§4条件极值
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条件极值
9+ 5 3, +
9+ 5 3 , +
所以该椭圆到原点的最长距离为 最短距离
9− 5 3 . −
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内容小结
1. 函数的极值问题 利用必要条件在定义域内找驻点. 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点 如对二元函数 z = f ( x, y) , 即解方程组
f x ( x, y) = 0 f y ( x, y) = 0
以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制， 以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制， 这样的极值称为无条件极值. 但还有很多极值问题， 这样的极值称为无条件极值 但还有很多极值问题， 除受自变量定义域限制外, 还受到其他条件的限制. 除受自变量定义域限制外 还受到其他条件的限制 例如， 的长方体开口水箱， 例如，要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱，试 问水箱的长、 高各为多少时，其表面积最小？ 问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？ 为此，设水箱的长、 为此，设水箱的长、宽、高分别为 x , y , z , 则表面 积为
代入⑶ 若 y − x = 0 ⇒ y = x, 代入⑶式得 y = x = − 4 λ , 代入⑴式得 y = x = 2z = −4 代入⑴ 代入⑷ 代入⑷式得 λ = − 4
3
λ
λ,
2V
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得唯一稳定点
−4 x = y = 2z = 2V , λ = 3 2V 由题意可知合理的设计是存在的, 由题意可知合理的设计是存在的
第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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§4条件极值.
即得 x, y, z, t , 为可能的极值点坐标.
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拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般
目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数
L( x1 , x2 ,
f ( x1 , x2 ,
, xn , 1 , 2 ,
, xn )
m k 1
, m )
, xn ). (3)
, m 称
从而 z f ( x, y) 在条件 ( x , y ) 0下可能的极值. 必要条件
f x ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 ) 0
f y ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 ) 0
( x0 , y0 ) 0
我们引入函数 L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y) 上述必要条件恰好是函数L(x,y,)的驻点。
§4 条 件 极 值
一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 三、应用举例
一、问题引入
例1 小王有400元钱，他决定用来购买两种急需物品： 计算机光盘和录音磁带，设他购买x张光盘，y盒录音磁 带达到最佳效果，效果函数为
U ( x , y ) ln x ln y
设每张光盘8元，每盒磁带10元， 问他如何分配这400元以达到最佳效果． 问题的实质： 在条件 8 x 10 y 400 下求 U ( x , y ) ln x ln y 的极值点． 很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义域上 自由变化, 而是要受到某些条件的约束，即极值点的 搜索范围要受到各自不同条件的限制. 条件极值：对自变量有附加条件的极值．上 页 下 页 返 回
例2 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试问长、 宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到最小?
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拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般
目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数
L( x1 , x2 ,
f ( x1 , x2 ,
, xn , 1 , 2 ,
, xn )
m k 1
, m )
, xn ). (3)
, m 称
从而 z f ( x, y) 在条件 ( x , y ) 0下可能的极值. 必要条件
f x ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 ) 0
f y ( x0 , y0 ) y ( x0 , y0 ) 0
( x0 , y0 ) 0
我们引入函数 L( x, y, ) f ( x, y) ( x, y) 上述必要条件恰好是函数L(x,y,)的驻点。
§4 条 件 极 值
一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 三、应用举例
一、问题引入
例1 小王有400元钱，他决定用来购买两种急需物品： 计算机光盘和录音磁带，设他购买x张光盘，y盒录音磁 带达到最佳效果，效果函数为
U ( x , y ) ln x ln y
设每张光盘8元，每盒磁带10元， 问他如何分配这400元以达到最佳效果． 问题的实质： 在条件 8 x 10 y 400 下求 U ( x , y ) ln x ln y 的极值点． 很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义域上 自由变化, 而是要受到某些条件的约束，即极值点的 搜索范围要受到各自不同条件的限制. 条件极值：对自变量有附加条件的极值．上 页 下 页 返 回
例2 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试问长、 宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到最小?
