材料力学课件：弯曲变形

()
w
A,q
ql 4 8 EI
()
w
A
w
A,F
w
A,q
Fl 3 3EI
ql 4 8EI
()
wA ?
当梁上作用几个载荷时，任一横截面 的总位移，等于各载荷单独作用时在 该截面引起的位移的代数和或矢量和
32
理论依据
EI
d2w dx 2
M
(
x
)
（小变形,比例极限内）
M(x)MF (x)Mq(x)
（小变形）
27
梁位移的通用方程
优势：只有2个积分常数
28
重讲例题6-3
利用奇异函数法＝积分技巧
29
例题6-4
载荷处理：分布载荷问题
30
§7-5 计算梁位移的叠加法
载荷叠加法 逐段变形效应叠加法 两类叠加法比较 例题
31
一、 载荷叠加法
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
w
A,F
Fl 3 3EI
A
x
B M0
解: 1、弯矩方程: M x M0
2、挠曲轴近似微分方程 w x M0
EI
w x M0 x C
EI
w x M0 x2 Cx D
2EI
16
w x M0 x C
EI
w x M0 x2 Cx D
2EI
A
x
3、积分常数的确定
w(0) = 0 w’(0) = 0
上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合
EI
d2w dx 2
MF
(
x)
w wF ( x)
EI
d2w dx 2
Mq(
x)
w wq ( x)
故：w wF ( x) wq ( x)
叠加法适用条件：小变形，比例极限内 33
载荷叠加法的应用
例：EI =常数，
求 wA，A
Q 分析方法：
q
F
l
A M0
w1
l 2
w2
l 2
w1
l 2
w2
l 2
四个方程定4个常数
w1
x
M0 x 24lEI
4x2 l2
w2
x
M0 x
24EIl
l
C
M0 /l
21
例题
积分技巧
22
23
24
计算梁位移的奇异函数法
25
奇异函数的引入
奇异函数的定义 注意各项齐次
26
奇异函数的定义
积分运算 推广到剪力
一、梁的挠曲轴方程
w M x
EI
dw dx
Mx
EI
dx
C
w
Mx
EI
dx
Cx
D
F C、D为积分常数，它们由位移边界与连续条件确定。
12
w
Mx
EI
dx
Cx
D
二、位移边界条件与连续条件
➢位移边界条件
w=0
w=0
w=0
=0
自由端：无位移边界条件。
➢位移连续与光滑条件 挠曲轴在B、C 点连续且光滑
连续：wB左= wB右
M
+
32
qa2
4
挠曲轴大
直线
致形状
F 弯矩图过零点处为挠曲轴拐点
凹
凹
凸
18
判断挠曲轴的大致形状
19
例: 已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
A
x
B M0
C
l/2
l/2
M0 /l
解: 计算约束反力，建立坐标系。
M0 /l
AB段 M ( x ) M 0 x
l
BC段
M(x)
M0 l
x
M0
w1
M0 EI
D=0 C= 0
w x M0 x2, x M0 x
2EI
EI
B M0
17
绘制挠曲轴的大致形状： w x M0 +边界条件
qa2 q
EI
3qa
A
3qa
B
Cqa
D
Fs
4
a
a
4a
4
+
_ qa
3qa 2
4
1. 绘制弯矩图。
4
qa2
2. 绘制挠曲轴的大致形状
F 支座性质定该处线位移和
（或）角位移
F 弯矩图符号定挠曲轴凹凸性
F
M
A
D
B
C
光滑：B左 = B右
13
例：
写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件
F
A
B
E
C
D
边界条件：
固定端： wA 0, A 0 可动铰： wC 0
自由端：无位移边界条件
连续条件： wC左＝
wB左 wB右
wC右 C左 C右 wE左 wE右 E左 E右
14
15
例：已知EI , 建立该梁的挠曲轴方程
x l
w2
M0 EI
x l
1
w1
M0 6EI
x3 l
C1 x D1
w2
M0 EI
x3 6l
x2 2
C2x
D2
20
w1
M0 6EI
x3 l
C1 x D1
A
x
B M0
w2
M0 EI

x3 6l
x2 2
C2x
D2
M0
/l
l/2
l/2
边界和连续条件:
w1 0 0
w2 l 0
6
• 梁变形的描述：
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 w
2、截面绕形心轴的角位移 —— 转角 3、轴向位移可忽略
F 变弯后的梁轴——挠曲轴
F 挠度随坐标变化的方程——挠曲轴方程 w= w(x)
F 忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小—— = ’ dw/dx
回顾拉压杆与扭转轴的变形描述
7
x l
A
F
x l
(x)
(x)
w(x)
B
8
§7-2 挠曲轴近似微分方程 方程推导
Q 中性层曲率表示的弯曲变形公式
1
M EI
（纯弯）
1 M ( x)（推广到非纯弯）
( x) EI
Q 由高等数学知识
1
w( x)
(x)
1 [w( x)]2
32
—— 二阶非线性常微分方程
梁的强度与刚度问题
F
F
(1)
(2)
1
2
材料力学分析的基本路径
外力
结构
内力 应力
材料性能 强度准则
变形 应变
3
第七章 弯曲变形
§7-1 引言 §7-2 挠曲轴近似微分方程
§7-3 计算梁位移的积分法 §7-5 计算梁位移的叠加法
4
§7-1 引言
目的:
1、 解决梁的刚度问题 2、 求解静不定梁 3、 为研究稳定问题打基础
Q 挠曲轴微分方程
w( x)
Mx
1 [w( x)]2 3 2 EI
9
w( x)
Mx
1 [w( x)]2 3 2 EI
w
正弯矩
Q方程简化
o
x
•小变形时： w2 1
d 2 w M(x) dx2 = EI
•正负号确定:
w
负弯矩
x
o
坐标系：w 向上为正
曲线下凹 w 0
弯矩: 挠曲线下凹,弯矩M为正
回顾：
拉压杆的变形：伸长或缩短 (Dl)
圆轴扭转的变形：相对转动 (扭转角j )
弯曲变形：怎样描述？
5
•弯曲变形的特点
挠曲轴
轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴， 挠曲轴是一条连续、光滑曲线（可微）
对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
方程取正号
d 2 w M(x) dx 2 = EI
10
小结
Q挠曲轴的近似微分方程 w
d 2 w M(x)
dx 2 = EI
o
Q应用条件：
max p
小变形
坐标轴 w 向上，弯矩下凹为正
•土木建筑部门，采用坐标轴 w 向下坐标系
d 2w
M(x)
dx 2 = EI
正弯矩
x
11
§7-3 计算梁位移的积分法