空间向量法求空间角图示原理
利用向量法求空间角PPT精选文档
则 mAF 0,mAE 0
所以
1
y2 2 z2 1 2 x2 y2
0 0
取y2=1,得x2=z2=-2
C x
故m=(-2, 1,-2)
又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1)
观察图形知，二面角
cosm, AA1
mAA1 m AA1
2 31
2 3
F-AE-D为锐角，所以
所求二面角F-AE-D的
得两异面直线所成角的余弦值
6
例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、 DD1的中点，
(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
(2)求二面角F-AE-D的余弦值。
A1
D1
B1
C1
F
A D
E B
C
7
例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
解： (1)以点A为坐标原点建立空间 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0)
b´
m
o•
a
a´
b´
b
பைடு நூலகம்
n
cos cos m, n
b
n
cos cos m,n
13
用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a、b的方向向量分别为 m 和 n ，
所以，异面直线a、b所成的角的余弦 值为
cos cos m, n m n m n
x1x2y1y2z1z2
x12y12z12 x22y22z22
O
AF1 (12,0,1), BD1 (12,12,1) A
cosAF1,BD1 AF1BD1 AF1 BD1
1 0 4 5
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
利用空间向量求角-课件
因E→F⊥P→C，D→G⊥P→C，
故 E－PC－D 的平面角 θ 的大小为向量E→F与D→G的夹角．
＝
|DG||EF|
22，θ＝4π，
即二面角 E－PC－D 的大小为π4.
跟踪训练
3.如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中
2．求异面直线所成的角主要是转化为两个向量的夹 角，这时要特别注意二向量的方向及最后求出的角一定要 是锐角或直角．
3．线面角是求线与平面的法向量所成角的余角．
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
•
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
|A→M|＝ A→A1＋A→1M2 ＝ |A→A1|2＋|A→1M|2＝
1＋14＝
25，同理，|C→N|＝
5 2.
设直线 AM 与 CN 所成的角为 α. 则 cos α＝|AA→→MM|·|CC→→NN|＝5412＝25.
∴直线 AM 与 CN 所成的余弦值为25.
法二：如图，分别以D→A、D→C、D→D1 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空 间直角坐标系．
A→B＝∵(0M，→Ca1,0·A→)，B＝A→A0，1＝M(→0C,01·，A→A1＝2a0)．，
∵M→C1·A→B＝0，M→C1·A→A1＝0， ∴MC1⊥平面 AA1B1B， ∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 AA1B1B 所成的角．
空间向量法求空间角图示原理
则二面角 l 的大小 ＝〈m, n 〉
m, n
m
n
L
若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则 cos
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；一进一出， 二面角等于法向量夹角
uv u v
.
2. 线面角
设直线l的方向向量为 a，平面 的法向量为 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),则 直线
2
u ，且
a u
sin
au a u
aBiblioteka l u
3、二面角
法向量法
将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。 如图，向量 n ，m ，
空间“角度”问题
学习目标：
• （1）、理解向量法求空间角的原理 • （2）、熟练掌握向量法求空间角
原理分析
1.异面直线所成角
设直线 l , m 的方向向量分别为a , b
若两直线 l , m 所成的角为 (0 ≤ ≤
2
), 则
cos
ab a b
l
l
a
m
a b
m
利用空间向量求空间角PPT教学课件
澶渊之盟
宋真宗赵恒 1004年，辽军大举南征时，亲自领兵到澶 渊抵御，并与辽签订了“澶渊之盟”。
下一页
寇准
寇准
北宋宰相。1004年，辽军大举南征时， 主战。
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西夏武士
西夏的建立
1038年，党项族首领元昊建立西夏 国。图为李元昊之墓
下一页
党项人
女男供供养养人人
下一页
西夏铜牛
下一页
西夏飞天壁画
nn
α
与平面垂直的直线叫做平面
的法线．因此平面的法向量
就是平面法线的方向向量
异面直线所成角
a, b分别是两直线l1 , l2的方向向量,
l1, l2的所成的角为 ,则
cos | a b |
|a||b|
l2
b a
l1
巩固性训练1
1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱
长为2,底面连长为1.求异面直线AB1与
BC1夹角的余弦值.
