空气动力学第三章不可压缩无粘流体平面势流
空气动力学前六章知识要点
空气动力学基础前六章总结第一章 空气动力学一些引述1、 空气动力学涉及到的物理量的定义及相应的单位①压强：是作用在单位面积上的正压力，该力是由于气体分子在单位时间内对面发生冲击（或穿过该面）而发生的动量变化，具有点属性。
0,lim →⎪⎭⎫ ⎝⎛=dA dA dF p 单位：Pa, kPa, MPa 一个标准大气压：101kPa②密度：定义为单位体积内的质量，具有点属性。
0,lim →=dv dvdm ρ 单位：kg/㎡ 空气密度：1.225Kg/㎡③温度：反应平均分子动能，在高速空气动力学中有重要作用。
单位：℃ ④流速：当一个非常小的流体微元通过空间某任意一点的速度。
单位：m/s ⑤剪切应力：dy dv μτ= μ：黏性系数 ⑥动压：212q v ρ∞∞∞= 2、 空气动力及力矩的定义、来源及计算方法空气动力及力矩的来源只有两个：①物体表面的压力分布 ②物体表面的剪应力分布。
气动力的描述有两种坐标系：风轴系（L,D ）和体轴系(A,N)。
力矩与所选的点有关系，抬头为正，低头为负。
cos sin L N A αα=- ， s i n c o s D N A αα=+3、 气动力系数的定义及其作用气动力系数是比空气动力及力矩更基本且反映本质的无量纲系数，在三维中的力系数与二维中有差别，如：升力系数S q L C L ∞=（3D ），cq L c l ∞='（2D ）L L C q S ∞≡,D D C q S ∞≡,N N C q S ∞≡,A A C q S ∞≡,M M C q Sl ∞≡,p p p C q ∞∞-≡,f C q τ∞≡ 二维：S=C(1)=C4、 压力中心的定义压力中心，作用翼剖面上的空气动力，可简化为作用于弦上某参考点的升力L,阻力D 或法向力N ，轴向力A 及绕该点的力矩M 。
如果绕参考点的力矩为零，则该点称为压力中心，显然压力中心就是总空气动力的作用点，气动力矩为0。
第三章不可压无粘流详解
7
§3.1 伯努利方程及应用
• 例3-1 用文德利管测流量 文德利管是一段有细腰的管 子，如左图。管截面积由大 变小，又由小变大，都是渐 变的。文德利管的最大截面 面积 A1 和最小截面面积 A2 都是已知的。 把这样的一段管子插接在一条 有低速流体流动的管道里（串 连），如果测得两截面上的流 体静压差(P1-P2)，我们就能用 连续方程和伯努利方程把管道 中的流量算出来。
§ 3.4 基本解叠加（教材3.2与58页3.3）
§ 3.5 库塔－儒可夫斯基升力定理（教材3.3） § 3.6 边界层理论基础（教材4.1） § 3.7 关于真实流动介绍
3
§3.1 伯努利方程及应用
1、无旋流中欧拉方程的积分（拉格朗日积分）
2、有旋流ห้องสมุดไป่ตู้欧拉方程的积分（伯努利积分）
4
§3.1 伯努利方程及应用
6
p V U C 2
2
或
1 2 p V U C 2
§3.1 伯努利方程及应用
在空气的绕流问题中，重力可以略去，上式变为：
1 2 p0 p V 2 譬如远前方有一股平行的直匀 在这里可以将总压 p
理解为驻点压强.
0
P∞ v∞
A
流流过一个上下对称的物体， 如左图。这时气流分成两路绕 物体上下两边流去。现考察中 间分界流线上的流动情况：在 该流线上流体微团的速度越接 近物面越减小，压强则逐渐增 大，一直到驻点A处为止，在 该点处速度已降为零，压强就 达到了最大值即 p0，因此 p0 是 驻点的压强.