高等数学第18章第4节条件极值
第十八章 隐函数定理及其应用§4条件极值以往所讨论的极值问题，其极值点的搜索范围是目标函数的定义域，但是另外还有很多极值问题，其极值点的搜索范围还受到各自不同条件的限制.例如 要设计一个容量为V 的长方形开口水箱，试问水箱的长ֽ宽ֽ高各等于多少时，其表面积最小？为此，设水箱的长ֽ宽ֽ高分别为z y x ,,，则表面积为.)(2),,(xy yz xz z y x S ++=依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求)0,0,0(>>>z y x ，而且还须满足条件.V xyz = （1）这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.结论1：条件极值问题的一般形式是在条件组．．．．．．．．．．．．．．．．)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ （2）的限制下，求目标函数．．．．．．．．．．),,,(21n x x x f y = （．3．）．的极值．．．.．☆ 求条件极值的方法: 转化为无条件极值1、 用消元法将条件极值化为无条件极值问题来求解有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 如上面的例子，由条件（1）解出xy V z =，并代入函数),,(z y x S 中，得到.)11(2),,(),(xy xy V xy V y x S y x F ++== 然后按)0,0(),(=y x F F ，求出稳定点32V y x ==，并有3221V z =.最后判定在此稳定点上取得最小面积3243V S =.注．：1）在一般情形下要从条件组（2）中解出m 个变元并不总是可能的.下面我们介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.2、用拉格朗日乘数法在多数情况下较难把条件极值直接(例如消元法)转化为无条件极值, 需要用一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.（1） 从较简单的情况入手设ϕ,f 均为二元函数，欲求函数),(y x f z = （4）在条件 0),(:=y x C ϕ （5） 的限制下的极值问题.我们有以下结论.结论2：若函数．．．),(y x f z =在．0),(=y x ϕ的附加条件下．．．．．．,．在点．．),(00y x 取得极值．．．．,．则．0),(00=y x ϕ, ．又如果．．．),(y x f z =在点．．0P 可微、．．．0),(=y x ϕ在点．．0P 的某邻域内能惟一确定可微的．．．．．．．．．．．．．隐函数．．．)(x g y =，．则有．．.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8) 上述等式等价于．．．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9） 如果引入辅助变量．．．．．．．．λ和辅助函数．．．．．),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= (10)则．(9)．．．中三式就是．．．．．⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ (11)这样就把条件极值问题．．．．．．．．．．(4),(5)．．．．．．．转化为讨论函数．．．．．．．(10)．．．．的无条件极值问题．．．．．．．．.． 事实上:①0),(00=y x ϕ显然.②∵0),(=y x ϕ在点0P 的某邻域内能惟一确定可微的隐函数)(x g y =，∴0x x =必定是))(,(x g x f z =的极值点，所以，由),(y x f z =在0P 可微，)(x g y =在0x 可微，得到.0)('),(),(00000=+x g y x f y x f y x (6) 又 .),(),()('00000y x y x x g y x ϕϕ-= (7)把(7)代入(6)后又得到.0)()()()(0000=-P P f P P f x y y x ϕϕ (8)③由（8）可知方程组⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(0000P b P af P b P af y y x x ϕϕ 有非零解，不妨设0≠a ，令a b=0λ代如上试可得⎩⎨⎧=+=+0)()(0)()(000000P P f P P f y y x x ϕλϕλ.考虑到条件0),(00=y x ϕ即得⎪⎭⎪⎬⎫==+=+.0)(,0)()(,0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ （9）④引入辅助变量λ和辅助函数),,(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+= 则(9)中三式就是⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=.0)(),(,0)()(),,(,0)()(),,(000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕϕλλϕλλλ ▋注．：1）上述结论就把条件极值问题转化为讨论函数(10)的无条件极值问题。
条件极值
g = 0, h = 0.
现在引入函数 L ，称它为拉格朗日函数：
L ( x, y , u , v ) = f ( x, y, u , v) + ag ( x, y, u , v) + β h( x, y, u , v)
我们知道，函数 L 存在极值的必要条件为
Lx = 0, Ly = 0, Lu = 0, Lv = 0,
dF = dL = Lx dx + Ly dy + Lu du + Lv dv,
从而 F 的二阶微分有
d 2 F = d (dL)
= (dLx )dx + (dLy )dy + (dLu )du + Lu d 2u + (dLv )dv + Lv d 2 v,
但因为在极值点满足必要条件 Lu = 0 和 Lv = 0 ,所以
其中函数 g 和 h 都具有对各个变元的连续偏导数,并且 , 它们的雅可比行列式
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
我们要求函数 f ( x, y, u, v) 在限制条件
g(x, y,u,v) = 0,h(x, y,u,v) = 0
先来考虑极值的必要条件.
下的极值.
若函数 f ( x, y, u, v) 在某一点 M ( x, y, u, v) 达到极值,这里
α , β 称为拉格朗日乘数,也称为待定乘数.由于
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
总能求得不全为零的 α 和 β 使
∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂u ∂u ∂u ∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂v ∂v ∂v
这时, (4) 式化为
现在引入函数 L ，称它为拉格朗日函数：
L ( x, y , u , v ) = f ( x, y, u , v) + ag ( x, y, u , v) + β h( x, y, u , v)
我们知道，函数 L 存在极值的必要条件为
Lx = 0, Ly = 0, Lu = 0, Lv = 0,
dF = dL = Lx dx + Ly dy + Lu du + Lv dv,
从而 F 的二阶微分有
d 2 F = d (dL)
= (dLx )dx + (dLy )dy + (dLu )du + Lu d 2u + (dLv )dv + Lv d 2 v,
但因为在极值点满足必要条件 Lu = 0 和 Lv = 0 ,所以
其中函数 g 和 h 都具有对各个变元的连续偏导数,并且 , 它们的雅可比行列式
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
我们要求函数 f ( x, y, u, v) 在限制条件
g(x, y,u,v) = 0,h(x, y,u,v) = 0
先来考虑极值的必要条件.
下的极值.
若函数 f ( x, y, u, v) 在某一点 M ( x, y, u, v) 达到极值,这里
α , β 称为拉格朗日乘数,也称为待定乘数.由于
D ( g , h) ≠ 0, D (u , v)
总能求得不全为零的 α 和 β 使
∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂u ∂u ∂u ∂f ∂g ∂h +α +β = 0, ∂v ∂v ∂v
这时, (4) 式化为
条件极值——精选推荐
grad f ( x0, y0 ) ⋅τr = 0 . gradg(x0, y0 ) 是曲线 L 在 ( x0, y0 ) 的法向量 ．
于是 grad f ( x0, y0 ) 和 gradg(x0, y0 ) 平行 ．
再假定 gradg(x0, y0 ) ≠ 0 , 于是存在常数 λ ，使得 grad f (x0, y0 ) = λgradg(x0, y0 ) ．
f (x, y) 称为目标函数 ；g(x, y) = 0 称为约束条件 ．
此时 (x0, y0 ) 称为问题的一个解．
二元函数条件极值的拉格朗日乘子法
为了求解条件极值问题：
⎧min f (x, y)
⎩⎨s.t g(x, y) = 0 .
