利用求根公式对二次三项式的因式分解

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二次三项式的因式分解(用公式法)及一元二次方程的应用人教版

二次三项式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的应用一. 本周教学内容：二次三项式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的应用［学习目标］1. 熟练掌握二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系；运用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式。

2. 学会用列一元二次方程的方法解实际应用题。

3. 通过二次三项式的因式分解的学习，提高分析问题，解决问题的能力；进一步了解认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般。

4. 通过一元二次方程的应用的学习，提高化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养用数学的意识；深刻体会转化，方程，数形结合等初等数学的思想方法。

二. 重点、难点：1. 教学重点：①应用公式法将二次三项式因式分解；会用列一元二次方程的方法解决实际应用的问题。

②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找出表示全部含义的相等关系，是能否列出方程的前提和保证。

2. 教学难点：①一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系；一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。

②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找等量关系是难点；注意求解后，检验根是否符合实际意义。

【典型例题】例1. 分解因式①x x 264-+②32312x x -+ ③24322x xy y +-④-+-x x 2525 ⑤()x x 221+- 分析：前四个均为二次三项式ax bx c a 20++()≠或二元二次三项式Ax Bxy Cy 22++的因式分解，直接用公式进行分解。

ax bx c a x x x x 212++=--()()其中x x 12，为方程ax bx c a 200++=()≠的两根。

Ax Bxy Cy A x x x x 2212++=--()()，其中x x 12，为关于x 的方程Ax Bxy Cy A 2200++=()≠的两根。

第五个用平方差公式，再用公式法分解二次三项式。

17.4二次三项式的因式分解--求根公式法

5
5
当m为何值时，二次三项式2x2 + 6x – m （默8）
（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成两个相同的因式
B组
（1）在实数范围内分解因式 3x2 4xy y2为
（ 3 x 2 7 y)( x 2 7 y)
3
3
破题思路
由△= [(2k 1)]2 41 (k 2 5) 4k 19 0
该方程的实数根是
x1

3 4
17
3 17 x2 4
=
2 (x 3
4
17 )(x 3 4
17 )
例题1 分解因式：
（2）
小试牛刀
(1)解: 对于方程 4x2 8x 1 0 b2 4ac 82 4 41 80 0
该方程的实数根是
x1
2. 选择题
k 19 4
K的值为（ B ）
A、 19 4
B、19
C、2
4
D、 2
小结
1. 对于不易用以前学过的方法：x2 (a b)x ab (x a)( x b)
分解二次三项式 ax2 bx c 宜用一元二次方程的
（2）第二步：求出方程①的两个根x1, x2;
（3）因式分解 ax2 bx c a(x x1)( x x2 )
课堂练习
A组
1. 填空题
（1）若方程ax2 bx c 0的两根为 x1, x2,则ax2 bx c分解为
a(x x1)( x x2 )
（2）分解因式： x2 20x 96 = (x 8)(x 12)

2

利用求根公式对二次三项式的因式分解

利用求根公式对二次三项式的因式分解要对一个二次三项式进行因式分解，我们可以将其表示为(ax^2+bx+c)的形式，其中a、b、c为实数且a不为零。

二次三项式的因式分解的关键在于找到其根（即方程ax^2+bx+c=0的解），然后再利用求根公式进行因式分解。

求根公式是指二次根式的表达式，可以帮助我们找到二次方程的根。

对于一般形式的二次方程ax^2+bx+c=0，其根可以用下面的求根公式表示：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，我们可以得到二次方程的两个根，即x1和x2、一旦我们找到了这些根，我们可以将二次三项式因式分解为一个一次项和一个一次二次项。

下面我们用一个例子来说明如何利用求根公式对二次三项式进行因式分解：假设我们有一个二次三项式x^2+3x+2，我们要将其因式分解。

首先，我们要找到方程x^2+3x+2=0的根。

根据求根公式，我们有：x=(-3±√(3^2-4*1*2))/(2*1)现在，我们将这个方程求解。

计算√(3^2-4*1*2)的值为√(9-8)=√1=1、因此，求根公式可以简化为：x=(-3±1)/(2*1)进行计算，我们得到两个根：x1=(-3+1)/2=-2/2=-1x2=(-3-1)/2=-4/2=-2现在，我们将这些根用来进行因式分解。

我们将二次三项式x^2+3x+2写成(x+1)(x+2)的形式。

因此，二次三项式x^2+3x+2可以因式分解为(x+1)(x+2)。

当然，我们还可以应用这个方法对其他形式的二次三项式进行因式分解。

关键在于找到方程的根，然后将这些根用来进行因式分解。

总结起来，利用求根公式对二次三项式进行因式分解的步骤如下：1. 将二次三项式表示为(ax^2+bx+c)的形式；2. 解方程ax^2+bx+c=0，找到方程的根；3.将这些根用来进行因式分解，将二次三项式写成一次项的乘积形式。