上式为定常理想不可压缩有旋流动沿流线成立的伯努利方程。 此外，彻体力有势。 显然上式中的常数 C 只有沿流线才取同一数值。
V2 p U C 2
《空气动力学基础》第3章
压强系数定义
Cp
p p
1 2
v2
Cp
1
v v
2
伯努利方程
p
1 2
v2
p
1 2
v2
Cp
sin 2
sin
2
22:34
28
第三章 不可压理想流体绕物体的流动
§3-2拉普拉斯方程的基本解
直匀流中的点源
直匀流+点源
钝头体低速流动
过驻点流线
固体壁面
外表面的压强系数
驻点处速度为零，压强系数等于1； 向后流动速度迅速增大，压强系数降低；
22:34
11
第三章 不可压理想流体绕物体的流动
§3-1不可压理想流体的无旋运动 §3-2 拉普拉斯方程的基本解 §3-3 绕圆柱的流动
22:34
12
第三章 不可压理想流体绕物体的流动
§3-2拉普拉斯方程的基本解
不可压位流的两个特性：
（1）所满足的基本方程为拉普拉斯方程。 （2）不可压位流的解具有可叠加的特性。
2 2
x2 y2 0
二维流动----平面势流
名称 : 势函数
流函数
条件: 无旋流
引入:
vy vx 0
z x y
定义:
vx x ,vy= y
等值线: Φ=C (等势线)
定常不可压
v vx vy 0
x y
vx y ,vy= x
Ψ=C (流线）
性质: 等势线与速度垂直
流线与等势线正交
位于原点处的点涡
vr 0
v
2 r
速度位 arctan y
2 2
x
流函数 ln r ln(x2 y2 )
五理想流体不可压缩无粘性流体平面势流
5.4.3 点涡
物理背景: 与平面垂直的直涡线（强度为Γ ）诱导的流场。
当点涡位于原点O，势函数和流函数为
速度分布式为
2
lnr 2
vr r 0
v
1 r
2 r
第10页/共21页
5.4.4 偶极子
物理背景 点源点汇无限接近(δ →0)形成的流场。
v t
v
v
f
p
兰姆—葛罗米柯方程 （无粘)
v t
v2 2
v
v
f
p
2. 欧拉积分（无粘、无旋 v2
dp
正压、重力 、定常）
gz
常数 (全流场）
2
伯努利积分（无粘、无旋 v2
u kx,
1 2
kx2
f(y)
y
f
'(
y
)
v
ky,
f
(
y
)
1 2
ky2
C
上式中C为常数。速度势函数为
1 2
k(
x2
y2
)
C
(a)
等势线方程为x2-y2=常数，在xy平面上是分别以第一、三象限角平分线和第
二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如图CE2.3.2中的虚线所示。
挑选一些基本解φ i(ψ i)，叠加后若满足边界条件即是所求之解。
理想不可压缩流体的平面势流及旋涡运动
同心圆。当 ，
故源点是奇点，
不讨论。
流函数ψ
由
0
积分
ψ＝const 为流线，即θ=const，流线是 半射线。等φ线与等ψ线正交。
3.点源的压力分布 在源上任取一点与无穷远处写能量方程
将 ， 代入
p
有
P与r成抛物线正比。r
p;r p
r r0
三、点涡
点涡：无限长的直 线涡束所形成的平 面流动。除涡线本 身有旋外涡线外的 流体绕涡线做等速 圆周运动且无旋。
α
L
将矢量 、 分别 表示：
故对封闭周线 L的环量为：
环量是一个标量，它的正负取决 于速度方与线积分的方向。
当速度方向与线积分方向同向时取正， 反向时取负。若是封闭周线，逆时针 为正，顺时针为负。
例：不可压缩流体平面流动的
速度分布为
，
求绕圆
的速度环量。
解：
积分路径在圆上，有
四、斯托克斯定理 斯托克斯定理：任意面积A上的旋
由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使 成为某一个函数
全微分的充要条件，即
而当 t 为参变量，
的全微分为
比较两 式有：
柱坐标
把
称为速度势函数简称势函数
无论流体是否可压缩，是否定常 流只要满足无旋条件 ，总有势函数存 在。故理想流体无旋流也称势流。
