新教材高中数学8.3简单几何体的表面积与体积(第2课时)球的体积和表面积课件新人教A版必修第二册
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高中数学必修2《球的体积和表面积》课件
教学目标
1.掌握球的体积、表面积公式及其应用. 2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用
数学的能力. 3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”
与“外切”的几何体问题.
重点难点
教学重点
球的体积和表面积的计算公式的应用
教学难点
解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题
R
R O
R
R O
用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面
设平行于大圆且与大圆的距离为 l 的平面截半球所得圆
面的半径为r,则r R2 l2 ,则截面面积 S1 πr 2 π(R2 l 2 )
设圆大环半径为R小圆半径为 l，面积 S2 πR2 πl2
所以 S1 S2
R
R
l lR
O
s3
s2
R
s1
O
V球
4
3
R3
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
...
1 3
R(S1
S2
S3
...)
1 3
RS球表
S球表=4πR2
s3 s2
R s1
O
知识要点
球的体积公式：
V 4 πR3 3
思考：球的体积、表面积的 求解由哪个量来决定的？
球半径R
球的表面积公式：
S 4πR2
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上.
1.掌握球的体积、表面积公式及其应用. 2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用
数学的能力. 3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”
与“外切”的几何体问题.
重点难点
教学重点
球的体积和表面积的计算公式的应用
教学难点
解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题
R
R O
R
R O
用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面
设平行于大圆且与大圆的距离为 l 的平面截半球所得圆
面的半径为r,则r R2 l2 ,则截面面积 S1 πr 2 π(R2 l 2 )
设圆大环半径为R小圆半径为 l，面积 S2 πR2 πl2
所以 S1 S2
R
R
l lR
O
s3
s2
R
s1
O
V球
4
3
R3
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
...
1 3
R(S1
S2
S3
...)
1 3
RS球表
S球表=4πR2
s3 s2
R s1
O
知识要点
球的体积公式：
V 4 πR3 3
思考：球的体积、表面积的 求解由哪个量来决定的？
球半径R
球的表面积公式：
S 4πR2
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上.
人教版高中数学- 球的体积和表面积(共32张PPT)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
Si
则球的体积为：V V1 V2 V3 Vn
4 R3
3
O
（四）球的表面积公式的推导
讨论：（1）如何求出每一个“准锥体”的体积呢？ 你会算吗可？以怎样处理呢？
展开讨论
“准锥体”的底面是球面的一部分， 底面是“曲”的。
O
Si
Si
hi
O
以平代曲 O
“准锥体”近似看为小棱锥,用小棱锥的体积作 为“准锥体”体积的近似值。
球的表面积和体积PPT课件
分析：长方体内接于球，则由球和长 方体都是中心对称图形可知，它们中 心重合，则长方体对角线与球的直径 相等。
略解： Rt B 1 D 1 D 中 :
( 2 R ) 2 3 2 42+5 2
D A
D A11 D A
C B
O C1
B1 C B
2R= 5 2
S 4 R 2 50
D A11
O C1
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力．
能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
重点难点
教学重点
➢球的体积公式及应用
➢球的表面积公式及应用
教学难点
➢球的表面积公式的推导 ➢球的体积公式的推导
分割 求近似和 化为准确和思想方法
一、创设情境
1、在太空中存在着多颗星球，科学家为了比较各个 星球的大小，需要计算它们的表面积和体积，但是星 球的形状不同于柱体、椎体、台体，而是近似于球体， 那么如何进行计算呢？
2、球队大小是与球的半径有关，如何用球半径来表 示球的体积和表面积？
①V 4 R3
3
②S 4R2
六、布置作业
教材习题1.3B组3.
1) ]
1
1
(1 )(2 )
V半球 R 3 [1
n
n]
6
第三步：化为准确和
当n 时, 1 0. n
V半 球
2 R 3
3
从 而V 4 R 3 .