１
构造辅助函数 L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
⎪⎧min(max)
⎨ ⎪⎩s.t.
x2 +
f (x, y) = y2 −1= 0
x2
+
2x2
y
+
y2
．
1
构造辅助函数
L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
L( x, y, z,λ ) = x2 + 2x2 y + y2 − λ ( x2 + y2 − 1) .
列方程组：
3
3
3
例3 要设计一个容量为V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z = V0 下水箱表面积 S = 2(xz + y z) + x y
于是 grad f ( x0, y0 ) 和 gradg(x0, y0 ) 平行 ．
再假定 gradg(x0, y0 ) ≠ 0 , 于是存在常数 λ ，使得 grad f (x0, y0 ) = λgradg(x0, y0 ) ．
f (x, y) 称为目标函数 ；g(x, y) = 0 称为约束条件 ．
此时 (x0, y0 ) 称为问题的一个解．
二元函数条件极值的拉格朗日乘子法
为了求解条件极值问题：
⎧min f (x, y)
⎩⎨s.t g(x, y) = 0 .
１
构造辅助函数 L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
⎪⎧min(max)
⎨ ⎪⎩s.t.
x2 +
f (x, y) = y2 −1= 0
x2
+
2x2
y
+
y2
．
1
构造辅助函数
L(x, y,λ) = f (x, y) − λg(x, y) .
L( x, y, z,λ ) = x2 + 2x2 y + y2 − λ ( x2 + y2 − 1) .
列方程组：
3
3
3
例3 要设计一个容量为V0 的长方体开口水箱, 试问
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 则问题为求x , y ,
z 使在条件 x y z = V0 下水箱表面积 S = 2(xz + y z) + x y
§4泰勒公式与极值问题
为使 fx y ( x0, y0 ) f y x ( x0, y0 ) 成立，必须使 (1)、(2)
这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2)
相等的一个充分条件．
定理 17.7 若 f x y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0, y0 ) 连续，则
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一切 (0 1), 恒有 P( x1 ( x2 x1), y1 ( y2 y1) ) D.
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D
•
P1 •
•
P2
P D
凸
图 17 - 6
• P2 P D
•
D
P1•
非凸
定理17.8 ( 中值定理 ) 设 f ( x, y) 在凸区域 D R2 上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两 点 P(a,b), Q(a h,b k) int D , (0 1),使得
y s
z y
s
y s
2z x 2z y x z 2x
x2
s
x
y
s
s
x
s2
2z yx
x s
2z y2
y s
y s
z y
2y s2
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2z x 2
2z x y
x2
s
2
xy s s
2z y2
y s
2
z x
2x s2
1 y2
2 f v2
,
2z xy
y
f u
1 y
f v
2 f u 2 f v 1 f
u2
y
uv
y
y2
v
1 y
这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2)
相等的一个充分条件．
定理 17.7 若 f x y ( x, y) 与 f y x ( x, y) 都在点 ( x0, y0 ) 连续，则
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一切 (0 1), 恒有 P( x1 ( x2 x1), y1 ( y2 y1) ) D.
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D
•
P1 •
•
P2
P D
凸
图 17 - 6
• P2 P D
•
D
P1•
非凸
定理17.8 ( 中值定理 ) 设 f ( x, y) 在凸区域 D R2 上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两 点 P(a,b), Q(a h,b k) int D , (0 1),使得
y s
z y
s
y s
2z x 2z y x z 2x
x2
s
x
y
s
s
x
s2
2z yx
x s
2z y2
y s
y s
z y
2y s2
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2z x 2
2z x y
x2
s
2
xy s s
2z y2
y s
2
z x
2x s2
1 y2
2 f v2
,
2z xy
y
f u
1 y
f v
2 f u 2 f v 1 f
u2
y
uv
y
y2
v
1 y
11.3.条件极值
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2
2
将数 a 分成n个 个 最大. 最大 与平面
为抛物面 z = x2 + y2 上任一点， P 则 上任一点，
到平面 x + y − 2z − 2 = 0 的距离为
问题归结为 下的最小值. 下的最小值
6d
2
在约束条件
z− x − y =0
2 2
作函数 F = ( x + y − 2z − 2)2 + λ(z − x2 − y2 )
由实际意义最小值存在 , 故
7 = 4 6
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z=x +y
2
2
例3. 求圆柱面 与平面 相交所成椭圆的面积. ， 相交所成椭圆的面积
机动
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结束
内容小结
函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 ( ( 思考与练习 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
x2 y2 + =1 (x > 0, y > 0) 圆周上求一点 C, 使 试在椭圆 9 4
△ABC 面积 S△最大. 最大
思考与练习 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
x2 y2 + =1 (x > 0, y > 0) 圆周上求一点 C, 使 试在椭圆 9 4 最大. △ABC 面积 S△最大 y A
满足联系方程组
的极值点， 的极值点，则存在常数 下列方程组： 满足下列方程组：
，而
和该点的坐标必同时
引入辅助函数
令函数
关于
2
2
将数 a 分成n个 个 最大. 最大 与平面
为抛物面 z = x2 + y2 上任一点， P 则 上任一点，
到平面 x + y − 2z − 2 = 0 的距离为
问题归结为 下的最小值. 下的最小值
6d
2
在约束条件
z− x − y =0
2 2
