
-
1 200
t2
7 2
t
1025 2
,
0 t 200, 200 t 300
当 0≤t≤200 时，配方整理得
h(t)=
1 200
(t
50) 2
100
∴当t=50时，h(t) 取得区间[0，200]上的最大值100；
解：（Ⅰ）由题意得，
y [1.2 (1 0.75 x) 1 (1 x)]1000 (1 0.6x)
(0 x 1)
整理得 ：y 60 x 2 20 x 200 (0 x 1)
（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，必须
y (1.2 1) 1000 0, 0 x 1.
60x2 20x 0, 即
即 f(x)<107500
故当年产量为475部时，利润最大，最大利润为107812.5元。
（3）由题意，得
0≤x≤500 或
－0. 5x2+475x－5000>0
x>500 120000－25x>0
解得10＜x≤500 或500＜x＜4800， ∴ 10＜x＜4800.
故当年产量在10部到4800部时, 工厂盈利.