2.1从位移、速度、力到向量

用 如表Auu示Bur.有向线段的起点和终点字母表示，
思考：
向量
uuur AB
与向量
uuur BA
是不是同一向量？为
什么？
不是同一向量，因为方向不同.
探究三、向量的长度：
向量
uuur AB
的大小，即长度（也称模）.
uuur
记作：| AB |
问题1：长度为0的向量应该叫作什么向量？
如何表示？它是否有方向？ r
第二章 平面向量
2.1 从位移、速度、 力到向量
思考:力，时间,路程,功是向 量吗?速度,加速度是向量吗?
数量：只有大小，没有方向的量。
向量的两要素：方向、大小
向量：既有大小，又有方向的量。
1.老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去.
猫能否追到老鼠？
北
东
不能.猫的速度再快也 没用, 因为方向错了. A
d
❖ 但是r两个r 向量r 之间r 只有相等r 关系r ，没有大小之分，“对于向 量 a ，b ，a ＞ b ，或 a ＜ b ”这种说法是错误的.
规定：零向量和零向量相等。
A
D
r a
思考：单位向量和单位向量一定相等吗？
r
B
C
br
c
r d
AB DC
3.相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做
相反向量。记作：a c
6.起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下 的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机 拉力的作用.当拉力的大小超过重力的大小时， 物体即被吊起.
F
G
7.汽车爬倾斜角为θ的坡路时，汽车的牵引
力大小为F(N),方向倾斜向上，与水平方向
成θ角.
F
θ
力既有大小又有方向.
小结
位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又 有方向的量，在物理中称为矢量。
6.相等向量: 长度相等且方向相同的向量
7.共线向量: 平行向量就是共线向量
1.向量的概念:
2.向量的表示:
3.零向量:
仅对向量的大小明确规定，而
4.单位向量: 没有对向量的方向明确规定
5.平行向量: 仅对向量的方向明确规定，而 6.共线向量: 没有对向量的大小明确规定
7. 相等向量:对向量的大小和方向都明确规定
零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个 向量一定是什么向量？
平行的向量（共线的向量）.
（6）两个非零向量相等的条件是什么？ 模相等且方向相同.
（7）共线的向量一定在同一直线上． ×
例2.如图，D,E,F依次是等边三角形ABC的边
AB,BC,AC的中点，在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的
Ｂ3
说明：任意两个非零相等向 Ａ１
Ｂ2
量可用同一条有向线段表示，
Ａ3
与有向线段的起点无关.
Ａ2
练习2、判断下列各命题是否正确？
r r r ur
（1）a b ,则a b;
×
(2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；×
uuur uuur
（3）若AB CD,则四边形ABCD是平行四边形；×
段只是向量的一种几何表示！
概念辨析
例1、判断
温馨提示： 1.做题时要注意向量平行（共线）与直线平行、共线的区别
uur uur 2.不要忽略零向量的特殊性及有关的两个规定 （1）若AB / /CD，则AB / /CD；
√
uuur
（2）若AB
/
/uCuDr，则AB
/
/CD；
×
rr r r
rr
（ 3 ） a与 b共线，b 与 c 共线，则 a与 c也共线；
速度是既有大小又有
B
方向的量.
2.民航每天都有从北京飞往上海、 广州、重庆、哈尔滨等地的航班. 每次飞行都是民航客机的一次位移.
北京
由于飞行的距离和方 向各不相同,因此,它们 是不同的位移.
重庆
位移既有大小又有方向. 广州
哈尔滨 上海
3.假如学校位于你家东偏北30°方向，距
离你家2 000 m.从家到学校，可能有长短不
它们和以往学习的长度、面积、体积等 量相比有什么不同？
抽 象 概 括
向量
探究一、向量的概念
既有大小,又有方向的量统称为向量. 1.现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？ 位移、力、速度、加速度、电场强度等. 2.哪些量只有大小没有方向？ 距离、身高、质量、时间、面积等.
注意：数量与向量的区别 1.数量只有大小，是一个数，可以进行代数 运算、比较大小； 2.向量不仅有大小还有方向，具有双重性， 不能比较大小.
