南京师范近十二年数学分析考研题

设 f (x) 在[a,b] 上二阶可导，且满足 i） f ′′(x) + f ′(x) − kf (x) = 0 （k>0，为常数
ii) f (a) = f (b) = 0
则在[a,b] 上 f (x) ≡ 0
五．（10 分）
设 f (x) = (1 + 1 ) x+α , (α ≥ 1 ) ，证明 f (x) 在 (0,+∞) 内单调递减。
n→∞ [ 0 ,1]
1 + nx 2
n
e
（15 分）
十．设在可侧集 X 上， f n 依测度收敛于 f ，且 f n ≤ g ，a,e 于 X，试证： f (x) ≤ g(x) ，
a,e 于 X （15 分）
南京师范大学 2004 年数学分析考研试题
一、（每小题 7 分，共 28 分）计算或证明下列极限：
{ } { } （2）为使 f (an ) 在[0,1]上一致收敛，当且仅当 an 满足什么条件？
∫ ∫ { } 1
1
（3）为使 lim n→∞
0 fn (x)dx =
0
lim
n→∞
fn (x)dx ，当且仅当
an
满足什么条件？
∑ 六、（15
分）证明级数
∞ n=1
x
+ n(−1)n x2 + n2
处必不可微。
4． 设
fn,n
= 1,2....均是可测集 X 上几乎处处可测函数，若 lim mX [ n→∞
fn
−
f
> 0] = 0 则
必有 f n 依测度收敛于 f 。
5． 设 mX < ∞ ，且 f (x), g(x) 在 X 上均是有界可测函数，且 f (x) < g(x) ，则必有
∫X fdx < ∫X gdx
二．求下列极限（5 分×3）
1．
lim
n→∞
tan
1 n
⋅
ln
n nn
1
2． lim⎜⎛ 1 + tan x ⎟⎞ sin2 x x→0⎝ 1 + sin x ⎠
x2
∫ f (t)dt
3． lim 0
，其中 f (x) 连续可微， f (0) = 0, f ′(0) ≠ 0
x→0 x
x2 ∫ f (t)dt
y y2
dy
，其中光滑分段曲线
c
有界单连通区域
D
的边界取正向，原
点为 D 的内点。
南京师范大学 2002 年数学分析考研试题
一．（8 分）
证明：不收敛的有界数列至少有两个收敛于不同极限的子列。
二．（15 分）
求极限：
1． lim x[(1 + 1 ) x − e]
x→+∞
x
2． lim nn n→∞ (n!)2
的和函数在 (−∞, +∞) 上的连续性.
七、（15 分）设 u(x) 是由方程 u = f (x, y), g(x, y, z) = 0, h(x, z) = 0 所确定，且
∂h ≠ 0, ∂g ≠ 0 ．试求 du ．
∂z ∂y
dx
∫∫ 八、（15 分）设[a]表示 a 的最大整数部分，计算
[ y − x2 ]dxdy ．
L
x2
x
xx x
L
是沿
y = 4π 2 (x − 3 )2 从 A( 1 ,1) 到 B( 2 ,1) （12 分）
2π
π
π
八．设偶函数 f (x) 在[−1,1] 上具有二阶连续的导函数，证明：1. f ′(0) = 0 ；
∑ 2． ∞ [ f ( 1 ) − f (0)] 绝对收敛。（10 分）
1
x t 2 dt = 1，求 a,b。
x→0 bx − sin x 0 a + 3t
六．（10 分） 讨论下列级数的敛散性：
∑ 1）。
(−1) b −1
p−1
nn
∑ ∫ 2）。 ∞ (n+1)π sin 2 x dx
n=1 nπ
x
七．（8 分）
∑ 讨论函数 f (x) = ∞ sgn(x − n) 的连续性
lim
n→∞
f (xn ) =
f
(a)
，则
lim
n→∞
xn
= a；
4．讨论二元函数
f
(x,
y)
=
x2 y2
x2 y2 + (x −
y)2
在点 (0, 0) 处的重极限与累次极限.
