2021年高考数学总复习：基本不等式
2021高考数学一轮复习第一章集合常用逻辑用语和不等式第4节基本不等式课件0
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网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时
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考点 1 利用基本不等式求最值(自主演练)
1．若 a>0，b>0 且 2a＋b＝4，则a1b的最小值为(
)
A．2
1 B.2
C．4 解析：因为
1 a>0，b>0，D故.4 2a＋b≥2
2ab(当且仅当
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1．基本不等式的两个变形．
(1)a2＋2 b2≥a＋2 b2≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时 取等号)．
(2)
a2＋b2≥a＋b≥
2
2
ab(a>0，b>0，当且仅当 a＝
b 时取等号)．
2．使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”
三个条件缺一不可．
2a＝b 时取等号)．
又因为 2a＋b＝4，
所以 2 2ab≤4⇒0<ab≤2，
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所以a1b≥12，故a1b的最小值为12(当且仅当 a＝1，b＝2 时等号成立)．
答案：B
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休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时 间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一 动，久坐对身体不好哦~
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(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解44---基本不等式
高考数学复习考点知识与题型专题讲解基本不等式 考试要求1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . (2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．(×) (2)y ＝x ＋1x 的最小值是2.(×)(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值为4.(×)教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是() A ．1B ．2C ．22D ．4答案D解析∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立．2．函数y ＝4－x －1x (x <0)()A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案B解析y ＝4＋(－x )＋1(－x )≥4＋2(－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2；②ab ≤a 2＋b 22；③a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22； ④2ab a ＋b≤ab . 答案②③解析当b a 为负时，①不成立．当ab <0时，④不成立.题型一 利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为()A.94B ．4C.92D ．9答案C解析y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号，∴当x ＝34时，y max ＝92.(2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有() A ．最大值0B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3答案C解析∵x <23，∴3x －2<0，f (x )＝3x －2＋93x －2＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－3x )＋92－3x ＋3≤－2(2－3x )·92－3x＋3＝－3. 当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”． (3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________． 答案 －1解析因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·(1－x )2＋11－x＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－x )＋11－x ≤－12·2(1－x )·11－x＝－1， 当且仅当1－x ＝11－x，即x ＝0时取“＝”， 所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1.命题点2常数代换法例2(2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b 的最小值是()A ．1B ．2C.94D.92答案C解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋12b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋52＝94， 当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3消元法例3已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案2解析方法一(换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二(代入消元法)由x＋y＋xy＝3得y＝3－x x＋1，∵x>0，y>0，∴0<x<3，∴x＋y＝x＋3－xx＋1＝x＋4x＋1－1＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)·4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.延伸探究本例条件不变，求xy的最大值．解∵x＋y＋xy＝3，∴3－xy＝x＋y≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，令t＝xy，则t>0，∴3－t2≥2t，即t2＋2t－3≤0，即0<t≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1. 教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于()A ．16B ．6C ．18D ．12答案B解析因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x ＝10＋2×4＝18， 当且仅当⎩⎨⎧ 2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝6时取等号， 所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则() A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案A解析f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－(x ＋1)＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－(x ＋1)，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________． 答案52解析∵2x >1，∴x －12>0，f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12≥21x －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋12 ＝2＋12＝52， 当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”．∴f (x )的最小值为52.(2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案12解析令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8， ∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n ＝4时等号成立．∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二 基本不等式的常见变形应用例4(1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案D解析由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12(a 2＋b 2)， ∵CF ≥OF ，∴12(a 2＋b 2)≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是()A ．a ＋b <4ab a ＋b B.ab <2ab a ＋bC.2a 2＋2b 2<2abD ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案D 解析对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2ab a ＋b ，故选项B 错误； 对于选项C ，2(a 2＋b 2)>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是()A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2答案D解析a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或b a 都是正数，根据基本不等式求最值，a b ＋b a ≥2a b ×ba ＝2，故D 正确．思维升华基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．跟踪训练2(1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p ：a >b >0，命题q ：a 2＋b 22>⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，则p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2，∴a 2＋b 22>⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴由p 可推出q ，当a <0，b <0时，命题q 成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝5>⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4， ∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2ab D.2a 2＋b 2 答案B解析∵a ，b 为互不相等的正实数， ∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab＝1ab <2ab ，2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b .柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则：(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2 ≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2. 一、利用柯西不等式求最值例1已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案6437解析(x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋9， 所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437，当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437.例2已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案3解析(ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9，∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”，∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________．答案6 3解析y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2 ＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22 ＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n (a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .证明根据柯西不等式，有⎝⎛⎭⎫12＋12＋…＋12n 个 (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2，所以1n (a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .课时精练1．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋2 xB．y＝x2＋3 x2＋2C．y＝e x＋e－xD．y＝log3x＋log x3(0<x<1) 答案C解析当x<0时，y＝x＋2x<0，故A错误；y＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，∵x2≠－1，故B错误；y＝e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，当且仅当e x＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0,1)时，y＝log3x<0，故D错误．2．(2022·汉中模拟)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则ab的最大值为()A ．2B.12C ．4D.14答案A解析4＝2a ＋b ≥22ab ，即2≥2ab ，平方得ab ≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12取得最小值时x 的值为()A.15B.14C.24D.13答案A解析f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x≥(2＋3)22x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x，即x ＝15时等号成立． 4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是()A ．1B ．4C ．7D ．3＋17答案C解析∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4， ∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3 ≥2(x －2)(y －1)＋3＝7，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝3时等号成立． 5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是() A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案B解析f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x ＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立．6．已知函数f (x )＝x x 2－x ＋4(x >0)，则() A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13D ．f (x )有最大值13答案D解析f (x )＝x x 2－x ＋4＝1x ＋4x －1≤124－1＝13， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立， ∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a ，b 为正实数，则“ab a ＋b ≤2”是“ab ≤16”的() A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由a ，b 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，若ab ≤16，可得aba ＋b ≤ab 2ab ＝ab 2≤162＝2，故必要性成立； 当a ＝2，b ＝10，此时ab a ＋b≤2，但ab ＝20>16，故充分性不成立， 因此“ab a ＋b≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件．8．已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式恒成立的有() ①2a＋2b≥22；②a2＋b2<1；③1a＋1b<4；④a＋1a>2.A．①②B．①③C．①②④D．②③④答案C解析∵2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝22，当且仅当a＝b时取等号，∴①正确；∵a2＋b2<a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴②正确；∵1a＋1b＝(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当a＝b时取等号，∴③错误；∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴0<a<1，∵a＋1a≥2a·1a＝2，当且仅当a＝1时取等号，∴a＋1a>2，④正确．9．若0<x<2，则x4－x2的最大值为________．答案2解析∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 2(4－x 2)≤x 2＋4－x 22＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案4解析依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 即a ＋b ≤(a ＋b )24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________． 答案27解析因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x ＝1，所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4y x ＝27，当且仅当⎩⎨⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9时取等号，所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b 2＋b 的最小值为________． 答案2 2解析∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b ·b ＝22， 当且仅当1a ＝a b 2且2b ＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立，∴1a ＋a b 2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 答案A解析∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2－1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ， 则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233，即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号，∴x ＋y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233. 14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号) ①a ＋b ＋1ab ≥22； ②2ab a ＋b>ab ； ③a 2＋b 2ab≥a ＋b ； ④(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4. 答案①③④解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22， 当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab， 即a ＝b ＝22时取等号，故①正确；因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以a 2＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b≥ab ，即a 2＋b 2ab ≥a ＋b ，故③正确； 因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥ 2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b ＋ab 的最小值为____________．答案174解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号， 令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t ＋t ，t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，因为函数y ＝1t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上为减函数， 所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174.16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案3＋2 2解析因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得xx －1＋2yy －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋2y －1≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22， 当且仅当1x －1＝2y －1，即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”，所以xx －1＋2yy －1的最小值为3＋2 2.。
2021年高考数学高分套路 基本不等式(解析版)
mn
2
3．已知
a
1, b
0, a
b
2
，则
a
1 1
1 2b
的最小值为（
）
A． 3 2 2
B． 3 2 42
C． 3 2 2
D． 1 2 23
【答案】A
【解析】由题意知 a 1,b 0, a b 2 ，可得： (a 1) b 1, a 1 0 ，
则
a
1 1
1 2b
[(a
1)
b](
∴ ＋ ＝ [(x＋2)＋(y＋1)] x＋2 y＋1 ＝ y＋1 x＋2 ≥
x＋2 y＋1 4
4
4
x＋2 4y＋1
·
9
y＋1 x＋2 ＝ ，
4
41
2
＋
9
当且仅当 x＝2y＝ 时， x＋2 y＋1 ＝ min .