11
个 变式二：是否存在与向量
uuur OA
长度相等，方向相反的向量？
uur
存在，为 FE.
变式三：与向量 OuuAur 长度相等且共线的向量有哪些？
uuur uuur uur CB, DO, FE
1、右图中的向量是什么关系?
uuuur uuuuur uuuuur
Ｂ１
A1B1 A2B2 A3B3
探究二、向量的表示方法：
1.几何表示法：有向线段． 有向线段——具有方向和长度的线段． B
A
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
在数学中我们研究的是仅由大小和方向确定， 而与起点位置无关的向量，也称为自由向量．
以A为起点、B为终点的有向线段记作 AB
2.字母表示法：
rrr 用 a, b,c 等小写字母表示；
答：应该叫作零向量. 表示为 0.
它的方向是任意的.
问题2：与向量 a 同方向且长度为单位1的向
量应该叫作什么向量？
答：应该叫作 a方向上的单位向量.记作
uur a0.
问题3：有几个单位向量？单位向量的大小 是否相等？
答：有无数个单位向量，单位向量的大小相 等.
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单
×
（4）模相等的两个平行向量是相等的向量；
×
（5）平行的向量，若起点不同，则终点一定不同 ×
（6）共线向量A一定在B同一直线上；
C×
例1．判断下列说法是否正确或给出问题 的答案
（1）平行的向量的方向一定相同． ×
（2）不相等的向量一定不平行．
×
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ 零向量
（4）存在与任何向量都平行的向量吗？
r rr r r r
（4）若a b,b c,则a c; r rr r r r
√
(5)若a / /c,b / /c,则a / /b ×
练习3、已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中
所标出的向量中：
uuur
（1）试找出与FE共线的向量；
uuur
（2）确定与FE相等的向量； uuur uuur
位向量，它们终点的轨迹是什么图形？
y
o
x
答：如图，轨迹是以O为圆心，半径为1的 圆（单位圆）.
ห้องสมุดไป่ตู้
四、向量的关系
r
1.平行向量：
ar br c
r d
➢一组方向相同或相反的非零向量叫做
平行向量。
➢ 规定：零向量与任一向量平行。
r ra
记 做：ar //
r
b//
r
c
b
r
c
2.相等向量：
❖
长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，记作： a
E
D
（3）OA与BC相等吗？
解：（1）OA, BC
FO
C
(2)BC
(3)因为方向相反，所以不相等。 A
B
小结：
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量
2.向量的表示: 1.几何表示 2.字母表示
3.零向量: 长度为零的向量
4.单位向量: 长度为1个单位的向量
5.平行向量:
1.方向相同或相反的非零向量 2.零向量与任一向量平行
A
向量中，
（1）找出与向量 DuuEur相等的向量； D
F
（2）找出与向量 DuuuFr 共线的向量.
解：由三角形中位线定理不难得到： B
E
C
（1）在以A，B，C，D，E，F为起点
或终点的向量中，与向量 D相E 等的向量有： AF和FC；
（2）在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，与
向量
uuur
同的几条路.
北 学校
无论走哪条路， 你的位移都是向 东偏北30°方向 移动了2 000 m.
30
家
东
4.飞机向东北方向飞行了150 km，飞行时间
为半小时，飞行速度的大小是300 km/h，方
向是东北.
北
东
5.某著名运动员投掷标枪时，标枪的初始速 度的记录资料是：平均出手角度θ=43.242°， 平均出手速度大小为v=28.35 m/s.
D共F 线的向量有：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur BE，EB，EC，CE，BC，CB，FD.
例3.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，写出
图中与向量 OuuAur相等的向量.
uuur uuur uuur OA DO=CB.
变式一：与向量
uuur OA
长度相等的向量有多少个？
r
ar br c
r d
4.共线向量与平行向量的关系
rrr
r a
,bra,cr/为/ b共//线c 向量
r a r rb c
rr r bc a
平行向量就是共线向量， 共线向量就是平行向量！
说明：我们所研究的向量为自由向量，只与大小
和规方定向：有零关向，量与与有向任线一段向的量起平点行位置无关，有向线