3
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3
新教材高中数学第八章立体几何初步8.3第2课时球的表面积与体积课件
简单几何体的表面积与体积
第2课时 球的表面积与体积
课标定位
素养阐释
1.了解球体的表面积与体积公式的推导过程.
2.掌握球体的表面积与体积公式,能用公式解决
简单的实际问题.
3.用类比、联系的运动变化思想推导公式,感受
数学运算与几何直观的过程,感受球体的表面积
与体积公式在生产活动中的数学建模.
自主预习·新知导学
【例1】 若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径
相等,求圆锥侧面积与球面面积之比.
解:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,母线长为 l,球的半径为 R,
由题意得
·
=
= ,
,
2
3,解得
π(2R)
·
h=
πR
R=h,r=2h,
则 l= + = h,
解析:计算得
3
3
2
V 甲=πa ,S 甲=4πa ,V 乙=πa ,S 乙=πa2,
故 V 甲=V 乙且 S 甲>S 乙.
答案:C
探究二 与球有关的切接问题
【例2】 若一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则
圆锥的侧面面积和球的表面积之比为(
)
A.4∶3
B.3∶1
C.3∶2
D.9∶4
由 S 圆锥侧=πrl=π×2h× h=2 πh2,S 球=4πR2=4πh2,
圆锥侧
得
=
=
球
.
有关球体的体积与表面积的问题
(1)求球的体积或表面积时,必须知道半径R或者通过条件能
第2课时 球的表面积与体积
课标定位
素养阐释
1.了解球体的表面积与体积公式的推导过程.
2.掌握球体的表面积与体积公式,能用公式解决
简单的实际问题.
3.用类比、联系的运动变化思想推导公式,感受
数学运算与几何直观的过程,感受球体的表面积
与体积公式在生产活动中的数学建模.
自主预习·新知导学
【例1】 若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径
相等,求圆锥侧面积与球面面积之比.
解:设圆锥的底面半径为 r,高为 h,母线长为 l,球的半径为 R,
由题意得
·
=
= ,
,
2
3,解得
π(2R)
·
h=
πR
R=h,r=2h,
则 l= + = h,
解析:计算得
3
3
2
V 甲=πa ,S 甲=4πa ,V 乙=πa ,S 乙=πa2,
故 V 甲=V 乙且 S 甲>S 乙.
答案:C
探究二 与球有关的切接问题
【例2】 若一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则
圆锥的侧面面积和球的表面积之比为(
)
A.4∶3
B.3∶1
C.3∶2
D.9∶4
由 S 圆锥侧=πrl=π×2h× h=2 πh2,S 球=4πR2=4πh2,
圆锥侧
得
=
=
球
.
有关球体的体积与表面积的问题
(1)求球的体积或表面积时,必须知道半径R或者通过条件能
高中数学球体的体积和表面积课件
高中数学必修二
空间集合体
球体的体积和表面积
高中数学
新知探究
祖暅原理： 两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
h
h
新知探究
球的体积公式的推导 先来研究半球（半径为R）的体积计算。为了应用祖暅原理，我们需要找到一个能够求体积的， 使它和半球高度一样，并且用任何一个水平面去截它们时，得到的截面面积都相等的几何体。
V
V
B1 B
O1 A1
O
A
B1 B
O1 h
Ox
研究旋转体问题时注意使用轴截面
A1
A R
随堂练习
4、圆柱形容器内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球浸没于容器的水中。若同时取
5
出这两个小球，则容器中的水面将下降 3
cm.
5、半径为R的三个小球两两外切放在桌面上，与这三个小球都外切的第四个小球与桌面也相切， 求这个小球的半径。
解：设球的内径是2xcm，那么球的质量为：
[ 4 (50)3 4 x3] 7.9 145000.
3 23
x3 11239.42，解得 x 22.4.
