勒贝格积分函数的研究 汤倩南

目录摘要 (2)英文摘要 (2)1.引言 (3)2.勒贝格积分在数学分析中的应用 (3)2.1 在概念方面 (3)2.2 在定理方面 (3)3.勒贝格积分的计算 (3)3.1可测函数与连续函数有着密切的关系 (4)3.2连续函数与可积函数的关系 (5)4.勒贝格积分的优越性 (6)4.1从()R积分与()L积分对比中看()R积分 (6)4.2应用()L积分理论可以简便解决数学分析中的某些问题 (8)小结 (11)致谢 (11)参考文献…………………………………………………………………摘要勒贝格积分是变限积分函数中重要的一部分内容，实变函数是数学专业开设的一门重要课程。

山西财经大学的于秀兰，绍兴文理学院的倪仁兴等对勒贝格积分函数均有所论述，其中绍兴文理学院的倪仁兴从两个不同的角度深刻的说明了勒贝格积分应用范围之广。

本文在借鉴他们的基础上，主要从三个方面对勒贝格积分进行研究。

关键词：勒贝格()L积分，实变函数，数学分析，一致收敛AbstractLebesgue inteqral is an important part in integral, Real Variable Function is an important course in Mathematical analysis. Lebesgue integral is discussed by Shanxi University of Yu Xiulan, Shaoxing University of Ni Renxing .In this paper,they draw on the basis of three main areas to study the Lebesgue inteqra l.Keyword：Lebesgue integral, Real Variable Function, Mathematical analysis, unanimously Convergence1.引言勒贝格积分是实变函数中占有重要的地位，实变函数的理论是建立在实数理论和集合论的基础之上的。

实变函数与数学分析在概念.定理.证明方法等方面都有千丝万缕的联系。

如在概念方面，通过对比分析可以找到它们之间的异同点。

实变函数既是先前各类分析课程的深化和继续，同时又为继续学习其他后续课程打下必要的基础。

因此，实变函数与数学分析比任何课程更为密切的关系。

本文从三个不同的角度略加分析，以有助对勒贝格积分有更深一层的理解。

2.勒贝格积分在数学分析中的应用 2.1在概念方面在实变函数中，关于勒贝格积分有三种定义方式，我将在这里介绍一种比较常见的定义方式：设()f x 是E ⊂n R ()mE <+∞上的非负可测函数，我们定义()f x 是E 上的勒贝格积分()()()()(){}sup;nEEf x dx h x dx h x h x f x =≤⎰⎰是R 上的非负可测简单函数，这里的积分可以是+∞；若()E f x dx <∞⎰，则称()f x 在E 上勒贝格可积的。

设()f x 是E ⊂n R 上的可测函数，若积分()(),E E f x dx f x dx +-⎰⎰至少有一个是极限值，则称()()()E E E f x dx f x dx f x dx +-=+⎰⎰⎰为()f x 是E 上的勒贝格积分。

2.2 在定理方面在下面的定理中，是测度有限的可测集，等是定义在上的有界函数，可积就简称可积。

定理1 （1）设，在上可积，则+也在上可积且（2）设在上可积，则对任何常数，也在上可积且（3）设，在上可积，且，则特别当时有（4）设在上可积,则在上也可积，且3.勒贝格积分的计算极限方法是研究和解决数学分析问题的主要方法，从求极限到最后就积分，贯穿整个数学分析。

但极限方法在研究实变函数理论中得到更加充分的应用。

积分论的研究对象是定义可测集上的可测函数类，它与数学分析的主要研究对象—连续函数相比，有本质区别。

连续函数对极限运算不封闭，而可测函数在极限运算下是封闭的。

这就是说极限运算对可测集，可测函数可畅通无阻地使用，也正是由于这个原因，使极限运算在积分理论中得到充分的应用，而且使积分能克服()R 积分的局限性。

例如：Lebesgue 控制收敛定理提供了比()R 积分较弱的条件，使极限与积分次序可以交换，即它不要求验证极限函数()f x 的可积性，分析其原因正是基于“可测函数的极限函数仍是可测函数”这一特征。

因此，积分比()R 积分有更加广泛的应用。

以下我们举一个实例来说明极限方法在实变函数理论中的应用：例1若21:f R R ®连续且()111,2:R R L y y ®可测，则()()()()1112,:f t t R R L 为y y ®可测。

证明大意如下：1,2y y 都可表示为简单函数列的极限，连续函数符号f 与极限符号（在逐点意义下）可以交换，f 与简单函数的复合函数是简单函数，简单函数列的极限函数可测。

这里的过程完全由极限方法主导着。

3.1可测函数与连续函数有着密切的关系。

一方面，定义在可测集上的连续函数是可测函数；另一方面，由鲁津定理（若()f x 是E Ìn R 上的几乎处处有限的可测函数，则对任意的0d >，存在闭子集F E σ⊂，使()f x F 在d 上是连续函数，且()()\m E F s s <揭示了可测函数的结构：在可测集上几乎处处有限的可测函数是“基本”连续函数。