3
4
【套路总结】 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换，或构造不等式 求解．
2 的最大值为 .
4
2
1
(2)因为 x<5，所以 5－4x>0，则 f(x)＝4x－2＋
1
5－4x＋
＝－
5－4x ＋3
4
4x－5
1
1
≤－2 （5－4x）· ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1 时，等号成立.
5－4x
5－4x
1 故 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为 1.
4x－5 x2＋2
1
1
【解析】 x(4－3x)＝ ·(3x)(4－3x)≤ ·
2
2＝4，
3
3
3
2021高考数学9.3 基本不等式
不等式
高考第一轮复习 第三节 基本不等式
1高考引航
2必备知识
3关键能力
高考引航
知识清单
必备知识
答案
基础训练
题型归纳题型一 利用基本不等式求最值关键能力
点拨：在利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件:
①各项均为正数;②含变数的各项的和(或积)必须是定值;③当含变数的各项均相等时取得最值,即一正、二定、三相等.这三个条件极易忽略而导致解
题型二 基本不等式与其他知识的交汇问题值
答案
解析
点拨：求基本不等式与其他知识交汇的最值问题的类型及策略:
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解.
(2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.
答案
解析
题型三 基本不等式的实际应用
解析
点拨：利用基本不等式解决实际应用题的基本思路:①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;②根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值;③在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
解析
方法突破
方法一 利用基本不等式求参数的值或取值范围
答案
解析
方法二 利用基本不等式证明不等式
解析
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2021届高考数学核按钮【新高考广东版】2.3 基本不等式
2.3 基本不等式1．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数． 2．如果a ＞0，b ＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数．3．重要不等式：a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥ (当且仅当a ＝b 时取等号)．4．基本不等式：a ＞0，b ＞0，则 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．5．求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a＋b ，a 2＋b 2有 ，即a ＋b ≥ ，a 2＋b 2≥ .简记为：积定和最小． 6．求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ，亦即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值(a ＞0，b ＞0)，即 .简记为：和定积最大． 7．拓展：若a ＞0，b ＞0时，21a ＋1b ≤ ≤a ＋b 2≤ ，当且仅当a ＝b 时等号成立．自查自纠 1.a ＋b 2 2.ab 3.2ab 4.a ＋b 2≥ab 5．最小值 2ab 2ab 6．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ab ≤14(a ＋b )2ab ≤a 2＋b 22 7.ab a 2＋b 221.下列说法正确的是( ) A.a ≥0，b ≥0，则a 2＋b 2≥2ab B.函数y ＝x ＋1x的最小值是2C.函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4D.“x>0且y >0”是“x y ＋yx≥2”的充分不必要条件解：选项A 中，a ＝b ＝0.1时不成立；选项B中，当x ＝－1时y ＝－2；选项C 中，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，0<cos x <1，f (x )＝cos x ＋4cos x无最小值；选项D 中，当x y ＋y x ≥2时，需x y>0即xy >0，故“x >0且y >0”为充分不必要条件．故选D. 2.(2019·首都师范大学附中模拟)在各项均为正数的等比数列{}a n 中，a 6＝3，则a 4＋a 8 ( )A.有最小值6B.有最大值6C.有最大值9D.有最小值3解：因为a 6＝3，所以a 4a 8＝a 26＝9，所以a 4＋a 8≥2a 4a 8＝6，当且仅当a 4＝a 8＝3时等号成立．故选A. 3．(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为 ( ) A.12 B.43C.－1D.0 解：因为x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为0.故选D. 4．(2019·北京高二期末)当且仅当x ＝________时，函数y ＝4x ＋1x (x >0)取得最小值． 解：由于x >0，由基本不等式可得y ＝4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当4x ＝1x (x >0)，即当x ＝12时，等号成立．故填12.5．(2019·河南高考模拟)若实数x ，y 满足2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最大值是________．解：由题得2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当x ＝y ＝－1时取等号)， 所以1≥22x ＋y ，所以14≥2x ＋y ，所以2－2≥2x＋y ，所以x ＋y ≤－2. 所以x ＋y 的最大值为－2.故填－2.类型一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知a >0，b >0，且4a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．解法一：因为a >0，b >0，4a ＋b ＝1，所以1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，当且仅当4a ＝b ＝12，即a＝18，b ＝12时，等号成立．所以ab ≤14，ab ≤116，则ab 的最大值为116.解法二：因为4a ＋b ＝1，所以ab ＝14·4a ·b ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b 22＝116，当且仅当4a ＝b ＝12，即a ＝18， b ＝12时等号成立，所以ab 的最大值为116.故填116. (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．解：因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．故填1.(3)(2020届山东滨州高三9月期初考试)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab ，则2a ＋b 的最小值为________．解：因为a ＞0，b ＞0，由2a ＋b ＝ab ⇒2b ＋1a＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2b ＋1a ＝4＋4a b ＋ba≥4＋4＝8.当且仅当4a b ＝ba ，即b ＝2a ＝4时等号成立．另解：因为a ＞0，b ＞0，所以ab ＝2a ＋b ≥22ab ，解得ab ≥8，当且仅当2a ＝b 时等号成立．故填8.点拨 利用基本不等式解决最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．注意：使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．变式1 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a＋b ＝4，则1ab的最小值为 ( )A.2B.12C.4D.14解：因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)．又因为2a ＋b ＝4，所以22ab ≤4⇒0<ab ≤2，所以1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立)．故选B.(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．因为34∈⎝⎛⎭⎫0，32，所以函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92.故填92. (3)(2019·潍坊调研)函数y ＝a 1－x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n 的最小值为________．解：因为曲线y ＝a 1－x 恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，所以A (1，1)．将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)，可得m ＋n ＝1，所以1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·m n ＝4，当且仅当n m ＝m n且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号．故填4.类型二 利用基本不等式求参数的值或范围例2 (1)(2019·黑龙江哈尔滨市第六中学期末)若对任意x >0，都有4xx 2＋x ＋1≤a 恒成立，则实数a的取值范围是________．解：因为x >0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，所以4x x 2＋x ＋1＝41x＋x ＋1≤42＋1＝43，即4x x 2＋x ＋1的最大值为43，即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫43，＋∞.故填⎣⎡⎭⎫43，＋∞.(2)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.解：因为x >0，a >0，所以f (x )＝4x ＋a x ≥24x ·ax＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值．又因为f (x )在x ＝3时取得最小值，所以a ＝4×32＝36.故填36.点拨 求解含参不等式的策略：①观察题目特点，利用基本不等式确定相关不等式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．②对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ；a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ；a ＞f (x )有解⇔a ＞f (x )min ；a ＜f (x )有解⇔a ＜f (x )max .变式2 (1)已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.8解：因为(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋ax y ＋yx ＋a ≥a ＋1＋2a ，当且仅当ax y ＝yx时等号成立．要使原不等式恒成立，则只需a ＋1＋2a ≥9恒成立，所以(a －2)(a ＋4)≥0，解得a ≥4， 所以正实数a 的最小值是4.故选B.(2)(2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1) 解：由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，所以k ＋1<22，即k <22－1.