答：钢球是空心的．其内径约为45cm．
新知探究
例2、 如图表示一个用鲜花作成的花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
空间集合体
球体的体积和表面积
高中数学
新知探究
祖暅原理： 两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
h
h
新知探究
球的体积公式的推导 先来研究半球（半径为R）的体积计算。为了应用祖暅原理，我们需要找到一个能够求体积的， 使它和半球高度一样，并且用任何一个水平面去截它们时，得到的截面面积都相等的几何体。
V
V
B1 B
O1 A1
O
A
B1 B
O1 h
Ox
研究旋转体问题时注意使用轴截面
A1
A R
随堂练习
4、圆柱形容器内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球浸没于容器的水中。若同时取
5
出这两个小球，则容器中的水面将下降 3
cm.
5、半径为R的三个小球两两外切放在桌面上，与这三个小球都外切的第四个小球与桌面也相切， 求这个小球的半径。
解：设球的内径是2xcm，那么球的质量为：
[ 4 (50)3 4 x3] 7.9 145000.
3 23
x3 11239.42，解得 x 22.4.
答：钢球是空心的．其内径约为45cm．
新知探究
例2、 如图表示一个用鲜花作成的花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
高二数学球的体积与表面积-PPT课件
3 2 2 2 R 1 2 ( n 1 ) [ n ]
n
2 n
3 R 1( n 1 ) n ( 2 n 1 ) [ n ]
n
2 n
6
1( n 1 )( 2 n 1 ) R [ 1 2 ] n 6
3
§9.11球的体积和表面积
那么圆的面积就近似等 于R2 .
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
课堂小结
课堂作业 封底
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
V半 球 ?
3 3 V圆 柱 R 3
2 3 4 3 猜 : V 测 R , 从 V 而 R . 半球 3 3
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新 R 和 R 的矩形 . 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是
n
2 n
3 R 1( n 1 ) n ( 2 n 1 ) [ n ]
n
2 n
6
1( n 1 )( 2 n 1 ) R [ 1 2 ] n 6
3
§9.11球的体积和表面积
那么圆的面积就近似等 于R2 .
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
课堂小结
课堂作业 封底
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
V半 球 ?
3 3 V圆 柱 R 3
2 3 4 3 猜 : V 测 R , 从 V 而 R . 半球 3 3
§9.11球的体积和表面积
山东省临沂一中
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新 R 和 R 的矩形 . 拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是
《球的表面积和体积》课件
球的体积公式
推导过程
利用积分计算，已知球的半径r，体积可表示为V = (4/3)πr³。
应用举例
通过体积公式，可以计算球体的容积，如水球、篮 球、地球等。
球的表面积公式
推导过程
通过对球体进行分割并求和的方法，球的表面积公 式为S = 4πr²。
应用举例
利用表面积公式，可以计算球体的表面积，如足球、 地球等。
比较表面积和体积
实例分析
比较具有相同体积的球体，但却具有不同表面积 的特点，例如小球和大球之间的关系。
球的变形对比
探索球体变形对表面积和体积的影响，比如椭球 和球体之间的对比。
延伸思考
三维几何问题
如何应用球的表面积和体积的知识解决其他三维 几何问题，例如球的切割、组合等。
实际应用场景
探索球的表面积和体积在实际生活中的应用，如 建筑、工程和科学研究中的应用。
《球的表面积和体积》 PPT课件
探索球体的奇妙之处，从定义和性质开始，一步一步深入了解球的表面积和 体积的计算公式，并探讨实际应用场景。
球的定义和性质
定义
球是由无数个离心并以相同半径旋转的点所构成 的，是一种几何体。它是完全确定的，没有面， 没有边。
性质
球体具有对称性，无论从哪个角度观察，都是完 全相同的。此外，球是能够容纳最大体积的几何 形状。
总结
1 知识点回顾
通过课程的学习，我们深入了解了球的定义、性质、体积公式、表面积公式，以及与其 他形状的比较。
2 学习感悟
通过探索球的表面积和体积的奥秘，我们对三维几何有了更深入的理解，也拓展了实际 应用的思维。
人教版数学必修第二册8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件
(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表
面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
跟踪训练
1. (1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的
364
体积和为________；
3
设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得
− =1
R＝4
42 − 4 2 = 28
r＝3
∵棱长为a，∴BE＝
3
2
3
a× ＝ a.