这样即使我们进一步了解可测函数，又为我们提供了利用连续函数研究可测函数的一种有效手段。

即把有关可测函数问题归结为连续函数问题而使问题简化。

连续函数对极限运算不封闭，但可测函数对极限运算封闭。

例2设()f x 是(,)I a b =上的实值函数，若()f x 具有中值凸性质：()()()22f x f y x yf++≤, ,x y I Î,则()f C I Î证明：根据数学分析的理论易知，若()f x 是I 上的有界函数，则()f C I Î.对此，假定()f x 在0X x I =?处不连续，且考察区间[]002,2x x I d d -+?，其中存在{k e }，()()()00,,,1,2...k k k x x f K K n e e d d e ?+?.对于任意(),k k x εδεδ∈-+,显然有'000022,222kx x x x x def x x d d d e d -＃+-??.由'2k x x e =+,可知(),k k x εδεδ∈-+,从而必有()()'f x K f x K ≥≥或者。

这说明m({x Î(k e -d ,k e +d ): ()f x K ≥})³d也就是说，对于任意大的自然数K ，均有(){}()0022:m x xx f x K d d d -＃+吵从而导致()0f x =+?矛盾，即得所证。

3．2连续函数与可积函数的关系从可测函数与连续函数的密切关系中，可以导出可积函数与连续函数的一定关系：若f Î()L E ，则"e 0>,存在n R 上具有紧支集的连续函数g(x), ()()Ef xg x 使得|-|<e ò，它揭示了可测集E 上的可测函数f 对于给定0e >，可分解12f f 为+，基于连续函数与可积函数的这一关系，为研究可积函数的性质提供了有益的帮助。

例3设f Î()n L R ,若对一切n R 上具有紧支集的连续函数()x F 有()()0Rf x x dx F =ò，()0..n f x a ex R 则=?证明：采用反证法。

不妨设()f x 在有界可测集上有()0f x <,则可作具有紧支集连续函数列{k F （x ）},使得lim (()nE k k R x x x |)-F |=0ò， ()()11,2,....x k F ?limk()E x x =()E x x ,a.e.x E Î,由于()().()k f x x f x |F |?,x E ∈故知()()()()0l i m 0E K k ERRf x dx f x x dx f x x dx →∞<==Φ=⎰⎰⎰ 矛盾4.勒贝格积分的优越性微分学和积分学是数学分析中的两大支柱，微积分基本定理是微积分的中枢，但它们中的有关概念，理论只有当实变函数理论建立后才能得到更加深刻的理解，并使有些问题得到明确的结论。

同时也对数学分析中某些问题用实变函数方法简捷解决的办法。

()R 积分是在约当测度基础上建立的，而积分是在Lebesgue 测度基础上建立的，而R 积分和的分划是把定义区间分成n 个小区间，不能使其振幅随分划区间的长度缩小而缩小，且()R 积分对连续性要求很高，而积分和的分划是对函数值域的分割，从而克服了对函数连续性的要求。

4.1从()R 积分与积分对比中看()R 积分4.1.1从积分理论建立中看()R 积分的局限性4.1.1.1()R 可积函数必须是几乎处处连续的，适用的范围较窄。

例如在[]0,1上定义()f x =()D x = 1[0,1]0[0,1]\x Q x Qì吻ïïíïÎïî (其中Q 是有理数集)，则f 在[]0,1处处不连续的。

从而()R 不可积的，但却是可积的。

下面我们来说明()f x 在[]0,1是可积的。

首先()f x 为有界函数，区间[]0,1为可测集，即()f x 为可测集上的有界函数，对0"e >，取[]0,1上的分划D ，满足{}1,2D E E =，1E 为有理数集，2E 为无理数集，则()()11,,110S E f s E f -=-==i i imE w å<e4.1.1.2()R积分相对于积分极限可交换的条件太严，限制()R 积分运算的灵活性在数学分析中，都是用()R 可积函数列在所给区间上一致收敛定理，这个定理要求()R 可积函数列{()n f x }在区间[],a b 上一致有界，点点收敛于()f x ，且极限函数()f x 在[],a b 上必须()R 可积，则有lim ()()b b n naaf x dx f x dx =蝌，下列表明，即使函数列是渐升的也不能其极限函数的可积性。

例 4 设{n r }是[]0,1全体有理数列，作函数列()n f x =121,,0n x r r r ì=?ïïíïïî其他（n=1,2,¼）()n f x 显然有121()()()()1n n f x f x f x f x +＃迹＜?，且有1[0,l i m ()()0[0,1]\n n x Q f x f x x Q ì吻ïï==íïÎïî，这里每()n f x 个皆是[]0,1上的()R 可积函数且积分值为零，故有1lim ()n nf x dx ò=0，但极限()n f x 不是()R 可积的，这是因为1()f x dx ò=1，1()f x dx ò=0，从而也就谈不上积分号下取极限的问题。