x
∫ 二、（16 分）设 f (x) 在 (a,b) 内连续，且满足： f (x) f (t)dt = 0 (x ∈ (a,b)) ， a
（15 分）
∫∫ 八 ． 计 算 第 二 型 曲 面 积 分 I = 2(1 − x2 )dydz + 8xydzdx − 4xzdzdy 其 中 S 是 曲 线 S
x = e y (0 ≤ y ≤ a) 绕 x 轴旋转而成的旋转曲面的外侧。
九．应用 Lebesgne 控制收敛定理证明：
∫ lim n2α ⋅ e−x sin x dx = 1 − 1
南京师范大学 2000 年数学分析考研试题
一．求下列极限（5 分×4）
1． lim n 1 + x n ； n→∞
2．l lim n + n + n − n n→∞
∫ 3． lim 1
x (1 − ) cos xdx
t t →0 +
t
1
4． lim⎜⎛ sin x ⎟⎞1−cos x n→0⎝ x ⎠
一．指出下列说法是否正确，并简要给出证明或举出反例（5 分×5）
1．
设数列
{x
n
}
满足
lim
n→∞
xn
=
+∞ 则 min{xn} 必存在；
2． 设 f (x) 在 (a,b) 内可导， f (a) = f (b) ，则必存在ξ ∈ (a,b) ，使 f ′(ξ ) = 0 ；
3． 设 f (x, y) 在点 P(x0 , y0 ) 处偏导数 f x , f y 均存在，但不连续，则 f (x, y) 在 (x0 , y0 )
一．（10 分）
1．用 ε − N 语言叙述概念：{an }不收敛于 a；
2．证明：若{an }的任一子列{ank } 都存在且收敛于 a，则，{an }收敛于 a。
二．（15 分） 求下列极限：
1． lim 1k n→∞
+ 2k + ... + nk n k +1
（k 为自然数）
x2
∫ (arctan u)2 du
f ′(x) ≤ M f (x) (x ∈[0,1]) ，证明：在[0,1]上 f (x) ≡ 0.
{ } 五、（16 分）设 an 为数列，令
⎧⎪0 ⎪ fn (x) = ⎪⎨an ⎪ ⎪⎪⎩线性
x = 0或 1 ≤ x ≤ 1 n
x= 1 2n
0≤x< 1 或 1 <x≤ 1
2n 2n
n
{ } 问：（1） fn (x) 在[0,1]上是否处处收敛？
n=1 1 + n 2 x 2
3．证明 f (x) 在 D 上连续，
4．证明 f (x) 在 D 上无界。
六．讨论二元函数
f
(x,
y)
=
⎧ ⎪ ⎨
x
xy 4+
2
y
4
, x2
+
y2
≠
0
在 R 2 上的连续性，可导性及可微性。
⎪⎩ 0, x 2 + y 2 = 0
（12 分）
∫ 七 ． 计 算 曲 线 积 分 (1 − y 2 cos y )dx + (sin y + y cos y )dy ， 其 中
3）。 f (x) 在 (0,1) 上非一致连续。
四．（9 分）
设 f (x) 在[0, c] 上可导， f ′(x) 在在[0, c] 上递减， f (0) = 0,0 < a ≤ b < a + b ≤ c ，证明：
f (a + b) ≤ f (a) + f (b)
五．（8 分）
∫ 已知 lim
五．证明 2 n −1 − 2 < 1 + 1 + 1 + ... + 1 < 2 n −1 （15 分）
23
n
∑ 六．证明函数 f (x) = ∞ (−1)n x 在， x ≠ −1,−2,... − n,... 时可微（15 分） n=1 n + x
七．在曲面 S : x + y + z = 1上求曲面的切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积最大。
3．设
x1
=
a
>
0
，
xn+1
=
2(1 + xn 2 + xn
)
,n
= 1,2,... 证明{xn} 收敛，并求
lim
n→∞
xn
。
三．（12 分）
设
f
(x)
=
⎪⎧ 1 ⎨x
sin
π x
,
x
≠
0 证明：1）
f
(x)
的值域为
D
=
(−∞,+∞)
⎪⎩ 0, x = 0
2）。 f (x) 在[1,+∞) 上一致连续
x
2
六．（12 分）
设 an
≠
0