解：取的中点O建立如图 所示的空间直角坐标系O-XYZ。
1
A(
2
,0,2)
3
B(0, 2
,2)
B1 (0,
3 2
,0)
C1
1(-
,0 ,0)
2
A
BC ∴
1 AB1 ( 2 ,
3 ,2) 2
1
=（-
1 2
，-
3 ，-2） 2
X
∴cos = AB1 • BC1 = 7
AB1 • BC1 10
m 设 =(x,y,z) 是平面PBC的一个法向量
∴ PB ⊥ m
PC ⊥ m
∴ PB • m =x-z=0
y
PC • m =x+y-z=0
利用向量法求空间角 ppt课件
（1）当 m 与 n 的夹 角不大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与m 和 n
的夹角 相等
（2）当 m 与 n 的 夹角大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与 m 和n
的夹角 互补
ma
m
a
a´
o•
b´
a´
o•
b´
b
n
b
n
PPT课件
13
cos cos m, n
sin = cos AB, n
PPT课件
15
二面角 （范围： 0, ）
n2
n1
n2
n1
n1, n2
n1, n2
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
PPT课件
16
例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点
3
D y
8
点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤
建系
求直线的方向向量 求平面的法向量
求直线的方向向量与平面的法向量 的夹角的余弦值
得直线与平面所成角的正弦值
PPT课件
9
例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的
余弦值。
z
(2)由题意知 F(0,1, 1 ), E( 1 ,1,0) A1
2
AB
( AC
CD
DB)2
A
2
2
2
AC CD BD 2(ACCD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2 AC DB
学年高中复习理数通用版第六节利用空间向量求空间角PPT课件
第六节 利用空间向量求空间角
01
突破点(一) 利用空间向量求空间角
02 突破点(二) 与空间角有关的综合问题
03
全国卷5年真题集中演练——明规律
04
课时达标检测
01 突破点(一) 利用空间向量求空间角
自学区 抓牢双基· 完成情况
[基本知识]
[基本能力]
× × × √
讲练区 研透高考· 完成情况
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
[全析考法]
分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量 法向量法
的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这 方向向量法 两个向量的夹角的大小就是二面角的大小
[全练题点]
02 突破点(二) 与空间角有关的综合问题
[全析考法]
[方法技巧]
[全练题点]
03 全国卷5年真题集中演练——规律
04 课时达标检测 单击进入电子文档
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
高考数学一轮复习第八章立体几何第六节利用空间向量求空间角课件理
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成 的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选 择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范] 1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间 角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同． 2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
答案：13
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平 面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．
解析：以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长 为 1，
则 A1(0,0,1)，E1，0，12，D(0，1,0)，
以 B 为原点，分别以
的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的
正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，
F(2,2,1)．
因为 AB⊥平面 BEC，所以 ＝(0,0,2)为平面 BEC 的法向量． 设 n＝(x，y，z)为平面 AEF 的法向量．
所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23.
A(0，－ 3，0)，E(1,0， 2)，F－1，0， 22，C(0， 3，0)，
所以直线
AE
与直线
CF
所成角的余弦值为
3 3.
[解题模板] 利用向量法求异面直线所成角的步骤
直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，
A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )
接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3.
向量法求空间角(含解析)
