(完整版)数学建模试卷(附答案)

2．设银行的年利率为0．2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元．

3．在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关： （1）参加展览会的人数n ；(2)气温T 超过10℃；(3)冰淇淋的售价由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 。 二、简答题：（25分）

1、建立数学模型的基本方法有哪些？写出建模的一般步骤。（5分）

2、 写出优化模型的一般形式和线性规划模型的标准形式。（10分） 三、（每小题15分，共60分）

1、设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,

43)(+-=+=kp p f p p ϕ

其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。

2、1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，

美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。

3.建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大的捕捞量

数学建模 参考答案

2．约40．1876

3．p T Kn N /)10(-=，（T ≥10℃)，K 是比例常数 二、1、建立数学模型的基本方法：

机理分析法，统计分析法，系统分析法

2、优化模型的一般形式

将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数 ，

在约束条件

下的最大值或最小值，其中 为设计变量（决策变量）， 为目标函数

为可行域

三、1、解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知：

)()(1n n p f p =-ϕ

9431+-=+-n n kp p

即： k

p k p n n 531+-

=- .

,...,,,)(m i h i 210==x )

(x f u =.

,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x x

)

(x f Ω

∈x Ω∈=x x f u )(max)min(or .

,...,,,)(..m i h t s i 210 ==x .

,...,,),)(()(p i g g i i 2100=≥≤x x

经递推有：

k

k p k

k

k k p k p n n

n n

n n 5

)3()3

(5)53(31

1

02⋅-+

⋅-=++-⋅-

=-=-∑

Λ

0p 表示初始时的市场价格

:∞→时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13

n p k 即k

<<<-

。 2、解：依据题意，设介壳虫的数量为x(t)，澳洲瓢虫的数量为y(t),则有数模方程组：

（1）⎪⎩⎪⎨

⎧⨯+-=-=y f cy dt dy

bxy ax dt dx

式中a b c f 均大于零。

解方程组（1）

y

f cy bxy ax dy dx ⨯+--= 得：

dx x

c

fx y dy by a -=-)( k by fx x c y a ++=+ln ln

k e x y by fx c a '⨯=⋅+

（3） k e

e x y by fc c

a '=⋅⋅

式（3）给出一族封闭曲线，显然x(t)、y(t)即为以下为周期（T>0）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值 则有 dt c y

y f T x T )(110+'

=

⎰ dt x

x a b T y T ⎰'

-⋅=

0)(11 b

a T

b a y f

c

y T y f c x =××+=

=+=(0)])([(0)])([ln ln ln ln

当使用杀虫剂DDT 后，设杀死介壳虫，)(t x ⋅ε，澳洲瓢虫)(t y ⋅ε

则有模型为：⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=--=--=fxy y c fxy y cy dt dy

bxy

x a bxy x ax dt dx

)()(εεεε

显然此时有： b

a y f

c x ε

ε-=

+=

即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。

4、解：设某水域现有鱼量x ，由于受资源限制所能容纳的最大鱼量m x ，高自然增长率r ，捕捞增长率k ，按人口的逻辑模型建立微分方程。

kx x x

rx dt dx m

--=)1( 要保持鱼量平衡

0=dt dx ，设平衡点为0x ，解得m x r

k r x -=0 设

),(x f dt

dx

=考虑)(x f 在0x 的泰勒展式 )(0))(()(000x x x x x f x f -+-'= r k x f -=')(0

当)(0x f '＞0时 )(x f 与0x x -同号 0x 为不稳定平衡点

当)(0x f '＜0时 )(x f 与0x x -异号 0x 为稳定平衡点

)(0x f '＜0即 r ＞k

设)1()(1m

x x

rx x f -

= kx x f =)(2 由于k ＜r 曲线)(1x f 与)(2x f 有交点，因)(1x f 在原点切线为rx y = 解得，易知当2

0m

x x =

时，取得最大捕捞量 r k 21=

， m x r rx x f 4

21)(02== 最大捕捞量为m x r

4