作函数 F = ( x + y − 2z − 2)2 + λ(z − x2 − y2 )
由实际意义最小值存在 , 故
7 = 4 6
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z=x +y
2
2
例3. 求圆柱面 与平面 相交所成椭圆的面积. ， 相交所成椭圆的面积
机动
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结束
内容小结
函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 ( ( 思考与练习 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
x2 y2 + =1 (x > 0, y > 0) 圆周上求一点 C, 使 试在椭圆 9 4
△ABC 面积 S△最大. 最大
思考与练习 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
x2 y2 + =1 (x > 0, y > 0) 圆周上求一点 C, 使 试在椭圆 9 4 最大. △ABC 面积 S△最大 y A
满足联系方程组
的极值点， 的极值点，则存在常数 下列方程组： 满足下列方程组：
，而
和该点的坐标必同时
引入辅助函数
令函数
关于
§4[1].3.2函数的极值及其求法
![§4[1].3.2函数的极值及其求法](https://img.taocdn.com/s3/m/4df853777fd5360cba1adb65.png)
的极大(小)点。(证明从略)
[ 注： （1）若 f ( x ) 在a,b]
[a 上连续，则f ( x ) 在 ,b]
上必
有最大值和最小值。
（2） f ( x ) 在(a,b) 内某点取得“最值” x 是 f ( x ) ，则 的极值点，从而 x 一定是 f ( x ) 的驻点或导数不 存在的点。
2 x2 1 而 f (1) ， lim f ( x ) lim x 2e x lim 2 0, x x x e x e
1 ∴最大值是 f (1) 。 e
例 4．设某银行中的总存款量与银行付给存户年利率的平 方成正比。若银行以 20%的年利率把总存款的 90%贷出， 问银行给存户的年利率定为多少，它才能获得最大利润？
解：设银行付给存户的年利率为 x ，
T 总存款量为Q( x ) ，总利润为 ( x ) ，则
Q( x ) kx 2 （ k 为 常数） ，
T ( x )900 0200 0Q( x ) xQ( x ) ，即
T ( x ) 0.18kx 2 kx 3 ( 0 x 1) ，
T ( x ) 0.36 kx 3kx 2 3kx (0.12 x ) ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极大值；
（2）若当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
当 x( x , x ) 时， f ( x ) 0 ，
则 f ( x ) 在点 x 取得极小值； （3）若 f ( x ) 在点 x 的左、右邻域内保持同号，
x 0 是 f ( x ) x 3 的驻点，但 x 0 不是极值点。 例如：
（3） 称为可能极值点 。 导数不存在的点 驻点
第十五章极值和条件极值
第十五章 极值和条件极值§1. 极值和最小二乘法一 极值定义1 设(),f x y 在()000,M x y 的邻域内成立不等式()()00,,f x y f x y ≤则称函数(,)f x y 在点0M 取到极大值，点()000,M x y 称为函数的极大点，若在()000,M x y 的邻域内成立不等式 ()()00,,f x y f x y ≥则称函数(,)f x y 在点0M 取到极小值，点()000,M x y 称为函数的极小点。
极大值和极小值统称为极值，极大点和极小点统称为极值点。
定义 2 设D 是2R 内的一个区域，()00,x y 是D 的一个内点，如果()00,0f x y x ∂=∂，()00,0f x y y∂=∂，则称()00,x y 是f 的一个驻点。
根据费玛定理，可知定理1 二元函数的极值点必为0f f x y∂∂==∂∂的点或至少有一个偏导数不存在的点。
注：定理1的条件是必要条件，而不是充分条件。
例：z xy =在()0,0点。
例：z x =在()0,0点。
怎样进一步判断是否有极值？定理2 设f 在点),(00y x 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点),(00y x 是f 的一个驻点，),(0022y x x f A ∂∂=，),(0022y x yf C ∂∂=，),(002y x y x f B ∂∂∂=，2A B H AC B B C ==-，则：（1）若0,0H A >>，则f 在点),(00y x 有极小值；（2）若0,0H A ><，则f 在点),(00y x 有极大值；（3）若0H <，则f 在点),(00y x 没有极值；（4）若0H =，则须进一步判断。
例：求)1(by a x xy z --= )0,0(>>b a 的极值。
例：求333z axy x y =--的极值。
多元函数的最大（小）值问题设函数),(y x f 在某一有界闭区域D 中连续且可导，必在D 上达到最大（小）值。
条件极值简介
高州师范学院
11.3条件极值
极值问题
不带约束条件的极值问题，称为
无条件极值问题.
附有约束条件的极值问题，称为
条件极ห้องสมุดไป่ตู้问题.
高州师范学院
11.3条件极值
极值问题特点
无条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围是目标函数的定 义域.
条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围还要受到自变量 附加条件的限制.
这种方法称为拉格朗日乘数法, 辅助函数(x, y, )称为拉格朗日函数, 辅助变量 称为拉格朗日乘数.
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11.3条件极值
推广: 一般而言
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在约束条件组 F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F ( x , x ,..., x ) 0 2 1 2 n (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的条件极值.
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11.3条件极值
例如P204例7：水箱设计问题
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
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11.3条件极值
条件极值问题的一般形式
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在满足函数方程组(限制条件) F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F2 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 (1) (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的极值. 这就是条件极值.函数方程组 称为联系方程组.
11.3条件极值
极值问题
不带约束条件的极值问题，称为
无条件极值问题.