故选B.类型三 利用基本不等式解决实际问题例3 (2019·上海高三单元测试)某文化创意公司开发出一种玩具(单位：套)进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x 套玩具的成本p 由两部分费用(单位：元)构成：①固定成本(与生产玩具套数x 无关)，总计一百万元；②生产所需的直接总成本50x ＋1100x 2.(1)该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？(2)假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x 的增大而适当增加．设每套玩具的售价为q 元，q ＝a ＋xb(a ，b ∈R )．若当产量为15 000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a ，b 的值．(利润＝销售收入－成本费用) 解：(1)由题意知，生产成本为p ＝1 000 000＋50x ＋1100x 2，p x ＝x 100＋1 000 000x ＋50≥2x 100·1 000 000x ＋50＝250，当且仅当x 100＝1 000 000x ，即x ＝10 000时，取等号．故该公司生产1万套玩具时，使得每套平均所需成本费用最少，此时每套的成本费用为250元．(2)设利润为s ，则s ＝qx －p ＝x ⎝⎛⎭⎫a ＋x b －⎝⎛⎭⎫1 000 000＋50x ＋1100x 2 ＝⎝⎛⎭⎫1b －1100x 2＋(a －50)x －1 000 000，根据题意，有1b －1100<0，a ＋15 000b ＝300，且－a －502⎝⎛⎭⎫1b －1100＝15 000，解得a ＝250，b ＝300.点拨 建立关于x 的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．变式3 (1)(2019·阜新市高级中学高一月考)某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x 吨，已知每次的运费为4万元，一年总的库存费用为4x 万元．为了使总运费与总库存费用之和最小，则x 的值是________．解：由题意，总的费用y ＝400x×4＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫400x ＋x ≥4×2400x ×x ＝160，当x ＝20时取“＝”.故填20.(2)在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m 2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m 宽的绿化，绿化造价为200元/m 2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m 2.设矩形的长为x (m)，总造价为y (元)．(Ⅰ)将y 表示为关于x 的函数； (Ⅱ)当x 取何值时，总造价最低，并求出最低总造价． 解：(Ⅰ)由矩形的长为x ，得矩形的宽为200x ， 则中间区域的长为x －4，宽为200x－4，则定义域为(4，50)， 则y ＝100⎣⎡⎦⎤（x －4）⎝⎛⎭⎫200x －4＋200[200－(x －4)⎝⎛⎭⎫200x －4]， 整理得y ＝18 400＋400⎝⎛⎭⎫x ＋200x ，x ∈(4，50)． (Ⅱ)x ＋200x ≥2x ·200x＝202， 当且仅当x ＝200x时取等号，即x ＝102∈(4，50)．所以当x ＝10 2 m 时，总造价最低，且为18 400＋8 0002元．1．基本不等式的变式和推广①a 2＋b 2≥（a ＋b ）22；②ab ≤a 2＋b 22； ③ab ≤14(a ＋b )2；④⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22；⑤(a ＋b )2≥4ab ；⑥ab ≥21a ＋1b；⑦a ＋b ＋c 3≥3abc ；⑧abc ≤a 3＋b 3＋c 33，等等．对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正、二定、三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．4．求1a ＋1b型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决． 5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．1．(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的 ( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立．故选A.2．(2018·北京高三期中)某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (0＜a <b )，其全程的平均速度为v ，则 ( )A.v ＝a ＋b 2 B. v ＝ab C.a < v <ab D.ab < v <a ＋b 2 解：设从甲地到乙地距离为s ，往返的时间分别为t 1＝s a ，t 2＝sb(a <b )，其全程的平均速度为v ＝2s t 1＋t 2＝2s s a ＋s b ＝21a ＋1b<ab ，因为0<a <b ，所以1a >1b ，1a ＋1b <2a ，v >22a ＝a ，所以a < v <ab.故选C.3.(2019·河北高三月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋1－x )，若对任意的正数a ，b 满足f (a )＋f (3b －1)＝0，则3a ＋1b的最小值为 ( )A.6B.8C.12D.24解：因为x 2＋1－x >x 2－x ≥x －x ＝0，所以定义域为R ，因为f (－x )＝log 2(x 2＋1＋x )，所以f (x )＝－f (－x )，则f (x )为奇函数．又x ＞0时，f (x )＝log 21x 2＋1＋x单调递减，f (0)＝0，f (x )为奇函数，所以f (x )为减函数，因为f (a )＋f (3b －1)＝0，所以f (a )＝－f (3b －1)＝f (1－3b )，则a ＝1－3b ，即a ＋3b ＝1，所以3a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫3a ＋1b (a ＋3b )＝9b a ＋ab＋6， 因为9b a ＋a b ≥29b a ×a b ＝6，所以3a ＋1b≥12⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝12，b ＝16时，等号成立. 故选C.4．(2019·江苏省如皋中学高一月考)0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是 ( )A.a 1b 1＋a 2b 2B.a 1a 2＋b 1b 2C.a 1b 2＋a 2b 1D.12解：因为0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，所以a 1a 2＋b 1b 2<⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1＋b 222＝12，又a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)b 1－(a 1－a 2)b 2＝(a 2－a 1)(b 2－b 1)>0，所以a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1，而1＝(a 1＋a 2)(b 1＋b 2)＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 1b 2＋a 2b 1<2(a 1b 1＋a 2b 2)，故a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可得a 1b 1＋a 2b 2最大．故选A.5．(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )A.[3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，6]D.[6，＋∞)解：因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9ab≥10＋2b a ·9a b ＝16，当且仅当b a ＝9ab ，即a ＝4，b ＝12时取等号．依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立．又x 2－4x －2＝(x －2)2－6≥－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.故选D.6．(2019·宜春昌黎实验学校高一月考)关于x 的方程9x ＋(a －2)3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是 ( )A.(－2，＋∞)B.(－∞，－4)C.(－∞，－2]D.[－4，＋∞)解：因为9x ＋(a －2)3x ＋4＝0，所以(a －2)3x ＝－(9x ＋4)，所以a －2＝－9x ＋43x ＝－⎝⎛⎭⎫3x ＋43x ≤－4(当且仅当3x ＝43x ，即x ＝log 32时，等号成立)，故a ≤－2，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．故选C.7．(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为m ，内切圆半径也为m ，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为 ( )A.2B.2＋2C.4D.2＋22 解：因为△ABC 的面积为m ，内切圆半径也为m ，所以12(a ＋b ＋c )×m ＝m ，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b＋a ＋b c ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋b c 的最小值为2＋22.故选D.8．【多选题】(2019·海南东方市民族中学高一期中)已知a ，b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是 ( )A.a ＋b ＋1ab ≥3 B.(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥a ＋b D.2ab a ＋b≥ab解：对于A ，a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22<3，当且仅当a ＝b ＝22时取等号； 对于B ，(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·b a＝4，当且仅当a ＝b 时取等号；对于C ，a 2＋b 2ab ≥（a ＋b ）22ab ≥（a ＋b ）2a ＋b＝a ＋b ，当且仅当a ＝b 时取等号；对于D ，当a ＝12，b ＝13时，2aba ＋b ＝1356＝215， ab ＝16，16>215， 此时2ab a ＋b <ab.当a ＝b ＝1时，22≥1成立．综上知，选项A ，D 中的不等式不一定成立．故选AD.9．(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________．解：因为a 3＝7，a 9＝19， 所以d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1， 所以S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）×9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号．故S n ＋10a n ＋1的最小值为3.故填3.10．(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x＋32＋y＝1，则xy 的最小值为________． 解：32＋x ＋32＋y ＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，因为x ，y 均为正实数，所以xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故填16.11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋25y 的最小值．