高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇考点1：异面直线所成的角若异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别是u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u·v||u||v|．考点2：直线与平面所成的角如图，直线AB 与平面α相交于点B ，设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝ u ·n |u ||n |＝|u·n||u||n|．考点3：平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n 1和n 2，则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|．【常用结论总结】1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|． 2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0,2．【例1】 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1如图所示，AB =4，BC=3，AC =5，D 为棱AB 的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为61π，则异面直线A 1D 和B 1C 所成的角的余弦值为（ ）高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇A ．5B ．25C ．5D ．25【例2】 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，△PAD 是正三角形，AB =2，平面PAD ⊥平面ABCD ，则PC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．4C ．13D 【例3】 如图四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，各棱长均相等，E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为（）A 6B C ．13D ．12学霸笔记用向量法求异面直线所成的角的一般步骤（1）建立空间直角坐标系；（2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；（4）注意两异面直线所成角的范围是(0,]，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇【对点训练1】 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长均相等，∠BAA 1=∠CAA 1=60°，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（）AB ．13C ．4D 【对点训练2】 “曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，AA ⊥面ABCD ，AA 1=4，底面扇环所对的圆心角为π2，AD 的长度是BC 长度的2倍，CD =1，则异面直线A 1D 1与BC 1所成角的正弦值为（）A ．3B ．13C ．3D ．4【对点训练3】 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=AC=AB=2，BC =2√2，Q 为A 1B 1的中点，E 为AQ 的中点，F 为BC 1的中点，则异面直线BE 与AF所成角的余弦值为（ ）A． BC ．D高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇【例4】 在正方体ABCD −A B C D 中，如图E 、F 分别是BB 1、CD 的中点． （1）求证：平面AD F ⊥平面ADE ； （2）求直线EF 与AD F 所成角的正弦值．【例5】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，P A=AD=2AB=8，点M 在棱PD 上，且PA =PM ⋅PD ，AM ⊥MC．（1）求证：CD ⊥平面P AD ；（2）求BM 与平面ACM 所成角的余弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇 学霸笔记利用空间向量求线面角的解题步骤【对点训练4】 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点． （1）求证：D 1 F ∥平面A 1EC1；（2）求直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇 【对点训练5】 如图所示，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，AB =2，AA 1=2√3，E 为线段DD 1上一点．（1）求证：AC ⊥B 1D ；（2）若平面AB 1E 与平面ABCD 的夹角的余弦值为25，求直线BE与平面AB 1E 所成角的正弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇【例6】 在如图所示的空间几何体中，△ACD 与△ACB 均是等边三角形，直线ED ⊥平面ACD ，直线EB ⊥平面ABC ，DE ⊥BE ． （1）求证：平面ABC ⊥平面ADC ；（2）求平面ACE 与平面BCE 夹角的余弦值．【例7】 如图，三棱锥A −BCD 中，DA =DB =DC ，BD ⊥CD ，∠ADB =∠ADC =60∘，E 为BC 的中点． （1）证明：BC ⊥DA ；（2）点F满足EF⃗=DA ⃗，求二面角D −AB −F 的正弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇学霸笔记利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤【对点训练6】 直三棱柱ABC −A B C 中，AA =AB =AC =2,AA ⊥AB,AC ⊥AB ，D 为A B 的中点，E 为AA 的中点，F 为CD 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求直线BE 与平面CCD所成角的正弦值； （3）求平面A CD 与平面CC D 夹角的余弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇 【对点训练7】 如图，在棱长为2的正方体ABCD −A B C D 中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（1）求证：D 1F ∥平面A EC ；（2）求直线AC 与平面A EC 所成角的正弦值． （3）求二面角A −A C −E 的正弦值．【对点训练8】 如图，PO 是三棱锥P −ABC 的高，PA =PB ，AB ⊥AC ，E 是PB 的中点． （1）证明：OE ∥平面PAC ；（2）若∠ABO=∠CBO =30°，PO =3，PA =5，求二面角C −AE −B 的正弦值．。
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
O
结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |
A
B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n
B
n2
高考数学专题复习 空间向量法求角 理
