消费者剩余与生产者剩余

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第六章
積分與其應用
P.6-41
範例 4
多個交點 （解）
f (x) = g (x) 令 f(x) ＝ g(x)
首先令兩函數相等，即可解出兩圖形的交點。
3x3 － x2 － 10x = － x2 + 2x
3x3 － 12x = 0
求 x 軸下方的面積
求圖形 y ＝ x2 － 3x － 4 和 x 軸所圍成區域的面 積。
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第六章
積分與其應用
P.6-40
範例 3
求 x 軸下方的面積 （解）
令函數等於 0
首先令函數等於零，即可解出圖形的 x 軸截距。 x2 － 3x － 4 = 0
(x － 4)(x + 1) = 0
故令 f(x) ＝ 0 和 g(x) ＝ x2 － 3x － 4，則面積的 計算如下：
面積 [ f ( x) g ( x)]dx
a b
f 和g間的面積 取代f 和g
[(0) ( x 2 3x 4)]dx
1 4
4
( x 2 3 x 4)dx
1
3 2
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1
求反導數 應用微積分基本定理
積分與其應用 P.6-40
第六章
範例 1 求兩圖形所圍成區域的面積 （解）
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第六章
積分與其應用
P.6-40 圖6.16
檢查站 1
求在 0 ≤ x ≤2 中，兩圖形 y ＝ x2 ＋ 1 和 y ＝ x 所圍成區域的面積，並畫出兩函數所圍成區域 的圖。
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第六章
積分與其應用来自百度文库
P.6-40
範例 2
求交會圖形之間區域的面積
求兩圖形 y ＝ 2 － x2 和 y ＝ x 所圍成區域的面 積。
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第六章
積分與其應用
P.6-40
範例 2 求交會圖形之間區域的面積（解）
因為 a 與 b 值並沒給定，所以必須先算出兩圖 形的交點，可令兩函數相等再求解 x，因而可得 交點為 x ＝ －2 和 x ＝ 1。由圖6.17 可知，對於 在 [－2, 1] 中的所有 x 而言，f(x) ＝ 2 － x2 的圖 形是在 g(x) ＝ x 的圖形的上方。
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積分與其應用
P.6-40
範例 1 求兩圖形所圍成區域的面積（解）
面積 [ f ( x) g ( x)]dx
a b
f 和g間的面積 取代f 和g
[( x 2) ( x)]dx
2 0
1
( x 2 x 2)dx
0
1
x x 2x 3 2 0 11 平方單位 6
3 2
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1
求反導數 應用微積分基本定理
積分與其應用 P.6-40
第六章
範例 2 求交會圖形之間區域的面積 （解）
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第六章
積分與其應用
P.6-40 圖6.17
檢查站 2
求兩圖形 y ＝ 3 － x 2 和 y ＝ 2x 所圍成區域的面 積。
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第六章
積分與其應用
P.6-40
範例 3
x = 4, x = － 1
因式分解
解出 x
由圖 6.18 可知，對於區間 [－1, 4] 的所有 x 而 言，x2 － 3x － 4 ≤ 0都成立。
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積分與其應用
P.6-40~6-41
範例 3
求 x 軸下方的面積 （解）
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積分與其應用
P.6-41 圖6.18
範例 3
求 x 軸下方的面積 （解）
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積分與其應用
P.6-39
兩圖形所圍成區域的面積
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積分與其應用
P.6-39 圖6.14
兩圖形所圍成區域的面積
雖然在圖 6.14 中，圖形 f 和 g 都在 x 軸的上方， 但這並不一定必要，只要兩函數在區間 [a, b] 為 連續且 g(x) ≤ f(x)，[f(x) － g(x)]就可視為積分函數。
有時，兩圖形的交點不只兩點，此時若要求兩 圖形所圍成區域的面積，則必須將所有的交點 算出來，並對交點間的區間來判斷那個圖形是 在上方。
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積分與其應用
P.6-41
範例 4
多個交點
求兩圖形 f(x) ＝ 3x3 － x2 － 10x 和 g(x) ＝ －x2 ＋ 2x 所圍成區域的面積。
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x 3x 4x 2 3 1 125 平方單位 6
3 2
4
求反導數 應用微積分基本定理
積分與其應用 P.6-41
第六章
檢查站 3
求圖形 y ＝ x2 － x － 2 和 x 軸所圍成區域的面 積。
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積分與其應用
P.6-41
兩圖形所圍成區域的面積
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第六章
積分與其應用
P.6-40
範例 2 求交會圖形之間區域的面積 （解）
面積 [ f ( x) g ( x)]dx
a b
f 和g間的面積 取代f 和g
[(2 x 2 ) ( x)]dx
2 1
1
( x 2 x 2)dx
2
x x 2 x 3 2 2 9 平方單位 2
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積分與其應用
P.6-39 圖6.15
範例 1
求兩圖形所圍成區域的面積
求在 0 ≤ x ≤ 1 中，兩圖形 y ＝ x2 ＋ 2 和 y ＝ x 所圍成區域的面積。
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積分與其應用
P.6-40
範例 1 求兩圖形所圍成區域的面積（解）
首先畫出兩函數的簡圖，如圖 6.16 所示。由圖形 可知，對在 [0, 1] 中的所有 x 而言，x ≤ x2 ＋ 2。所 以可令 f(x) ＝ x2 ＋ 2 和g(x) ＝ x，再計算該面積， 如下所示：
微積分精華版[第九版]
6.5 兩圖形所圍成區域的面積
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6.5 兩圖形所圍成區域的面積
學習目標 求兩圖形所圍成區域的面積。
求消費者剩餘與生產者剩餘。
以兩圖形所圍成區域的面積求解現實生活的問 題。
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第六章
積分與其應用
P.6-39
兩圖形所圍成區域的面積
經過稍微的修改，求圖形下方區域面積的方法 即可用來求兩圖形所圍成區域的面積。首先考 慮兩圖形 f、g、x ＝ a和 x ＝ b 所圍成的區域， 如圖 6.14 所示。若兩圖形 f 和 g 都在 x 軸的上 方，則圍成的區域可解釋成圖形 f 下方區域的面 積減去圖形 g 下方區域的面積，如圖 6.14 所示。