用势函数表示速度矢量：
2、势函数的性质
1）流线与等势面垂直
3）流函数ψ与势函数φ的关系：
对不可压平面势流，流函数和势函数同时 存在，它们之间关系是
a:
b: 等φ线与等ψ线垂直
前已证明，流线与等势面垂直，
而
的线是流线故等φ
线与等ψ线垂直。
不可压缩流体的平面势流
qv ln r 2 2
qv ln r 2 2
由流函数便可得到流线方程 qv ln r C 该式可以写 为 qv C
r e
这是一族对数螺线，它的速度分布为
流体一面在作径向运动，一面又在作旋转运动，二者的合成运动 即为螺旋运动。
qv Vr r 2 r V r 2 r
9.3几种简单平面势流的叠加势流
9.3.1螺旋流(点源或点汇＋点涡)
将平面势流点源(或点汇)流动和平面势流点涡流动叠加便得 到一种新的平面势流，称为螺旋流或源环流(汇环流)，螺旋流中 流体既作旋转运动，同时又作径向运动，它的轨迹呈螺旋状，故 称螺旋流。根据势流叠加原理，螺旋流的势函数和流函数分别为：
由上述流函数公式可知在y0及半径为r的圆柱上流函数等于零这是一条零流线由此得到代入上述流函数和势函数公式得复合流动的流函数和势函数表达式924925零流线令924的圆柱面即零流线是一条从负无穷远沿轴来的流线在圆柱的前驻点与圆柱相撞分为图96零流线分为上下两条流线研圆柱的上表面和下表面流动然后在圆柱的后驻点又汇合成一条流线再沿x轴正向朝正无穷远流去
qv qv Vr 2 r 2 x2 y 2
其分速为
qv Vx Vr cos 2 r qv Vy Vr sin 2 r
x qv x r 2 x2 y 2 y qv y r 2 x2 y 2
根据以上速度分布，就可以容易地求出点源 数和流函数来： qv x dx y dy qv d Vx dx Vy dy 2 2 2 x y 4 qv x dy y dx qv d Vy dx Vx dy 2 2 2 x y 2
流体力学不可压缩无粘流动流体力学
不可压缩无粘流动的流体动力学6 不可压缩无粘流动的流体动力学6无粘流动的应力场1 无粘流动的应力场6 1-1, z方向上微元质量应用牛顿第二定律,微元质量应用牛顿第二定律方程两边同除以dxdydz是微小量y方向的牛顿第二定律可以得出对运动的无粘流体而言，点的正应力各向对运动的无粘流体而言一点的正应力各向相同（即是一个标量），无粘流体中正应力等于热力学压强的负值，即等于热力学压强的负值无摩流动动方程欧方程无摩擦流动的动量方程：欧拉方程2 无摩擦流动的动量方程：欧拉方程6-2N S方程N-S方程在无摩擦流动中不存在剪应力，正应力是热力学压强的负值如果重力是唯一的质量力如果z坐标是垂直方向欧拉方程对于重力是唯的质量力的情况，柱对于重力是唯一的质量力的情况，柱坐标形式的分量方程如下：z轴是垂直向上的，因此，g r gθ，g z g=g=-做刚体运动的流体的欧拉方程3 做刚体运动的流体的欧拉方程6-3流体被加速而在相邻流体层之间没有相对运动，即，流体做没有变形的运动时，就不会产生剪应力。
运用合适的自由体动方程我们确定流体内体运动方程，我们可以确定流体内压强的变化。
的变化直线加速运动的流体绕着垂直轴线做稳定旋转运动的流体欧拉方程可以解决非惯性坐标系中做刚体运动的流体内压强分布的问题，可以得到相同的结果。
流线坐标中的欧拉方程6-44 流线坐标中的欧拉方程流线？定常流动中，流体质点的运动轨迹？流线坐标定常流动中，沿着流线：定常流动中，沿着流线的位移是用于描述运动方程较好的坐标坐标。
在非定常流动中，流线可以给出瞬在非定常流动中流线可以给出瞬时速度场的图形表示时速度场的图形表示。
运动方程可以写成沿着流线的位移坐标sn以及流线的法向位移坐标的表达式在流动方向上（即s方向）对体积为dsdndx的微元流体应用牛顿第二定律，并忽略粘性力β是流线的切线和水平方向的夹角αs 是流体质点沿着流线方向的加速度在流动方向上流体质点的随体加速度在具有垂直方向的z轴坐标系中沿着流线方向标系中，沿着流线方向对于定常流动，忽略质量力时，在流动方向上的欧拉方程速度的减小伴随着压强的增加，成反比关系。