通过应用求根公式，我们可以将一个二次三项式因式分解为一次项的乘积，使得对于给定的二次三项式，我们可以找到其具体的因式分解。

10二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用(一)-教师版

1、二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【例1】若方程24210y y --=的两个根是1y =2y ，则在实数范围内分解因式2421y y --=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4514514y y ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例2】将2441x x --在实数范围内分解因式___________．【答案】4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ．【解析】因为方程24410x x --=的两个根为：1x =，2x =，二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用所以2441x x --=4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ．【总结】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【例3】将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（） A ．2(1)()3x x ++ B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．(32)(1)x x --【答案】D【解析】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题可以利用公式进行分解，也可以根据选项，将每一个选项乘开之后进行判定．【例4】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【答案】2211+=x ，2122-=x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．【例5】在实数范围内分解因式：（1）28x -；（2）35x x -；（3）2328x x +-；（4）21130x x -+．【答案】（1）(28x x x -=-+；（2）(35x x x x x -=；（3）()()232874x x x x +-=+-；（4）()()2113056x x x x -+=--．【解析】（1）（2）中不能够用十字相乘法；（3）（4）可以用十字相乘法．【总结】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解．【例6】在实数范围内分解因式：（1）426x x --；（2）42341x x -+．【答案】（1）()(42262x x x x x --=++；（2）()()42341311x x x x x x ⎛-+=+--+ ⎝⎭⎝⎭．【解析】将表达式中的2x 看成一个整体，则可以进行十字相乘法或者求根公式法分解．【总结】本题主要考查在实数范围内进行因式分解，注意分解要彻底．【例7】在实数范围内分解因式：（1）241x x ++；（2）242x x --．【答案】（1）(24122x x x x ++=++；（2）(24222x x x x --=--．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例8】在实数范围内分解因式：（1）2231x x +-；（2）2423x x +-；（3）2361x x -+；（4）263x -．【答案】（1）22312x x x x ⎛+-=++ ⎝⎭⎝⎭；（2）24234x x x x ⎛+-=++ ⎝⎭⎝⎭；（3）23613x x x x ⎛-+= ⎝⎭⎝⎭；（4）2636x x x ⎛-=+ ⎝⎭⎝⎭．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例9】在实数范围内分解因式：（1）2621x x --+；（2）24411x x -++．【答案】（1）26216x x x x ⎛--+=-+ ⎝⎭⎝⎭；（2）244114x x x x ⎛-++=- ⎝⎭⎝⎭．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例10】在实数范围内分解因式：（1）222x ax a --；（2）2231211x xy y ++；（3）2241x y xy +-；（4）22285x xy y -+．【答案】（1）()()222x ax a x a x a --=--+；（2）22312113x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）22414x y xy xy xy ⎛+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（4）222852x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例11】二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫⎝⎛-x ．【解析】（1）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解，则方程23420x x k -+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅--=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k -+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅--=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k -+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅--=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去． 2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【例12】某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％； ∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．【例13】某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%1.038）．【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x ，由题意可列方程：()44.107795110002=+x ％，则()07744.19512=+x ％，解：038.1951±=+x ％（负值舍去），04.0=x ．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x ％9511000+，而不是()x +11000．【例14】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税）【答案】设第一次存款时的年利率为x ，则可列方程为：()[]()53090150011000=+-+x x ％．【解析】注意年利率的变化．【例15】李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率．【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x ，则可列方程为()[]()1308143511500=+-+x x ，化简可得：0818555002=-+x x ，分解可得：()()0910095=-+x x ，解：591-=x （负值舍去），09.02=x ．答：这种债券的年利率为9％．课堂练习【习题1】一元二次方程20x px q ++=的两根为34，，那么二次三项式2x px q ++可分解为（）A 、(3)(4)x x +-B 、(3)(4)x x -+C 、(3)(4)x x --D 、(3)(4)x x ++【答案】C ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题2】若二次三项式21x ax +-可分解为(2)()x x b -+，则a b +的值为（）A 、1-B 、1C 、2-D 、2【答案】A【解析】∵()()()2222x x b x b x b -+=+--，又21x ax +-可分解为(2)()x x b -+，∴⎩⎨⎧-=-=-122b a b ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=2123b a ， ∴1a b +=-．【总结】本题一方面考查多项式的乘法，另一方面考查待定系数法的应用．【习题3】关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两根为12a a ，，则2x mx n -+可分解为（）A 、12()()x a x a --B 、12()()x a x a ++C 、12()()x a x a -+D 、12()()x a x a +-【答案】B【解析】关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两根为12a a ，，则关于x 的一元二次方程20x mx n -+=的两根为12a a -，-．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题4】已知方程2250x x k --=的两个根是12132x x ==-，，那么二次三项式225x x k -++分解因式得（）A 、1(3)()2x x -+B 、12(3)()2x x -+- C 、(3)(1)x x --+ D 、(3)(21)x x --+【答案】D【解析】∵方程2250x x k --=的两个根是12132x x ==-，，∴方程2250x x k -++=的两个根是12132x x ==-，．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题5】在实数范围内分解因式22285x xy y -+等于（）A、2x x -（ B、)()x y x y -（ C、2)()x y x y （ D、(24)(24)x y x y --+【答案】C【解析】∵方程222850x xy y -+=的解为：y x 2641+=，y x 2642-=，∴22285x xy y -+可分解为2)()x y x y （．【总结】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【习题6】二次三项式223ax x +-在实数范围内能分解因式，那么a 的取值范围是______．【答案】31-≥a 且0≠a ．【解析】要使二次三项式223ax x +-在实数范围内能分解因式，则要使一元二次方程2230ax x +-=有实数根，则01222≥+=∆a 且0≠a ，解得：31-≥a 且0≠a ．【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【习题7】多项式4243x x -+在有理数范围内能分解因式得___________，在实数范围内能分解因式得_______________．【答案】()()()3112--+x x x ；()()()()3311+--+x x x x ．【解析】注意分解范围．【习题8】当m ______________时，二次三项式22x m +在实数范围内能分解因式．【答案】41≤m ．【解析】要使二次三项式22x m +在实数范围内能分解因式，则要使一元二次方程220x m +=有实数根，则()0822≥-=∆m ，解得：41≤m ．【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【习题9】在实数范围内分解因式：（1）276x x --；（2）2297x x ++；（3）2241y y -+；（4）2112x x --．【答案】（1）276x x x x ⎛--= ⎝⎭⎝⎭；（2）()()2297271x x x x ++=++；（3）22412y y y y ⎛-+=-- ⎝⎭⎝⎭；（4）(21111122x x x x --=--．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题10】在实数范围内分解因式：（1）22285x xy y -+；（2）227236x xy y -+-；（3）2253a x ax -+；（4）24)x x +-【答案】（1）222852x xy y x x y ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()2227236737x xy y x y x y ⎛⎫-+-=--- ⎪⎝⎭；（3）2253a x ax ax ax ⎛-+=- ⎝⎭⎝⎭；（4）()(24)4x x x x +-=-．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解，注意方法的选择，如（4）可以用十字相乘法进行分解．课后作业【作业1】已知方程23410x x +-=的两个根为12x x =，则二次三项式2341x x +-分解因式的结果为_______________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3723723x x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【作业2】在实数范围内分解因式2236x x --+=_____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-457345732x x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【作业3】如果多项式25(5)x kx k ++-是x 的完全平方式，那么k 的值为___________．【答案】10．【解析】如果多项式25(5)x kx k ++-是x 的完全平方式，则一元二次方程25(5)0x kx k ++-=有两个相等的实数解，即()05202=--=∆k k ，解得：10=k ．【总结】本题主要考查对完成平方与多项式之间的关系的理解．【作业4】把222(1)(1)2x x -+--分解因式的结果是（）A 、22(1)(2)x x -+B 、22(1)(2)x x +-C 、2(1)(1(2)x x x +-+） D、2(1)(x x x +-【答案】D【解析】注意将代数式中的12-x 看做一个整体进行分解．【总结】本题注意在分解的时候要分解彻底，要在实数范围内分解．【作业5】下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（）A 、2615x x +-B 、2373y y ++C 、2224x xy y -- D 、22245x xy y -+【答案】D 【解析】判定二次三项式对应的一元二次方程的判别式，如果判别式小于0，则不能分解．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有在实数范围内无解．【作业6】若0ac <，则二次三项式2ax bx c ++一定（）A 、能分解成两个不同的一次二项式的积B 、不能分解成两个一次二项式的积C 、能分解成两个相同的一次二项式的积D 、不能确定能否分解成两个一次二项式的积【答案】A【解析】二次三项式2ax bx c ++对应的一元二次方程20ax bx c ++=，其判别式042>-=∆ac b ，则方程一定有两个不相等的实数根，则二次三项式2ax bx c ++一定能分解成两个不同的一次二项式的积．【总结】本题主要考查二次三项式的分解结果与所对应的方程的根的关系．【作业7】若二次三项式2231x x m -++可以在实数范围内分解因式，求m 的取值范围．【答案】81<m ．【解析】若二次三项式2231x x m -++可以在实数范围内分解因式，则一元二次方程22310x x m -++=有实数根，即()()01832>+--=∆m ，解得：81<m ．【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【作业8】在实数范围内分解因式：（1）264x x -+；（2）2371x x --+；（3）2525x x -++．【答案】（1）(26433x x x x -+=--；（2）23713x x x x ⎛--+=-+ ⎝⎭⎝⎭；（3）2525x x x x ⎛-++=-+ ⎝⎭⎝⎭．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．。

中考数学二次三项式的因式分解(公式法)复习教案(1)

二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．三、教学步骤（一）明确目标二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．（二）整体感知一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．（三）重点、难点的学习与目标完成过程1．复习提问（1）写出关于x的二次三项式？（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．①x2-2x+1=0；解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0；解原方程可变为（x-2）（x-3）=0∴ x1=2，x2=3．③6x2+x-2=0解：原方程可变为（2x-1）（3x+2）=0．观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．②推导出公式=a（x-x1）（x-x2）．这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．③公式的应用例1 把4x2+8x-1分解因式解：∵方程4x2+8x-1=0的根是教师板书，学生回答．由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．练习：将下列各式在实数范围因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3学生板书、笔答，评价．解2 用两种方程把4x2-5分解因式．方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．练习：将下列各式因式分解．（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（四）总结与扩展（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c 在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．四、布置作业教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．五、板书设计12.5 二次三项式的因式分解（一）结论：在分解二次三项式例1．把4x2+8x-1分解因式ax2+bx+c的因式时解：………可先用公式求出方程：……ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成练习：………ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）六、作业参考答案教材 P.38中A1（1）（5x+6）（x+1）；（2）（2y-3）（3y-2）；（3）-（2x-6）（2x+5）；（4）（5p-3）（2p+1）；（5）（a+16）（a+24）；（6）（3xy-7）（xy-1）；（7）3（x+2）（2x-7）；（8）（3x+5y）（5x-3y）；A2。