2
3
3
∴在Rt△ABE中，AE＝
2
−
2
3
＝
6
a.
3
设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝
6
6 2
3
a，∴S球＝4π×( a) ＝ πa2.
4
4
2
2. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个
球面上，则该球的表面积为( B )
∴R＝2.
4
3
∴V＝ πR3＝
32
.
3
5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个
半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这
时容器中水的深度．
由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC
3
2
12
总结提升
1.正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的
2
半径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图．
总结提升
2．长方体的外接球
球的体积和表面积精品课件
化学课件：./kejian/huaxue/ 生物课件：./kejian/shengwu/
地理课件：./ke j ia n/dili/
历史课件：./ke j ia n/lishi/
D．36π
解析：选 D. V＝43π×33＝36π.
若一个球的直径为 2，则此球的表面积为(
)
A．2π
B．16π
C．8π
D．4π
英语课件：./kejian/y ingy u/ 美术课件：./kejian/meishu/
科学课件：./kejian/kexue/ 物理课件：./kejian/wuli/
化学课件：./kejian/huaxue/ 生物课件：./kejian/shengwu/
地理课件：./ke j ia n/dili/
PPT教程： ./powerpoint/
资料下载：./ziliao/
个人简历：./j ia nli/
试卷下载：./shiti/
教案下载：./j ia oa n/
手抄报：./shouchaobao/
P P T课件：./ke j ia n/
语文课件：./kejian/y uwen/ 数学课件：./kejian/shuxue/
P P T课件：./ke j ia n/
语文课件：./kejian/y uwen/ 数学课件：./kejian/shuxue/
英语课件：./kejian/y ingy u/ 美术课件：./kejian/meishu/
科学课件：./kejian/kexue/ 物理课件：./kejian/wuli/
化学课件：./kejian/huaxue/ 生物课件：./kejian/shengwu/
英语课件：./kejian/y ingy u/ 美术课件：./kejian/meishu/
新版高中数学必修2课件：8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
解析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R. ∵V球＝43πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3， ∴V球:V圆柱＝43πR3:2πR3＝23. 答案：2:3
易错辨析 对球的“切、接”的结构特点认识模糊致错 例5 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在 一个球面上，则该球的表面积为( ) A．πa2 B.73πa2 C.74πa2 D．5πa2
解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，如图． 设O1，O分别为上，下底面的中心，且球心O2为OO1的中点， 连接AO交BC于D点，球半径为R.
∵AD＝ 23a，AO＝23AD＝ 33a，OO2＝a2， ∴R2＝AO22＝13a2＋14a2＝172a2. ∴S球＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2.故选B. 答案：B
S底＝_π_(r_′__2_＋__r2) S侧＝π_(_r_′__＋__r_)l S＝4πR2 S表＝π_(_r_′__2＋__r_2)＋π(r＋r′)l
要点二 体积公式 图形
体积公式
圆 柱
底面半径为r，高为h，V＝_π_r_2_h____
圆 锥
底面半径为r，高为h，V＝__13_π_r_2_h__
高中数学必修二
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、 球的表面积和体积
要点一 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
圆柱(底面半 径为
圆台(上、下 底面半径分别 球半径为 为r′，r，母 R
线长为l)
侧面展 开图
底面积 S底＝__2_π_r2__ S底＝__π_r_2__ 侧面积 S侧＝__2_π_rl__ S侧＝__π_r_l__ 表面积 S表＝_2_π_r(_r_＋__l)_ S表＝_π_r(_r_＋__l)
16π C. 3
64π D. 3
易错辨析 对球的“切、接”的结构特点认识模糊致错 例5 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在 一个球面上，则该球的表面积为( ) A．πa2 B.73πa2 C.74πa2 D．5πa2
解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，如图． 设O1，O分别为上，下底面的中心，且球心O2为OO1的中点， 连接AO交BC于D点，球半径为R.