解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy.因为2x ＋5y ＝20，所以210xy≤20，xy ≤10，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2时，等号成立．此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.则当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)因为x >0，y >0，所以1x ＋25y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋25y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫4＋5y x ＋4x 5y ≥120⎝⎛⎭⎫4＋25y x ·4x 5y ＝25，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝4x 5y，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2时，等号成立．所以1x ＋25y 的最小值为25.12.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8yy －2，因为x ＞0，所以y ＞2，则x ＋y ＝y ＋8y y －2＝(y －2)＋16y －2＋10≥18，当且仅当y －2＝16y －2，即y ＝6，x ＝12时等号成立．解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8y x＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成立．13．(2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解：(1)设n 年获取纯利润为y 万元． n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n （n －1）2×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，所以利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，所以n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，所以从第4年开始获取纯利润．(2)方案①：年平均利润t ＝30n －81－n 2n＝30－81n －n ＝30－⎝⎛⎭⎫81n ＋n ≤30－281n·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)， 所以年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)，当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元， 所以纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以应选择方案①.附加题 (宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模)点M (x ，y )在曲线C ：x 2－4x ＋y 2－21＝0上运动，t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ，且t 的最大值为b ，若a ，b ∈R ＋，则1a ＋1＋1b的最小值为________．解：曲线C 可整理为：(x －2)2＋y 2＝25， 则曲线C 表示圆心为(2，0)，半径为5的圆， t ＝x 2＋y 2＋12x －12y －150－a ＝(x ＋6)2＋(y －6)2－222－a ，设d ＝（x ＋6）2＋（y －6）2，则d 表示圆C 上的点到(－6，6)的距离，则d max ＝（2＋6）2＋（0－6）2＋5＝15，所以t max ＝152－222－a ＝b ，整理得，a ＋1＋b＝4.所以1a ＋1＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [(a ＋1)＋b ]＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋ba ＋1＋a ＋1b ＋1. 又b a ＋1＋a ＋1b ≥2b a ＋1·a ＋1b＝2(当且仅当b a ＋1＝a ＋1b ，即a ＝1，b ＝2时取等号)．所以1a ＋1＋1b ≥14×4＝1，即1a ＋1＋1b 的最小值为1.故填1.。
高中数学基本不等式知识点及练习题
高中数学基本不等式知识点及练习题1.基本不等式：对于任意正实数a和b，有ab≤(a+b)/2.2.几个重要的不等式：1) 平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2≥0，即a^2+b^2≥2ab.2) 两个同号数的平方和大于它们的积：对于任意正实数a 和b，有a^2+b^2≥2ab.3) 两个异号数的平方和小于它们的积：对于任意实数a和b，如果ab<0，则a^2+b^2<2ab.4) 平均值不等式：对于任意正实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab).3.算术平均数与几何平均数：对于任意正实数a和b，它们的算术平均数为(a+b)/2，几何平均数为√(ab)。
基本不等式可以叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题：1) 如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2p.2) 如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是p^2/4.一个技巧：在运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a^2+b^2≥2ab逆用就是ab≤(a^2+b^2)/(a+b)^2；还要注意“添、拆项”等技巧和公式等号成立的条件等.两个变形：1) a^2+b^2≥(a+b)^2/2≥ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.2) a^2+b^2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.三个注意：1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视。
要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.2) 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.3) 连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.应用一：求最值：例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.解题技巧：技巧一：凑项.例1：已知x＜5，求函数y＝4x-2+1/(2x+1)的最大值.技巧二：凑系数.例1.当x^2+7x+10/(x+1)的值域.技巧三：分离.例3.求y＝x(8-2x)的最大值，当y＜4时。
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。
2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。
4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。
2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。
3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。
4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。
5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。
6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。
二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。
题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。
2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。
高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高考数学-基本不等式(知识点归纳) 高中数学基本不等式的巧用一、基本不等式1.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$a+b\geq 2ab$，$ab\leq\frac{(a+b)^2}{4}$（当且仅当$a=b$时取“=”）2.若$a,b\in\mathbb{R}$，则$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取“=”）3.若$x>1$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$时取“=”）；若$x<1$，则$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=-1$时取“=”）；若$x\neq 0$，则$x+\frac{1}{x}\geq 2$或$x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当$x=1$或$x=-1$时取“=”）4.若$a,b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当$a=b$时取“=”）；若$ab\neq 0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$或$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq -2$（当且仅当$a=b$时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。
2）求最值的条件“一正，二定，三取等”。
3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。
应用一：求最值例1：求下列函数的值域1.$y=3x+\frac{11}{2}$2.$y=x+\frac{1}{2x}$解：（1）$y=3x+\frac{11}{2}\geq 6$，所以值域为$[6,+\infty)$。
2）当$x>0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\geq 2$；当$x<0$时，$y=x+\frac{1}{2x}\leq -2$；当$x=0$时，$y$无定义。
(北师大版文)2021届高考数学复习课件：基本不等式及其应用
跟踪训练 (1)若对任意 x≥1，不等式 x＋x＋1 1－1≥a 恒成立，则实数 a
的取值范围是__－__∞__，__12__.
f(x)max<B(x∈D) .
(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不 等式f(x)>A成立⇔ f(x)max>A(x∈D) ； 若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立 ⇔ f(x)min<B(x∈D). (3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D； 不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.
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解析 答案
5.设 x>0，则函数 y＝x＋2x2＋1－32的最小值为
√A.0
1
B.2
C.1
3 D.2
解析 y＝x＋2x2＋1－32＝x＋12＋x＋1 21－2≥2 当且仅当 x＋12＝x＋1 12，即 x＝12时等号成立. ∴函数的最小值为0.故选A.
