二元一次不等式解法

解: 由已知, 二次方程 ax2+bx+c -25＝0 有实根.
∴ △=b2-4a(c -25)≥0.
又不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-
1 2
,
13),
∴ ∴
a<0,
b=
1 6
且有 a, c=-
b a 1 6
=-
1 6
a>0.
,
c a
=-
1 6
.
∴ b=-c, 代入 b2-4a(c -25)≥0 得:
c2+24c(c -25)≥0. 解得: c≥24. ∴ b≤-24, a≤-144.
故 a, b, c 的取值范围分别是 a≤-144, b≤-24, c≥24.
例6、已知集合A={x│ x2 －(a+1)x+a≤0 } , B={x│1≤x≤3}，若A∩B=A , 求实数a取值范围。
分析: 观察不难发现：a、1是 x2 －(a+1)x +a=0的根. 解：A ∩B=A，则 A B
例4 . 已知一元二次不等式a x2 ＋bx+6>0 的解集为{x │－ 2 ＜x＜3}, 求a－b的值.
分析:二次不等式的解是通过二次方程的 根来确定的，由此可以理解为 a x2 ＋bx+6＝0 的根为－2，3。
解：由条件可知 ： 方程a x2 ＋bx+6＝0的根－2，3 又解在两根之间; ∴a＜0
解法2：当x＞0时， 原不等式可化为x2 －2x－15≥0
则不等式的解为x≥5或 x≤－3 ∵x＞0 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5 }
当x ≤0时， 原不等式可化为x2 ＋2x－15≥0 则不等式的解为x≥3或x ≤－5 ∵x≤0 ∴ 不等式的解集为{x│x≤－5 } 由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。
思考
变式：函数f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8）的 值域为 R , 求k的取值范围。
方程x2－2x－15＝0
y
的两根为:
x＝－3，或x＝5
。。
∴ 不等式的解集为:
-3 0
5 x
{x│ x ≤－3 或x ≥5}。
设y=ax2+bx+c (a＞0),且设方程y=0在 △＞0时的两个根分别是x1、x2，且x1＜ x2。
下面我们一起来看下表：
△＝b2－4ac
△＞0
△＝0
△＜0
二次函数 y
解：∵ △>0，方程2x2-3x-2=0的
解是 x1=-1/2 , x2=2
∴不等式的解集是
-1/2
{x|x<-1/2,或x>2}
2X
练习4.解不等式-5x2+6x>1
解：整理得，5x2-6x+1<0
1/5
1 X ∵ △>0，方程5x2-6x+1=0
的解是x1=1/5 , x2=1
∴原不等式的解集是{x|1/5<x<1}
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的解实
际上就是二次函数 y ax2 bx c(a 0)
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图象 来解一元二次不等式。
例1：解不等式: x2－2x－15≥0
解：∵ ⊿=b2-4ac= 22 +4× 15 > 0
解法1：(换元法） 设│x│ =t,则t ≥ 0原不等式可化为
t2 －2t－15≥0 由例1 可知解为t≥5或t≤－3 ∵t ≥ 0 ∴ 不等式的解集为{t│t≥5 }
∴ │x│≥5 ∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。
例3：解不等式: x2－2│x│－15≥0
分析2：也可用绝对值定义去掉绝对值 将不等式转化为不含绝对值的求解。
(3)2x2-3x-2>0
(2)-x2+2x-3>0 (4)-5x2+6x>1
2. 试解下列不等式: ⑴ x 1 3x 2 ⑵ (x 3)(x 2)(x 1) 0
⑶ (3x 2)(3 x) ≤ 0 x2
1.

x

1
x


2
3

2. x 3 x 1 或 1 x 2
一元二次不等式的解法(1)
复习提问：
（1）如何解一元二次方程?
ax2 + bx + c = 0(a 0)
（2）二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) 的图象是 什么曲线？
（3）一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0)
的解与二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) 的图象 有什么联系？
x

x


1 2
或
x ≥0
解一元二次不等式或分式不等式的方 法步骤是：
方法2 序轴标根法
步骤：（1）化成因式相乘或相除的形式， 且每个因式中x的最高次数为1，系数 必须是正数
（2）求出对应方程的根并在序轴上表 示出来，用穿针引线标出各部分正负
（3）根据序轴写出解集
作业:
1.解不等式 (1)4x2-4x+1>0
解一元二次不等式的方法步骤是： 方法1：数形结合 步骤：（1）化成标准形式 (a>0)：
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0
（2）求，解方程，画图象；
（3）根据图象写出解集
解不等式: 3x2 7x 10 ≤0
(可用同解变形法)
解:∵ 3x2 7x 10 ≤0 (3x 10)(x 1) ≤ 0