高考数学专题复习 空间向量法求角 理例1.求平面的一个法向量在正方体1111D C B A ABCD -中F E G ,,分别为BC AB AA ,,1的中点，求平面GEF 和平面1FGD 的法向量及其二面角余弦值2.空间向量法应用： 1．求直线和平面所成的角已知B A ,为直线l 上任意两点，n 为平面α的法向量，则l 和平面α所成的角θ为:222222212121212121cos zy x z y x z z y y x x ++⋅++++==β βθcos sin =当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πβ时βπθ-=2 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππβ,2时βπθ-= 2、利用法向量求二面角的大小的原理:设n m ,为平面βα，的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量n m ,的夹角为ϕ，则有πϕθ=+或ϕθ=图222222212121212121cos zy x z y x z z y y x x ++⋅++++==θ说明：通过法向量的方向来求解二面角，两个法向量的方向是“一进一出”，所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角，如果是“同进同出”， 所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角y三. 空间向量法:1.下图分别为三棱锥ABC S -的直观图与三视图，在直观图中，N M SC SA 、,=分别为SB AB ,的中点. （Ⅰ）求证：SB AC ⊥（Ⅱ）求二面角B NC M --的余弦值.2.如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，090=∠=∠ADC BAD ，12AB ADCD a ，2PD a .(Ⅰ)若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE (Ⅱ)求平面PAD 与PBC 所成二面角大小ABCMSN侧视俯视图4A BCEPDMABC1A 1B 1C 3.多面体111ABC A BC -中，11ABB A 是正方形，1AC AB ==，11AC A B BC ==，11//B C BC ，1112B C =BC . （Ⅰ）求证：1//AB 面11AC C（Ⅱ）求二面角11C AC B --的余弦值的大小4.在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为平行四边形，且2AD =，13AB AA ==，060=∠BAD ，E 为AB 的中点．（Ⅰ）证明：1AC ∥平面1EB C（Ⅱ）求直线1ED 与平面1EB C 所成角的正弦值．5.四棱锥ABCD P -的底面是边长为1的菱形，E BCD ，060=∠是CD 中点，ABCD PA ⊥，3=PA（Ⅰ）证明：平面PAB PBE ⊥ （Ⅱ）求二面角P BE A --的大小.A1ADC1D1C1BBE6.如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AAAB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED （Ⅱ）求二面角1A DE B --的余弦值7.四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，ABCD PD AD AB DAB ⊥==∠,2600， (Ⅰ) 证明：BD PA ⊥（Ⅱ）若AD PD =，求二面角C PB A --的余弦值8.已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱1B B 上，且22A E =,2BF =.（Ⅰ）求证：1C F C E ⊥（Ⅱ）求二面角1E C F C --的大小A BCDEA 1B 1C 1D 19.AD EB AE AEB EF ,,⊥⊥//EF //BC ，G BE AE EF AD BC ，，，2342=====是BC 的中点 （Ⅰ）求证：AB //平面DEG （Ⅱ）求二面角E DF C --的余弦值10.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060=∠BAD ，Q 为AD 的中点，2PA PD AD === （Ⅰ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C --的大小11.三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，090=∠BAC ，1A A ⊥平面ABC ，13A A =，2AB =，2AC =，111AC =，12BD DC =． （Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B （Ⅱ）求二面角1A CC B --的余弦值A 1AC 1B 1BDC12.直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，1,2,2AP AB AB BC AP D ⊥===是AP 中点,G F E ,,分别为CB PD PC ,,的中点，将PCD ∆沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD ，如图2（Ⅰ）求证：AP ∥平面EFG （Ⅱ）求二面角D EF G --的大小13.在五面体ABCDE 中，四边形ADEF 是正方形，FA ABCD ⊥平面，//BC AD ，1CD =，22AD =，045=∠=∠CDA BAD（Ⅰ）求异面直线CE 与AF 所成的角的余弦值 （Ⅱ）证明：ABF CD ⊥（Ⅲ）求二面角B EF A --的正切值．14.如图，已知⊥AB 平面DE ACD ,//AB ，ACD ∆是正三角形，AB DE AD 2==，且F 是CD 的中点 （Ⅰ）求证：AF //平面BCE （Ⅱ）求证：CDE BCE ⊥（Ⅲ）求平面BCE 与平面ACD 所成锐二面角的大小BFED CA15.如图，在正三棱柱DEF ABC -中，P AD AB ，，12==是CF 的延长线上一点，过P B A ,,三点的 平面交FD 于M ，交EF 于N （Ⅰ）求证：MN ∥平面CDE（Ⅱ）(文科)当3=PC 时，求三棱台ABC MNF -的体积（Ⅲ）当平面CDE PAB ⊥时，求三棱台ABC MNF -的体积．16.在多面体ABCDEFG 中，平面DG EF DG ED AC BA DEFG AD DEFG ABC //,,,,//⊥⊥⊥且4,2,1======DG AD EF ED AB AC ．（Ⅰ）求证：DEFG BE ⊥ （Ⅱ）求证：ACGD BF //（Ⅲ）求二面角A BC F --的余弦值．17.