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x＋12·x＋1 21－2＝0，
解析 答案
6.若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是
A.2
B.3
C.4
√D.5
解析 由 3x＋y＝5xy，得3xx＋y y＝3y＋1x＝5，
所以 4x＋3y＝(4x＋3y)·153y＋1x
＝154＋9＋3xy＋12yx≥15(4＋9＋2 36)＝5，
当且仅当3xy＝1y2x，即 y＝2x 时，“＝”成立，
(4)若 a>0，则 a3＋a12的最小值为 2 a.( × ) a＋b
(5)不等式 a2＋b2≥2ab 与 2 ≥ ab有相同的成立条件.( × ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ )
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)04 基本不等式及其应用 (含详解)
专题04基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn x nmx ，当且仅当mnx =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立； 模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立；模型四：)0,0,0(4)21)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式证明不等式 题型九：利用基本不等式解决实际问题 【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（ ）A ．12x x+≥ B ．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+ B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0,0)2a bab a b +≥>> B ．222(0,0)a b ab a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+ B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+D ．2y =（多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b +≥+D ．22a b a b+≥+【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例7．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a ，b 满足1a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．14例8．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（ ） A ．18B ．27C ．54D ．90例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ）A ．4-B ．4C ．8D ．8-例10．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642xx x f x -=++的最小值为（ ） A．4B ．C ．3D ．（多选题）例11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b+的最大值是92例12．（2022·四川·广安二中二模（文））若,R a b +∈，且11b a +=，则2b a的最大值是_______________. 例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正数x 、y 满足124x y +=，则yx的最小值是___________. 【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例14．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1例15．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3例16．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+例17．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.例18．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x y x y -+最大值为______．例19．（2022·全国·高三专题练习）（1）求函数()411y x x x =+>-的最小值及此时x 的值； （2）已知函数25102x x y x ++=+，()2,x ∈-+∞，求此函数的最小值及此时x 的值.【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例20．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-为___________.例21．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1例22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．6例23．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 例24．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.例25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________． 【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 题型五：双换元求最值例26．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+例27．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______． 例28．（2022·天津市蓟州区第一中学一模）已知x ＋y ＝1，y ＞0，x ＞0，则121x x y ++的最小值为____________． 例29．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为 ________．例30．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，且21x y +=，则22212x y x y +++的最小值为_________ 例31．（2022·全国·高三专题练习）若正实数x ，y 满足22x y +=，则224122x y y x +++的最小值是__________．【方法技巧与总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1．代换变量，统一变量再处理．2．注意验证取得条件． 题型六：“1”的代换求最值例32．（2022·辽宁·模拟预测）已知正实数x ，y 满足211x y+=，则436xy x y --的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12例33．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20132013S =，则2201211a a +的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8例34．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a b a b +--的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．2例35．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知20,0,61a b a b >>+=，则162b a +的最小值为（ ）A ．13B ．19C ．21D ．27例36．（2022·四川·石室中学三模（文））已知0a >，0b >且1a b +=，则1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是( )A ．49B ．50C ．51D ．52例37．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））已知正数a ，b 满足0ab a b --=，则4a b +的最小值为___________.例38．（2022·天津·南开中学模拟预测）设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy+的最小值为______．例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【方法技巧与总结】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2．注意验证取得条件．题型七：齐次化求最值例40．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，满足222232390,a b a b --+=则32b aa b+的最小值是（ ） A．B．C．D．例41．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数())f x a b =<的定义域为R ，则24b aa b c-++的最大值是___________.例42．（2022·全国·高三专题练习（理））若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12B ．14C D 例43．（2022·全国·高三专题练习）已知三次函数32()()f x ax bx cx d a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-最小值为（ ）A B C D 例44．（2022·天津·高三专题练习）已知0a >，0b >，且21a b +=，则12bb a b++的最小值为____________.例45．（2022·浙江·高三专题练习）已知x ，y ，z 为正实数，且240x y z +-=，则2xyz 的最大值为______． 例46．（2022·全国·高三专题练习）若0,0x y >>且224log 3log 9log 81x y +=，则433x y x y++的最小值为___________. 【方法技巧与总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．题型八：利用基本不等式证明不等式例47．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））已知0a >，0b >． (1)若21a b +=，证明：2233348a b ≤+<；(2)若2a b ab +=，证明：410a b ab ++≥+例48．（2022·陕西渭南·二模（文））设函数()124f x x x =+--． (1)求不等式()23f x x ≥-的解集．(2)若()f x 的最大值为222a b c ++，证明：3ab bc ca ++≤．例49．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．例50．（2022·安徽省芜湖市教育局高三期末（理））设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=.证明： (1)11192a b b c c a ++≥+++； (2)33332ab bc ca abca b c ++-++≥.例51．（2022·河南洛阳·一模（文））已知a ，b ，c 都是正数.(1)证明：a b c ++≥ (2)若3a b c ++=，证明：11132a b b c c a ++≥+++. 【方法技巧与总结】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 题型九：利用基本不等式解决实际问题例51．（2021·全国·高三专题练习（理））设计用232m 的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m ，则车厢的最大容积是（ ）A．（38－ m 3 B ．16 m 3C ．m 3D ．14 m 3例53．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.例54．（2022·全国·高二课时练习）根据不同的程序，3D 打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为317176cm π的球挖去一个三棱锥P ABC -后得到的几何体，其中PA AB ⊥，BC ⊥平面P AB ，1BC cm =．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC 的长．例55．（2022·全国·高三课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t≥0)万元满足421kx t =-+(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 【方法技巧与总结】1．理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2．注意定义域，验证取得条件．3.注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 【过关测试】一、单选题 1．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知点E 是ABC 的中线BD 上的一点（不包括端点）．若AE xAB y AC =+，则21x y +的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．92．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知,a b 为正实数，且196a b a b+=++，则a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．123．（2022·安徽马鞍山·三模（理））若0a >，0b >，()lg lg lg 3a b a b +=+，则a b +的最小值为（ ）A．B．4+C ．6D．3+4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知1e ，2e 为平面的单位向量，且其夹角为2π3，若()1222,xe ye x y +=∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．-5．（2022·天津红桥·一模）设0a >，1b >，若2a b +=，则411a b +-的最小值为（）A ．6B ．9C ．D ．186．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+ 7．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知a ，Rb ∈，满足e e 1a b +=，则下列错误的是（ ） A ．2ln 2a b +≤- B ．e <0a b +C ．1≥abD ．()222e e 1a b+≥8．（2022·河北保定·二模）已知a ，()0,b ∈+∞，且22347a ab b ++=，则2+a b 的最大值为（） A ．2 B ．3C ．D ．二、多选题9．（2022·河北张家口·三模）已知,x y +∈R ，x y m +=（m 是常数），则下列结论正确的是（ ）A ．若141x y ++的最小值为1m +，则3m = B ．若(1)x y +的最大值为4，则3m =C m ，则2m =D ．若4m =，则29y x+的最小值为210．（2022·河北·模拟预测）已知220,0,2a b a b >>+=，则以下不等式成立的是（ ） A ．2a b +>B ．332a b +≥C ．114a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．112a b +≥11．（2022·山东菏泽·二模）设a ，b 为两个正数，定义a ，b 的算术平均数为()2a bA a b +=,，几何平均数为()G a b ,上个世纪五十年代，美国数学家D ．H. Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即()11,p pp p p a b L a b a b --+=+，其中p 为有理数．下列结论正确的是（ ） A ．()()0.51,,L a b L a b ≤ B ．()()0,,L a b G a b ≤C ．()()2,,L a b A a b ≤D ．()()1,,n n L a b L a b +≤12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知函数2()log x f x =，且正实数a ，b 满足()()1f a f b +=，则下列结论可能成立的是（ ） A ．2a b = B ．1122a b --+的最大值为32C．2ab = D ．2211a b +的最小值为三、填空题13．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知正实数x ，y 满足12e (2)e yxx y -=+，则22y xy x y++的最小值为__________．14．（2022·吉林·模拟预测（理））已知2x >，则42x x +-的最小值是______． 15．（2022·重庆·三模）已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________.16．（2022·浙江·模拟预测）已知正实数x ，y 满足：222xx xy y ++=，则232x y y++的最小值为_________． 四、解答题17．（2022·江西·二模（理））已知函数()263f x x x =++-． (1)解不等式()10f x ≥的解集；(2)设()()3g x f x x =-+到的最小值为t ，若正数m ，n 满足2m n t +=，求11211m n +++的最小值．18．（2022·江西南昌·三模（理））已知函数()24f x x x =-+-，已知不等式()()0f x kx k ≥>恒成立. (1)求k 的最大值0k ； (2)设0a >，0b >，求证：1223a b a b a b k +≥++. 19．（2022·江西九江·三模（文））设函数()||()f x x a a =-∈R ． (1)若关于x 的不等式()(2)4+-≥f x f x 恒成立，求a 的取值范围；(2)在平面直角坐标系xOy 中，()()1+≤f x f y 所围成的区域面积为S ，若正数b ，c ，d 满足()()++=b d c d S ，求23++b c d 的最小值．20．（2022·陕西·模拟预测（理））设函数()142a f x x x x a=-++-()0a > (1)当1a =时，求不等式()52f x ≤的解集； (2)已知不等式()1f x x a ≥+的解集为{}1xx ≤∣，0m >，0n >，m n a +=，求28m n+的最小值. 21．（2022·河南·模拟预测（文））设a ，b 为正数，且1a b +=．