流体力学C2 不可压缩无粘性流体平面势流
流函数的物理意义
流线是流体不可能穿越线，也不能穿越固体表面， 故固 体 表面 也 可看 作 是流 线 。通 常 是以 零 流线 （ψ =0）的流线代表物体表面。 流函数的值线又代表流量。 流过PQ连线的流量: dψ =ψ 2-ψ 1 Q y 流出QR边的流量:udy V u 流出PR边的流量:vdx dψ = udy - vdx v dy P dx R 两流线中间任何一个截面上流过的 流量都是相等的。 x o 流线与流线一般是不相交的。 ψ1 ψ2 (流速为0或无限大处流线可分叉) ψ3
定常不可压理想流体无旋流动速度势函数
不可压缩流场中速度场的散度为0,满足连续方程为： ∂u/∂x+ ∂v/∂y+ ∂w/∂z = 0 速度势Ф （或速度位） ： V = ▽Ф 其全微分形式：dФ = udx + vdy + wdz 其中： u = ∂Ф /∂x， v = ∂Ф /∂y， w = ∂Ф /∂z 定常不可压理想流体无旋流动应的满足基本方程： ∂2Ф /∂x2+ ∂2Ф /∂y2+ ∂2Ф /∂z2 = 0 令拉普拉斯算子▽2 = ∂2/∂x2+ ∂2/∂y2+ ∂2/∂z2 即不可压缩无旋流动的速度势满足拉普拉斯方程： △Ф = 0 或 ▽2Ф = 0
C2.3.2 流函数
1.流函数的引入
不可压缩流场中速度场的散度为0： u v u (v) ▽· = 0 V 0 0 x y 平面不可压定常流连续方程为：x y 为函数Ψ (流函数)的偏导数: u ,v
x
y 2 2 ( ) ( ) 0 则 x y y x xy yx d dx dy vdx udy x y 流函数: 1 d dr d r r 1 柱坐标： Vr , V r r 与速度关系为:
C2不可压缩无粘性流体平面势流 ppt课件
〖讨论〗①欧拉和葛罗米柯方程都是忽略了粘性，所以只
适用于理想流体； ②它们即适用于可压无粘流,也适用于不可压无粘流； ③对于气体，方程中体积力和压力相比很小，可略去,对液 体不能略； ④对无旋运动,用葛罗米柯方程较方便,旋度为0,方程简化。
ppt课件 4
C2.2.2 无旋流动的伯努利方程
① 如流动为无旋流动，则： v 0
② 如体积力仅为重力，则：
v 0 ③如流动为定常流动，则： t
f ( gz)
v2 1 所以，兰姆—葛罗米柯方程为： ( ) ( gz) p 2 上式两边同乘 dr dxi dyj dzk ，得：
v 1 d ( ) d ( gz) dp 0 2
ppt课件
z
r
ir
y
x
10
速度分量： vr r ,
1 v r
vz z
绕z轴的旋度:
1 (rV ) Vr z r r
z 等势线 速度矢量
2.势函数等势线：势函数Φ (x,y,t)的等
值线(dΦ=0)称为等势线。
ppt课件 9
速度：
v i j x y
函数Φ (x,y,t)称为速度势函数，简称速度势。
结论：无旋流动一定存在速度势。
在柱坐标系(r,,z)中
v vr ir v i vz iz
O
θ
z
iz
iθ
哈密顿算子： 1 ir i iz r r z
C2.2 无粘性流体无旋流动一般概念
C2.2.1 欧拉运动方程
无粘性流体：无剪应力，只有法线方向的压强p：
哈尔滨工业大学空气动力学自编教材03第3章不可压缩无黏流动-航院2012
与x轴平行均匀流 v0 x, v0 y 与y轴平行均匀流 v0 y, v0 x
5
点源/汇
流体从一点径向均匀的向外流出 流体径向均匀的流向一点
源/汇强度 q 2 rvr
速度势函数
vr
q 2 r
r相同则相同 同心圆簇
点源 q vr q q r 2 r dr d ln r ln x 2 y 2 d 1 r 2 2 v 0 r q q ln r ln x 2 y 2 点汇 2 2 流函数
空 气 动 力 学
第三章 不可压缩理想/无黏/无旋/有势流动
授课教师：陈浮
