高等数学习题集答案

第一章 函数、极限与连续

§函数

习题1

1.（1）⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞-,32，（2）[)(]1,00,1⋃-，（3）[]2,0，（4）{}0≠x x ，（5）()∞+-.1； 2.（1）不同，（2）不同，（3）相同，（4）不同；

3.单调增加；

4.（1）偶，（2）非奇非偶，（3）非奇非偶，（4）偶，（5）奇；

5.（1）x y 2sin ln =是由,u y =v u ln =，2w v =，x w sin =四个函数复合而成；

（2）2arctan x e y =是由u

e y =，v u arctan =，2x v =三个函数复合而成； （3）)2ln(cos 2x y +=是由2u y =， v u cos =，w v ln =，x w +=2四个函数复合

而成；

（4）32cos arctan x e y =是由31

u y =，v u arctan =，w v cos =，t e w =，x t 2=五

个函数复合而成； （5）)e ln(tan sin 22x x y +=是由u y ln =，v u tan =，w e v =，x x w sin 22+=四个函

数复合而成； 6.()011)(2>++=x x

x x f ； 7.()1,011)]([≠-

=x x x f f ，{}()1,0)]([≠=x x x f f f 。

习题2 1.（1）{}0≠x x ，（2）(]1,0，（3）⎭

⎬⎫⎩⎨⎧≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠≥01210k k x x x π且； 2.（1）不同，（2）不同；

3.（1）奇，（2）偶；

4.原点；

5. ()

1sin 0211)(2<<--=x x x x f 。

§数列的极限

习题

1.（1）0；（2）0；（3）2（4）1；（5）极限不存在。

2.（1）]1

[ε=N ；（2）]41[ε

=N ；（3）]1lg 1[ε+=N ； §函数的极限

习题 1. 397=X 。

2.（1）321ε

=X ；（2）21ε=X ；（3）取12+=εX 。 3. 取0002.0=δ。

4.（1）εδ31=；（2）εδ51=；（3）εδ=；（4）εδ2

1=； 5.极限)(lim 0x f x →存在，极限)(lim 0

x x ϕ→不存在。 6.1)(lim 0

=→x f x 。 §无穷小与无穷大

习题

1.（1）错；（2）对；（3）对；（4）错。

2.B 。

3. )1(log +=M X a 。

4.（1）2；（2）1；（3）2。

5. 1lim 1=∞→x x e ，x x e 10

lim →不存在。 §极限运算法则

习题1

1.（1）0；（2）0；（3）0；（4）0。

2.（1）9-；（2）0；（3）2

1；（4）0；（5）∞。 3.（1）38；（2）2；（3）2

1；（4）0；（5）2；（6）∞；（7）∞。 4. 1)(lim 0-=→x f x ，0)(lim =+∞→x f x ，-∞=-∞

→)(lim x f x 。 习题2

1.（1）0；（2）0；（3）0。

2.（1）x 2；（2）81；（3）3

2；（4）1-。 3.（1）32；（2）2；（3）2

1。 §极限存在准则 两个重要极限

习题1

1.（1）ω；（2）3；（3）5

2；（4）1；（5）2。 2.（1）1-e ；（2）2e ；（3）2e ；（4）k e -；（5）4-e 。

3.3ln =c 。

习题2

1.（1）x ；（2）0；（3）4；（4）πn cos 。

2.（1）1-e ；（2）1；（3）1。

§无穷小的比较

习题1

1.()2322x x o x x -=-。

2.（1）233+-x x 是1-x 的高阶无穷小；

（2）x lg 与1-x 是同阶无穷小；

（3）1

1sin )1(--x x 与1-x 不能比较。 4.（1）23；（2）53；（3）2；（4）3；（5）5；（6）⎪⎩

⎪⎨⎧<∞>=m n m n m n 0 1；（7）35。 习题2

1.（1）82；（2）1；（3）1；（4）2

1。 §函数的连续性与间断点

习题1

1.（1）函数()x f 在[]2,0上是连续函数；

（2）函数在()1,-∞-和()+∞-,1内连续，在1-=x 处间断 但右连续；

（3）函数)(x f ()()()+∞⋃⋃∞-,11,00,上连续，在0=x 处和1=x 处不连续。 2.2=a 。

3.3=a ，b 为任意实数。

4.1=a 。

5.（1）)(x f 在R 上是连续的；

（2）)(x f 在()()+∞⋃∞-,00,内连续，0=x 为跳跃间断点；

（3）)(x f 在()()+∞⋃∞-,33,内连续，3=x 为跳跃间断点；

（4）2=x 是函数的无穷间断点，1=x 是函数的可去间断点，在1=x 处，令2-=y ，则函数在x 1处成为连续的；

习题2

1. )(x f 在整个定义域上连续。

2. 2=a ，3-=b 。

3. （1）)(x f 在()1,-∞-，()0,1-，()1,0和()+∞,1内连续，1-=x 是无穷间断点，0=x 是跳跃间断点，1=x 是可去间断点，在1=x 处令21=y ，则函数在1=x 处连续。

（2）()0≠=k k x π是无穷间断点，0=x 和()Z k k x ∈+=2π

π是可去间断点，在

0=x 令1=y 则函数在0=x 处连续，令2 ππ+

=k x 时，0=y ，则函数在2

ππ+=k x 处连续。 4. ()⎪⎩⎪⎨⎧>=<≤=10

121101x x x x f ，1=x 为跳跃间断点。