8-3动能和动能定理(新教材教师用书)

7动能和动能定理知识点一动能(1)大小：E k＝12m v2.(2)单位：国际单位制单位为焦耳，1 J＝1N·m＝1kg·m2/s2.(3)标矢性：动能是标量，只有大小，没有方向，只有正值，没有负值．知识点二动能定理(1)内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．(2)表达式：W＝12m v22－12m v21.(3)适用范围：既适用于恒力做功，也适用于变力做功；既适用于直线运动，也适用于曲线运动．1．两个物体中，速度大的动能也大．()[答案]×2．某物体的速度加倍，它的动能也加倍．()[答案]×3．做匀速圆周运动的物体的动能保持不变．()[答案]√4．合外力不为零，物体的动能一定会变化．()[答案]×5．物体动能增加，则它的合外力一定做正功．()[答案]√6．合外力做功不为零，物体的动能一定变化．()[答案]√1．歼－15战机是我国自主研发的第一款舰载战斗机，如图所示：(1)歼－15战机起飞时，合力做什么功？速度怎么变化？动能怎么变化？(2)歼－15战机着舰时，动能怎么变化？合力做什么功？增加阻拦索的原因是什么？[提示](1)歼－15战机起飞过程中，不断加速，合力做正功，动能不断增大．(2)歼－15战机着舰过程是一个减速过程，则由E k＝12m v2可知动能E k不断减小，合力做负功，增加阻拦索的目的是加大阻力，从而减小停止过程的位移．2.如图所示，物体(可视为质点)从长为L、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止滑下．(1)物体受几个力作用？各做什么功？怎么求合力的功？(2)如何求物体到达斜面底端时的速度吗？能用多种方法求解物体到达斜面底端时的速度吗？哪种方法简单？[提示](1)物体受重力、支持力两个力作用．重力做正功，支持力不做功．合力做的功W合＝mgL sinθ.(2)可以用牛顿定律结合运动学公式求解，也可以用动能定理求解．用动能定理更简捷．要点一对动能、动能定理的理解1．动能的“三性”(1)相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系．(2)标量性：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值．(3)状态量：动能是表征物体运动状态的物理量，与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应．2．对动能定理的理解(1)表达式W＝ΔE k中的W为外力对物体做的总功．(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系．①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功．②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量．【典例】关于运动物体所受的合力、合力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是()A．合力为零，则合力做功一定为零B．合力做功为零，则合力一定为零C．合力做功越多，则动能一定越大D．动能不变化，则物体所受合力一定为零[思路点拨](1)合力是零对应结果是物体处于平衡状态，物体可能静止，也可能做匀速直线运动．(2)合力做的功对应结果是物体的动能的变化，合力做的功多则物体的动能变化大，合力做的功是零则物体的动能不变化．[解析]合力为零，则物体可能静止，也可能做匀速直线运动，这两种情况合力做功均为零，故A正确；合力做功为零则动能不变，合力不一定为零，如匀速圆周运动，故B、D错误；合力做功越多，动能变化越大，而不是动能越大，故C错误．[答案]A动能与速度的三种关系(1)数值关系：E k＝12m v2，速度v越大，动能E k越大．(2)瞬时关系：动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系．(3)变化关系：动能是标量，速度是矢量．当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化，当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变．[针对训练](多选)一质量为0.1 kg的小球，以5 m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中的速度变化和动能变化分别是()A．Δv＝10 m/s B．Δv＝0C．ΔE k＝1 J D．ΔE k＝0[解析]小球速度变化Δv＝v2－v1＝5 m/s－(－5 m/s)＝10 m/s，小球动能的变化量ΔE k＝12m v22－12m v21＝0.故A、D正确．[答案]AD易错警示1．速度是矢量，求同一直线上速度变化量时要取正方向．2．动能是标量，质量一定的物体，动能是否改变取决于速度的大小．要点二动能定理的应用1．应用动能定理解题的步骤(1)确定研究对象和研究过程(研究对象一般为单个物体)．(2)对研究对象进行受力分析(注意哪些力做功或不做功)．(3)确定合力对物体做的功(注意功的正负)．(4)确定物体的初、末动能(注意动能增量是末动能减初动能)．(5)根据动能定理列式、求解．2．动能定理的优越性【典例】如右图所示，一质量为2 kg的铅球从离地面2 m高处自由下落，陷入沙坑2 cm深处，求沙子对铅球的平均阻力．