已知直角梯形ABCD 的上底2BC =1//,2BC AD BC AD =，CD AD ⊥，PDC ⊥ABCD ，PCD ∆是边长为2的等边三角形 （Ⅰ）证明：AB PB ⊥（Ⅱ）求二面角P AB D --的大小 （Ⅲ）求三棱锥A PBD -的体积A BCD EGF18.直三棱柱111ABC A BC -中，5,4,3AB AC BC ===，14AA =，点D 在AB 上． （Ⅰ）若D 是AB 中点，求证：1AC ∥平面1B CD （Ⅱ）当15BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值． 19. 如图，四边形ABCD 中，AB AD ⊥AD ,∥2,4,6,===AB BC AD BC , 点F E ,分别在AD BC ,上，且E 为BC 中点，EF ∥AB ,现将四边形ABEF 沿EF 折起，使二面角A EF D --等于060 （Ⅰ）设P 为AD 的中点，求证：CP ∥平面ABEF （Ⅱ）求直线AF 与平面ACD 所成角的正弦值．20.如图所示，在矩形ABCD 中，4,2,AB AD E CD ==是的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P 点位置，且PC PB =.（Ⅰ）求证：ABCE PO ⊥（Ⅱ）求二面角B AP E --的余弦值AA 1BCDB 1C 121.在四棱锥ABCD P -中，底面是边长为32的菱形，且0120=∠BAD ，且ABCD PA ⊥,N M PA 、,62=分别为PD PB ,的中点．（Ⅰ）证明：MN ∥平面ABCD（Ⅱ）过点A 作PC AQ ⊥，垂足为点Q ，求二面角Q MN A --的余弦值．22.在四棱锥ABCD P -中，DAB ABCD PA ∠⊥,为直角，F E AB CD AD CD AB 、,2,//==分别为CD PC ,的中点.（Ⅰ）求证：BEF CD ⊥（Ⅱ）设()0,>=k kAB PA ，且二面角C BD E --的大小为030，求此时k 的值.23.如图，四边形ABCD 为矩形，PD ABCD PD ,⊥//PD AD QA QA 21,== （Ⅰ）求证：平面DCQ PQC ⊥（Ⅱ）若二面角C BP Q --的余弦值为53-，求AB AD的值24.几何体111ABCD BC D -中，四边形ABCD 为菱形，060=∠BAD ，AB a =，面111B C D ∥面ABCD , 1BB 、1CC 、1DD 都垂直于面ABCD ,且12BB a =，E 为1CC 的中点，F 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1DB E ∆为等腰直角三角形 （Ⅱ）求二面角1B DE F --的大小25.四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，2CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥（Ⅱ）设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C AD E --的余弦值26.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥0090,60,,=∠=∠=BCA ABC AB PA ABC ，点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值 （Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角BCDF1B 1C 1D CDEAB27.四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠060=（Ⅰ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （Ⅱ）求二面角S AM B --的余弦值28.在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD , AD //BC //FE ，AD AB ⊥，M 为EC 的中点，AD FE BC AB AF 21==== （Ⅰ）求异面直线BF 与DE 所成的角的大小 （Ⅱ）证明平面AMD ⊥平面CDE （Ⅲ）求二面角F CD A --的余弦值29. 三棱柱111ABC A BC -，90=∠BCA ，2AC BC ==，1A 在底面射影为AC 中点D ，11BA AC ⊥. （Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1A BC （Ⅱ）求二面角1A A B C --的余弦值D1B 1A 1CBAA BCDEF30.矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE //2,390,0===∠=∠EF AD CEF BCF CF ，，（Ⅰ）求证：AE //平面DCF（Ⅱ）当AB 的长为何值时, 二面角C EF A --的大小为06031.如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，平面1A BC ⊥侧面11.A ABB （Ⅰ）求证：BC AB ⊥（Ⅱ）若1AA AC a ==，直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，二面角A BC A --1的大小为ϕ，求证： 2πϕθ=+32.已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥面ABCD ，且2PA AD ==,点,M N 分别在,PD PC 上，1,.2PN NC PM MD == （Ⅰ） 求证：PC ⊥面AMN（Ⅱ）求二面角B AN M --的余弦值.DMNP A33.已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，平面ABD 和平面C B A 11的交线为MN（Ⅰ）试证明MN AB //（Ⅱ）若直线AD 与侧面C C BB 11所成的角为045，试求二面角C BD A --的正切值34.三棱柱111ABC A BC -中,15,4AB AC AA BC ====,1A 在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O （Ⅰ）证明在侧棱1AA 上存在一点E ,使得OE ⊥平面11BB C C ,并求出AE 的长 (Ⅱ)求平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的余弦值35.如图,在长方体1111ABCD A BC D -中E AD AA ,11==为CD 中点. (Ⅰ)求证:11B E AD ⊥(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE ?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由(Ⅲ)若二面角11A B E A --的大小为030,求AB 的长.36.