证明：(1) (2)()()222a b b a a ++>．22．（2022·云南昆明·模拟预测（理））设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=．(1)求14a b c++的最小值；(2)专题04基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn x nmx ，当且仅当mnx =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立； 模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立；模型四：)0,0,0(4)21)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式证明不等式 题型九：利用基本不等式解决实际问题 【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（ ）A ．12x x+≥ B ．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误； 对于C 选项，当0a b =-≠时，不等式显然不成立，故错误； 对于D 选项，由于()22220a b ab a b +-=-≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+ B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y =+x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立； 12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立． 故选：D ．例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0,0)2a bab a b +≥>> B ．222(0,0)a b ab a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a b r OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解. 【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x +≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误；因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确.故选：D.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233x xy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ） A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b +≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥， 所以，2222b a a b a b a b+++≥+，即22b a a b a b +≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对； 对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对. 故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例7．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a ，b 满足1a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．14【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解积的最大值. 【详解】∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，1a b +=，∴212ab ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，∴()max 14ab =． 故选：D ．例8．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（ ） A ．18B ．27C ．54D ．90【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案． 【详解】由题意可得2393322754x y x y +=+≥⨯=， 当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立. 故选：C ．例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4-B ．4C ．8D ．8-【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a=即12,2a c ==时等号成立.故选：B例10．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642xx x f x -=++的最小值为（ ）A ．4B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x xx x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b+的最大值是92【答案】BC 【解析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC例12．（2022·四川·广安二中二模（文））若,R a b +∈，且11b a +=，则2b a的最大值是_______________. 【答案】12##0.5. 【解析】 【分析】利用基本不等式可直接求得结果. 【详解】,R a b +∈，10a ∴>，0b >，11b a ∴+=≥即14b a ≤（当且仅当1b a =，即2a =，12b =时取等号），212b a ∴≤，即2b a 的最大值为12. 故答案为：12.例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正数x 、y 满足124x y +=，则yx的最小值是___________. 【答案】14【解析】 【分析】利用基本不等式可求得yx的最小值. 【详解】因为x 、y 为正数，由基本不等式可得124x y =+≥=14y x ≥，当且仅当41124xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩时，即当41x y ==时，等号成立，故y x 的最小值为14.故答案为：14.【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件. 题型三：常规凑配法求最值例14．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x -=-，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例15．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ） A ．4 B．3 C．D．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例16．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】 【分析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x yx y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥++------当且仅当2111x y =--，即11x y ==“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例17．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值. 【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例18．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x y x y -+最大值为______．【解析】 【分析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y -=-，即4x y -=1xy =，可得xy =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 例19．（2022·全国·高三专题练习）（1）求函数()411y x x x =+>-的最小值及此时x 的值； （2）已知函数25102x x y x ++=+，()2,x ∈-+∞，求此函数的最小值及此时x 的值.【答案】（1）函数y 的最小值为5，此时3x =；（2）函数y 的最小值为5，此时0x =. 【解析】 （1）整理441111y x x x x =+=-++--，利用基本不等式求解即可；（2）令()20t x t =+>，将2x t =-代入整理得41y t t=++，利用基本不等式求解即可； 【详解】 （1）∵1x >，∴4411141511y x x x x =+=-++≥=+=--， 当且仅当411x x -=-即3x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时3x =； （2）令()20t x t =+>， 将2x t =-代入得：()()22521041t t y t t t-+-+==++，∵0t >，∴411415y t t =++≥=+=， 当且仅当4t t=， 即422x x +=+， 即0x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时0x =.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题. 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件． 题型四：消参法求最值例20．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-为___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b +=又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例21．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z +-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 例22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B ．2C ．2D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例23．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b-+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -， 则2+a b ab＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例24．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x -=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==等号成立，所以211x y+≥.故答案为:2例25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>再将条件变形2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果.【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f =，f =故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 题型五：双换元求最值例26．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（ ）A．3 B．C．1D．2+【答案】D 【解析】 【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<。
高考数学复习考点知识归纳专题解析20基本不等式(解析版)
高考数学复习考点知识归纳专题解析专题20基本不等式考点知识归纳常考点01 不等式性质及其应用 (1)【典例1】 ................................................................................................................................................ 1 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 2 【变式演练1】 ........................................................................................................................................ 2 常考点02不等式解法 . (3)【典例2】 ................................................................................................................................................ 3 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 4 【变式演练2】 ........................................................................................................................................ 4 常考点03 含参不等式恒成立问题的求解策略 .. (4)【典例3】 ................................................................................................................................................ 5 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 6 【变式演练3】 ........................................................................................................................................ 7 常考点04基本不等式应用 .. (8)【典例4】 ................................................................................................................................................ 8 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 9 【变式演练4】 ........................................................................................................................................ 9 常考点05线性目标函数的最值问题 .. (10)【典例5】 .............................................................................................................................................. 10 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................. 11 【变式演练5】 ...................................................................................................................................... 11 【冲关突破训练】 .. (12)常考点01 不等式性质及其应用【典例1】1．（2021年天津卷）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为A.a b c <<B.c a b <<C.b c a <<D.a c b <<【答案】D【解析】22log 0.3log 10<=，0a ∴<，122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>=，1b ∴>，0.3000.40.41<<=，01c ∴<<，a c b ∴<<.故选：D.2．（2021年新高考2卷）已知，，，则下列判断正确的是（） A. B.C.D.【答案】C【解析】，即.故选：C.【考点总结与提高】比较大小的常用方法：（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论． 注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值. （4）利用单调性比较大小.（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.【变式演练1】1.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则()5log 2a =8log 3b =12c =c b a<<b a c <<a cb <<a bc <<55881log 2log log log 32a b =<==<=a c b <<A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a << 【答案】B 【解析】依题意， ， 因为， 所以， 所以.故选B ．2．(设3.0log 3.0log 22.0==b a ，，则( )A ．0<<+ab b aB ．0<+<b a abC ．ab b a <<+0D ．b a ab +<<0 【答案】B【解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31log 2b=， 所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a bab+<<． 又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．常考点02不等式解法【典例2】1．（2021年浙江卷）设集合{}|1A x x =≥，{}|12B x x =-<<则A B =（）.A ．