二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．,【考点剖析】题型一：两根与二次三项式因式分解关系例1．若方程24210y y −−=的两个根是1y =，2y =，则在实数范围内分解因式2421y y −−=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−4514514y y ．【解析】如果一元二次方程20ax c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3−++−−x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【答案】2211+=x ，2122−=x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,） A.2615x x +−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++；,,,,,,,,, C.2224x x −−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y −+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac −=−⨯⨯=−< 故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,）A.1562−+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422−−x x ,,,,,D.22542y xy x +−【答案】D ；【解析】,解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解. 故答案选D.【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2411x x +−；,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x −−;,,,D.,22245x xy y −+.【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解. 故答案选D.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值）【答案】5；【解析】解：当241640b ac m −=−<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等.题型三：二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解例3.在实数范围内分解因式:241x x −−=______________【答案】(22x x −+−；【解析】解：原式=2445x x −+−=()222x −−=(22x x −−−.【变式1】在实数范围内分解因式：232x x −−＝,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【答案】x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭；【解析】解：因为方程2320x x −−=的两根为x =，故232x x −−=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【变式2】在实数范围内分解因式：243x x −−=,____________________．【答案】(22x x −−；【解析】解：解方程x2-x-3=0，得x=2±则：x2-4x-3=(22x x −−+.【变式3】在实数范围内分解因式：（1）224x x −−；（2）223x xy y −−.【答案】（1）(11x x −−,,,,（2）3322x y x y ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案；（2）先解方程2230x xy y −−=，然后分解因式即可．【详解】（1）原式=（x2﹣2x+1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1（x ﹣1；（2）∵2230x xy y −−=的解是x y =，∴原式=x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键．题型四：二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解例4.二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（,,,,）A.,B.,C.,2(x+)(x-)22D.,2(x-)(x-)22【答案】D ；【解析】解：令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=2(x x ．故选D ．【变式1】在实数范围内因式分解：222x x −−=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x −−=的解是1x =，214x =，所以222x x −−=2(x x【变式2】在实数范围内因式分解：2221x x −−=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ；【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫−⋅+−− ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=221222x ⎡⎤⎫⎛⎫⎢⎥−−⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11222x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛⎝⎭⎝⎭.【变式3】在实数范围内分解因式：2225x x −−=____．【答案】112()2222x x −−−+；【解析】解：2225x x −−=21112()42x x −+−=21112()22x −−=21112()24x ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦11=2(22x x −−，故答案为：112()()2222x x −−−+．【变式4】分解因式：2235a ab b −−.【答案】3a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; 【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆−⨯⨯−=≥，故方程22350a ab b −−=的两根为a ==，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 题型五：实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围．【答案】p≥﹣1且p≠0；【解析】解：∵二次三项式px2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解， ∴px2+2x ﹣1＝0有实数解， ∴△＝4+4p≥0，且p≠0，解得：p≥﹣1且p≠0．【变式1】二次三项式2342x x k −+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ．【解析】（1）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解，则方程23420x x k −+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅−−=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k −+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅−−=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k −+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅−−=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【变式2】阅读题：分解因式：223x x −−. 解：原式22113x x =++−−,,,,,,,,()2214x x =++−,,,,,,,,()214x =+− ,,,,,,,,()()1212x x =+++− ,,,,,,,,()()31x x =+−.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +−.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可．【详解】()(224412122121a a a a a +−=+−=+++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.,此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．,【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（）【答案】C【分析】利用完全平方公式把A 分解，利用十字乘法把B 分解，再分别令229=0,y y −+21=0,y −再计算根的判别式，从而可判断C ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()22442,x x x −+=−故A 不符合题意；()()22352=32,x xy y x y x y −−+−故B 不符合题意；令229=0,y y −+则4419320,=−⨯⨯=−<,所以229y y −+在实数范围内不能分解，故C 符合题意；令21=0,y −则()2=4241160,b ac −=−⨯⨯−=>,y ∴=,12y y ∴==,21=,y y y ⎛∴− ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意；故选：C【点睛】本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.2．（2023·上海·八年级假期作业）下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（） A ．21x x −+ B ．21x mx −+ C ．21x mx −− D ．22x xy y −+【答案】C【分析】根据一定能在实数范围内因式分解可知必须满足240b ac ∆=−≥，分别进行判断即可；【详解】21x x −+的241430b ac −=−=−<，故A 错误；21x mx −+的2244b ac m −=−，可能大于0，也可能小于0，故B 错误； 21x mx −−的22440b ac m −=+>，故C 正确；22x xy y −+的22224430b ac y y y −=−=−≤，故D 错误；故选C ．【点睛】本题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意判断出判别式的符号，认真计算，熟练掌握任何数的平方都是非负数是解题的关键．3．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（） A ．x 2﹣3x +2 B ．2x 2﹣2x +1C ．2x 2﹣xy ﹣y 2D ．x 2+3xy +y 2【答案】B【分析】利用十字乘法把选项A ，C 分解因式，可判断A ，C ，利用一元二次方程根的判别式计算的值，从而可判断B ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()()23212,x x x x -+=--Q ,故A 不符合题意；令22210,x x -+=,()2=242140,\--´´=-<V ,所以2221x x −+在实数范围内不能够因式分解，故B 符合题意；()()2222,x xy y x y x y --=+-Q ,故C 不符合题意；令2230,x xy y ++=,()22234150,y y y \=-´´=³V ,所以223x xy y ++在实数范围内能够因式分解，故D 不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，一元二次方程的根的判别式的应用，掌握“利用一元二次方程根的判别式判断二次三项式在实数范围内能否分解因式”是解本题的关键.【答案】C【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x 的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可．【详解】解：令22230x xy y −−=，解得1x y =，2x y =，所以22232()()x xy y x y x y −−=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 5．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）在实数范围内不能分解因式的是（）【答案】C【分析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式24b ac ∆=−与0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式．【详解】A 、()()24421240∆=−−⨯⨯−=>，B 、(()2416360∆=−−⨯⨯−=>，C 、()2245112160∆=−−⨯⨯=−<，D 、()()22442360∆=−−⨯⨯−=>，只有C 选项∆小于0,，即C 选项不能分解因式，故选：C ．【点睛】本题考查了二次三项式是否可因式分解，熟练运用根的判别式是解题的关键．【答案】B【分析】二次三项式能不能在实数范围内分解因式，关键是看判别式的范围．0∆≥，能分解因式；Δ0<，不能分解因式．【详解】解：A ：24b ac ∆=−，()21413=−−⨯⨯，112=−,，110=−<．23x x −+不能在实数范围内分解因式．故A 错．B ：24b ac ∆=−()21412m ⎛⎫=−−⨯⨯− ⎪⎝⎭220m =+＞． 212x mx −−能在实数范围内分解因式．故B 正确．C ：24b ac ∆=−，()2243−−=,，40−，223x −+不能在实数范围内分解因式．故C 错．D ：24b ac ∆=−，()()21412m =−−⨯⨯−，18m =+，m 的值不定，18m +的符号不确定，故不能判断22x x m −−能否在实数范围内分解因式．故D 不一定．故答案为：B ．【点睛】本题考查是在实数范围内分解因式，解题的关键是判别式的应用．二、填空题7．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2331x x +−=__________．【答案】3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【分析】求得方程23310x x +−=的两个根，即可求解．【详解】解：23310x x +−=3a =，3b =，1c =−，()249431210b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，x =，136x −=，236x −=23333666633133x x x x x x ⎛⎛+−=−=+ −+− ⎝⎭⎝−+⎝⎭⎭⎝⎭，故答案为：3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了公式法求解一元二次方程，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根．8．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x xy y ++=________．【答案】)【分析】先把原式变形为()222522x xy y x +−+，可得到()2225x y x +−，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解．【详解】解：223105x xy y ++22251205x xy y x +−=+()222252x xy y x +−=+()2252x y x +−=))22x y ⎤⎦−+=)=．故答案为：)【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．9．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）在实数范围内分解因式：233x x−−=_____．【答案】322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭【分析】令2330x x−−=，解得1x=，2x，把233x x−−写成因式分解的形式即可．【详解】解：令2330x x−−=，则1,3,3a b c==−=−，∵()()224341321b ac−=−−⨯⨯−=，∴x=，即1x=，2x=，则233xx x x⎛−−⎛⎝⎝=⎭⎭．故答案为：322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭．【点睛】此题考考查了实数范围内的因式分解，正确求解一元二次方程是解题的关键．10．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）在实数范围内分解因式：231−−=xx_________________．【答案】3x x⎛⎝⎭⎝⎭【分析】先解方程2310x x−−=，求得方程的两个根，即可求解．【详解】解：2310x x−−=，∵3,,1,1a b c ==−=−，∴2411213b ac ∆=−=+=，∴x ，∴12x x =， ∴231−−=xx 3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．故答案为：3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键．11．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式237x x −−=_______．【答案】x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】将237x x −−化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式．【详解】解：237x x −−22337324x x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭ 233724x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭3322x x ⎛=−− ⎝⎭⎝⎭x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用． 12．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解，则a 的最大整数解为______．【答案】1−【分析】由二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，可得2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，再根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得到答案．【详解】解：∵,二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，∴2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，∴0a ≠，23440a ∆=−⨯⨯≥，解得,916a ≤且0a ≠，所以a 的最大整数解为1−．故答案为：1−．【点睛】本题主要考查了二次三项式在实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式，掌握“二次三项式在实数范围内可以因式分解的含义”是解本题的关键． 13．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++=______．【答案】3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为3105t t ++，令231050t t ++=，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为23105t t ++，令231050t t ++=，3a =，10b =，5c =t ==即1t=，2t=∴22310533x y xy xy xy xy xy ⎛⎛++== ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考查了因式分解，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 14．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）在实数范围内因式分解：22231xy xy −−=__________【答案】2xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−则2a =，3b =−，1c =−t===则1t =，2t =222312x y xy xy xy ⎛−−=⎝⎭⎝⎭故答案为：xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．15．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：2231x x +−=_____．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】结合题意，当231022x x +−=时，通过求解一元二次方程，得 231022x x x x ⎛+−==⎝⎭⎝⎭，结合22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，即可得到答案．【详解】解：2231231222x x x x ⎛⎫+−=+− ⎪⎝⎭，当231022x x +−=时，得x ==，∴231022x x x x ⎛+−== ⎝⎭⎝⎭，∴23122x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，∴22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．16．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）在实数范围内分解因式：224x x −−=__．【答案】(11x x −−【详解】解:原式,()2215x x =−+−22(1)x =−−(11x x =−−故答案为：(11x x −+−【点睛】本题考查了因式分解，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．17．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2243x x −−___________．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据公式法解22430x x −−=，得出22x =，再根据因式分解即可得出答案．【详解】解：由22430x x −−=，得：22x =，原式232222x x x x ⎛⎛⎫=−−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y −−=_____________.【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】先提取2，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可．【详解】解：2226x xy y −−221232x xy y ⎛⎫ ⎪⎝=−⎭− 222291923424x xy y y y ⎛⎫− ⎪⎝=−−⎭+ 22311224x y y ⎡⎤⎛⎫−⎢=⎥ ⎪⎝⎭⎢−⎥⎣⎦22322x y y ⎫=−⎪⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33222x y y x y y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键．三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：(1)422772x x +−；(2)4241036y y −−+．【答案】(1)())2833x +−+ (2)()(2229y y y −+【分析】（1）先利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可；（2）先提公因式，然后利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可．（1）原式()()22829x x =+−())2833x =+−+（2）原式为()4222518y y =−+−()()222292y y =−+−()(2=22+9y y y −−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）在实数范围内因式分解：22327x xy y −−【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解．【详解】解：22327x xy y −−22273()33x xy y =−− 222221173()3993x xy y y y =−+−−221223[()]33x y y =−−113()()33x y y x y y =−−3()()x y x y =．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．21．（2022秋·八年级统考期中）在实数范围内因式分解：22236x xy y −−+【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=的解即可得出答案．【详解】解：解关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=，得：x ==， ∴1x y=，2x y=，∴222362x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫−−+=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查实数范围内分解因式，掌握“()200ax bx c a ++=≠的两个根分别为1x 、2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是正确解答的关键．22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：22323x xy y−−．【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】解：22323x xy y −−＝2223()3x xy y −−＝22221103()399x xy y y −+−221103()39x y y ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦11333x y y x y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键．23．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++．【答案】xy xy ⎡⎡⎣⎣．【分析】把223x y 化为222252x y x y −，则利用完全平方公式得到原式()222512xy x y =+−，然后利用平方差公式分解因式．【详解】解：原式222251052x y xy x y =++− ()22225212x y xy x y =++−()222512xy x y =+−))11xy xy ⎤⎤=++⎦⎦xy xy ⎡⎡=⎣⎣故答案为：xy xy ⎡⎡⎣⎣ 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 24．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2222x xy y −++【答案】24x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】列出关于x 的一元二次方程，求得方程的根，再根据方程的根写出因式分解的结果即可【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为：22022x xy y ++=−，∵()22224422170b ac y y y ∆=−=−⨯−⨯=≥，∴x y ==， ∴1x y =，2x y=，∴22222x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭−+【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，掌握“若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为1x ，2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是解决问题的关键. 25．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内因式分解（1）2442y y +−；（2）2235x xy y −−．【答案】（1）(2121y y ++；（2）3x x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可；（2）首先解方程得出方程的根进而分解因式．【详解】解：（1）2442y y +−=24413y y ++−=()2213y +−=(2121y y ++；（2）令2235x xy y −−=0， ()()22254337y y y =−−⨯⨯−=△，∴x =，∴x 或x =，∴2235x xy y −−=3x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。