∵AD＝ 23a，AO＝23AD＝ 33a，OO2＝a2， ∴R2＝AO22＝13a2＋14a2＝172a2. ∴S球＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2.故选B. 答案：B
S底＝_π_(r_′__2_＋__r2) S侧＝π_(_r_′__＋__r_)l S＝4πR2 S表＝π_(_r_′__2＋__r_2)＋π(r＋r′)l
要点二 体积公式 图形
体积公式
圆 柱
底面半径为r，高为h，V＝_π_r_2_h____
圆 锥
底面半径为r，高为h，V＝__13_π_r_2_h__
高中数学必修二
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、 球的表面积和体积
要点一 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
圆柱(底面半 径为
圆台(上、下 底面半径分别 球半径为 为r′，r，母 R
线长为l)
侧面展 开图
底面积 S底＝__2_π_r2__ S底＝__π_r_2__ 侧面积 S侧＝__2_π_rl__ S侧＝__π_r_l__ 表面积 S表＝_2_π_r(_r_＋__l)_ S表＝_π_r(_r_＋__l)
16π C. 3
64π D. 3
高中数学球的体积和表面积课件课件
V柱体 = S h
S `= S
V台体 =
h S + SS ` + S `
S `=
(
)
V锥体 =
Sh
运用类似的方法我们还能证实这样一个有趣的结论 : 一个底面半径和高都等于 R 的圆柱 , 挖去一个以上底 面为底面, 下底面圆心为顶点的圆锥后, 所得几何体的 体积与一个半径为R的半球的体积相等 (图 − − ). 由此得到 V球 = π R ⋅ R − π R R = π R , 所以
棱柱 (圆柱 )可由多边形 (圆)沿某一方向平移得到 ,因此 , 两个底面积相等、 两个底面积相等、高也 相等的棱柱 (圆柱 )应该具有相 等的体积 (图 − − ).
恒 恒 这一点可用祖日 原理来说明.有关祖日 原理的介绍见阅读材料 .
h
h
S
S
S
图 − −
柱体 (棱柱、圆柱 )的体积等于它的底面积S和高h的 积, 即 V柱体 = S h .
V= .
≈ .
(mm ) =
(个).
.
(cm ).
约有毛坯
. ×
÷( . × .
个.
)≈
答 这堆毛坯约有
例 图 − − 是一个奖杯的三视图 (单位 : cm ), 试画 出它的直观图 , 并计算这个奖杯的体积 ( 精确到 . cm ).
解 采用斜二测画法 .先画底座, 这是一个正四棱台; 再画杯身,是长方体; 最后画出球体.如图 − − .
R
O
图 − −
这时, 这些 "准锥体" 的 高趋向于球半径 R, 底 面积 S , S , S ,⋅ ⋅ ⋅的和趋 向于球面积 , 所有这些" 准锥体"的体积和趋向 于球体积,因此
球体的表面积与体积-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
典例精析
题型二：球的截面问题
球的截面问题
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面；
性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．
性质3: 球心到截面的距离与球的半径及截面的
半径的关系: = −
O1
例4.已知知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这
两个截面间的距离为________．
探究新知
②再探究球的表面积公式
球的体积，等于所有小棱锥的体积和
球 = + + ⋯ +
球 =
+
+ ⋯+
= ( + + ⋯ + )
= 球
∴ 球 =
球
=
×
=
极限思想
02
球体的表面积和体积公式的推导
然后代入体积或表面积公式求解.
2.关键要素：半径和球心是球的关键要素，把握住了这两点，计算球的
表面积或体积的相关题目也就轻松自如了.
典例精析
题型二：球的截面问题
例3.一平面截一球得到直径为 的圆面，球心到这个平面的距离是 ，则
该球的体积是( ).
A.
B.