{}|1x x >-B ．{}|1x x ≥C ．{}|11x x -<<D ．{}|12x x <【答案】D【解析】由交集运算，得{|12}AB x x =≤<，故选D ．2．设全集U =R ，集合{}2{1},230A xx B x x x =<=--<∣∣，则()U A B =（） A ．{31}xx -<∣ B ．{11}x x -<∣ C ．{13}x x -<<∣ D ．{13}xx <∣ 【答案】D【解析】因为集合{1}A xx =<∣，所以{1}U A x x =∣C ． 因为{()(){}2230}310{13}B xx x x x x x x =--<=-+<=-<<∣∣∣，所以(){13}U A B x x ⋂=<∣． 故选：D ．22log 0.2log 10a ==＜0.20221b ==＞0.3000.20.21=＜＜0.30.201c =∈（，）a c b ＜＜【考点总结与提高】由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下： （1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即20(0)ax bx c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>；（2）计算：求出相应的一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的根，有三种情况：0,0∆,∆∆=0<>；（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．【变式演练2】1．已知集合{}2|log 2A x x =≤，{}2|60B x x x =--≤，则A B =（）A ．{}|04x x <≤B ．{}|24x x -≤≤C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x x <≤或 【答案】C【解析】∵{}{}2|log 2|04A x x x x =≤=<≤，{}{}2|60|23B x x x x x =--≤=-≤≤，∴{}|03A B x x =<≤， 故选：C ．2．记全集U =R ，集合{}260A x x x =--≤，集合401x B xx -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()UA B =（）A ．()1,4B ．[]0,2C ．()1,3D ．[]1,3【答案】D【解析】由260x x --≤得()()3+20x x -≤，即23x -≤≤，所以集合[]2,3A =-， 由401x x -≥-得4x ≥或1x <，所以集合()[),14,B =-∞+∞，所以[)U14B =，，所以()[]U13AB =，，故选：D.常考点03 含参不等式恒成立问题的求解策略【典例3】1．已知函数222,0,()ln(1),0,x x x f x x x ⎧---≤=⎨+>⎩若关于x 的不等式1()2f x ax a ≤+-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．12e -⎡⎢⎣B ．122,e ⎤⎥⎦C．12e -⎡⎢⎣D．12e ⎡⎢⎣【答案】A【解析】画出函数()f x 的图像如图所示.1()2f x ax a ≤+-在R 上恒成立即函数()y f x =的图像恒在直线12y ax a =+-的图像的下方， 且直线12y ax a =+-过定点11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当直线与ln(1)(0)=+>y x x 相切时，设切点()()00,ln 1P x x +，11y x '=+， 可得()0001ln 11211x x x ++=++，解得120e 1x =-，则直线斜率为12e -，即12e a -=； 当直线与222(0)y x x x =---≤相切时，此时由21222ax a x x +-=---， 得23(2)02x a x a ++++=，令2(2)460a a ∆=+--=，得a =a =，所以由图像可知12e a -≤≤2.已知不等式()22log 251ax x -+>的解集为R ，则a 的取值范围是________【答案】103a <<【解析】所给条件等价于22252250ax x ax x ⎧-+>⎪⎨-+>⎪⎩的解集为R ，即2230ax x -+>的解集为R ，由此可得：4120a a >⎧⎨∆=->⎩解得：103a << 答案：103a <<【考点总结与提高】解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略：（1）变换主元，转化为一次函数问题.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果. （2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题.（3）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即①若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a < (或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥); ②若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a > (或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤); ③若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到.（4）转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数.在不等式恒成立问题的处理中，若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷．【变式演练3】1已知不等式()22log 362ax x -+>的解集为()(),1,+b -∞∞，则a =___，b =____【答案】1,2a b ==【解析】所解不等式()22222360log 36log 4364ax x ax x ax x ⎧-+>⎪⎨-+>⇒-+>⎪⎩，即22360320ax x ax x ⎧-+>⎪⎨-+>⎪⎩，观察可得只要x 让第二个不等式成立，则第一个一定成立。
高考数学之基本不等式
基础梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a ＋b 2；a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．两个变形(1)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)．这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的值域为( )．A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号． 答案 C2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1－1≥2－1＝1.答案 B3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.12B ．1C ．2D ．4 解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2， ∴a ＋2b ＝2≥22ab ，即ab ≤12. 答案 A4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x ＞2时，x －2＞0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x ＞2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 答案 C 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________． 解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号． 答案 －2考向一 利用基本不等式求最值【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． [审题视点] 第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式． 解析 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0， ∴f (x )＝2xx 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________． (2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 解析 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ， ∴2y ＋8x＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )()8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2xy＝10＋2()4y x ＋xy ≥10＋2×2×4y x ·xy＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6， ∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.答案 (1)3 (2)15(3)18考向二 利用基本不等式证明不等式【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .[审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到． 证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋cab ≥2 bc a ·cab ＝2c ； bc a ＋ab c ≥2 bc a ·abc ＝2b ； ca b ＋ab c≥2 ca b ·abc＝2a . 以上三式相加得：2()bc a ＋ca b ＋abc≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题． 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋()b a ＋a b ＋()c a ＋a c ＋()c b ＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．[审题视点] 先求x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要xx 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值小于等于a即可．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x ＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是[)15，＋∞ 答案[)15，＋∞当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10. 答案 10考向三 利用基本不等式解实际问题【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？[审题视点] 用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900()x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900()x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号． 故当侧面的长度为4米时，总造价最低．解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元． (1)求出f (n )的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元． 所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)．当且仅当n ＋1＝9n ＋1， 即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等. 【示例】►已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求1a ＋2b 的最小值．错因 两次基本不等式成立的条件不一致． 实录 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14.又1a ＋2b≥2 2ab ，而ab ≤14，∴1ab≥4， ∴1a ＋2b ≥28＝42，故1a ＋2b 的最小值为4 2. 正解 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝()1a ＋2b (a ＋b )＝1＋2＋b a ＋2ab≥3＋2 b a ·2ab＝3＋2 2. 当且仅当⎩⎨⎧a ＋b ＝1，b a ＝2ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.【试一试】 (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 [尝试解答] a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab≥2a (a －b )·1a (a －b )＋2ab ·1aba (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2b 时，等号成立． 答案 D16.已知函数f(x)的定义域为[－2，+∞)，部分对应值如下表,)(x f '为f (x)的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示，若两正数a ，b 满足1)2(<+b a f ，求33++a b 的取值范围．18.已知二次函数2(),(,,)f x ax bx c a b c R=++∈满足：对任意实数x,都有()f x x≥，且当x∈（1，3）时，有21()(2)8f x x≤+成立. （1）求(2)f; （2）若(2)0,()f f x-=的表达式;（3）设()()2mg x f x x=-[0,)x∈+∞，若()g x图上的点都位于直线14y=的上方，求实数m的取值范围.解：（1）由条件知224)2(≥++=cbaf恒成立又∵取x=2时，2)22(8124)2(2=+≤++=cbaf与恒成立∴2)2(=f…………3分（2）∵⎩⎨⎧=+-=++24224cbacba∴,124==+bca∴acb41,21-==……5分又xxf≥)(恒成立，即)1(2≥+-+cxbax恒成立∴)41(4)121(,02≤---=∆>aaa，…………7分解出：21,21,81===cba∴212181)(2++=xxxf…………10分（3）),0[4121)221(81)(2+∞∈>+-+=xxmxxg在必须恒成立即),0[2)1(42+∞∈>+-+xxmx在恒成立x －2 0 4f (x) 1 －1 1①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得：221221+<<-m ……13分②⎪⎩⎪⎨⎧>=≤--≥∆02)0(0)1(20f m 解出：221-≤m 总之，)221,(+-∞∈m ………16分19.已知函数32()在1f x x ax bx c x =+++=处的切线方程为31y x =+，（1）若函数()在2y f x x ==-时有极值，求()f x 的表达式； （2）在（1）条件下,若函数()在[2,]y f x m =-上的值域为95[,13]27，求m 的取值范围；（3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围. 解：由cbx ax x x f +++=23)(求异得bax x x f ++='23)(2，在x = 1处的切线方程为)1)(23()1()1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即由已知切线方程为13+=x y 所以：⎩⎨⎧=-+-=++12323c a b a2)(-==x x f y 在 时有极值，故1240)2(-=+-∴=-'b a f (3)由（1）（2）（3）相联立解得542)(5,4,223+-+==-==x x x x f c b a ………5分（2）)2)(23(44323)(22+-=-+=++='x x x x b ax x x f27)3(,135)2(4)2(2)2()2(23==+---+-=-f f当),32(+∞∈x ，令213)(==x x f 得，由题意得m 的取值范围为]2,32[ …………9分 （3）)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增又b ax x x f ++='23)(2，由（1）知b bx x x f b a +-='∴=+23)(,02依题意)(x f '在[－2，1]上恒有03,0)(2≥+-≥'b bx x x f 即在[－2，1]上恒成立，…11分①在16≥=b x 时，603)1()(≥∴≥+-='='b b b f x f 小…12分②在φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f bx 0212)2()(,26小时…13分③在.6001212)(,1622≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时小…14分综合上述讨论可知，所求参数b 取值范围是：0≥b…16分[2014·江苏卷] 已知函数f(x)＝ex ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数．(1)证明：f(x)是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf(x)≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f(－x)＝e －x ＋e －(－x)＝e －x ＋ex ＝f(x)， 所以f(x)是R 上的偶函数．(2)由条件知 m(ex ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令 t ＝ex(x>0)，则 t>1，所以 m≤－t －1t2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t>1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．因此实数 m 的取值范围是(]－∞，－13.。
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解析：因为x＋y＝18，所以 xy≤x＋2 y＝9，当且仅当x＝y＝9
时，等号成立．
答案：A
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2．(必修5P100练习T1改编)设a>0，则9a＋1a的最小值为
()
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：因为a>0，所以9a＋1a≥2 9a×1a ＝6，当且仅当9a
＝1a，即a＝13时，9a＋1a取得最小值6.故选C.