二次三项式因式分解用公式法

二次三项式因式分解用公式法二次三项式因式分解是指将一个二次三项式表达式分解为两个一次因式的乘积。

对于给定的二次三项式 $ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$，我们可以使用公式法来进行因式分解。

公式法主要分为两个步骤，先求解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根，然后根据根的性质进一步分解。

首先，根据求根公式，二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根可以分为两种情况：实根和共轭复根。

1. 实根的情况：如果二次方程的判别式 $b^2 - 4ac \geq 0$，则方程有两个实根。

此时，我们可以使用根与系数的关系来进行因式分解。

设方程的两个实根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则可以得到以下关系：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]根据上述关系，我们可以将二次三项式因式分解为：\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\]2. 共轭复根的情况：如果二次方程的判别式 $b^2 - 4ac < 0$，则方程有两个共轭复根。

此时，我们需要使用复数的知识来进行因式分解。

设方程的两个共轭复根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则可以得到以下关系：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]根据上述关系，我们可以将二次三项式因式分解为：\[ax^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)\]其中，$x_1$ 和 $x_2$是共轭复数，可以表示为 $x_1 = p + qi$ 和$x_2 = p - qi$。

总结一下，二次三项式因式分解的公式法主要分为以下几个步骤：1. 求解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根。

2.根据根的性质将二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积。

利用求根公式对二次三项式的因式分解

= (x 8)(x 12)
(3x 7 y)(2x y)
(3)在实数范围内分解因式 x2 5x 3
(x 5 13 )( x 5 13 )
2
2
(4)已知方程 2x2 8x 5a 0 有一个根是
4 6 , 2
则 2x2 8x 5a 分解因式为 2(x 4 6 )( x 12 6 )
2
2
分析：由根系关系可求出另一个根 12 6
2
然后代入公式即可
2. 选择题
（1）已知方程
2x2 ax 3 0的两根为3和 1 , 2
则2x2 ax 3分解因式的结果为（D ）
A、(x 3)(x 1) 2
C、2(x 3)(x 1) 2
B、2(x 3)(x 1) 2
答案：
(1)原式= (x+1)(x-2) (2)原式=- (x-1)(x-2) (3)原式=(2x+1)2 (4)？？？？
十字相乘十字相乘完全平方公式
开启智慧二次三项式 ax2+bx+c（a≠0) 的因式分解
x2 + 6x + 9 = 0的解是x_1_=_x_2_=__- _3 分解因式x2 + 6x + 9 = __(_x_+__3_)2___
我们把 ax2 + bx + c(a 构0,b 0, c ? 0) 叫做关于x的二次三项式这个式子的x的最高次项是2，并有一次项和常数项，共有三项。
将下列二次三项式因式分解
(1)x2 x 2
(2) - x2 + 3x - 2 (3)4x2 + 4x + 1

二次三项式的因式分解--教学设计(朱斌)