正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，,E F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A DC B --．(Ⅰ)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由 （Ⅱ）求二面角E DF C --的余弦值(Ⅲ)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？证明你的结论．37.四棱锥A BCDE -中，BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为045，求二面角C AD E --的余弦值例1：()()29873cos ,4,3,2,1,1,1-==---=θn m ()()()()()()11333,2,6.0,32,2:,1,6,2.0,3,3,3,3,2:1⇒-==--===n CB BNC m CM CN MNC ()()()()()().31cos 1,1,1:,1,1,1:3.32,1,1,0,1,021111=⇒--=-=⇒==θπn B C A m C C A n m ()()()70309cos sin ,3,32,5,0,21,3,0,0,04==--=⎪⎭⎫⎝⎛θαm E D CDEABABCDEFAB CDEF()()().31,3,0:,1,0,0:.5πθ=⇒==⊥n PBC m ABE PAB BE ()()()4214,2,1,1,2,1,46---()()()()()772cos 3,0,2:,32,3,1:.0,1,3,0007-=--==-θn PBA m PBC A D ，， ()()40,3,1:,1,2,0:πθ=⇒==n CFC m ECF()()()66cos 0,0,1:,1,2,1:.332,31,233,21,239-=⇒=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θn DFE m CDF M P ()()2,3,3:,3131,//10-==⇒=m MBQ t AC AE BE PA ()31,0,0:π⇒=n BCQ ()()()5150,0,1,1,3,611⇒==n m ().412π()4113()()()41,0,0,1,0,114π⇒=-=n m ()27319,315==V CP ()()()661,2,1,1,0,0,//16-⇒=-=n m DE AB ()()3,1,2:,17222==+m ABP AP BP AB()362,41,0,0:=⇒=V n ABD π()()()1333,12,4:,1,0,0:181⇒--CDB BCD ().5219()3320().333321 ()()()().1522,2,:,1,0,0:,,0,0,////22⇒-k k n m k P EBF PAD CD ()()()12,,0:,1,,:23=⇒--AB k n k k m ()()()42,1,0:,2,1,3:24π⇒--n m ()10125-().73,,4226CP CE PC AE DE AE =⇒⊥⊥ ()()()()()36cos 2,0,1:,1,1,2:,210,2,0,2,2,227-=⇒--=⇒-=--=+=θn m t BA t t CM BC BM()36,328π()()()()771,3,0,1,3,3,3,0,0,,291111⇒-=-==⇒⊥⊥n m t t A BC AC BA AC ()()()()()()()()2933,,3,1,0,0.0,3,1,,0,3.0,3,4,0,0,3,,0,030=⇒-===-=k k k n m EF k AE F E k A []()()()22111sin sin ,2131ca c c AB ACM ABMB A AM B CN BB B A CN +==⇒==∠=∠⇒⊥⊥⇒⊥ϕθθϕ，作()()()5151,1,1:,1,2,0:.34,32,32,32,32,3232-⇒--⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n m N PC ()()()()3tan 101cos 1,0,0,1,6,3,3,0,1,233=⇒=⇒=-==θθn m A CD ()()1030cos 2.51,52,431===⇒⊥⊥θAE OE BC OE AA OE[]()()()()()()21,1,0:,2,,2:.1,1,2,1,1,2,0,0,3.21,0,02.1351111111=⇒=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛⊥t n E B A t t m E AB t EA t E B t B p CE B BC ()BC BP 31,72136=()()()()()101cos 2,3,0:,1,0,3:.31,0,:,0,037-=⇒=-=⇒=⇒-=⇒θn ADE m CAD k k m ABE k A 2004-2014山东高考数学真题：立体几何（04）如图，已知四棱锥ABCD P -，AD PB ⊥，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为0120.求点P 到平面ABCD 的距离（05）已知长方体1111ABCD A BC D -,12,1AB AA ==，直线BD 与平面11AA B B 所成的角为030， AE 垂直BD 于,E F 为11A B 的中点．（Ⅰ）求异面直线AE 与BF 所成的角的余弦值（Ⅱ）求平面BDF 与平面1AA B 所成二面角（锐角）的余弦值 （Ⅲ）求点A 到平面BDF 的距离A 11C 11F E CA（06理科）如图，已知平面111C B A 平行于三棱锥ABC F -的底面ABC ，等边C AB 1∆所在的平面与 底面ABC 垂直，且090=∠ACB ，设a BC a AC ==,2 （Ⅰ）求证直线11C B 是异面直线1AB 与11C A 的公垂线 （Ⅱ）求点A 到平面FBC 的距离 （Ⅲ）求二面角C FB A --的余弦值（07理科）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中,已知122DC DD AD AB ===,AD DC ⊥.AB //CD （Ⅰ）设E 是DC 的中点, 求证: E D 1//BD A 1 （Ⅱ）求二面角11A BD C --的余弦值ED1C1B1A1DCBA（08理科）四棱锥P ABCD -底面为菱形，PA ⊥平面ABCD ，060=∠ABC ，E F ，是BC PC ，中点 （Ⅰ）证明：AE PD ⊥（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与PADE AF C --的余弦值．（08文科）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB //DC ，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．