附有约束条件的极值问题，称为
条件极ห้องสมุดไป่ตู้问题.
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11.3条件极值
极值问题特点
无条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围是目标函数的定 义域.
条件极值问题的特点：
其极值点的搜索范围还要受到自变量 附加条件的限制.
这种方法称为拉格朗日乘数法, 辅助函数(x, y, )称为拉格朗日函数, 辅助变量 称为拉格朗日乘数.
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11.3条件极值
推广: 一般而言
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在约束条件组 F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F ( x , x ,..., x ) 0 2 1 2 n (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的条件极值.
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11.3条件极值
例如P204例7：水箱设计问题
目标函数: S ( x, y, z ) xy 2 xz 2 yz ( x 0, y 0, z 0) 约束条件: xyz V .
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11.3条件极值
条件极值问题的一般形式
求目标函数: y f ( x1 , x2 , , xn ) 在满足函数方程组(限制条件) F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 F2 ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 (1) (m n) .............................. Fm ( x1 , x2 ,..., xn ) 0 下的极值. 这就是条件极值.函数方程组 称为联系方程组.
条件极值
问题归结为求 S 的最大值，先求稳定点
S x 24x sin 4 x sin 2 x sin cos 0 S 24x cos 2 x 2 cos x 2 sin 2 x 2 cos2 0 解方程组，得符合题意的唯一一组稳定点 x 8, 3
那末有以下结论：
⑴ 当 H 0 时，函数有极值；
若
A 0，则函数有极大值。
若 A 0 ，则函数有极大值。 ⑵ 当 H 0 时，函数没有极值； ⑶ 当 H 0 时，函数有无极值还需进一步考察判定。
2 2 例 1 求 f ( x, y) x 5 y 6x 10y 6 的极值。 解 分别对 x 和 y 求偏导数并令其等于零，得方程组
如何从驻点中找出极值点，关键在于判定表达式
f f ( x, y) f ( x0 , y0 )
当点 ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 附近变动时是否有恒定的符号。 为此我们考察
f f ( x, y) f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
这是交于 Y 轴的两个平面。虽然， x 0 的点都是函数的极 小点，但是当 x 0 时，偏导数不存在。 综上所述，函数的极值点只可能在偏导数等于零的点和偏导数
不存在的点中产生。因此要求函数的极值，首先要求出所有使
偏导数等于零的点（驻点）和偏导数不存在的点。然后考察该 点周围函数的变化情况，以进一步判定是否有极值。
则
令
F ( x , y , z ) xyz ( 2 xy 2 yz 2 xz a 2 ),
Fx yz ( 2 y 2 z ) 0, F xz ( 2 x 2 z ) 0, y 则 Fz xy ( 2 y 2 x ) 0, 2 xy 2 yz 2 xz a 2 0. (1) yz 2 ( y z ) xz 2 ( x z ) ( 2) 即 ( 3) xy 2 ( x y ) 2 2 xy 2 yz 2 xz a 0 ( 4) 因 x 0, y 0, z 0, 由(2), (1)及(3), (2)得 x xz, y x y , y yz z xz
条件极值
先构造函数 L( x, y ) f ( x, y ) ( x, y ) ，其中 为某一常数，可由
极值点,
Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, Lx f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0.
4
由于dx和dy是相互独立的, 要使上式成立，必须 f x f y g h dx＝0 x x g h dy＝0 y y
7 8
§2. 条件极值
所以函数f x , y , u, v 在某点M x , y , u, v 达到条件极值, 则在该点处应满足(5), (6), (7), (8)及g 0, h 0.
§2. 条件极值
条件极值：对自变量有附加条件的极值问题，称为条件 极值问题． 求f x, y, u, v 在条件
g x , y , u, v 0 h x , y , u, v 0
约束下的极值.
下面讨论f 在点 x, y, u, v 取到极值的必要条件.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .
则问题就是条件 求函数 令
2 xy 2 yz 2 xz a 2 0
下，
V xyz ( x 0, y 0, z 0) 的最大值.
2
L( x, y, z ) xyz (2 xy 2 yz 2 xz a ),
由于连续函数x 2 2 y 2在有界闭集 {( x , y ) / x 2 y 2 1}上必有最值， 所以所求得的最大值为2，最小值为1。
§2. 条件极值
d L Lxx dx Lyy dy Lzz dz 2 Lxy dxdy 2 Lxz dxdz
极值点,
Lx f x ( x , y ) x ( x , y ) 0, Lx f y ( x , y ) y ( x , y ) 0, ( x , y ) 0.
4
由于dx和dy是相互独立的, 要使上式成立，必须 f x f y g h dx＝0 x x g h dy＝0 y y
7 8
§2. 条件极值
所以函数f x , y , u, v 在某点M x , y , u, v 达到条件极值, 则在该点处应满足(5), (6), (7), (8)及g 0, h 0.
§2. 条件极值
条件极值：对自变量有附加条件的极值问题，称为条件 极值问题． 求f x, y, u, v 在条件
g x , y , u, v 0 h x , y , u, v 0
约束下的极值.
下面讨论f 在点 x, y, u, v 取到极值的必要条件.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .
则问题就是条件 求函数 令
2 xy 2 yz 2 xz a 2 0
下，
V xyz ( x 0, y 0, z 0) 的最大值.