应用新知
题型一：球的表面积和体积
例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是. ，
圆柱高. .如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要. 涂料，
那么给个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(取. )
解：一个浮标的表面积为2 × 0.15 × 0.6 + 4 × 0.152 = 0.8478(2 )，
数学人教A版必修第二册8.3.3球的表面积和体积课件
解:一个浮标的表面积为 2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2),
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478×0.5×1000=423.9(kg).
分割
以直代曲
取极限
……
n=6
作圆的内接正六，十二边形，…
思想方法：
思考：在小学，我们学习了圆的面积公式，你知道这个公式是如何推出的吗？ 是谁想出来这种方法的呢？
n=12
第一步：分割将球O 的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．
第二步：以直代曲当n 越大时，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径R．设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是
球的接与切
(2R)2=a2+b2+c2(a,b,c是长方体的棱长)
解：
作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体的体对角线长，即
∴ 球的表面积为
14π
结论:
结论：
A
解：
作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体的棱长，即
2R = 2，∴R = 1.
∴ 球的体积为
练习 如图示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比.
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径也为R，高为2R.
即球与圆柱的体积之比为2:3.
外接球：将几何体包围，且几何体的顶点和弧面在此球上
内切球：球体在几何体里面，且球体与几何体每个面均相切。
棱切球：球体与几何体每条棱均相切。
结论：正方体内切球的直径等于正方体棱长。
切点：各个面的中心.球心：正方体的中心.直径：相对两个面中心连线.
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478×0.5×1000=423.9(kg).
分割
以直代曲
取极限
……
n=6
作圆的内接正六，十二边形，…
思想方法：
思考：在小学，我们学习了圆的面积公式，你知道这个公式是如何推出的吗？ 是谁想出来这种方法的呢？
n=12
第一步：分割将球O 的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．
第二步：以直代曲当n 越大时，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径R．设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是
球的接与切
(2R)2=a2+b2+c2(a,b,c是长方体的棱长)
解：
作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体的体对角线长，即
∴ 球的表面积为
14π
结论:
结论：
A
解：
作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体的棱长，即
2R = 2，∴R = 1.
∴ 球的体积为
练习 如图示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比.
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径也为R，高为2R.
即球与圆柱的体积之比为2:3.
外接球：将几何体包围，且几何体的顶点和弧面在此球上
内切球：球体在几何体里面，且球体与几何体每个面均相切。
棱切球：球体与几何体每条棱均相切。
结论：正方体内切球的直径等于正方体棱长。
切点：各个面的中心.球心：正方体的中心.直径：相对两个面中心连线.
球的表面积和体积(第2课时) 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
A.64
64
B.
3
C.32
).
32
D.
3
答案：D.
解：设球的半径为，则由题意可知42 = 16，故 = 2.
4
3
所以球的体积 = 3 =
32
.故选D.
3
练习
例1.(2)已知球的体积为
500
，则它的表面积为_____.
3
答案：100.
4
解：设球的半径为，由已知得 3
如图所示.在∆1 中，1 = 5 ，1 = 2 ，
∴球的半径 = =
4
3
22 + ( 5)2 = 3()，
∴球的体积 = × 33 = 36(3 ).故选B.
练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 的两个平行截面，它们的面积分别为49 2 和
性质知1 //2 ，且1 ，2 为两截面圆的圆心，则1 ⊥ 1 ，
2 ⊥ 2 .设球的半径为，
∵ ∙ 2 2 = 49，∴2 = 7 .同理，得1 = 20 .
设1 = ，则2 = (9−) .
在∆1 中，2 = 2 + 400.在∆2 中，2 = (9−)2 +49，
2
=
3
，
3
=
1
，所以球的半径
2
3
1
7 2
2
2
) +( ) = ，故球
3
2
12
=
42
=
= 满足
7
2 .故选B.
3
练习
例3.(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该
圆锥的体积和此球体积的比值为________.
64
B.
3
C.32
).
32
D.
3
答案：D.
解：设球的半径为，则由题意可知42 = 16，故 = 2.
4
3
所以球的体积 = 3 =
32
.故选D.
3
练习
例1.(2)已知球的体积为
500
，则它的表面积为_____.