ABCMPDPBEC DFA（09文理）直四棱柱1111D C B A ABCD -中，ABCD 为等腰梯形，AB //CD ,，，24===CD BC AB21=AA ，M E ,分别是棱1,AA AD 的中点.设F 是棱AB 的中点（Ⅰ）证明：直线EM //平面1FCC （Ⅱ）证明:平面C C BB AC D 111⊥（文科） （Ⅲ）求二面角C FC B --1的余弦值（10理科）在五棱锥ABCDE P -中，⊥PA 平面AB ABCDE ,//AC CD ,//AE ED ,//BC ，,450=∠ABC 42,22===AE BC AB ，三角形PAB 是等腰三角形（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC （Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小 （Ⅲ）求四棱锥ACDE P -的体积EA BCFMAB 1C 1DD（10文科）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，⊥MA G F E MA PD ABCD ,,,//,分别为PC PB MB ,,的中点，且MA PD AD 2==（Ⅰ）求证：平面PDC EFG ⊥（Ⅱ）求三棱锥MAB P -与四棱锥ABCD P -的体积之比（11文科）四棱台中，1D D ⊥ABCD ，ABCD 是平行四边形，01160,,2=∠==BAD B A AD AD AB （Ⅰ）证明:BD AA ⊥1 （Ⅱ）证明:BD A CC 11（11理科）如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，090,ACB ∠=ABCD EA ⊥ //,//,//,2EF AB FG BC EG AC AB EF = （Ⅰ）若M 是线段AD 的中点，求证：ABFE GM // （Ⅱ）若2AC BC AE ==，求二面角A BF C --的大小.DB 11DC 1 CBA A 1 DEFG（12理科）如图几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB //CD ，060=∠DAB ，ABCD FC ⊥， CF CD CB BD AE ==⊥,（Ⅰ）求证：AED BD ⊥（Ⅱ）求二面角C BD F --的余弦值（12文科）几何体E ABCD -是四棱锥，ABD ∆为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.（Ⅰ）求证：DE BE =（Ⅱ）若0120=∠BCD ，M 为线段AE 的中点，求证：DM //平面BEC .（13理科）在三棱锥ABQ P -中，F E C D BQ BP BA ABQ PB ,,,.,==⊥，分别是BP AP BQ AQ ,,, 的中点，PD BD AQ ,2=与EQ 交于点PC G ,与FQ 交于点H ，连接GH（Ⅰ）求证：AB //GH（Ⅱ）求二面角E GH D --的余弦值（13文科）四棱锥P ABCD -中，,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点（Ⅰ）求证：PAD CE //（Ⅱ）求证：EMN EFG ⊥(14理)四棱柱1111D C B A ABCD -，底面ABCD 是等腰梯形，M CD AB DAB ,22,600===∠是线段AB 中点 （Ⅰ）求证：111//ADD A M C（Ⅱ）若ABCD CD ⊥1且31=CD ，求平面M D C 11和ABCD 所成角（锐角）的余弦值B 1C 1D 1A 1DC B M A（14文）四棱锥ABCD P -中F E AD BC AB BC AD PCD AP ,,21,//,==⊥分别为线段PC AD ,的中点 （Ⅰ）求证：BEF AP //（Ⅱ）求证：PAC BE ⊥（04）23（05）()().5525151,3,1,0,1,042，，⇒==n m （06）(),1,3,32,333--=⇒=m a V ().411,3,0⇒=n （07）()()331,1,1,1,2,2⇒-=--=n m （08理）()()5150,3,1,1,2,0⇒-=-=n m（08文科）316（09理）()().773,0,2,0,3,1⇒==n m （10理）()()⇒=-=1,1,0,22,0,22m BP .6πθ=22（11理）3π（12理）55(13理)54-（14）55。
高中数学课件-第8讲 向量法求空间角
第8讲 向量法求空间角1.掌握空间向量的应用.2.会用空间向量求空间角.考试要求01聚焦必备知识知识梳理1.异面直线所成的角设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝___________________＝_________.2.直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝________________＝_________.3.平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝__________.提醒常用结论1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角.( )夯基诊断×××√A(2)设M，N分别是正方体ABCD -A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，则直线MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为________.(3)两个平面的法向量分别为n1＝(0，－1，1)，n2＝(1，0，－1)，则两个平面夹角的余弦值为________.02突破核心命题考 点 一异面直线所成的角D用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.反思感悟A考 点 二直线与平面所成的角例2 (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)证明：A1C＝AC；(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值.解：(1)证明：∵A1C⊥平面ABC，BC，AC⊂平面ABC，∴A1C⊥BC，A1C⊥AC.又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如图，过点A1作A1D⊥CC1于点D，∵平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，向量法求直线与平面所成角的主要方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.