一元二次方程的应用（一）——二次三项式的因式分解教学设计说明上海民办兰生复旦中学朱斌一、内容与内容解析本节课是上海教育出版社九年义务教育课本数学八年级第一学期§17.4（1）的内容．是一元二次方程的应用第一节课，内容是使用解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，在实数范围内来对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)因式分解．本课程是对七年级学习的因式分解的再思考，七年级第一学期的整式中，学生已经学习了在有理数范围内的因式分解，特别地，对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，一般使用十字相乘法进行分解．在七年级第二学期实数一章，经历了从有理数到实数的数系拓展，但并没有解决二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内的因式分解问题：（1）二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内能否分解？判据是什么？为什么？（2）如果可以在实数范围内分解，如何分解？（3）常数a,b,c满足什么条件时，二次三项式ax2+bx+c(a≠0)可以在有理数范围内分解？在八年级系统学习一元二次方程之后，具有对其进行研究的基础．通过从特殊到一般的探究过程，使用学生比较熟悉的配方法作为手段，由浅入深地研究二次三项式的因式分解，最终掌握通过解与二次三项式ax2+bx+c(a≠0)相联系的一元二次方程对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)进行因式分解的方法．同时，学生可以从无到有地对问题（1）、（2）进行研究，给有余力的同学提供思考问题（3）的基础，有利于学生以发展的眼光来认识数学．教材中，一元二次方程的公式法就是通过配方法推导的，这节课通过配方法引入，更好地帮助学生理解二次三项式的因式分解和一元二次方程求解之间的联系．同时，也为高中的进一步的数系扩充做准备，帮助学生在将来学习复数后，能够更加自然地想到如何处理复数范围内的二次三项式因式分解．建立二次三项式ax2+bx+c(a≠0)和一元二次方程ax2+bx+c=0之间完整的对应关系．鉴于此，本课时的教学重点为：1、理解关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)能否在实数范围内进行因式分解的判据．2、掌握对于b2-4ac≥0的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内因式分解的方法．二、目标与目标解析教学目标1．知道二次三项式的分解与一元二次方程的解的联系，会判断二次三项式在实数范围内是否可以因式分解，并能在实数范围内通过解一元二次方程对二次三项式进行分解．2．经历分析、存疑、解释、归纳、释义、总结等过程，体会从特殊到一般的数学思维策略，感受从存疑到寻求解释的数学思辨形式，提高归纳、抽象概括的能力与代数式变形能力；在解题中体会化归的数学思想．3．在不断深入、层层递进的分析中，激发学习数学的兴趣，增强探究和钻研精神；在理解方程求根和代数式变形关系的过程中，体会数学内部之间的内在联系．三、教学问题诊断分析1．面对学生差异，重视因材施教授课的对象为上海民办兰生复旦中学八年级的学生，学生总体水平较高，理解能力和运算能力都比较强．同时，有部分同学在课余已经提前学习过该内容，知道通过解方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)可以对ax 2+bx +c (a ≠0)进行因式分解．但是只是机械运用，并不能真正理解方程求根和多项式因式分解之间的内在联系．因此，本节课的核心任务有两个：（1）帮助学生掌握如何通过求解方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的解来对多项式ax 2+bx +c (a ≠0)进行因式分解．（2）揭示方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)和多项式ax 2+bx +c (a ≠0)因式分解的关系．因此，本课时通过具体的问题引入，使用了和课本不同的方法来引导学生学习．课本中使用了观察、归纳的方法切入，直接归纳出二次三项式因式分解的公式．然后，通过多项式展开和求根公式来进行证明．面对授课学生的情况和需求，本课时着重于帮助他们利用已有的知识，自行探索二次三项式因式分解方法，并通过具体问题加以验证．本节课中所用的方法，仿照一元二次求根公式的配方法，对二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)进行配方，通过配方成平方差（或平方和）的形式来处理．在此基础上直接发现二次三项式因式分解的公式，并找到其与一元二次方程求根公式之间的联系．让学生对这节课的知识点有更深入的理解和感受．2．唤醒相关旧知，铺设配方通途对于八年级的学生，只有配方法是最容易想到的对二次三项式进行因式分解的合理方法．但是，难点在于帮助他们自然地想到使用配方的手段来处理．因此，在教学内容的引入部分，给出两个简单的因式分解问题，224,3x x --，帮助学生意识到，可以使用平方差的方法解决上述形式的二次二项式．对于一般的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)，则可以通过配方转化为上述的二次二项式的形式．练习题的前三个是变式训练：(1)2221(1)x x x -+=-；(2)223(1)(3)x x x x --=+-两题回顾七年级的做法，并帮助学生注意到他们之间的关系．(3)224x x --无法直接用过去的因式分解方法解决，此处学生若无法主动得出结论，引导学生关注(1)(2)(3)小题的联系，即：2223(1)4x x x --=--，2224(1)5x x x --=--．3．运用配方方法，得出初步结论学生运用配方方法，应该能够很好地处理问题(3)，2224(1)5(15)(15)x x x x x --=--=---+然后抛出问题(4)，研究224x x -+的因式分解这个问题，对学生是一个重大难点，处理方式可能会有多种不同的方法．经过尝试后，应该会得出无法因式分解的结论．但是可能会有以下几种情况，视具体情形来进行处理． (1)学生知道结论，但是无法说清楚理由，又分成以下几种情形：a) 无法清晰讲出原因；b) 应用配方：2224(1)3x x x -+=++得到平方和，所以无法分解；c) 过去提前学过，知道其与方程x 2-2x +4=0是否有实根有关，但是不知道原因．对于情况b )的学生，应该让其知晓，不能使用之前的配方法因式分解，并不代表无法因式分解．对于情况c )的学生，首先肯定他的结果，并且可以告诉学生这是今天要学习的内容，并且告诉他们应该要理解每一个数学定理的来龙去脉．此时，可以提醒学生，将问题化归为23x +的因式分解研究，利用待定系数法，不考虑二次项系数，23x +一定分解为23()()x x m x n +=--，其中m 和n 为常数，于是，将得到：03a b ab +=⎧⎨=⎩，即a 2=-3，不存在实数a ，因此无法因式分解．同时也代表一切化为平方和形式的二次三项式都无法在实数范围内因式分解． (2)学生能够解释原因因为部分学生能力较强，完全有可能有学生能够解释原因．应该都是想到使用待定系数法研究，2224()()4m n x x x m x n mn +=⎧-+=--⇒⎨=⎩，有以下几种可能：a) 通过代数式运算（比如：22240,()120m n m n +=-<-=-<等），得到矛盾． b) 利用特殊值法，若取x =m ，则m 2-2m +4=0，不存在这样的实数m ．c) 直接应用韦达定理，得到m 和n 为方程2240x x -+=的两根，得到矛盾．对于使用韦达定理的同学，应当予以鼓励，但是必须指出，其他同学可能还不清楚什么是韦达定理，应尽可能用学过的知识来进行思考．对于使用a ),b )方法说明的同学，应当给予肯定，但是之后应当继续引导学生思考，怎样发现x 2-2x +4不可以在实数范围内因式分解，有什么判别方法．最终回到配方法，来进行说明．并让学生总结，得出初步结论：(1)如果可以通过配方转化为平方差的形式，则可以在实数范围内因式分解； (2)如果通过配方转为成为平方和的形式，则不可以在实数范围内因式分解．4．特殊走向一般，归纳最终结论让学生使用配方法研究：ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．因为之前很少遇到全为字母的形式，而且牵涉到比较复杂的讨论，学生可能会遇到的错误有以下几种，应用实物投影仪，进行展示，指出这些容易出错的地方，并由老师最终板演，让学生进行归纳：(1)22224()24b b ac ax bx c x a a -++=+-，学生直接将二次项系数a 除掉．让学生意识到，对于方程，可以利用等式性质作上述处理，但是多项式不能做上述操作．(2)2224()42bb acax bx c ax a a-++=+-，学生默认a 是正数，并且直接将a 写成2()a ，应当指出这种错误，并且说明为了减少讨论和运算难度，应该将字母a 提出来．(3)222222444[()]()()2422b b ac b b ac b b acax bx c a x a x x a a a a---+-++=+-=++，这种错误是不对24b ac -的正负进行讨论，直接开平方．(4)其他运算错误．老师应指出以上错误，帮助学生理解代数式变形中的等价性．在得到正确的结果后，由学生进行总结，并思考和已经学过的什么知识有联系．引导学生发现其与方程：20ax bx c ++=(a ≠0)之间的联系，并能用20ax bx c ++=(a ≠0)的求根来进行二次三项式：2ax bx c ++(a ≠0)的因式分解．学生应该能发现方程和多项式因式分解之间有关系，但是b 2-4ac ≥0的情况，对于给出最终结论可能有一定的难度．教师应写出来，帮助学生进行比较：20ax bx c ++=的两个实数根：221244,22b b ac b b acx x a a-+----==； 222222444[()]()()2422b b ac b b ac b b acax bx c a x a x x a a a a---+-++=+-=++221244()()()()22b b ac b b aca x x a x x x x a a-+----=--=--，以得到最终结果．鉴于以上，本课时内容的教学难点如下：1、通过配方法研究多项式ax 2+bx +c 如何在实数范围内进行因式分解．2、通过对于ax 2+bx +c 的因式分解，发现其与一元二次方程ax 2+bx +c =0的关系．四、教学支持条件分析本课时内容主要以老师黑板板演和学生解答展示为主．通过师生之间的对话，关注怎么做？为什么？层层推进．借助不同的问题，不断深入研究，从特殊到一般，加深学生对该知识点的理解．（1）黑板用以老师的推导过程和结论的展示，左半边黑板在使用投影仪的时候会被遮住，主要进行一些解题过程的展示，右边黑板进行主要结论的推导和提纲性的说明．（2）实物投影仪用以学生的解答展示，提供典型错误和正确做法，帮助学生更好理解（3）投影仪将总结内容做成PPT 进行投影，加深学生对于所学知识的印象．五、教学过程设计教师活动学生活动与预设设计意图一、复习引入1、因式分解的意义回顾：什么是因式分解？2、习题引入（1）x2-4（2）x2-3如何因式分解？3、引出本节课研究内容：形如ax2+bx+c(a≠0)的二次三项式在实数范围内的因式分解回顾因式分解的意义将一个多项式化为几个整式的积的形式．学生口答：x2-4=(x-2)(x+2)23(3)(3)x x x-=-+唤醒学生对于因式分解的记忆，并为之后的研究作铺垫．回顾因式分解的基本方法——公式法（平方差）并通过这两个习题了解实数范围内的因式分解．为接下来研究的配方法结合平方差公式作预备．同时指出，23x-在有理数范围内不能分解因式，在实数范围内才能分解因式．二、学习新知1、练习：尝试将以下多项式分解因式（1）x2-2x+1（2）x2-2x-3（3）x2-2x-4上面的三个二次三项式都能在实数范围内分解因式，那么是否所有的二次三项式都能分解因式呢？学生在练习纸上完成，老师巡视后通过实物投影仪展示．(1)x2-2x+1=(x+1)2(2)x2-2x-3=(x-3)(x+1)22(3)24(1)5(15)(15)x x xx x--=--=---+(4)x2-2x+4 = (x-1)2+3所以无法分解．学生回答：无法分解．因为该式无法转化为平方差的形式．教师应引导学生意识到使用平其中（1）（2）为了帮助学生唤醒对于过去学习因式分解的常见方法．引导他们认识到过去的方法并非对于一切二次三项式都能直接应用．为学生第（3）题能够想到通过配方并运用平方差公式解决作铺垫．第（3）题用过去学习的四种方法无法解决，但是通过配方法，结合运用平方差公式即可．帮助学生在课后体会因式分解和一元二次方程求根之间的关系．帮助学生理解因式分解的本质，知道多项式分解的形式．并利用多项式的意义，得从特殊到一般研究二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解得到通过一元二次方程求解实数范围内分解二次三项式的方法通过配方法熟悉具体二次三项式在实数范围内的因式分解方法通过具体习题加以巩固，并研究特殊的形如ax2+bxy+cy2的二元二次三项式的因式分解（4）x2-2x+4无法分解．引入问题x2+3的因式分解反证：如果可以分解，则：x2+3=(x+a)(x+b)，比较系数，得到：3a bab+=⎧⎨=⎩，即a2=-3，不可能．不存在实数a，即不能在实数范围内因式分解．因此x2-2x+4=(x+1)2+3在实数范围内无法因式分解．2、总结结论对上述因式分解问题进行总结．(1)用什么方法进行分解？(2)怎样的二次三项式可以在实数范围内分解？3、研究新知使用配方法研究ax2+bx+c(a≠0)的因式分解老师巡视，挑选学生的常见错误进行分析．然后在黑板进行板演运算，得出最后结论．方差无法分解并非意味着因式分解无法进行．引导学生从因式分解的意义出法，通过待定系数法来进行研究．注：此处学生的回答可能多种多样，还包括：（1）直接对x2-2x+4进行待定系数研究，将引出24a bab+=⎧⎨=⎩这样比较复杂的二次三项式．（2）使用余式定理和因式定理来进行研究．等等(1)可以通过配方结合平方差公式进行分解．(2)如果配方得到两个平方的差，则可以分解；如果得到两个平方的和，则不能在实数范围内因式分解．完成配方，常见错误：(1)原式=2224()24b b acxa a-+-(2)原式=224()42b b acaxaa-+-(3)原式=2224[()]24b b aca xa a-+-=2244()()22b b ac b b aca x xa a+---++正确过程：(1)当b2-4ac≥0时，原式=2244()()22b b ac b b aca x xa a+---++(2)当b2-4ac<0时，原式无法在实数范围内因式分解．出矛盾．体会二次三项式在实数范围内能否因式分解的判据．对于课堂生成，应抓住机会，善于引导，帮助学生借助多项式的恒等变形解决问题．并在此过程中，让学生体会多项式和方程之间的关系．通过总结，体会可以因式分解的条件，为下一步从特殊到一般的研究作准备．并帮助同学体会因式分解和一元二次方程求根之间的关系．常见错误(1)分不清楚多项式和方程的区别，应将二次项系数提出来，而不是直接除掉．(2)默认a为正数，未考虑a<0的情形．另外将a放到平方中，增加了运算难度．(3)不讨论b2-4ac的正负，直接用平方差展开．对于前述的结论没有真正理解．通过错误解答的展示，帮助同学回顾配方的过程，认识配方解题的关键，加强整式变形的能力．4、比较归纳请学生回答问题．将以上结果和已经学过的知识进行比较，观察ax2+bx+c(a≠0)的因式分解和什么有关．将两者进行比较、联系和归纳，并介绍自己的结果．5、巩固新知使用上述结论，对前述的四个练习题进行验证．由老师进行引导，学生口答．学生回答：和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有关．（1）如果ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，ax2+bx+c(a≠0)无法在实数范围内因式分解；（2）如果ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1和x2，则：ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2)学生分别研究方程：x2-2x+1=0x2-2x-3=0x2-2x-4=0x2-2x+4=0的解的情况，并利用上述结论直接得出多项式因式分解的结论．通过对ax2+bx+c(a≠0)进行因式分解，观察到其能否分解的关键在于b2-4ac，以及分解式中的常数和ax2+bx+c=0(a≠0)的两根非常相近，得出上述结论．关注学生的数学直觉和学生对于代数式的变形能力．通过具体问题的操练，帮助学生熟悉通过一元二次方程分解二次三项式的方法．三、运用新知例题：应用解一元二次方程的方法分解因式(1)x2+x-3(2)2x2-3x-1完成上述二次三项式的因式分解，并找到两位同学进行板演．(1)设x2+x-3=0，则：12113113,22x x-+--==原式=113113()()22x x-+----(2)设2x2-3x-1=0，则：12317317,44x x+-==原式=3173172()()44x x+---通过例题的练习，帮助学生巩固使用通过一元二次方程对二次三项式因式分解的方法．关注公式中的二次项系数和1x x-与2x x-．四、拓展延伸对含有两个字母的二次三项式进行因式分解(1)x2+xy-3y2(2)2x2-3xy-y2请同学思考，口述，老师完成该题的解答．将x看作主元，将y看作字母系数来处理．(1)设x2+yx-3y2=0，则：121717,22y y y yx x-+--==原式=1717()()22y y y yx x-+----(2)设2x2-3yx-y2=0，则：12317317,44y y y yx x+-==原式=3173172()()44y y y yx x+---对于形如：ax2+bxy+cy2(ac≠0)的二次三项式，通过将字母y看作系数，将上式转化为已经解决的ax2+bx+c(a≠0)形式的问题．通过该习题，培养学生的化归能力，能够将新问题转化为已经解决的旧问题进行研究．此时，判别式b2y2-4acy2在开平方后，可以化为关于y的单项式，原式就可以进行因式分解了．五、课堂总结再次对今天的学习内容进行总结．（1）从具体问题入手，经历从特殊到一般的研究过程；（2）使用配方结合平方差的方法，对二次三项式ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内的因式分解进行了研究．（3）学会通过解对应一元二次方程的方法对二次三项式进行因式分解的方法．教师强调：今后，因式分解的范围就从有理数范围扩充到实数范围．学生交流与讨论通过课堂总结，帮助学生了解（1）学习内容：使用解一元二次方程的方法对二次三项式因式分解．（2）研究手段：通过配方法结合平方差公式进行研究．（3）研究途径：通过从特殊到一般、从具体到抽象的途径来进行研究．希望能够帮助学生更好地记忆和理解本节课的知识点和数学方法．作业布置1、数学练习册，§17.42、校本练习册，§17.4六、目标检测设计对于本课时的教学目标的检测，主要都放在教学的过程中穿插进行．本节课中，学生共要笔算三次问题，分别是：练习题：用已经学过的方法，对下列二次三项式进行因式分解．研究：使用配方法，研究二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．例题：使用解一元二次方程的方法，完成下列因式分解的问题．1．练习题（1）x2-2x+1 （2）x2-2x-3 （3）x2-2x-4 （4）x2-2x+4 先给出练习题（1）（2）（3），再巡视和展示完成后，再给出习题（4）继续研究．练习题（1）（2）着重在于唤醒学生对于因式分解基本方法的回忆，并体会本题组中贯穿的部分x2-2x，引导学生通过配方法对问题（3）（4）进行研究．根据前面的学习和铺垫，练习题（3）对于学生而言，最容易想到的方法就是配方法．此处应用配方法解决问题，加深学生对于配方的理解．老师在巡视过程中，观察学生本题的完成情况，了解学生配方以及多项式变形的能力．对于练习题（4），考察学生逻辑思维的严密，根据学生的回答加以引导，最终得到严格的证明．要求学生根据习题（3）、（4）能够归纳总结出初步结果，即用配方法判断二次三项式能否因式分解和如何因式分解．是对学生的理解和归纳能力的集中考察．2．通过配方法研究ax2+bx+c（a≠0）的因式分解本题是本节课的关键，目的在于通过本题的研究，得到通过解一元二次方程对二次三项式进行因式分解的方法．难度有二：（1）多项式的等价变换，根据前文所述学生的不同错误加以点评，锻炼学生的变形能力．（2）发现多项式因式分解和一元二次方程之间的关系．这里要求学生能够有较好的数学联想的能力，从已有的结果中，通过变形得到最终结论．3．例题运用解一元二次方程的方法，将下列多项式在实数范围内分解因式(1)x2+x-3 (2)2x2-3x-1 (3)x2+xy-3y2 (4)2x2-3xy-y2先给出前两个例题，通过板演和巡视，观察学生对于所学知识的掌握情况．关注学生对于公式能否正确应用．再给出习题(3)(4)．请学生口述，老师板演，考察学生能否使用化归的方法，将问题(3)(4)转化为问题(1)(2)，将字母y看作字母系数来处理．并通过含字母的方程的求根，得到所需的结果．考察学生课程所学知识的灵活运用，对于含字母问题的理解，以及代数运算的基本能力．在整个课堂教学的练习部分，安排充分时间让学生自主训练、由学生判断、给学生讲，让学生学会思考，学会质疑、评价和总结．。

