空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流

对于定常流动，质量力只有重力，得到 V2 p gz C 2
如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重力的作用）
V2 p C 2
由此说明，只要把速度势函数解出，压强p可直接由Bernoulli方程得到。在这 种情况下整个求解步骤概括为：
3.1、平面不可压位流的基本方程
（1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量；（2）由Bernoulli方程确 定流场中各点的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而大大简 化了问题的复杂性。综合起来，对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程 及其初边界条件为
3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程
对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动方 程组。在第二章中已给出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎样求 解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事。因为 实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基 本方程的解，困难是相当大的。为了简化求解问题，本章首先介绍流 体力学中一类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。这是
初始条件和边界条件为 V V ( x, y, z) p p(x,y,z) 在t=t0时刻， 在物体的边界上 Vn 0 在无穷远处 V V 如果没有无旋流条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的。这是 因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的速度V和压强p相互偶合 影响，需要一并求出。但是，对于无旋流动，问题的复杂性可进一步简化 ，特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无旋运动情况，流场 的速度旋度为零，即 rotV V 2 0 存在速度势函数（位函数）为
i （2）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。满足解的线性迭加原理。 如果速度势函数 满足拉普拉斯方程，则它们的线性组合也满足拉普拉斯 方程。 n n 2i 2i 2i 2 2 2 Cii 2 2 Ci 2 2 2 2 0 x y z x y z i 1 i 1
V u x v y w z
如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到
V 0 u v w 0 x y z 2 2 2 0 x 2 y 2 z 2
3.1、平面不可压位流的基本方程
（3）速度势函数相等的点连成的线称为等势线，速度方向垂直于等势线。
d 0 d V ds 0
V ds
பைடு நூலகம்
3.1、平面不可压位流的基本方程
（4）连接任意两点的速度曲线等于该两点的速度势函数之差。速度线积分与 路径无关，仅决定于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为零。
B V ds (udx vdy wdz)
B A A
( dx dy dz) d B A x y z A A
B B
3、流函数及其性质 根据高等数学中，格林公式可知（平面问题的线积分与面积分的关系）
Q P Pdx Qdy x y dxdy L
由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大家熟知的二阶 线性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果对这个方 程赋予适定的定解条件，就可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。 与压强p没有进行偶合求解，那么如何确定压强呢？在这种情况下，可将速 度值作为已知量代入运动方程中，解出p值。实际求解并不是直接代入运动 方程中，而是利用Bernoulli(或Lagrange)积分得到。对于理想不可压缩流 体，在质量力有势条件下，对于无旋流动，运动方程的积分形式为 V 2 p C (t ) t 2
早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求解真实粘性流动问题
要容易的多。在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有相 当的可信程度。 1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程
u v w 0 x y z 1 dV f p dt
3.1、平面不可压位流的基本方程
如果令
P v Q u u v vdx udy x y dxdy L
3.1、平面不可压位流的基本方程
由此可见，下列线积分与路径无关
vdx udy 0
L
存在的充分必要条件是
u v 0 x y
这是不可压缩流体平面流动的连续方程。这样，下列微分一定是某个函数的全 微分，即 d vdx udy dx dy vdx udy x y u v y x 这个函数称为流函数。由此可见，对于不可压缩流体的平面流动，无论是理想 流体还是粘性流体，无论是有涡流动还是无涡流动，均存在流函数。流函 数的概念是1781年Lagrange首先引进的。流函数具有下列性质 （1）流函数值可以差任意常数而不影响流动。 （2）流函数值相等的点的连线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量 方向重合。
0 n p ps V V
固壁面条件
自由面条件
3.1、平面不可压位流的基本方程
2、速度势函数的性质 （1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方向的速度分量，速度势函数沿 着流线方向增加。由此可得出，速度势函数允许相差任意常数，而不影响 流体的运动。
Vs ds V ds udx vdy wdz V ds dx dy dz Vs u v w ds ds ds ds dx dy dz Vs x ds y ds z ds s
2 2 2 0 x 2 y 2 z 2 V 2 p C (t ) t 2
初始条件 边界条件为
t t0
V V0 ( x, y, z) p p0 ( x, y, z)
无穷远处 在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，及在边界上给定速度势函 数的偏导数。