§4条件极值

0, 0,
??
? ( x, y) ? 0.
求其驻点，得出x , y, ? ，
其中x, y 就是可能的极值点坐标.
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拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况: 要找函数u=f(x , y , z , t)在条件
? ( x, y, z, t) ? 0 ? ( x, y, z, t) ? 0
下的极值。 先构造函数
L( x, y, z,t) ? f ( x, y, z,t) ? ?1? ( x, y, z,t) ? ? 2? ( x, y, z,t) 求其驻点 可由 偏导数为零及条件解出 x, y, z,t, ?1,? 2 即得 x, y, z,t, 为可能的极值点坐标.
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? ?
??
m
?? ? x1
??1 ?
?
xn
? ?
? ? m,
?
?
m
? ?
? xn ?? P0
则存在
m
个常数
?
(0) 1
,?
(0) 2
,
,?
(0) m
,
使得
( x1(0) , x2(0) ,
,
xn(0)
,
?
(0) 1
,?
(0) 2
,
,?
(0) m
)
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为拉格朗日函数 (3) 的稳定点 , 即它是如下 n ? m
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三、应用举例
例1 求U ( x, y) ? ln x ? ln y 在8 x ? 10 y ? 400条件下的最值 .
解 F ( x, y, ? ) ? ln x ? ln y ? ? (8 x ? 10 y ? 400)
为拉格朗日乘数 .
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定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数 f 与 ? k
(k ? 1,2, , m) 在区域 D上有连续一阶偏导数 . 若 D 的内点 P0( x1(0) , x2(0) , , xn(0) ) 是该条件极值问
题的极值点 , 且
? ??1
? ?
?
x1
rank ?
例2 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱, 试问长、 宽、高各等于多少时, 可使得表面积达到最小? 若设长、宽、高各等于 x, y, z,
则 目标函数: S ? 2z( x ? y) ? x y; 约束条件: x yz ? V .
条件极值问题的特点是: 对自变量有附加条件。 解决这类极值问题的方法叫做拉格朗日乘数法. 条件极值问题的实际应用非常广泛,而且还能用来证 明或建立不等式.
问题的实质： 在条件 8 x ? 10 y ? 400
下求 U ( x, y) ? ln x ? ln y 的极值点．
很多极值问题, 目标函数的自变量不能在其定义域上 自由变化, 而是要受到某些条件的约束，即极值点的 搜索范围要受到各自不同条件的限制. 条件极值：对自变量有附加条件的极值．上 页 下 页 返 回
即要找函数 z ? f ( x, y) 在条件 ? ( x, y) ? 0下可能的极值 .
先构造函数: L( x, y,? ) ? f ( x, y) ? ?? ( x, y)
可由
此函数称为拉格朗日乘数函数
?? ?
fx ( x, f y( x,
y) ? y) ?
?? ??
x ( x, y ( x,
y) ? y) ?
拉格朗日乘数法 对于前面定义中所设的一般
目标函数和约束条件组, 应引入辅助函数
L( x1, x2 , , xn ,? 1, ? 2 , ,? m )
m
? f ( x1, x2, , xn ) ? ? ? k? k( x1, x2 , , xn ). (3)
k?1
称此函数为 拉格朗日函数 , 其中 ? 1,? 2, ,? m 称
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二、拉格朗日乘数法
要找函数 z ? f ( x, y) 在条件 ? ( x, y) ? 0下可能的极值 .
设z ? f ( x, y)在点( x0 , y0 )处取得极值，且? y ( x0 , y0 ) ? 0,
由隐函数定理知 ? ( x, y) ? 0在 U ( x0 , y0 )内确定函数
个方程的解 :
? ? ?
?L ?xi
?
?f ?xi
?
m
? ?k
k? 1
?? k
?xi
? 0, i ? 1,2,
, n;
? ? ??
?L
?? k
?
? k ( x1, x2 ,
, xn ) ? 0, k ? 1,2,
, m.
说明 对于 n = 2, m = 1 的情形, 已在前面作了说 明;
对一般情形的证明 , 在二十三章的 定理 23.19 给出了
§4 条 件 极Baidu Nhomakorabea值
一、问题引入 二、拉格朗日乘数法 三、应用举例
一、问题引入
例1 小王有400元钱，他决定用来购买两种急需物品： 计算机光盘和录音磁带，设他购买x张光盘，y盒录音磁 带达到最佳效果，效果函数为
U ( x, y) ? ln x ? ln y
设每张光盘8元，每盒磁带10元，
问他如何分配这400元以达到最佳效果．
y ? ? ( x),
则z ? f ( x, ? ( x))在点x0处取得极值，
若z ?
f ( x, y)具有一阶连续偏导数
,
从而 dz dx
x? x0
?
0
即
fx ( x0, y0 )?1 ?
f
y
(
x0
,
y0
)
??? ?
?
? ?
x y
( (
x0 x0
, ,
y0 y0
) )
?? ?
?
0
fx(
x0 ,
y0 ) ?
??
x ( x0 ,
y0 )
?
0
为了方便记忆， 令
?
?
?
f y( x0, y0 )
? y( x0, y0 )
从而 z ? f ( x, y) 在条件 ? ( x, y) ? 0下可能的极值 .
必要条件
f x( x0, y0 ) ? ?? x ( x0, y0) ? 0
f y( x0, y0 ) ? ?? y(x0, y0 ) ? 0
f y( x0,
? y( x0,
y0 y0
) )
??
x ( x0 ,
y0 )
?
0
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fx ( x0 , y0 )?1 ?
f
y(
x0 ,
y0
)
??? ?
?
? ?
x( y(
x0 , x0 ,
y0 y0
) )
?? ?
?
0
f x ( x0 ,
y0 )
?
f y( x0,
? y( x0,
y0 ) y0 )
? ( x0, y0) ? 0
我们引入函数 L( x, y,? ) ? f ( x, y) ? ?? ( x, y)
上述必要条件恰好是函数L(x,y,? )的驻点。 上页 下页 返回
由此产生了一个重要思想:
通过引入辅助函数 L( x, y,? ), 把条件极值问题转化
成为关于这个辅助函数的普通极值问题.