哈尔滨工业大学 能源科学与工程学院 推进理论与技术研究所
1
4学时
教材：空气与气体动力学引论 李凤蔚
1.第三章p64~87。
2
拉普拉斯方程
1 v y vx 0 2 x y 2 2 二维不可压缩有势流动流函数 2 2 2 0即 0 满足拉普拉斯方程 x y vx , vy y x
6
点涡
涡管半径r0时蜕化为涡丝 垂直于无限长直涡丝的各平行平面中的流动称点涡
c
速度势函数
0 y r d dr d 0 0 arctan 0 1 r 2 2 x v r 2 r 随变化径向线 vr
z
不可压缩有势流动势函数 满足拉普拉斯方程
1 , v r r vx v y vz 0 2 2 2 x y z 2 2 2 2 0即 0 x y z vx , vy , vz x y z 圆柱坐标系 1 vr , v +d=const r r vr
C2 不可压缩无粘性流体平面势流
v p + gz + = C 2 ρ
说明：该式同沿流线的伯努利方程相同。 说明：该式同沿流线的伯努利方程相同。
6
2
C2.2.3 有关无旋流动的几个概念
1.速度环量 1.速度环量
速度环量Γ 在速度场中沿封闭周线的线积分. 速度环量Γ：在速度场中沿封闭周线的线积分. Γ=∮lV·dl （V=ui+vj+wk，dl=dxi+dyj+dzk） d =∮lVcosαdl = ∮l(udx+vdy+wdz) 环量积分方向： 环量积分方向： z Vcosα 取逆时针方向为正， 取逆时针方向为正， l dl α 顺时针方向为负。 顺时针方向为负。 V
证明：如下图所示，在二维流动中， 证明：如下图所示，在二维流动中，有两条流函数的等 在两等值线（流线）上任取两点Q 值线ψ 值线ψ1、ψ2，在两等值线（流线）上任取两点Q，P，过 两点分别作垂直于x,y轴的直线相交于R x,y轴的直线相交于 Q、P两点分别作垂直于x,y轴的直线相交于R点，则： 通过QR边流出的流量：udy； 通过QR边流出的流量：udy； QR边流出的流量 u 通过PR边流入的流量：vdx； PR边流入的流量 通过PR边流入的流量：vdx； V 通过PQ边流入的流量： PQ边流入的流量 通过PQ边流入的流量： v dy P R dx udyudy-vdx=dψ=ψ2-ψ1 所以，流经P,Q P,Q两点任意连线的 所以，流经P,Q两点任意连线的 o 流量等于这两点流函数值之差。 流量等于这两点流函数值之差。 ψ1 ψ2 ψ3
r r r ∂v r ρ[ + (v ⋅ ∇)v ] = ρf − ∇p ∂t
∂w ∂w ∂w ∂w ∂p +u +v + w ) = ρf z − ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z
不可压缩流体的平面势流解读
第六章不可压缩流体的平面势流§ 6-1有势流动的速度势函数、速度势函数：对于无旋流动，有(1) 根据数学分析可知：上式成立是 udx 「dy • wdz 成为某一函数 (x, y ,z,t)的 全微分的充要条件。
，称为速度势函数，简称速度势。
即：d 二 udx dy wdzd 」dx dy dz 又有：x ■:y:zC^P.u =u = w =—x， ■y ，:z又由矢量分析:---- 汐-即-茯.V = ui i wk 二—i ——i — k excy cz即速度势的梯度等于流场的速度。
切向速度: 轴向速度：由此可见，'对任意方向的偏导数，就是速度V 在该方向的投影，这是'的 一个重要性质。
函数(x, y , z,t)称为速度势函数，简称速度势，对无旋流动 (rotV =0)，总有速度势存在，所以，无旋流动也称为有势流动。
在有势流动中，厂和「的关系为：…:wcv.z .:u:w ；:xdo :：u.x在柱坐标中：径向速度:■ rc rz■czB■一 BB『AB = .A V ds 二:A udx ： dy wdz = A d ：= B - ：A⑶即在有势流动中，沿AB 曲线的切向速度线积分（速度环量）等于终点B 与起 点A 的速度势之差。