2
L( x, y, z ) xyz (2 xy 2 yz 2 xz a ),
由于连续函数x 2 2 y 2在有界闭集 {( x , y ) / x 2 y 2 1}上必有最值， 所以所求得的最大值为2，最小值为1。
§2. 条件极值
d L Lxx dx Lyy dy Lzz dz 2 Lxy dxdy 2 Lxz dxdz
高等数学：第十三讲 条件极值
方法1 代入法.
在条件 φ(x, y) 0 下，求函数 z f (x, y) 的极值.
转 化
从条件φ(x, y) 0 中解出 y ψ(x)
求一元函数 z f (x,ψ(x)) 的无条件极值问题.
02 拉格朗日乘数法
方法2 拉格朗日乘数法. 目标函数
约束条件
求函数 u f (x, y, z) 在条件 φ(x, y, z) 0下的极值.
条件极值
目录
01
条件极值
02 拉格朗日乘数法
01 条件极值
无条件极值：对自变量只有定义域限制. 极值问题
条件极值：对自变量除定义域限制外，还有其它条件限制.
条件极值的一般提法
求函数
z f (x, y)
在条件
φ(x, y) 0
下的极值.
目标函数 约束条件
01 条件极值
条件极值的求解方法
谢谢
先构造拉格朗日函数 F (x, y, z, λ) f (x, y, z) λφ(x, y, z)
然后解方程组 Fx fx(x, y, z) λφx (x, y, z) 0
Fy f y(x, y, z) λφy (x, y, z) 0
Fz
fz(x, y, z) λφz (x, y, z) 0
Fλ φ(x, y, z) 0
得出的解 x、y、z、λ 即为函数 u f (x, y, z) 在条件 φ(x, y, z) 0 下
可能取得极值的点的坐标．
例题：
求表面积为 a2 而体积为最大的长方体体积.
解 设长方体的长、宽、高分别为 x、y、z，则问题就是在条件
2xy 2 yz 2zx a2，即 φ(x, y, z) 2xy 2 yz 2zx a2 0 下求函数 V xyz (x 0, y 0, z 0) 的最大值. 构造拉格朗日函数 F (x, y, z, λ) xyz λ(2xy 2 yz 2zx a2 )， 则 Fx yz 2λ( y z)， Fy xz 2λ(x z)，
条件极值(精)
满足的必要条件. 由此产生了一个重要思想:
(2)
也就是说, (2) 式是函数 L( x , y , ) 在其极值点处所 通过引入辅助函数 L( x , y , ), 把条件极值问题 (1) 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.
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(B) 拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般
(5) (6) (7) (8) (9)
对 (5), (6), (7) 三式分别乘以 x, y, z 后相加, 得到
2( x 2 y 2 z 2 ) ( x y z ) 2 ( x 2 y 2 z 2 x y yz zx ) 0,
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借助 (8), (9) 两式进行化简, 又得
x2 y2 z2 ;
2 2 z x y , x y z 1. 约束条件:
还可举出很多这种带有约束条件的极值问题.
定义 设目标函数为
y f ( x1 , x2 , , xn ), ( x1 , x2 , , xn ) D R n ;
约束条件为如下一组方程:
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Lx 2 z y yz 0, Ly 2 z x xz 0, Lz 2( x y ) x y 0, L x yz V 0.
为消去 , 将前三式分别乘以 x , y , z , 则得
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2 xz x y x yz , 2 yz x y x yz , 2 z ( x y ) x yz .
最后得到
2 2( 1 3 ) x2 y2 z2 (2 4
3.
3 )2
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(2)
也就是说, (2) 式是函数 L( x , y , ) 在其极值点处所 通过引入辅助函数 L( x , y , ), 把条件极值问题 (1) 转化成为关于这个辅助函数的普通极值问题.
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(B) 拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般
(5) (6) (7) (8) (9)
对 (5), (6), (7) 三式分别乘以 x, y, z 后相加, 得到
2( x 2 y 2 z 2 ) ( x y z ) 2 ( x 2 y 2 z 2 x y yz zx ) 0,
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借助 (8), (9) 两式进行化简, 又得
x2 y2 z2 ;
2 2 z x y , x y z 1. 约束条件:
还可举出很多这种带有约束条件的极值问题.
定义 设目标函数为
y f ( x1 , x2 , , xn ), ( x1 , x2 , , xn ) D R n ;
约束条件为如下一组方程:
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Lx 2 z y yz 0, Ly 2 z x xz 0, Lz 2( x y ) x y 0, L x yz V 0.
为消去 , 将前三式分别乘以 x , y , z , 则得
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2 xz x y x yz , 2 yz x y x yz , 2 z ( x y ) x yz .
最后得到
2 2( 1 3 ) x2 y2 z2 (2 4
3.
3 )2
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4函数的极值与最大小值
解 由于 f (x) = x3(x - 1)2(7x - 4) ， 因此 x 0,1, 4 是函数
的三个稳定点． f 的二阶导数为
7
f (x) = 6x2 (x - 1)(7x2 - 8x + 2)
由此得 f (0) f (1) 0及f ( 4) 0，所以 f ( x)在x 4 时取得极小
有 f (4)(0) 0. 因为n = 4 为偶数，故 f 在 x 0 取得极大值.
综上所述， f (0) 0 为极大值，
f( 4 ) = -( 4 )4 ( 3 )3 = - 6912
7
77
823543
为极小值.
注 定理6.12仍是判定极值的充分条件而非必要条件．
考察函数
f(x)
=
e -
f n x0 0, 则
（ⅰ）当n为偶数时， f 在 x0处取得极值，且当 f (n)( x0 ) 0 时 取极大值，f (n) ( x0 ) 0 时取极小值.