反思感悟因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，所以BD⊥平面PAD.又PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA.(2)由(1)知，DA，DB，DP两两垂直，如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，考 点 三 平面与平面的夹角例3 (2023·新课标Ⅰ卷)如图，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)证明：B2C2∥A2D2；(2)点P在棱BB1上，当二面角P A2C2D2为150°时，求B 2P.别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.因为AB＝2，AA1＝4，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3，所以A2(2，2，1)，B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，D2(2，0，2)，反思感悟利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤(1)证明：EF∥平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D -AO -C的正弦值.所以AO⊥平面BEF.又AO⊂平面ADO，所以平面ADO⊥平面BEF.(3)以B为原点，BA所在直线为x轴，03限时规范训练(五十四)(1)求异面直线A1B与AC1夹角的余弦值；(2)求平面A1BD与平面A1AD夹角的正弦值.。
空间向量求角经典课件——上课用
x
B
C
3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34
三、面面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足：
y
n (1,1,2)
x
设直线OS与平面SAB所成角为
sin cos OS , n OS n OS n 2 6 3 1 6
⑵.由⑴知面SAB的法向量 n1 =（1，1，2） 又∵OC⊥面AOS，∴OC 是面AOS的法向量， 令 n2 OC (0,1,0)
关键：观察二面角的范围
B
n2
n1
A
B
D1
a， b
a， b
a
b
结论： cos
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| | cos CD, AB |
例1：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1， 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值. z
C
A
D
B
∴AC1和CB1的夹角为： 3
x
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线与平面所成角的范围： [0, ]
A
n
2
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
第七节 利用空间向量求空间角 (高中数学精品课件PPT)
[小题查验基础]
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一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角． ( × )
(2)已知a ＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则a ∥
c，a ⊥b .
(√ )
(3)已知向量m ，n 分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若
所以公式中要加绝对值．
|a ·n | 量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a ，n 〉|＝ ❷.
|a ||n |
3．二面角
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(1)若AB，CD分别是二面角α-l-β的两个平面内与棱l垂直
的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量―A→B 与
―C→D 的夹角，如图(1)．
(2利 〈)平用 n面1，公αn式与2〉与β与相二二交面面于角角的直大平线小面l，的角平关时面系，α，要的是注法相意向量为n 1，平面β的法 向等量还为是n互2，补〈，n需1，要n结2〉合＝图θ形，进则行二判面断角．α -l -β为直线l与平面α所成的角为120°. ( × ) (4)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平
面所成的二面角的大小为45°.
( ×)
二、选填题
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1．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是
A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角
BD(1由(()20证已，,0明,知02,)：0，，)，―ED得(→CE0|c(,＝02o,,s42〈(,)00，,―)2N，,M0→H)P(，，0(0，―，―DB0→B→0E,1,4＝)〉，)，(|2N＝,0(|1|，――NN,2→H－→H,0)|2·|．――)BB．→E→E ||
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学习目标：
• （1）、理解向量法求空间角的原理 • （2）、熟练掌握向量法求空间角
原理分析
1.异面直线所成角
rr 设直线l, m 的方向向量分别为a, b
若两直线
l
,
m
所成的角为
(0
≤
≤
2
)
,
则
rr ab
cos r r
ab
l
a
m
l
a
b m
2. 线面角
r
r
设直线l的方向向量为 a，平面 的法向量为 u ，且
直线l 与平面 所成的角为 ( 0≤ ≤ ),则
2
rr
au
u
a
sin r r au
lau来自3、二面角法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。
如图，向量
n
，m
，
则二面角
l
的大小
＝〈m, n 〉
m, n
m
n
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；一进一出， 二面角等于法向量夹角
L
rr
uv
若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则 cos r r .
uv