平方根3

指数
根号 互为
平 方 运 算
x a
2
底数
逆运算
x a
被开方数
开 平 方 运 算
幂
a的平方根
已知底数和指数求幂
已知幂和指数求底数
开平方与平方的对比填空
运算 适用 运算结 符号 范围 果名称
性质
开 方 平 方

正 数 与 零
2
, 平 正数有 2 个平方根,它们是互为相反数 方 零的平方根是 0 , 负数 没有平方根 . 根
1 1 （1）100的平方根是 10 ， 的平方根是 10 ； 5 100 25
练习：
（2）16的平方根是 4 ， （3）0的平方根是
0
9 ； － 9 的平方根是 不存在 。
的平方根是
3
；
根据以上练习回答下面两个问题： （1）为什么100、16等数有两个平方根？这两个 平方根有什么关系？ （2）为什么负数的平方根是不存在？
小结 x 2 a，那么 1、如果
x 就叫做 a的平方根，用
a，
a来
表示。当 a 0 时，有两个平方根，即
a 表
示
a
的正平方根， a 表示负平方根。
2、开平方与平方
达标训练：
7 (1)49的平方根是（ ±7 ），算术平方根是（ ）； 0.3 (2)0.09的平方根是（ ±0.3 ），算术平方根是（ ）； (3)若－ 3 是x的一个平方根，那么x的另一个平方根是 （ ）； 3 (4)平方根等于它本身的数是（ 0），算术平方根等于 它本身的数是（ 0，1 ）； (5) 一个数的平方等于 0.01 ，这个数是（ ±）； 0.1 (6) √(-5)2= 5 (7)求下列各数的平方根：0.81， ，0，√81 25
议一议！
• 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系 （1）具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术平 方根是平方根的一种。 （2） 存在条件相同：平方根和算术平方根都具有非 负性 （3） 0的平方根和算术平方根都是0。 区别 （1） 定义不同： “如果一个数X的平方等于a，那么 这个数X叫做a的平方根”， “如果一个正数x的平方等于a, 即 x2 =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根”。 （2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数 的算术平方根只有一个。 （3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为√ a， 而正数a的平方根表示为±√ a
2
0 0
0.0025没有算术平方根； （ 3） 9 3 25没有算术平方根；
3.什么叫乘方？什么叫幂？ 答：求相同因数的积的运算叫做乘方；乘 方的运算结果叫做幂。 4.填空 （1）42= 16 ，（－4）2= 16 ；
2 （2） 3
2
4 9
， 2 3
2
S= a ㎝2
a
（3）已知正方形面积是a㎝2，那么它的边长是多少？
（3）0的平方根情况又如何叙述？
例1 求下列各数的平方根:
9 （1） 81 （2） 6 （3） （4）0.49 （5）169 10 4
分析 问：解题思想方法是？ 答：根据平方根的定义，把求平方根转化为求平方。 即求出平方等于81的所有数。
解： （1）∵ 9 81 ∴81的平方根是 9 即 81 9
人教版·数学·八年级(上)
教学目标
1、理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个 数的平方根； 2、能正确区分平方根与算术平方根的意义； 3、掌握用平方根运算求某些数的平方根的方法。
教学重点：
平方根的概念及求某些数的平方根的方法
教学难点： 平方根的概念对符号“
的理解
”意义
复习
1.什么叫做算术平方根？ 一般地，如果一个正数x的平方等于a,
( × ) 负数没有平方根 （2）49的平方根是7 ； ( ) 7 × 2 （3）（－2） 的平方根是±2 ；（ √ ） 22 4 （4）－1 是 1的平方根; （ √ ） （5）若X = 16
2
则X = 4
（ × ( ×
） )
（6）7的平方根是±49.
7
思考？
• 5.平方根与算术平方根有什么异同？
所以（－4）2的平方根就是16的平方根
因此的（－4）2平方根是
4
三、判断题： （1）114的平方根是－12与12；√ （2）256的平方根是16；× （3）256的平方根是－16； × （4）5是25的一个平方根；√ （5）－5是25的一个平方根； √ （6）1的平方根是1；× （7）－1的平方根是－1； × √ （8）－1是1的平方根； （9）（－1）2的平方根－1。 ×
2、数16的平方根是（ D） A、4 B、
16
C、 －4
D、4或－4
3、数0.25的平方根是（ D） A、0.5 B、0.05 C、－0.5 D、0.5或－0.5
4、数（－6）2的平方根是（ C ）
A、－6 B、6 C、6或－6 D、无平方根
难点解析
判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3;
(4)-4的平方根是什么?为什么? 没有平方根 从上面的回答中,你发现了什么?
议一议
（1）一个正数有几个平方根？它们是什么关系？
（2）0有几个平方根？ （3）一个负数呢？
平方根的性质
• 一个正数a有两个平方根,它们互为相反数; • 0只有一个平方根，它是0本身； • 负数没有平方根. 知道
记一记！
x a ,那么这个正数x叫做a的算术平方根。 a的算术平方根记为： a 读作： “根号a”,
即
2
a叫做 被开方数。
2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们 的算术平方根。 100；1；36/121; 0; －0.0025; (-3)2 －25；
解：100 10
1 1
36 6 121 11
第十三章第一节算术平方根作业
再 见
±6 36的 平 方 根 是 的 平 方 根 是 ；４ 2 ； 2 （ 5 的 平 方 根 是 算 术 平 方 根 是3 ） 5 ；的 9 ；
16的 算 术 平 方 根 的 平 方 是 根 ±2 。
学习小结： 本节课我们学习了哪些内容，你能回答吗？
• • • • • 1.什么叫平方根？如何表示一个数的平方根？ 2.什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？ 3.如何求一个数的平方根？ 4.平方根有什么性质？ 5.平方根与算术平方根有什么异同？
作业
一、作业本：
习题13.1 第3题第8题
二、电脑上：
a
任 何 幂 数
正数的平方是 正 数; 零的平方是 0 ; 负数的平方是 正 数.
自学并讨论？
3.如何求一个数的平方根？ 见P73例4
自学并讨论？
例2 . 求下列各数的平方根： 16 （1）81；（2） ； （3）0.49; 25 解：(1)∵ (±9)2=81， ∴81的平方根为±9．
4 2 16 （6 ∴10 的平方根是 103 即 106 103