上学期二次三项式的因式分解(1-2)

注意：1、因式分解是恒等变形，所以分解因式后的式子中的 a 千万不能忽略。 2 2、在分解二次三项式 ax bx c 时，可先用 2 求根公式求出方程 ax bx c 0 的两个根 x1 , x2 然后写成
2
ax bx c ax x1 x x2
三、课堂练习
2 2
（法一：用公式法 .
法二、双十字法）
练习、因式分解
x² - 5xy + 6y² - x + y -2
例2、如果a>0 且b2-4ac=0, 求证：二次三项式 ax2+bx+c 是完全平方式.
例3、已知 x 的二次三项式
2 x 4 3x m m
2 2
是一个完全平方式，求 m 的值。例4、化简分式
一、复习
1、用十字相乘法分解下列各式：
（1）（2）（3）
x x2
2
2 x 3x 2
2
x 2x 2
2
说明：其中（3）用十字相乘法就不容易了。
2、对于用十字相乘法分解因式较困难的题目，促使我们寻求其他方法。如同我们在解二次方程时，用直接开平方法不易解决时，人们发明了配方法。把原方程变形为
四、小结 1.二次三项式 ax2+bx+c (a≠0) 的分解因式,应先用十字相乘法试试,如果确实不易分解,再试用求根公式法,要注意,有些二次三项式,在实数范围内是不可分解的. 2.二次三项式 ax2+bx+c (a>0) 可以成为完全平方的条件是 b2-4ac=0. 3.当△<0时，二次三项式在实数范围内不能分解因式。五、作业：
2
ax2 bx ca 0

初三数学二次三项式的因式分解(用公式法) 知识全析人教义务版

数学二次三项式的因式分解（用公式法）【学习目标】1．了解二次三项式的因式分解与解方程的关系．2．会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式．【主体知识归纳】分解二次三项式ax 2＋bx ＋c 时，先用公式法求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根x 1、x 2，然后写成ax 2＋bx ＋c ＝a （x －x 1）（x －x 2）．【基础知识讲解】1．在利用一元二次方程的求根公式将一般的二次三项式分解因式时，有两点要特别注意：(1)要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程3x 2－6x －12＝0，可变形为x 2－2x －4＝0，但在分解因式时，就绝不能写为3x 2－6x －12＝x 2－2x －4．（2）当二次项系数不等于1时，不要漏写系数，例如分解因式2x 2－6x ＋4，先求出方程2x 2－6x ＋4＝0的两根x 1＝1，x 2＝2，所以2x 2－6x ＋4＝2（x －1）(x －2)，若漏写系数写为2x 2－6x ＋4＝（x －1）(x －2)就错了．2．二次三项式的因式分解均可采用公式法，但比较麻烦．因此，在进行二次三项式的因式分解时，应尽量采用“十字相乘法”，若行不通再用公式法．另外，还应注意因式分解的范围．如5x 2－5x ＋1在有理数范围内不可分解，而在实数范围内能分解．3．二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac ≥0时，在实数范围内能分解因式；当Δ＜0时，在实数范围内不能分解因式．特别地，当a ＞0，Δ＝0时，ax 2＋bx ＋c 是一个完全平方式．【例题精讲】例1：把6x 2－11x －7分解因式．解法一：∵方程6x 2－11x －7＝0的根是x ＝121711122891162)7(64)11()11(2±=±=⨯-⨯⨯-±-- 即x 1＝37，x 2＝－21． ∴6x 2－11x －7＝6（x －37（x ＋21）＝（3x －7）（2x ＋1）．解法二：6x 2－11x －7＝(3x －7)(2x ＋1)．例2：把6x 2＋12xy ＋5y 2分解因式．剖析：本题可看作是关于x (或y )的二次三项式．先求出关于x (或y )的方程6x 2＋12xy ＋5y 2＝0的根，再借助于二次三项式的分解法进行分解．解：∵关于x 的方程6x 2＋12xy ＋5y 2＝0的根是x ＝y y y y y y 66612621262564)12(122±-=±-=⨯⨯⨯-±-2， ∴6x 2＋12xy ＋5y 2＝6（x －666+-y ）（x －666--y ）＝6（x ＋666-y ）（x ＋666+y ）例3:在实数范围内分解因式(2x 2＋3x )2－3(2x 2＋3x )＋2．剖析：此多项式若去括号化成一般形式，一是运算量大，二是增加了分解因式的难度（因为出现了四次式），通过观察分析，所给的多项式可看作是关于(2x 2＋3x )的二次三项式，故考查用公式法或十字相乘法分解．解：(2x 2＋3x )2－3(2x 2＋3x )＋2＝(2x 2＋3x －2)(2x 2＋3x －1)＝(2x －1)(x ＋2)·2(x －4173+-)(x －4173--) ＝2(2x －1)(x ＋2)(x ＋4173-)(x ＋4173+) 说明：在进行二次三项式分解因式时，要注意两种方法的灵活选择，一般来说，十字相乘法比较快捷，但适用的范围较窄，而公式法适用于一般的二次三项式，是通法．例4:关于x 的二次三项式3x 2－5x ＋2m －1，问m 取何值时：（1）在实数范围内能分解因式；（2）在实数范围内不能分解因式．剖析：用公式法给出了一种分解二次三项式的一般方法，即通过解所对应的一元二次方程，得出根后才能分解．但方程有没有实数根需经过根的判别式判定．解：令3x 2－5x ＋2m －1＝0，∴Δ＝(－5)2－4×3×(2m －1)＝37－24m ． (1)当37－24m ≥0时，即m ≤2437时，二次三项式3x 2－5x ＋2m －1能在实数范围内分解因式． (2)当37－24m ＜0时，即m >2437时，二次三项式3x 2－5x ＋2m －1不能在实数范围内分解因式．说明：一个二次三项式在实数范围内能不能因式分解，关键是其所对应的一元二次方程有没有实数解．【思路拓展题】及时复习深化巩固孔子说过：“温故而知新”，讲述的就是要及时复习这样一个道理。

