平面向量的实际背景及基本概念

课时跟踪检测（十五） 平面向量的实际背景及基本概念

层级一 学业水平达标

1．下列说法不正确的是( )

A ．向量的模是一个非负实数

B ．任何一个非零向量都可以平行移动

C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量

D ．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同

解析：选D 显然，选项A 、B 、C 说法正确．方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 说法不正确．

2.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和

终点都在方格的顶点处，则与AB ―→平行且模为2的向量共有( )

A ．12个

B ．18个

C ．24个

D ．36个

解析：选C 由图知，与AB ―→平行且模为2的向量共有24个．

3．下列命题中，正确命题的个数是( )

①单位向量都共线；

②长度相等的向量都相等；

③共线的单位向量必相等；

④与非零向量a 共线的单位向量只能是a |a |

. A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

解析：选D 根据单位向量、共线向量、相等向量的概念，可知①②③明显错误，对于

④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a |a |

，④也是错误的．故选 D.

4.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与

AE ―→平行的向量有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 解析：选C 根据向量的基本概念可知与A

E ―→平行的向量有BE ―→，FD ―→，FC ―→，共3个．

5．设O 为△ABC 的外心，则AO ―→，BO ―→，CO ―→是( )

A ．相等向量

B ．平行向量

C ．模相等的向量

D ．起点相同的向量

解析：选C ∵O 为△ABC 的外心，∴OA ＝OB ＝OC ，即|AO ―→|＝|BO ―→|＝|CO ―→|.

6．已知|AB ―→|＝1，|AC ―→|＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC ―→|＝________.

解析：由勾股定理可知，BC ＝

AC 2－AB 2＝3，所以|BC ―→|＝ 3.

答案： 3

7．设a 0，b 0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．

①a 0＝b 0；②a 0＝－b 0；③|a 0|＋|b 0|＝2；④a 0∥b 0.

解析：因为a 0，b 0是单位向量，|a 0|＝1，|b 0|＝1，

所以|a 0|＋|b 0|＝2.

答案：③

8．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________(填序号)．

解析：若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ∥b ；若|a |＝|b |，则a 与b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b 方向相反，则有a ∥b ；零向量与任意向量平行，所以若|a |＝0或|b |＝0，则a ∥b .

答案：①③④

9.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图．

(1)写出与向量FC ―→共线的向量；

(2)求证： BE ―→＝FD ―→.

解：(1)由共线向量满足的条件得与向量FC ―→共线的向量有：

CF ―→，BC ―→，CB ―→，BF ―→，FB ―→，ED ―→，DE ―→，AE ―→，EA ―→，AD ―→，DA ―→.

(2)证明：在▱ABCD 中，AD 綊BC .

又E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴ED 綊BF ，

∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE 綊FD ，

∴BE ―→＝FD ―→.

10．已知四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→且|AB ―→|＝|AC ―→|，tan D ＝3，判断四边形ABCD

的形状．

解：∵在四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，

∴四边形ABCD 是平行四边形．

∵tan D ＝3，∴B ＝D ＝60°.

又|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等边三角形．

∴AB ＝BC ，∴四边形ABCD 是菱形．

层级二 应试能力达标

1. 如图所示，梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分

别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式成立的是( )

A ．AD ―→＝BC ―→

B ．A

C ―→＝B

D ―→ C ．P

E ―→＝P

F ―→ D ．EP ―→＝PF ―→

解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得，A 、B 不成立；

C 中，PE ―→与PF ―→方向相反，故PE ―→＝PF ―→不成立；

D 中，EP ―→与PF ―→方向相同，且长度都等于线段EF 长度的一半，故EP ―→＝PF ―→成立．

2．已知D 为平行四边形ABPC 两条对角线的交点，则|PD ―→||AD ―→|的值为( ) A.12 B.13

C ．1

D ．2 解析：选C 因为四边形ABPC 是平行四边形，D 为对角线BC 与AP 的交点，所以D

为PA 的中点，所以|PD ―→||AD ―→|

的值为1. 3．下列命题正确的是( )

A ．若|a |＜|b |，则a ＜b

B ．若a ≠b ，则|a |≠|b |

C ．若|a |＝|b |，则a 与b 可能共线

D ．若|a |≠|b |，则a 一定不与b 共线

解析：选C 因为向量不能比较大小，因此A 错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误．不论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C 正确，D 错误．