又：在有势流动中，沿任一封闭周线K 的速度环量r = ■ V ds 二:K udx dy wdz =：« d :若「是单值或由斯托克斯定理，则 K^ =0、势函数方程郡PW —■:y ， :z 代入不可压流体连续方程: .u-w c.x :y :z 宀宀2 2则有：：：x 訶-2_ 2 2汶-:y :z称为拉普拉斯算子） （其中即在不可压流体的有势流动中，速度势 ，满足拉普拉斯方程。
凡是满足拉普拉斯方程的函数，数学上称为调和函数，所以，速度势点数是一个调和函数。
对柱面坐标，’的拉普拉斯方程为：1 二.丄二 c r 2r a r 胡2讯c<PU r = U J=〔推导过程为：将r ：丁，- rK ， z 江代入柱面坐标的连续方程，即可〕 根据以上讨论可知：只要流体流动无旋。
高等流体力学--无粘性不可压缩流体的无旋运动 ppt课件
ppt课件
5
第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组
不可压缩的假设：
❖ 在自然界通常的条件下，流体(液体和气体)的运 动速度较低，压缩性的影响可以忽略。
❖ 可把液体和低速气体近似作为不可压缩流体。
无旋的假设：
❖ 涡保持性定理指出，在一定条件下(体力有势、 正压、无粘性)，如果在流体中初始时刻没有涡 量的话，以后就永远不能具有涡量。
关于速度势函数的说明：
• 速度势满足拉普拉斯方程的条件： 2 0 (1) 流动无旋；(2) 流体不可压。
• 对于粘性不可压缩流体，如果运动无旋，则也 存在速度势函数，且同样满足拉普拉斯方程， 但边界条件要发生变化。(什么变化？)
• 速度势满足拉普拉斯方程与流动是否定常无关； 对于非定常流动，时间 t 在方程中以参数的形 式出现。
• 在原基本方程组中，速度与压强耦合，引 入速度势函数后，基本方程组转化为只需 求解速度势就可以了，成为一个纯数学问 题；在求得速度势和流动速度后，代入运 动方程即可求解压强。
ppt课件
9
第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组
二、速度势函数
压强的求解：
正压
体力势
函数
对于正压和体力有势流体，当流动无旋时， 存在拉格朗日积分：
rotv 0
v x, y, z,t
divv 0
v
2 0
代入不可压 流体连续性
方程
ppt课件
拉普拉斯方 程
8
第一节 无粘性不可压缩流体无旋运动方程组
2 0
v
引入速度势函数的意义：
二、速度势函数
Dv Dt
Fb
1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
d 0 d V ds 0
V ds
3.1、平面不可压位流的基本方程
（4）连接任意两点的速度曲线等于该两点的速度势函数之差。速度线积分与 路径无关，仅决定于两点的位置。如果是封闭曲线，速度环量为零。
2 2 2 0 x 2 y 2 z 2 V 2 p C (t ) t 2
初始条件 边界条件为
t t0
V V0 ( x, y, z) p p0 ( x, y, z)
无穷远处 在流体力学中的边界条件多数属于第二类边界条件，及在边界上给定速度势函 数的偏导数。
3.1、理想不可压缩流体平面位流的基本方程
对于理想不可压缩流体，流动的基本方程是连续方程和欧拉运动方 程组。在第二章中已给出这些方程的推导过程，本章应该讨论怎样求 解这些方程。但是，要想得到这些偏微分方程的解，并非易事。因为 实际飞行器的外形都比较复杂，要在满足这些复杂边界条件下求得基 本方程的解，困难是相当大的。为了简化求解问题，本章首先介绍流 体力学中一类简单的流动问题，理想不可压缩流体的无旋流动。这是
如果令
P v Q u u v vdx udy x y dxdy L
3.1、平面不可压位流的基本方程
由此可见，下列线积分与路径无关
vdx udy 0
L
存在的充分必要条件是
u v 0 x y