1 x 10 3


x 10 3

零点分段 判断符号 情况
例 2，解分式不等式: x 3 0 x7
解:分析符号规律:零点 3,-7 把数轴分成三段
代数式 x 7 7 x 3 x 3
x7



x3


x3


x7
∴由上面分析可知原不等式的解集为 x x 7 或 x 3
1 2 1 2

1 3 1 3


b a
b a
∴a = －12 b = －2
∴不等式2x2 + bx + a＜0
即2x2 －2x －12 ＜0其解集为{x | －2＜x＜3}。
例5.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与直线 y=25 有公共点, 且不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 (-1/2 , 1/3 ), 求 a, b, c 的取值范围.
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 （2）求⊿，解方程，画图象；
（3）根据图象写出解集
序轴标根法
练习: 函数f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8） 的定义域为 R , 求k的取值范围
分析：令u= kx2 -6kx+k+8, 函数f(x) 的定义域为R
对任意的x，u= kx2-6kx+k+8的值恒大于0
注:如果熟练了可简化成序轴标根法,直接快速写出解集
看谁更快,写出下列不等式的解集:
⑴ x2 0 2x 5
x
2

x

5
2

⑵ 3x 2 ≥ 0 x 1
x
x

1 或
x≥
2
3

⑶2x 0 x3
x x 3 或 x 2
⑷ x ≥0 2x 1

y
y
y ax2 bx c
(a 0)的图像 x O x1 x2
O
xO
x＝－b／2a
x
y＞0的解集 x x x2或x x1
x

R
x


b 2a

R
y＜0的解集 x x1 x x2

y ≥0的解 集Baidu Nhomakorabea
x x x2或x x1
R
R
y ≤0的解 x x1 x x2
3.

x

2

x≤-
2 3
或
x ≥ 3
二、二次不等式的简单应用
例3： 解不等式 x2－2│xx│－－151≥50≥0
分析1：不同于x2－2x－15≥0的根本点在于不 等式中含│x│，由于│x│ 2 = x2 ，则可以通过换 元令│x│ =t，将不等式转化为t 2－2 t －15≥0求解。
∵ 6 /a ＝ －2× 3＝ －6 ∴ a＝－1 ∵ b /a ＝ －2＋3＝1 ∴ b＝1 则a－b＝－2
例4 . 已知一元二次不等式a x2 ＋bx+6>0 的解集为{x │－ 2 ＜x＜3}, 求a－b的值.
另解：由条件可知 ： 方程 a x2 ＋bx+6＝0的根－2、3 ，
代入方程可得：
函数u= kx2-6kx+k+8的图象恒在x轴的上方
解：∵f(x)= lg(kx2 －6kx+k+8） U
的定义域为R , ∴ k ≥ 0
当k=0时，f(x)=lg8 满足条件.
当k> 0时，∴只要△ ＜ 0
即△=(6k)2－4k(k+8)
=32k2－32Ｋ＜ 0
0
X
∴0＜k＜1
∴f(x)的定义域为R时， k的取值范围为 0,1

3x 10 x 1
≤0 ≥0
(Ⅰ)
或
3x 10≥0 x 1 ≤0
(Ⅱ)
由(Ⅰ)解得
1≤
x
≤
10 3
;由(Ⅱ)解得
x
不存在.
∴原不等式的解集为

x
1≤
x
其实质是符号规律,见下表:
≤ 10 3

.
代数式
x 1 3x 10 (3x 10)(x 1)
x 1
∩
若a＝1 ， 则A＝｛ 1 ｝，满足条件 ; ∴a ＝1
若a＞1 ， 则A＝｛ x│ 1≤x≤a ｝ ， 则 1 ＜ a≤3
A
B
X
1
a
3
若a＜1 ， 则 A＝｛ x │ a ≤ x≤ 1 ｝，
B
A
X
a
1
3
那么, A不可能是B的子集 ； ∴a取值范围是1≤a≤3
课堂小结:
解一元二次不等式的方法步骤是： 方法：数形结合 步骤：（1）化成标准形式 (a>0)：
集
R

练习1.解不等式4x2-4x+1>0
解： ∵ △=0，方程4x2-4x+1=0的
解是x1= x2=1/2
∴不等式的解是 x≠1/2
1/2
X
练习2.解不等式-x2+2x-3>0
解：整理得x2-2x+3<0
X
∵ △<0，方程x2-2x+3=0 无实解，
∴原不等式无实解。
练习3.解不等式2x2-3x-2>0
4a－2b+6＝0
9a＋3b+6＝0 a＝－1
解方程组得： b＝1
则a－b＝－2
练习:已知不等式ax2 + bx + 2＞0
的解为 1 x 1 求2x2 + bx + a<0的解.
2
3
由题意 1 , 1 是方程ax2 bx 2 0的两根, 23
则a 0