3 2

6
注意： 80 0, 等于9；
81 0, 等于－9
例2 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的 平方根；如果没有，请说明理由。 （1）－64 （2）0 （3）（－4）2
解：（1）因为－64是负数，所以－64没有平方根 （2）0有一个平方根，它是0； （3）因为（－4）2=16
让我们一个一个解决吧！好吗？
自学并讨论？
1.什么叫平方根？p73
一般的，如果一个数X的平方等于a，即x2=a那么 这个数X叫做a的平方根（也叫做二次方根）。
例如，因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和-3 是9的平方根。也可以说:9的平方根是±3. ±2叫做4的平方根。 2² =4，（-2）² =4， 10² =100，（-10）² =100，±10叫做100的平方根 13² =169（-13）² =169， ±13叫做169的平方根。
49
判断：
（1）5是25的算术平方根；
（2）-6是 36 的算术平方根； 6 对 错 对
（3）0的算术平方根是0； （5）-5是-25的算术平方根。
（4）0.01是0.1的算术平方根； 错
错
从问题中产生新的课题:
（2）已知正方形面积是2㎝2，那么它的边长是多少？
？！
？！
S=2㎝2
？！
？！
从问题中产生新的课题:
（1）已知正方形面积是4㎝2，那么它的边长是多少？
2㎝
2㎝
S=4㎝2
2㎝
2㎝
从问题中产生新的课题:
（3）已知正方形面积是a㎝2，那么它的边长是多少？
？！
？！
S= a ㎝2
？！
？！
新的运算:
---------乘方的逆运算
前面的两个问题解决了吗?
（2）已知正方形面积是2㎝2，那么它的边长是多 少？ S=2㎝2
（读作“正、负根号a”）。
例如：4的平方根表示为： 4， 4 2
5的平方根表示为： 5，
25 的平方根表示为： 25 25 5 36 36 36 6
0的平方根表示为： 0
规定： 0 0. 0 0 所以， 0的平方根仍是 0
自学并讨论？
2.什么叫开平方？见P73 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 开平方与平方是什么关系？见P73
如何表示一个数的平方根？
平方根的表示方法、读法P74
可以省略 根指数
根号
非负数a的平方根 表示为： a
2
a
2
被开方数
一个正数a的正平方根，用“ a”表示，
又叫a的算术平方根 （读作“根号a”）。
a 的负平方根，用“