（ⅱ）当n为奇数时， f 在 x0 处不取极值.
该定理的证明类似于定理6.11，我们将它留给读者.
例3 试求函数 x4( x 1)3的极值.
(析) 由条件及 f 在 x0 处的二阶泰勒公式
f (x)
f ( x0 )
f
( x0 )( x
x0 )
1 2!
f x0 x
x0 2
x x0 2
知
f
( x)
f
( x0 )
f
x0
2
1 x
x0 2
0,
a 2
内解得稳定点
数学分析第十八章课件极值与条件极值
第二步 判别
• 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
习题
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 解方程组 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 求二阶偏导数 的极值.
B
C
f x x ( x, y ) 6 x 6 , f x y ( x, y ) 0 , f y y ( x, y ) 6 y 6
故 g ( x, y ) 在 (3r,3r ) 点有
a11 6r 0 . 因此
D
a11 a12
a12 a22
27r 2 0
g ( x, y ) 在 (3r,3r ) 取极小值 ,
3
这等价于 f ( x, y, z ) 在 (3r ,3r ,3r ) 取极小值
f (3r,3r,3r ) (3r )
z
2
即，稳定点：
(3r ,3r ,3r )
x y z 3r
1 1 1 1 , x y z r
下面判别稳定点是极值点 记
1 1 1 1 F ( x, y, z ) x y z r
1 则 Fz (3r,3r,3r) 2 z
0
z 3 r
故方程
1 1 1 1 1 1 1 1 F ( x, y, z ) 0 ( ) x y z r x y z r
如方法 1 所述 , 设 ( x, y ) 0 可确定隐函数 y ( x) , 则问题等价于一元函数 z f ( x, ( x)) 的极值问题, 故 极值点必满足 dz dy fx f y 0 dx dx x dy x 因 , 故有 f x f y 0 dx y y 记
《条件极值》课件
结构设计
在控制系统设计中，经常需要找到使得系统性能达到最优的控制策略。例如，飞行器控制系统设计时需要找到使得飞行性能最优的控制策略。条件极值理论可以用来解决这类问题，通过找到使得性能指标函数取得极值的控制输入，来制定最优的控制策略。
控制系统设计
用到条件极值理论来解决一些实际问题。例如，在医学图像处理中，需要找到使得图像处理效果最佳的参数设置；在生物力学中，需要找到使得生物组织性能最优的参数设置。
《条件极值》ppt课件
目录
条件极值的概念条件极值的求解方法条件极值的应用条件极值的扩展知识总结与展望
CONTENTS
条件极值的概念
条件极值是指在某些特定条件下，函数取得极值的点。
它是在一定约束条件下，函数表现出的最值状态。
这些特定条件可以是函数的变量范围、函数的性质以及其他相关限制。
在特定条件下，函数达到的极值点是唯一的。
总结词：雅可比矩阵和海色矩阵是用于描述函数在某点的切线信息的矩阵，对于求解条件极值问题具有一定的帮助。
总结词：函数的一阶导数和二阶导数是描述函数单调性和凹凸性的重要指标，对于求解条件极值问题具有指导意义。
函数的单调性和凹凸性是描述函数变化趋势的重要属性，对于求解条件极值问题具有指导意义。
总结词
VS
无约束条件的极值问题是指函数在没有限制条件的约束下达到极值的点。
详细描述
无约束条件的极值问题是在没有任何约束条件的情况下，寻找函数达到极值的点。这些问题通常使用导数来解决，通过求导数并找到导数为零的点来确定可能的极值点。然后，通过检查这些点的函数值和一阶导数值来确定是否达到极值。
总结词
约束条件的优化问题是指在满足某些约束条件下，寻找函数的最优解。
环境科学
在控制系统设计中，经常需要找到使得系统性能达到最优的控制策略。例如，飞行器控制系统设计时需要找到使得飞行性能最优的控制策略。条件极值理论可以用来解决这类问题，通过找到使得性能指标函数取得极值的控制输入，来制定最优的控制策略。
控制系统设计
用到条件极值理论来解决一些实际问题。例如，在医学图像处理中，需要找到使得图像处理效果最佳的参数设置；在生物力学中，需要找到使得生物组织性能最优的参数设置。
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目录
条件极值的概念条件极值的求解方法条件极值的应用条件极值的扩展知识总结与展望
CONTENTS
条件极值的概念
条件极值是指在某些特定条件下，函数取得极值的点。
它是在一定约束条件下，函数表现出的最值状态。
这些特定条件可以是函数的变量范围、函数的性质以及其他相关限制。
在特定条件下，函数达到的极值点是唯一的。
总结词：雅可比矩阵和海色矩阵是用于描述函数在某点的切线信息的矩阵，对于求解条件极值问题具有一定的帮助。
总结词：函数的一阶导数和二阶导数是描述函数单调性和凹凸性的重要指标，对于求解条件极值问题具有指导意义。
函数的单调性和凹凸性是描述函数变化趋势的重要属性，对于求解条件极值问题具有指导意义。
总结词
VS
无约束条件的极值问题是指函数在没有限制条件的约束下达到极值的点。
详细描述
无约束条件的极值问题是在没有任何约束条件的情况下，寻找函数达到极值的点。这些问题通常使用导数来解决，通过求导数并找到导数为零的点来确定可能的极值点。然后，通过检查这些点的函数值和一阶导数值来确定是否达到极值。
总结词
约束条件的优化问题是指在满足某些约束条件下，寻找函数的最优解。
环境科学
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f y( x0,
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fx ( x0 , y0 )?1 ?