(取g ＝10 m/s2)[思路点拨][解析]解法一：(应用动能定理分段求解)铅球自由下落到沙面时的速度记为v，由动能定理得mgH＝12m v2－0铅球在沙中受到的平均阻力大小记为F f.由动能定理得mgh－F f h＝0－12m v2联立以上两式得F f＝H＋hh mg＝2020 N.解法二：(应用动能定理全程求解)铅球下落全过程都受重力，只有进入沙中铅球才受阻力F f.重力做功W G＝mg(H＋h)而阻力做功W f＝－F f h由动能定理得mg(H＋h)－F f h＝0－0代入数据得F f＝2020 N.[答案]2020 N(1)做变加速运动或曲线运动的物体常用动能定理研究.(2)当不涉及加速度、时间的计算时，做匀变速直线运动的物体也常用动能定理研究.(3)变力做功、多过程等问题可用动能定理分析、计算.)[针对训练] 如图所示，物体(可看成质点)沿一曲面从A 点无初速度下滑，当滑至曲面的最低点B 点时，下滑的竖直高度h ＝5 m ，此时物体的速度v ＝6 m/s.若物体的质量m ＝1 kg ，g ＝10 m/s 2，求物体在下滑过程中克服阻力所做的功．[解析] 物体在曲面上的受力情况为：重力、弹力、摩擦力，其中弹力不做功．设摩擦力做功为W f ，由A →B 用动能定理知mgh ＋W f ＝12m v 2－0 解得W f ＝－32 J故物体在下滑过程中克服阻力所做的功为32 J.[答案] 32 J易错警示应用动能定理的注意点1．明确研究对象、研究过程，找出初、末状态的速度情况．2．要对物体进行正确的受力分析(包括重力)，明确各力做功的大小及正负情况．3．若物体运动过程中包含几个不同物理过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一整体过程，列出动能定理方程求解．1．(多选)(对动能的理解)关于动能的理解，下列说法正确的是()A．动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，凡是运动的物体都具有动能B．动能总是正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化D．动能不变的物体，一定处于平衡状态[解析]动能是物体由于运动而具有的能量，所以运动的物体就，而v与参考系的选取有关，有动能，A选项正确．由于E k＝12m v2所以B正确．由于速度为矢量，当只有方向变化时其动能并不改变，故C正确．做匀速圆周运动的物体动能不变，但并不是处于平衡状态，故D选项错误．[答案]ABC2．(对动能定理的理解)对动能定理的理解正确的是()A．物体具有动能是由于力对物体做了功B．物体的动能发生变化是由于力对物体做了功C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动D．在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和[解析]功是能量发生变化的原因，功是能量转化的量度．所以物体的动能发生变化是由于合外力对物体做了功，且合外力做的功等于物体动能的变化，A错误，B正确．动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做功的情况，C错误．外力做的总功等于各个力单独做功的代数和，D错误．[答案]B3．(动能定理在直线运动中的应用)两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比m1∶m2＝1∶2，速度之比v1∶v2＝2∶1.当两车急刹车后，甲车滑行的最大距离为l1，乙车滑行的最大距离为l2，设两车与路面间的动摩擦因数相等，不计空气阻力，则() A．l1∶l2＝1∶2 B．l1∶l2＝1∶1C．l1∶l2＝2∶1 D．l1∶l2＝4∶1[解析]设两车与路面间的摩擦力为F1、F2，由动能定理可得：－F1l1＝0－12m1v21，－F2l2＝0－12m2v22；又知F1＝μm1g，F2＝μm2g，由以上四式联立得l1∶l2＝v21∶v22＝4∶1，故D项正确．[答案]D4．(动能定理在曲线运动中的应用)在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小()A．一样大B．水平抛的最大C．斜向上抛的最大D．斜向下抛的最大[解析]根据动能定理可知mgh＝12m v2末－12m v20，得v末＝2gh＋v20，又三个小球的初速度大小以及高度相等，则落地时的速度大小相等，A项正确．[答案]A思想方法之——应用动能定理求变力做功的方法1．变力做的功变力是指力的大小或方向发生变化的力，曲线运动中的力不一定是变力，直线运动中的力也未必是恒力．在某些问题中，由于力F 的大小、方向变化，不能用W ＝Fs cos α求出变力做的功，此时可由其做功的结果——动能的变化量来求变力做的功，即用动能定理W ＝ΔE k 求功．2．用动能定理求解变力做功的方法(1)分析物体的受力情况，确定做功过程中的各个力哪些力是恒力，哪些力是变力．如果是恒力，写出恒力做功的表达式；如果是变力，用相应功的符号表示出变力做的功．(2)分析物体的运动过程，确定其初、末状态的动能．(3)运用动能定理列式求解．【典例】 一个质量为m 的小球拴在绳的一端，另一端用大小为F 1的拉力作用，在光滑水平面上做半径为R 1的匀速圆周运动(如右图所示)，今将力的大小变为F 2，仍使小球在水平面上做匀速圆周运动，但半径变为R 2(R 2<R 1)，则小球运动的半径由R 1变为R 2的过程中拉力对小球做的功为多少？