这是不可压缩流体平面流动的连续方程。这样，下列微分一定是某个函数的全 微分，即 d vdx udy dx dy vdx udy x y u v y x 这个函数称为流函数。由此可见，对于不可压缩流体的平面流动，无论是理想 流体还是粘性流体，无论是有涡流动还是无涡流动，均存在流函数。流函 数的概念是1781年Lagrange首先引进的。流函数具有下列性质 （1）流函数值可以差任意常数而不影响流动。 （2）流函数值相等的点的连线是流线。即等流函数线的切线方向与速度矢量 方向重合。
对于定常流动，质量力只有重力，得到 V2 p gz C 2
如果忽略质量力（在空气动力学中经常不考虑重力的作用）
V2 p C 2
由此说明，只要把速度势函数解出，压强p可直接由Bernoulli方程得到。在这 种情况下整个求解步骤概括为：
3.1、平面不可压位流的基本方程
（1）根据纯运动学方程求出速度势函数和速度分量；（2）由Bernoulli方程确 定流场中各点的压强。这使得速度和压强的求解过程分开进行，从而大大简 化了问题的复杂性。综合起来，对于理想不可压缩流体无旋流动，控制方程 及其初边界条件为
由此可见，利用无旋流动和连续条件所得到的这个方程是大家熟知的二阶 线性偏微分方程，拉普拉斯方程，这是一个纯运动学方程。如果对这个方 程赋予适定的定解条件，就可以单独解出速度位函数，继而求出速度值。 与压强p没有进行偶合求解，那么如何确定压强呢？在这种情况下，可将速 度值作为已知量代入运动方程中，解出p值。实际求解并不是直接代入运动 方程中，而是利用Bernoulli(或Lagrange)积分得到。对于理想不可压缩流 体，在质量力有势条件下，对于无旋流动，运动方程的积分形式为 V 2 p C (t ) t 2
初始条件和边界条件为 V V ( x, y, z) p p(x,y,z) 在t=t0时刻， 在物体的边界上 Vn 0 在无穷远处 V V 如果没有无旋流条件进一步简化上述方程，求解起来也是很困难的。这是 因为方程中的对流项是非线性的，而且方程中的速度V和压强p相互偶合 影响，需要一并求出。但是，对于无旋流动，问题的复杂性可进一步简化 ，特别是可将速度和压力分开求解。这是因为，对于无旋运动情况，流场 的速度旋度为零，即 rotV V 2 0 存在速度势函数（位函数）为
0 n p ps V V
固壁面条件
自由面条件
3.1、平面不可压位流的基本方程
2、速度势函数的性质 （1）速度势函数沿着某一方向的偏导数等该方向的速度分量，速度势函数沿 着流线方向增加。由此可得出，速度势函数允许相差任意常数，而不影响 流体的运动。
Vs ds V ds udx vdy wdz V ds dx dy dz Vs u v w ds ds ds ds dx dy dz Vs x ds y ds z ds s
早期流体力学发展的一种理想化近似模型，比求解真实粘性流动问题
要容易的多。在粘性作用可忽略的区域，这种理想模型的解还是有相 当的可信程度。 1、不可压缩理想流体无旋流动的基本方程
u v w 0 x 、平面不可压位流的基本方程
B V ds (udx vdy wdz)
B A A
( dx dy dz) d B A x y z A A
B B
3、流函数及其性质 根据高等数学中，格林公式可知（平面问题的线积分与面积分的关系）
Q P Pdx Qdy x y dxdy L
i （2）速度势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。满足解的线性迭加原理。 如果速度势函数 满足拉普拉斯方程，则它们的线性组合也满足拉普拉斯 方程。 n n 2i 2i 2i 2 2 2 Cii 2 2 Ci 2 2 2 2 0 x y z x y z i 1 i 1
V u x v y w z
如果将上式代入不可压缩流体的连续方程中，得到
V 0 u v w 0 x y z 2 2 2 0 x 2 y 2 z 2
3.1、平面不可压位流的基本方程