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§4 条 件 极 值
一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 三、应用举例
一、问题引入
例1 小王有400元钱，他决定用来购买两种急需物品： 计算机光盘和录音磁带，设他购买x张光盘，y盒录音磁 带达到最佳效果，效果函数为
U ( x, y) ? ln x ? ln y
设每张光盘8元，每盒磁带10元，
问他如何分配这400元以达到最佳效果．
??
x ( x0 ,
y0 )
?
0
为了方便记忆， 令
?
?
?
f y( x0, y0 )
? y( x0, y0 )
从而 z ? f ( x, y) 在条件 ? ( x, y) ? 0下可能的极值 .
必要条件
f x( x0, y0 ) ? ?? x ( x0, y0) ? 0
f y( x0, y0 ) ? ?? y(x0, y0 ) ? 0
例2 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试问长、 宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到最小? 若设长、宽、高各等于 x, y, z,
则 目标函数: S ? 2z( x ? y) ? x y; 约束条件: x yz ? V .
条件极值问题的特点是: 对自变量有附加条件。 解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法. 条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还能用来证 明或建立不等式.
为拉格朗日乘数 .
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定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数 f 与 ? k
(k ? 1,2, , m) 在区域 D上有连续一阶偏导数 . 若 D 的内点 P0( x1(0) , x2(0) , , xn(0) ) 是该条件极值问
题的极值点 , 且
? ??1
? ?
?
x1
Hale Waihona Puke rank ?个方程的解 :
? ? ?
?L ?xi
?
?f ?xi
?
m
? ?k
k? 1
?? k
?xi
? 0, i ? 1,2,
, n;
? ? ??
?L
?? k
?
? k ( x1, x2 ,
, xn ) ? 0, k ? 1,2,
, m.
说明 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说 明;
对一般情形的证明 , 在二十三章的 定理 23.19 给出了
0, 0,
??
? ( x, y) ? 0.
求其驻点，得出x , y, ? ，
其中x, y 就是可能的极值点坐标.
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拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况: 要找函数u=f(x , y , z , t)在条件
? ( x, y, z, t) ? 0 ? ( x, y, z, t) ? 0
? ( x0, y0) ? 0
我们引入函数 L( x, y,? ) ? f ( x, y) ? ?? ( x, y)
上述必要条件恰好是函数L(x,y,? )的驻点。 上页 下页 返回
由此产生了一个重要思想:
通过引入辅助函数 L( x, y,? ), 把条件极值问题转化
成为关于这个辅助函数的普通极值问题.
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三、应用举例
例1 求U ( x, y) ? ln x ? ln y 在8 x ? 10 y ? 400条件下的最值 .
解 F ( x, y, ? ) ? ln x ? ln y ? ? (8 x ? 10 y ? 400)
下的极值。 先构造函数
L( x, y, z,t) ? f ( x, y, z,t) ? ?1? ( x, y, z,t) ? ? 2? ( x, y, z,t) 求其驻点 可由 偏导数为零及条件解出 x, y, z,t, ?1,? 2 即得 x, y, z,t, 为可能的极值点坐标.
上页 下页 返回
问题的实质： 在条件 8 x ? 10 y ? 400
下求 U ( x, y) ? ln x ? ln y 的极值点．
很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义域上 自由变化, 而是要受到某些条件的约束，即极值点的 搜索范围要受到各自不同条件的限制. 条件极值：对自变量有附加条件的极值．上 页 下 页 返 回
? ?
??
m
?? ? x1
??1 ?
?
xn
? ?
? ? m,
?
?
m
? ?
? xn ?? P0
则存在
m
个常数
?
(0) 1
,?
(0) 2
,
,?
(0) m
,
使得
( x1(0) , x2(0) ,
,
xn(0)
,
?
(0) 1
,?
(0) 2
,
,?
(0) m
)
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为拉格朗日函数 (3) 的稳定点 , 即它是如下 n ? m
拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般
目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数
L( x1, x2 , , xn ,? 1, ? 2 , ,? m )
m
? f ( x1, x2, , xn ) ? ? ? k? k( x1, x2 , , xn ). (3)
k?1
称此函数为 拉格朗日函数 , 其中 ? 1,? 2, ,? m 称
即要找函数 z ? f ( x, y) 在条件 ? ( x, y) ? 0下可能的极值 .
先构造函数: L( x, y,? ) ? f ( x, y) ? ?? ( x, y)
可由
此函数称为拉格朗日乘数函数
?? ?
fx ( x, f y( x,
y) ? y) ?
?? ??
x ( x, y ( x,
y) ? y) ?
y ? ? ( x),
则z ? f ( x, ? ( x))在点x0处取得极值，
若z ?
f ( x, y)具有一阶连续偏导数
,
从而 dz dx
x? x0
?
0
即
fx ( x0, y0 )?1 ?
f
y
(
x0
,
y0
)
??? ?
?
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x y
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
) )
?? ?
?
0
fx(
x0 ,
y0 ) ?
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二、拉格朗日乘数法
要找函数 z ? f ( x, y) 在条件 ? ( x, y) ? 0下可能的极值 .
设z ? f ( x, y)在点( x0 , y0 )处取得极值，且? y ( x0 , y0 ) ? 0,
由隐函数定理知 ? ( x, y) ? 0在 U ( x0 , y0 )内确定函数