线性代数练习题二(矩阵)

线性代数练习题二（矩阵）

一、 填空题

1、设A 是m n ⨯阶矩阵，B 是s m ⨯阶矩阵，则T T A B 是 阶矩阵.

2、设A B ,均为m n ⨯阶矩阵，则A B B A =的充要条件是 .

3、设A B ,均为n 阶矩阵，则AB 不可逆的充要条件是 .

4、设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则由A B ≠≠0,0可推出

O

A

B O = ；O A B O -⎛⎫

= ⎪⎝⎭

1

. 5、 设A B C ,,均为n 阶方阵，且A AB C ≠=0,，则B = 6、 设A B ,为同阶方阵，则A B A AB B +-++=222()(2) 7、设A 为5阶方阵，且A =3，则A -=1 ；A =2 ；

A *= .

8、设A 为3阶方阵，且A =1

2

，则A A -*-=132 . 二、 选择题

1、设A B ,均为n 阶矩阵，且A AB +=0，则（ ）

A A

B E B C

A E

B D A E B =+==+==+=000000

或和2、设矩阵A B A O

A ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

12，其中A A 12,都是方阵，若A 可逆，则下列结论成立的是（ ）

A A A

B A A C

A A D A A 12211212,,可逆不可逆可逆不可逆

与可逆性不定与均可逆

3、若A B C ,,均为同阶方阵，且A 可逆，则下列结论成立的是（ ）

A A

B A

C B C

B AB CB A C

C AB O B O

D BC O B O

========若则若则若则若则

4、若A 是（ ）矩阵，则A 必是方阵

A B C n D 对称矩阵可逆矩阵阶矩阵的转置矩阵

线性方程组的系数矩阵

5、设A 是非奇异对称矩阵，则（ ）仍是对称矩阵

T

T A A B A C A D AA -13

6、若A 为n 阶方阵，且A a =≠0，则A *=（ ）

n n A a B a C a D a --11

三、 计算题

1、设A ⎛⎫

⎪--

⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭

1111111111111111，求n A .

2、设A B C ⎛⎫

--⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪

⎝⎭4113021,25,0424234，求T

ABC ().

3、解矩阵方程A AX E -=2，其中A -⎛⎫

⎪= ⎪

⎪-⎝⎭

111011001，E 为单位矩阵.

4、设4阶方阵A r r r B r r r ==234234(,,,),(,,,)αβ，其中

r r r 234,,,,αβ均为4维列向量，且行列式A a B b ==,，求

行列式A B +的值.

5、若A B ,均为n 阶方阵，且A B ==-2,3，求行列式

A B *-13的值.

6、设A 为n 阶实方阵，且T AA E A ==-,1，求行列式E A +的值. 四、 证明题

1、已知矩阵A a

b c a b c ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝

⎭

22

21

11，证明： T AA b a c a c b =---222()()().

（提示：利用范德蒙德行列式）

2、设A 为n 阶实方阵，且T AA E =，证明：行列式A =±1.

答案：

一、1、n s m n A B A B ⨯===1. 2.,, 3.00且可交换或；

n

O

B A B A

C BA AB A A A

O -----⎛⎫--== ⎪

⎝⎭

1111

1

14.(1); 5. 6.7.;3A A *==29;818.16

二、C D A C A B C A B C D C 1. 2. 3., 4.,, 5.,,, 6. 三、

n n n n A E n A E n A A -=⇒==2211.22;2为偶数时，为奇数时，

n X a b -⎛⎫

⎛⎫ ⎪=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪

⎝⎭

1021601402. 3.000 4.8() 5.68.02642000 四、（略）.