3
答案：100.
4
解：设球的半径为，由已知得 3
如图所示.在∆1 中，1 = 5 ，1 = 2 ，
∴球的半径 = =
4
3
22 + ( 5)2 = 3()，
∴球的体积 = × 33 = 36(3 ).故选B.
练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 的两个平行截面，它们的面积分别为49 2 和
性质知1 //2 ，且1 ，2 为两截面圆的圆心，则1 ⊥ 1 ，
2 ⊥ 2 .设球的半径为，
∵ ∙ 2 2 = 49，∴2 = 7 .同理，得1 = 20 .
设1 = ，则2 = (9−) .
在∆1 中，2 = 2 + 400.在∆2 中，2 = (9−)2 +49，
2
=
3
，
3
=
1
，所以球的半径
2
3
1
7 2
2
2
) +( ) = ，故球
3
2
12
=
42
=
= 满足
7
2 .故选B.
3
练习
例3.(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该
圆锥的体积和此球体积的比值为________.
新人教版高中数学必修2课件：8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
2.V球=
4
πR3(R是球的半径)
3
微练习
已知球的表面积是16π,则该球的体积为
答案
.
32
3
解析设球的半径为 R,则由题意可知 4πR2=16π,解得 R=2.所以球的体积
4
3 32
V=3πR = 3 .
课堂篇 探究学习
探究一
圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.求
们将此原理称为“祖氏原理”或“祖暅原理”更为恰当.
知识点拨
知识点一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
几何体 侧面展开图
底面积、侧面积、表面积
底面积:S底=πr2;
圆柱
侧面积:S侧=2πrl;
表面积:S=2πr2+2πrl
底面积:S底=πr2;
圆锥
侧面积:S侧=πrl;
表面积:S=πr2+πrl
几何体 侧面展开图
.
2
在 Rt△C'CO 中,由勾股定理得 CC'2+OC2=OC'2,
即a +
2
从而 V
2
2
2
=R
6
,所以 R= 2 a.
2
2π 3 2π
R=
半球=
3
3
因此 V 半球∶V 正方体=
6
2
3
=
6π 3
a ∶a3=
2
6π 3
a .又 V
2
6π∶2.
=a3,
正方体
(方法二)将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同
(1)V柱体=Sh(S为柱体的底面积,h为柱体高);
4
πR3(R是球的半径)
3
微练习
已知球的表面积是16π,则该球的体积为
答案
.
32
3
解析设球的半径为 R,则由题意可知 4πR2=16π,解得 R=2.所以球的体积
4
3 32
V=3πR = 3 .
课堂篇 探究学习
探究一
圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,AD=4.求
们将此原理称为“祖氏原理”或“祖暅原理”更为恰当.
知识点拨
知识点一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
几何体 侧面展开图
底面积、侧面积、表面积
底面积:S底=πr2;
圆柱
侧面积:S侧=2πrl;
表面积:S=2πr2+2πrl
底面积:S底=πr2;
圆锥
侧面积:S侧=πrl;
表面积:S=πr2+πrl
几何体 侧面展开图
.
2
在 Rt△C'CO 中,由勾股定理得 CC'2+OC2=OC'2,
即a +
2
从而 V
2
2
2
=R
6
,所以 R= 2 a.
2
2π 3 2π
R=
半球=
3
3
因此 V 半球∶V 正方体=
6
2
3
=
6π 3
a ∶a3=
2
6π 3
a .又 V
2
6π∶2.
=a3,
正方体
(方法二)将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同
(1)V柱体=Sh(S为柱体的底面积,h为柱体高);
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A． 6π
B．4 3π
C．4 6π
D．6 3π
解析：选 B.如图，设截面圆的圆心为 O′， M 为截面圆上任一点， 则 OO′＝ 2，O′M＝1. 所以 OM＝ （ 2）2＋1＝ 3. 即球的半径为 3. 所以 V＝43π( 3)3＝4 3π.