[解析] 小球运动的半径由R 1变为R 2时，半径变小，绳子的拉力虽为变力，但对小球做了正功，使小球的速度增大，动能发生了变化，根据动能定理有拉力对小球做的功为W F ＝12m v 22－12m v 21 ①，根据牛顿第二定律有F 1＝m v 21R 1，故有12F 1R 1＝12m v 21 ②，同理有12F 2R 2＝12m v 22 ③，由①②③得W F ＝12(F 2R 2－F 1R 1)．[答案]12(F2R2－F1R1)(1)变力做功，不能根据功的定义式直接求得，一般用动能定理求解；变力做的功跟其他力做功的代数和(或合外力做的功)等于物体动能的变化.(2)在分析此类题目时，根据运动状态进行受力分析，判定各力做功情况(特别是分清变力和恒力做功)及物体的初、末速度是解题的关键.[针对训练]一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F的作用下从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，如右图所示．则力F所做的功为()A．mgl cosθB．Fl sinθC．mgl(1－cosθ)D．Fl(1－sinθ)[解析]小球的运动过程是缓慢的，因而小球任何时刻均可看作是平衡状态，力F的大小在不断变化，F做功是变力做功．小球上升过程只有重力mg和F这两个力做功，由动能定理得－mg(l－l cosθ)＋W F＝0，所以W F＝mgl(1－cosθ)．[答案]C课后作业(十六)[基础巩固]1．一物体做变速运动时，下列说法中正确的是()A．合外力一定对物体做功，使物体动能改变B．物体所受合外力一定不为零C．合外力一定对物体做功，但物体动能可能不变D．物体的加速度可能为零[解析]物体做变速运动，可能是物体的速度方向变化，而大小不变，如匀速圆周运动，此时物体的动能不变，并无外力对物体做功，故选项A、C均错误；物体做变速运动，一定具有加速度，物体所受合外力一定不为零，故选项B正确，选项D错误．[答案]B2．关于动能定理，下列说法中正确的是()A．某过程中外力的总功等于各力做功的绝对值之和B．只要合外力对物体做功，物体的动能就一定改变C．在物体动能不改变的过程中，动能定理不适用D．动能定理只适用于受恒力作用而加速运动的过程[解析]公式W＝ΔE k中W为合外力做的功，也可以是各力做功的代数和，A错，B对；动能不变，只能说明合外力的总功W＝0，动能定理仍适用，C错；动能定理既适用于恒力做功，也可适用于变力做功，D项错误．[答案] B3．如右图所示，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g .质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )A.14mgR B.13mgR C.12mgR D.π4mgR [解析] 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有F N －mg ＝m v 2R ，F N ＝2mg ，联立解得v ＝gR ，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得mgR －W f ＝12m v 2，解得W f ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功12mgR ，C 正确．[答案] C4．如图所示，足球比赛时，某方获得一次罚点球机会，该方一名运动员将质量为m 的足球以速度v 0猛地踢出，结果足球以速度v 撞在球门高h 的门梁上而被弹出．现用g 表示当地的重力加速度，则此足球在空中飞往门梁的过程中克服空气阻力所做的功应等于( )A ．mgh ＋12m v 2－12m v 20 B.12m v 2－12m v 20－mgh C.12m v 20－12m v 2－mgh D ．mgh ＋12m v 20－12m v 2 [解析] 由动能定理得－W f －mgh ＝12m v 2－12m v 20，W f ＝12m v 20－12m v 2－mgh .[答案] C5．韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员．他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1900 J ，他克服阻力做功100 J ．韩晓鹏在此过程中( )A ．动能增加了1900 JB ．动能增加了2000 JC ．重力势能减小了1900 JD ．重力势能减小了2000 J[解析] 本题主要根据两个关系分析，即合外力对物体做的总功等于物体动能的变化量．重力做功与重力势能变化量的关系：W G ＝－ΔE p .由动能定理可知，ΔE k ＝1900 J －100 J ＝1800 J ，故A 、B 均错误．重力势能的减少量等于重力做的功，故C 正确、D 错误．[答案] C6．一辆汽车以v 1＝6 m/s 的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行s 1＝3.6 m ，如果以v 2＝8 m/s 的速度行驶，在同样的路面上急刹车后滑行的距离s 2应为( )A ．6.4 mB ．5.6 mC ．7.2 mD ．10.8 m[解析] 解法一：急刹车后，汽车做匀减速运动，且两种情况下加速度大小是相同的，由运动学公式可得－v 21＝－2as 1 ①，－v 22＝－2as 2 ②，两式相比得s 1s 2＝v 21v 22.