二次三项式的因式分解(用公式法)

二次三项式的因式分解（用公式法）引言在代数学中，因式分解是一个重要的概念和技巧。

它可以将一个多项式表达式分解为较简单的乘积形式。

在本文中，我们将重点讨论二次三项式的因式分解，并介绍一种常用的方法——公式法。

二次三项式的定义二次三项式是指具有以下形式的多项式表达式：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是实数且a ≠ 0。

公式法的基本原理公式法是一种通过使用特定的公式来分解二次三项式的方法。

具体来说，我们可以使用下面的公式来完成因式分解：f(x) = a(x - x1)(x - x2)其中，x1和x2为f(x)的根（也就是函数图像与x轴的交点）。

公式法的步骤下面是使用公式法进行二次三项式因式分解的一般步骤：1.计算二次三项式的判别式Δ。

判别式Δ的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。

根据Δ的值可以判断二次三项式的根的情况。

–当Δ > 0时，二次三项式有两个不相等的实根。

–当Δ = 0时，二次三项式有两个相等的实根。

–当Δ < 0时，二次三项式没有实根，但可以分解为两个共轭复根。

2.根据根的情况计算x1和x2。

–当Δ > 0时，根据求根公式：x1 = (-b + √Δ) / 2ax2 = (-b - √Δ) / 2a–当Δ = 0时，二次三项式只有一个实根，即 x = -b / 2a。

–当Δ < 0时，二次三项式的根可以表示为复数形式：x1 = (-b + i√(-Δ)) / 2a和 x2 = (-b - i√(-Δ)) / 2a。

3.代入公式进行因式分解。

将计算得到的x1和x2代入公式f(x) = a(x -x1)(x - x2)，即可得到该二次三项式的因式分解形式。

示例为了更好地理解公式法的使用，我们来看一个例子：假设我们有一个二次三项式：f(x) = x^2 + 5x + 6。

首先，计算判别式Δ：Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1由于Δ > 0，说明该二次三项式有两个不相等的实根。

二次三项式的因式分解

在实数范围内分解因式:
1. x 4 x 1
2
2. x 4 x 1
2
可以用配方法分解吗?
在实数范围内分解因式:
1. 3x 6 x 2
2
2. 1 3x 5x
2
3. 9 y 6 y 1
2
2
4.
9 y 6 y 1
2
关于x的方程 m 4 x nx 0 有两根为 3 2 3 2 x1 , x2 , 则二次三项式 2 2 2 m 4 x nx 可因式分解为____________
2
x 3x 2 x 3 x 40
2 2 2
4.
6.
2 x 5x 2 x 2 xy 6 y
2
2 2 a 4ab 6b 7. 8. 2 x y 7 xy 4 2 2 9. 4 x 16xy 15 y 10. a 5 16a 3 36a
在实数范围内分解因式:
1. 2 x 4
2
2. x 11x 12
2
选方法:除了提取公因式法之外,应首先考虑
公式法十字相乘法能否运用__________或______________ 进行分解.
在实数范围内分解因式:
1. x 5
2
2. 2 x 9
2
3. x 1 4x 1 6 y 5 2 y 12
2
3x 2 x 4
2 2
m 2 2m 3 8. 4 x 4 x 1 x 3x x
3 2
10.
在实数范围内分解因式: 1. 3. 5.
x 8
2 2 4
2.
2x 3y

二次三项式的因式分解

二次三项式的因式分解ax^2 + bx + c其中，a、b和c都是实数，且a不等于0。

公式法的基本思想是通过求解二次三项式的根来进行因式分解。

我们知道，二次三项式的根就是使得多项式等于0的变量值。

根据二次方程的求根公式，二次三项式的根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中±表示两个根，分别对应加号和减号。

如果二次三项式存在实数根，则说明它可以因式分解为一个一次因式和一个二次因式。

如果不存在实数根，则说明它不可约，即不能进一步因式分解。

接下来，我们通过一个具体的例子来说明公式法的具体步骤。

假设我们要因式分解二次三项式x^2-5x+6首先，我们可以计算出系数a、b和c的值：a=1，b=-5，c=6然后，我们可以代入求根公式，计算出二次三项式的根：x1=(-(-5)+√((-5)^2-4*1*6))/(2*1)=(5+√(25-24))/2=(5+√1)/2=(5+1)/2=3x2=(-(-5)-√((-5)^2-4*1*6))/(2*1)=(5-√(25-24))/2=(5-√1)/2=(5-1)/2=2因此，二次三项式x^2-5x+6可以因式分解为：(x-3)(x-2)这个过程可以概括为以下几个步骤：1.计算出二次三项式的系数a、b和c的值。

2.根据求根公式计算出二次三项式的根。

3.根据根的值，将二次三项式进行因式分解。

需要注意的是，如果二次三项式的根是复数，那么它无法进行因式分解，因为我们只能对实数进行因式分解。

在实际应用中，公式法可以帮助我们更好地理解和处理二次三项式，例如求解二次方程、图像的性质等。

同时，我们也可以通过公式法将二次三项式划分为较简单的一次因式和二次因式，便于进一步计算和分析。

第12讲二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用(一)新八年级数学暑假精品课程(沪教版)

