高考数学总复习 10.3 组合夯实基础 大纲人教版

10.3 组合
巩固·夯实基础
一、自主梳理
1.从n 个不同元素中,任取m(m ≤n)个元素组成一组,这样的问题称为组合问题.如果两组合中的元素完全相同,不管顺序怎样,都是相同的组合,元素不同时,两组合才不同.
2.排列与组合的区别在于一个与顺序有关,一个与顺序无关.
3.组合的概念:从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m
个元素的一个组合,组合的个数叫组合数,用C m n 表示.
4.组合数公式C m n =!
)!(!m m n n -. 5.组合数的两个性质:
(1)C m n =C n-m n ;(2)C m n+1=C m n +C m-1n .
二、点击双基
1.(北京高考)北京《财富》全球论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为( )
A.C 12
14C 412C 48 B.C 12
14A 412A 4
8 C.33
484121214A C C C D.C 1214C 412C 48A 33 解析:首先从14人中选中12人为C 12
14,然后将12个人平均分为3组为334448412A C C C ••,然后这两步相乘,得33
484121214A C C C .将三组分配下去为C 1214·C 412·C 48. 答案:A
2.(北京东城综合检测)A 、B 两点之间有6条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4,现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有( )
A.13种
B.14种
C.15种
D.16种
解析:当选用信号量为4的网线时有C 25种;当选用信号量为3的网线时有C 12C 12+1
种.C 25+C 12C 12+1=15.
答案:C
3.(威海质量检测)将4名教师分配到三所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有( )
A.12种
B.24种
C.36种
D.48种 解析:先将4名教师分成三组每组至少一人,则必有一组中有两个教师,其余三组每组一位教
师,共有C 24种分组方法.再将这三组教师分配到三所学校去,则共有A 33种分法,故共有C 24·A 33种分配方案,即应选C.
答案:C
4.(经典回放)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为___________________.
解析:设四棱锥为P —ABCD.(1)P:C 15,A:C 14，B:C 13，C 与B 同色:1，D ：C 13.
(2)P:C15，A：C14，B：C13,C与B不同色C12，D：C12.
共有C15·C14·C13·1·C13+C15·C14·C13·C12·C12=420.
答案:420
5.某校准备参加2010年全国高中数学联赛,把10个名额分配给高三年级8个班,每班至少1人,不同的分配方案有______________________种.
解析:把10个名额分成8份,每份至少一个名额即可,用隔板法:C79=C29=36.
答案:36
诱思·实例点拨
【例1】8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各4人,分别进行单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐3、4名,则大师赛共有_______________场比赛.
剖析:一共进行三次比赛,所以本题分三类,第一类:单循环赛;第二类:淘汰赛;第三类:冠、亚军和第3、4名角逐赛.
解:(1)每组有C24场比赛,两组共有2C24场,(2)每组的第一名与另一组的第二名比赛有2场,(3)决出冠军和第3名各1场,所以共有2C24+2+1+1=16场.
答案:16
讲评:本题是按事件发生的顺序进行分类.分类时要注意防漏.
【例2】某医院有内科医生12名,外科医生8名,现要选派5名参加赈灾医疗队,则
(1)某内科医生必须参加,某外科医生不能参加,有几种选法?
(2)至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加,有几种选法?
剖析:正确理解题意中的关键性词语,从“在”与“不在”“至少”中寻求解题思路.
解:(1)某内科医生参加,某外科医生不参加,只需从剩下的18名医生中选4名即可,故有C4下标18=3 060种.
(2)方法一(直接法):至少有一名内科医生和至少有一名外科医生当选可分为四类:一内四外;二内三外;三内二外;四内一外,共有C112C48+C212C38+C312C28+C412C18=14 656(种).
方法二(排除法):事件“至少有一名内科医生和至少有一名外科医生”的反面是“全部为内科医生或外科医生”,共有C512+C58种选法,则C520-(C512+C58)=14 656种.
讲评:本题属有限制条件的组合问题,“含”与“不含”,“最多”与“至少”是常见题型.“含有”一般先将这些元素取出,不足部分由另外的元素补充,“不含”可将这些元素剔除,再从剩下的元素中去取.解“最多”与“至少”问题,是用直接法还是排除法,要具体问题具体分析,一般是正难则反.
【例3】某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选取会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法?
剖析:如图,以会英语为基础分类,选取的一名会英语可从只会英语的人员中抽取,也可从既会英语又会日语的人员中抽取.
解:由题意可知,只会英语的有6人,只会日语的有2人,英语和日语都会的有1人.
以只会英语的人数分类,C06·C11·C12+C16·C23=20.
讲评:对于有关元素为“多面手”的问题,应该按照“多面手”有没有被选入,选中的“多面手”作何用,进行分类.
【例4】如图，从一个3×4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条？
剖析:从A 到B 的最短路线，均需走7步，包括横向的4步和纵向的3步，于是我们只要确定第1,2,…,7步哪些是横向的,哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪几步是横向走.所以每一条从A 到B 的最短路线对应着从第1,2,…,7步取出4步(横向走)的一个组合.
解:从A 到B 的最短路线共有C 47=C 37=35条.
讲评:注意本题的转化思想,本题的实质是从7步中确定哪4步横走的问题.
链接·拓展
依据上题的思路,请思考以下两题:
1.某城市由n 条东西方向的街道和m 条南北方向的街道组成一个矩形街道网,如图所示.要从A 处走到B 处,使所走的路程最短,有多少种不同的走法?
解:将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A 到B 需要走（n+m-2)段，而这些段
中，必须有东西方向的(n-1)段，其余的为南北方向的（m-1)段，所以共有C m-1m+n-2=C n-1m+n-2种
走法.
2.从一楼到二楼楼梯一共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，规定用8步走完楼梯的方法种数是___________________.
解：设一步一级x 步，一步两级y 步，则⎩⎨⎧==⇒⎩⎨
⎧=+=+.2,6102,8y x y x y x 故走完楼梯的方法有C 28=28种.。