与球有关的切、接问题
角度一 球的外切正方体问题
将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则
球的体积与表面积的求法及注意事项 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径 R 或者通过条件能求 出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的 表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
1．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 ________．
C．163π
D．643π
(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两 条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283π，则它的表面积是 ()
A．17π C．20π
B．18π D．28π
【解析】 (1)设球的半径为 R，则由已知得 V＝43πR3＝323π，解得 R＝2. 所以球的表面积 S＝4πR2＝16π. (2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体， 设球的半径为 r， 故78×43πr3＝238π， 所以 r＝2，表面积 S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选 A. 【答案】 (1)B (2)A
点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________． 【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝ 12＋22＋32＝ 14， 所以球的表面积 S＝4πR2＝14π. 【答案】 14π
角度三 球的内接正四面体问题 若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的
球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆， 将问题转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r， 球心到截面的距离 d 构成的直角三角形，即 R2＝d2＋r2.
平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心
O 到平面 α 的距离为 2，则此球的体积为( )
A．2π
B．16π
C．8π
D．4π
解析：选 D．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表
面积 S＝4πR2＝4π.
把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的
() A．2 倍
B．2 2倍
C． 2倍
D．3 2倍
解析：选 B．设原球的半径为 R，表面积扩大 2 倍，则半径扩大 2 倍，体积扩大 2 2倍．
球的截面问题
如图，有一个水平放置的透明无盖的正方
体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再
向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为
6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )
A.5030π cm3
B.8636π cm3
1 372π C. 3
cm3
2 048π D. 3
cm3
【解析】 如图，作出球的一个截面，则 MC＝8 －6＝2(cm)， BM＝12AB＝12×8＝4(cm)． 设球的半径为 R cm，则 R2＝OM2＋MB2 ＝(R－2)2＋42， 所以 R＝5， 所以 V 球＝43π×53＝5030π (cm3)． 【答案】 A
1．球的表面积 设Байду номын сангаас的半径为 R，则球的表面积 S＝_4_π_R__2___．
2．球的体积 设球的半径为
R，则球的体积
V＝__43_π_R__3 __．
■名师点拨 对球的体积和表面积的几点认识
(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定 R 都有唯一确定的 S 和 V 与之对应，故表面积和体积是关于 R 的函 数． (2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与 前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的． (3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积 的 4 倍．
球面上，求球的表面积．
【解】 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 a ＝ 2x，由题意 2R＝ 3x＝ 3× 22a＝ 26a， 所以 S 球＝4πR2＝32πa2.
第八章 立体几何初步
第 2 课时 球的体积和表面积
第八章 立体几何初步
考点 球的表面 积与体积 与球有关 的组合体
学习目标 记准球的表面积和体积公式， 会计算球的表面积和体积 能解决与球有关的组合体的 计算问题
核心素养 数学运算 数学运算、 直观想象
问题导学 预习教材 P117－P119 的内容，思考以下问题： 1．球的表面积公式是什么？ 2．球的体积公式什么？
解析：设此球的半径为 R，则 4πR2＝43πR3，R＝3. 答案：3
2．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积和
为________． 解析：设大、小两球半径分别为 R，r，
则R4π－Rr2－＝41π，r2＝28π，所以Rr＝＝34. ，
所以体积和为 43πR3＋43πr3＝3634π. 答案：3634π
如果三个球的半径之比是 1∶2∶3，那么最大球的表面积是其 余两个球的表面积之和的________倍． 解析：设小球半径为 1，则大球的表面积 S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，3260ππ＝95. 答案：95
球的表面积与体积
(1)已知球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．(√ ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( √ ) (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V＝R3S.(√ )
半径为 3 的球的体积是( )
A．9π
B．81π
C．27π
D．36π
解析：选 D. V＝43π×33＝36π. 若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( )
该球的体积为( )
4π A. 3
2π B. 3
C.
3π 2
D.π6
【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特 征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径 为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝43π. 【答案】 A
角度二 球的内接长方体问题 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