＝(x－1)＋x－3 1＋2≥2 3＋2.
当且仅当 x－1＝x－3 1，即 x＝ 3＋1 时，取等号．
[答案]
2 (1)3
(2)1
(3)2 3＋2
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[解题技法] 通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆 项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等 式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系 数、凑常数是关键．
[解析] 由a>b>0，得a－b>0，
∴b(a－b)≤b＋2a－b2＝a42.
∴a2＋ba1－b≥a2＋a42≥2
a2·a42＝4，
当且仅当b＝a－b且a2＝a42，即a＝ 2，b＝ 22时取等号．
∴a2＋ba1－b的最小值为4.
[答案] 4
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[解题技法] 两次利用基本不等式求最值的注意点 当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是 否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．
润最大，最大利润为1 000万元．
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[解题技法] 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等 式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可 利用函数的单调性求解．
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(2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除， 进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值．
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考向(三) 消元法——利用基本不等式求最值 [例3] 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为
________．
[解析] 法一：(换元消元法)由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号， 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6.
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2. 变设问 保持本例条件不变，则 1＋1a 1＋1b 的最小值为 ________．
解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当 a＝b＝12 时，取等号．
答案：9
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[解题技法] 通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
[对点变式]
1.变条件将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则1a＋1b的最
小值为________．
解析：因为a＋2b＝3，所以13a＋23b＝1.
所以1a＋1b＝1a＋1b13a＋23b
＝13＋23＋3ab＋23ba≥1＋2
a 2b 3b·3a
＝1＋232.当且仅当a＝ 2b时，取等号．
答案：1＋2 3 2
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[跟踪训练]
1．若对于任意的x>0，不等式
x x2＋3x＋1
≤a恒成立，则实数a
的取值范围为
()
A．a≥15
B．a>15
C．a<15
D．a≤15
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解析：由x>0，得
x x2＋3x＋1
＝
1 x＋1x＋3
≤
2
1 x·1x＋3
＝
1 5
，当
且仅当x＝1时，等号成立．则a≥15，故选A.
答案：A
2．(2019·天津高考)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则
a＋b 2
，几何平均数为
ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数．
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3．利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值
是 2 p (简记：积定和最小)．
(2)如果 x＋y 是定值 q，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值
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[解题技法] 通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已 知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最 后利用基本不等式求最值．
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考向(四) 利用两次基本不等式求最值
[例4] 已知a>b>0，那么a2＋ba1－b的最小值为________．
是
q2 4
(简记：和定积最大)．
和定积最大，积定和最小：两个正数的和为定值时，则 可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小值.
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[常用结论]
1．基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤a＋2 b2(a，b∈R ，当且仅当a＝b时取等号)．
(2)a＋b≥2 ab(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
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此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．
当x≥80时，L(x)＝1
200－
x＋10
000
x
≤1
200－2
10 x·
x000＝1
200－200＝1
000.
此时x＝10 x000，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．
由于950<1 000，
所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利
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法二：(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9， 得x＝91－＋3yy， 所以x＋3y＝91－＋3yy＋3y＝9－3y＋1＋3yy1＋y ＝91＋＋3yy2＝31＋y2－1＋61y ＋y＋12 ＝3(1＋y)＋11＋2y－6≥2 31＋y·11＋2y－6 ＝12－6＝6.即x＋3y的最小值为6. [答案] 6
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3．(2019·河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知 x>0，y>0，
且1x＋2y＝1，则 xy＋x＋y 的最小值为________． 解析：因为1x＋2y＝1，所以 xy＝y＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝
(3x
＋
2y)· 1x＋2y
＝
7
＋
2y x
＋
6x y
≥7
＋
4
3
当且仅当y＝ 3x，即x＝1＋233，y＝2＋ 3时取等号， 所以 xy＋x＋y 的最小值为 7＋4 3.
13x2＋10x
－250＝－
1 3
x2
＋40x－250.
当x≥80时，L(x)＝(0.05×1
000x)－51x＋10
x000－1
450－250
＝1
200－x＋10
000
x
.
所以L(x)＝－ 1 2130x02－＋4x0＋x－102x05000，，0<xx≥<8800，.
(2)当0<x<80时，L(x)＝－13(x－60)2＋950.
商品能全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利
润最大？
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[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额
为0.05×1 000x万元，依题意得：
当0<x<80时，L(x)＝(0.05×1
000x)－
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考向(二) 常数代换法——利用基本不等式求最值
[例 2] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为________．
[解析] 因为a＋b＝1，
所以
1 a
＋
1 b
＝
1a＋1b
(a＋b)＝2＋
ba＋ab
≥2＋2
＝4.当且仅当a＝b＝12时，取等号．
ba a·b
＝2＋2
[答案] 4
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答案：C
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二、走出误区 常见误区：①忽视不等式成立的条件a>0且b>0致误；②忽 视定值存在致误；③忽视等号成立的条件致误．
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3．(多选)下列选项错误的是
()
A．两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是
相同的
B．函数 y＝x＋1x的最小值是 2
C．函数 f(x)＝sin x＋sin4 x的最小值为 4
2．几个重要的结论
(1)a2＋2 b2≥a＋2 b2. (2)ba＋ab≥2(ab>0)．
(3) ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a>0，b>0)．
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[基础自测]
一、走进教材
1．(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则 xy 的最大
值为
()
A．9
B．18
C．36
D．81
________．
(2)已知 x<54，则 f(x)＝4x－2＋4x1－5的最大值为________．
(3)函数 y＝xx2－＋12(x>1)的最小值为________．
[解析]
(1)x(4－3x)＝
1 3
×(3x)·(4－3x)≤