第12讲二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用（一）【学习目标】本节涉及的二次三项式的因式分解，是不能直接运用十字相乘法进行因式分解，针对此类的二次三项式要借助一元二次方程的知识进行解答．同时，通过本节的学习，充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系．其次，会运用方程思想解决实际问题，重点问题找到题目中的等量关系，其中列方程思想是本节的重点内容．【基础知识】一、二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．二、一元二次方程应用：利率问题 1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去． 2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）；本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【考点剖析】考点一：二次三项式的因式分解例1．若方程24210y y --=的两个根是115y +=，215y -=，则在实数范围内分解因式2421y y --=____________．【难度】★【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4514514y y ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例2．将2441x x --在实数范围内分解因式___________．【难度】★【答案】4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ．【解析】因为方程24410x x --=的两个根为：1122x +=，2122x -=，所以2441x x --=4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ．【总结】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．例3．将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（）A ．2(1)()3x x ++B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．(32)(1)x x --【难度】★ 【答案】D【解析】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题可以利用公式进行分解，也可以根据选项，将每一个选项乘开之后进行判定．例4．若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【难度】★ 【答案】2211+=x ，2122-=x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．例5．在实数范围内分解因式：（1）28x -；（2）35x x -；（3）2328x x +-；（4）21130x x -+．【难度】★【答案】（1）()()282222x x x -=-+；（2）()()3555x x x x x -=+-；（3）()()232874x x x x +-=+-；（4）()()2113056x x x x -+=--．【解析】（1）（2）中不能够用十字相乘法；（3）（4）可以用十字相乘法．【总结】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解．例6．在实数范围内分解因式：（1）426x x --；（2）42341x x -+．【难度】★【答案】（1）()()()4226233x x x x x --=++-；（2）()()423334131133x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+--+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】将表达式中的2x 看成一个整体，则可以进行十字相乘法或者求根公式法分解．【总结】本题主要考查在实数范围内进行因式分解，注意分解要彻底．例7．在实数范围内分解因式：（1）241x x ++；（2）242x x --．【难度】★★【答案】（1）()(2412323x x x x ++=+++-；（2）()()2422626x x x x --=--．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例8．在实数范围内分解因式：（1）2231x x +-；（2）2423x x +-；（3）2361x x -+；（4）2633x x +-．【难度】★★【答案】（1）2317317231244x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2113113423444x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+-=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）23636361333x x x x ⎛⎫⎛⎫+--+=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（4）233633623x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例9．在实数范围内分解因式：（1）2621x x --+；（2）24411x x -++．【难度】★★【答案】（1）21717621666x x x x ⎛⎫⎛⎫+---+=-++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）21231234411422x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++=--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例10．在实数范围内分解因式：（1）222x ax a --；（2）2231211x xy y ++；（3）2241x y xy +-；（4）22285x xy y -+．【难度】★★【答案】（1）()()22222x ax a x a a x a a --=---+；（2）22636331211333x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫+-++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2211711741488x y xy xy xy ⎛⎫⎛⎫+-+-=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（4）224646285222x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫+--+=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．例11．二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【难度】★★【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ．【解析】（1）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解，则方程23420x x k -+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅--=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k -+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅--=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k -+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅--=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．考点二：一元二次方程应用：利率问题例1．某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？【难度】★【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％； ∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．例2．某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%的利息税，1.07744 1.038=）．【难度】★ 【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x ，由题意可列方程：()44.107795110002=+x ％，则()07744.19512=+x ％，解：038.1951±=+x ％（负值舍去），04.0=x ．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x ％9511000+，而不是()x +11000．例3．王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税）【难度】★★【答案】设第一次存款时的年利率为x ，则可列方程为：()[]()53090150011000=+-+x x ％．【解析】注意年利率的变化．例4．李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率．【难度】★★ 【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x ，则可列方程为()[]()1308143511500=+-+x x ，化简可得：0818555002=-+x x ，分解可得：()()0910095=-+x x ，解：591-=x （负值舍去），09.02=x ．答：这种债券的年利率为9％．【总结】本题中需要注意对题意得理解以及解方程的方法．【过关检测】一、选择题1（2019浦东一署10月考4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（） A.2615x x +-； B. 2373y y ++； C.2224x x --； D.2245y y -+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac -=-⨯⨯=-<,故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.2.（浦东南片2019期中4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（） A.1562-+x x B.3732++y y C.422--x x D.22542y xy x +- 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac -=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y -=-⨯⨯=-,又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴-<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.3.（2019曹杨10月考4）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（） A.2411x x +-； B. 2373y y ++; C. 224x x --; D. 22245x xy y -+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac -=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac -=-⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac -=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y -=-⨯⨯=-,又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴-<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解.故答案选D.4.（青浦实验2019期中2）二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（）A. B.C. 2(x+)(x-22D. 2(x-)(x-)22【答案】D ；【解析】解：令2x 2-8x +5=0，解得：x 1x 22x 2-8x +5=2(x x ．故选D ．二、填空题5.（浦东四署2020期末9）在实数范围内分解因式：232x x --＝ .【答案】3322x x ⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【解析】解：因为方程2320x x --=的两根为x =，故232x x --=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 6.（青浦实验2019期中15）在实数范围内因式分解：222x x --=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x --=的解是1x =2x =所以222x x --=2(x x ．7.（嘉定区2019期中12）在实数范围内分解因式：243x x --= ____________________．【答案】(22x x --；【解析】解：解方程x 2-x-3=0，得x=2则：x 2-4x-3=(22x x ---.8.（西延安2019期中11）在实数范围内因式分解：2221x x --=______.【答案】1313222⎛⎫⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x ；【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫-⋅+-- ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=221322x ⎡⎤⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦= 1313222x x ⎛-- ⎝⎭⎝⎭=13132x x ⎛+- ⎝⎭⎝⎭. 9（徐教院附2019期中13）在实数范围内分解因式:241x x --=______________ 【答案】(2525x x ---；【解析】解：原式=2445x x -+-=()2225x --=(2525x x -+-.10（浦东新区2020期末10）在实数范围内分解因式：2225x x --=____．【答案】1111112()(2222x x ---+；【解析】解：2225x x --=21112()42x x -+-=21112()22x --=21112()24x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦111111=2(22x x --，故答案为：1111112()()22x x --． 11.（浦东南片2020期末9）如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值）【答案】5；【解析】解：当241640b ac m -=-<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等. 三、解答题12．（2019·上海八年级课时练习）在实数范围内分解因式：（1）224x x --；（2）223x xy y --. 【答案】（1）(1515x x --- （2）31331322x y x y ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案；（2）先解方程2230x xy y --=，然后分解因式即可．【详解】（1）原式=（x 2﹣2x +1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1x ﹣1（2）∵2230x xy y --=的解是x y =，∴原式=3322x y x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键． 13.（浦东南片2019期中21）在实数范围内将关于x 的二次三项式因式分解：（1）231x x +- （2）2232y xy x --.【答案】（1）(x x ；（2）2()()x y x y ；【解析】解：（1）令2310x x +-=，则9413∆=+=，所以1,2x =231(x x x x +-=；（2）令22230x xy y --=，则2229817y y y ∆=+=，所以1,2x y =，故22232()()x xy y x y x y +-=. 14.（2019曹杨10月考22）分解因式：2235a ab b --.【答案】55366a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆-⨯⨯-=≥，故方程22350a ab b --=的两根为a ，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.15.（2019上外10月考22）如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围．【答案】p ≥﹣1且p ≠0；【解析】解：∵二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，∴px 2+2x ﹣1＝0有实数解，∴△＝4+4p ≥0，且p ≠0，解得：p ≥﹣1且p ≠0．16．（2019·上海八年级课时练习）阅读题：分解因式：223x x --. 解：原式22113x x =++--()2214x x =++-()214x =+-()()1212x x =+++-()()31x x =+-.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +-.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可．【详解】()(224412122121a a a a a +-=+-=+-++ 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键. 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。

二次三项式的因式分解(用公式法)教学案(一)

二次三项式的因式分解（用公式法）教学案（一）一、素质教育目标（一）知识教学点：1．使学生理解二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系．2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式．（二）能力训练点：通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力．（三）德育渗透点：结合教材对学生进行辩证唯物主义观点的教育，进一步渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．三、教学步骤（一）明确目标二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．（二）整体感知一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a （x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．（三）重点、难点的学习与目标完成过程1．复习提问（1）写出关于x的二次三项式？（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．①x2-2x+1=0；解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0；解原方程可变为（x-2）（x-3）=0∴ x1=2，x2=3．③6x2+x-2=0解：原方程可变为（2x-1）（3x+2）=0．观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．②推导出公式=a（x-x1）（x-x2）．这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．③公式的应用例1 把4x2+8x-1分解因式解：∵方程4x2+8x-1=0的根是教师板书，学生回答．由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．练习：将下列各式在实数范围因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3学生板书、笔答，评价．解2 用两种方程把4x2-5分解因式．方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．练习：将下列各式因式分解．（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（四）总结与扩展（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．四、布置作业教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．五、板书设计12.5 二次三项式的因式分解（一）结论：在分解二次三项式例1．把4x2+8x-1分解因式ax2+bx+c的因式时解：………可先用公式求出方程：……ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成练习：………ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）六、作业参考答案教材 P.38中A1（1）（5x+6）（x+1）；（2）（2y-3）（3y-2）；（3）-（2x-6）（2x+5）；（4）（5p-3）（2p+1）；（5）（a+16）（a+24）；（6）（3xy-7）（xy-1）；（7）3（x+2）（2x-7）；（8）（3x+5y）（5x-3y）；A2关于网通联系我们用户注册协议隐私条款免责条款京ICP证020038。

21.3.5求根公式法-二次三项式

归纳：如果一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根是x1、 x2，那么二次三项式x2＋px＋q可以分解为： x2＋px＋q＝．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是 x1、x2，那么： ax2＋bx＋c＝．
把下列多项式在实数范围内进行因式分解： (1) x2－x－1 (2) x2＋8x－1 (3) x2＋2x (4) 4x2－12x－7 (5) 2x2－6x＋4 (6) 25x2＋20x＋1 思考：如果x2－ax－8(a是整数)在整数范围内可以因式分解，求a的值．
21.3※ 二次三项式
因式分解： ①x2－2x＋1 ②x2＋2x ③x2－4 ④y2－5y－6 思考：你能把x2＋8x－1因式分解吗？
Hale Waihona Puke 利用表格让学生观察二次三项式所分解成的因式中的数字与它相对应的方程的根存在怎样的一种关系．二次三项式因式分解相对应方程的根的情况 x2－2x＋1＝(x－1)2 x2－2x＋1＝0 x1＝x2＝1 x2＋2x＝x(x＋2) x2＋2x＝0 x1＝0，x2＝－2 x2－4＝(x＋2)(x－2) x2－4＝0 x1＝2，x2＝－2 y2－5y－6 y2－5y－6＝0 ＝(y＋1)(y－6) y1＝－1，y2＝6 思考：1.对于方程x2＋px＋q＝0，你能得出什么结果？与上面的猜想是否一致． 2.对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试用同样的方法探究 ax2＋bx＋c的分解，你能得出什么结果？

二次三项式因式分解

二次三项式因式分解二次三项式因式分解一、教学目标1.使学生理解二次三项式的意义;知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系;2.使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式;3.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力;4.通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步向学生渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般;5.通过利用一元二次方程根的知识来分解因式，渗透知识间是普遍联系的数学美。

二、重点难点疑点及解决办法1.教学重点：用公式法将二次三项式因式分解。

2.教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。

3.教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。

4.解决办法：二次三项式能分解因式二次三项式不能分解二次三项式分解成完全平方式例1 把分解因式解：∵ 方程的根是教师板书，学生回答。

由①到②是把4分解成22分别与两个因式相乘所得到的，目的是化简①。

练习：将下列各式在实数范围因式分解。

(1);(2)学生板书、笔答，评价。

例2 用两种方程把分解因式。

方法一，解：方法二，解：，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法。

练习：将下列各式因式分解。

学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：(1)要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程，可变形为;但将二次三项式分解因式时，就不能将变形为。

例如用求根公式求得的两个根是后，得出这就错了，这是因为丢掉了系数2。

(2)还要注意符号方面的错误，比如下面的例子如果写成也是错误的。

(3)一元二次方程当时，方程有两个实根。

当时，方程无实根。

这就决定了：当时，二次三项式在实数范围内可以分解;当时，二次三项式在实数范围内不可以分解。

(二)总结、扩展1.用公式法将二次三项式因式分解的步骤是先求出方程的两个根，再将写成形式。

2.二次三项式因式分解的条件是：当，二次三项式在实数范围内可以分解;时，二次三项式在实数范围内不可以分解。

利用求根公式对二次三项式的因式分解

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17.4二次三项式的因式分解--求根公式法

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