故汽车滑行距离s 2＝v 22v 21s 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫862×3.6 m ＝6.4 m.解法二：急刹车后，水平方向上汽车只受摩擦阻力的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零．－Fs 1＝0－12m v 21 ①，－Fs 2＝0－12m v 22 ②， ②式除以①式得s 2s 1＝v 22v 21.故汽车滑行距离 s 2＝v 22v 21s 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫862×3.6 m ＝6.4 m. [答案] A[拓展提升]7．质量为m 的物体以初速度v 0沿水平面向左开始运动，起始点A 与一轻弹簧O 端相距s ，如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x ，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为( )A.12m v 20－μmg (s ＋x ) B.12m v 20－μmgx C ．μmgs D ．μmg (s ＋x )[解析] 由动能定理得－W －μmg (s ＋x )＝0－12m v 20，W ＝12m v 20－μmg (s ＋x )．[答案] A8．(多选)质量为m 的汽车在平直公路上行驶，发动机的功率P 和汽车受到的阻力F f 均恒定不变，在时间t 内，汽车的速度由v 0增大到最大速度v m ，汽车前进的距离为s ，则此段时间内发动机所做的功W 可表示为( )A ．W ＝PtB ．W ＝F f sC ．W ＝12m v 2m －12m v 20＋F f s D ．W ＝12m v 2m ＋F f s [解析] 由题意知，发动机功率不变，故t 时间内发动机做功W ＝Pt ，所以A 正确；车做加速运动，故牵引力大于阻力F f ，故B 错误；根据动能定理W －F f s ＝12m v 2m －12m v 20，所以C 正确，D 错误． [答案] AC9．如右图所示，竖直平面内的一半径R ＝0.5 m 的光滑圆弧槽BCD ，B 点与圆心O 等高，质量m ＝0.1 kg 的小球从B 点正上方H ＝0.75 m 高处的A 点自由下落，由B 点进入圆弧轨道，从D 点飞出，不计空气阻力，(取g ＝10 m/s 2)求：(1)小球经过B 点时的动能；(2)小球经过最低点C 时的速度大小v C ；(3)小球经过最低点C 时对轨道的压力大小．[解析] (1)小球从A 点到B 点，根据动能定理有：mgH ＝E k代入数据得：E k ＝0.75 J.(2)小球从A 点到C 点，设经过C 点速度为v C ，由动能定理有：mg (H ＋R )＝12m v 2C代入数据得v C ＝5 m/s. (3)小球在C 点，受到的支持力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有：F N －mg ＝m v 2C R ，代入数据解得F N ＝6 N由牛顿第三定律有：小球对轨道的压力F N ′＝6 N.[答案] (1)0.75 J (2)5 m/s (3)6 N10．如图所示，质量m ＝1 kg 的木块静止在高h ＝1.2 m 的水平台上，木块与平台间的动摩擦因数μ＝0.2，用水平推力F ＝20 N ，使木块产生位移l 1＝3 m 时撤去，木块又滑行l 2＝1 m 后飞出平台，求木块落地时速度的大小．(g 取10 m/s 2)[解析] 对全过程由动能定理得：Fl 1－μmg (l 1＋l 2)＋mgh ＝12m v 2－0，代入数据：v ≈11.3 m/s.[答案] 11.3 m/s[强力纠错]11．如右图所示，质量为m 的小车静止在水平光滑的平台上，系在小车上的绳子跨过光滑的定滑轮，由地面的人以速度v 0向右匀速走动，设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对小车所做的功为( )A.12m v 20 B.22m v 20 C.14m v 20 D ．m v 20[解析] 开始人在地面上平台的边缘时，物体的速度为零．当人向右行至绳与水平方向夹角为45°处时，物体有了一定的速度，根据运动的合成与分解知识，人向右的速度v 0可以分解为沿绳子方向的速度v 1和垂直于绳子方向的速度v 2，如右图所示，其中沿绳子方向的分速度v 1就等于小车的速度，则v 1＝v 0cos θ，①对小车，由动能定理得，在此过程中人对小车所做的功为W ＝12m v 21－0，②由①②得W ＝14m v 20. [答案] C12．(多选)质量为M 的木块放在光滑水平面上，质量为m 的子弹以速度v 0沿水平方向射入木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v 1运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前进了L ，子弹陷入的深度为Δs ，将子弹所受的阻力f 视为恒力，则下列关系式中正确的有( )A ．fL ＝12M v 21 B ．f Δs ＝12m v 21C ．f Δs ＝12m v 20－12(M ＋m )v 21 D ．f (L ＋Δs )＝12m v 20－12m v 21 [解析] 根据动能定理，对木块有fL ＝12M v 21－0 对子弹有－f (L ＋Δs )＝12m v 21－12m v 20 解得f Δs ＝12m v 20－12(M ＋m )v 21 选项A 、C 、D 正确．[答案] ACD。