弹性力学讲义 例题3 b

例题（第3章）
例题3-1 （见§3-1 ）
试考察应力函数 ? ? ay3
在图3-1 所示的矩形
板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。
图3-1
x
y
?x
e
P
解: 首先考察给定的应力函数Φ是否满足相容方程。
? 4?
?
? 4?
?x4
?
2
? 4?
?x2?y2
?
? 4?
?y4
?0
代入后满足，说明该函数可作应力函数 。 当体力不计时，将Φ代入应力分量公式可得：
代入A，得
H ? 0,
? y ? xf ( y);
2. 推求应力函数的形式。由 ? y 推测Φ的形式 ,
?
y
?
? 2?
?x2
? xf ( y),
则
??
?x
?
x2 2
f ?y??
f1( y),
?
?
x3 6
f (y) ?
xf1( y) ?
f2 ( y)。
3. 由相容方程求应力函数。将Φ代得 ? 4? ? 0
x3 6
d4 f dy 4
（a）? (b)得 （a）? (b)得 （c）? (d )得 （c）? (d )得 由此得
b2
1
B 4 ? D ? ? 2 ?2g,
A b3 4
?
C
b 2
?
?
1 2
?2g,
B ? 0,
?
D
?
?
1 2
?2g,
A 3b3 ? C ? 0。 4
A?
2 b3
? 2 g,
C
?
?
3 2b
? 2g。
又有 （e）? ( f )得 （e）? ( f )得
?
x
d 4 f1 dy 4
?
d 4 f2 dy 4
?
2x
d2 f dy 2
? 0。
要使上式在任意的 x处都成立，必须
d4 f dy 4
? 0，
得f ? Ay 3 ? By 2 ? Cy ? D;
d 4 f1 dy 4
?
2
d2 f dy 2
? 0,
得f1
?
?
A 10
y5
?
B 6
y4
?
Gy 3
?
Hy 2
?x ?
? 2?
?y2
? 6ay,
? xy
?
?
? 2?
?x?y
?
0
?
y
?
? 2?
?x2
?0
当a ? 0
分布情况：
时，考察左、?右x 两端的
左端 右端
(? )x x? 0 ? 0, (? )x x? 0 ? 6ah, (? xy )x? 0 ? 0
y?0
y?h
(? )x x? l ? 0, (? )x x?l ? 6ah, (? xy )x? l ? 0
设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体 力可以不计，图3-2 ，试用应力函数
求解应力分量。 ? ? Axy ? By 2 ? Cy 3 ? Dxy3
图3-2
解: 本题是较典型的例题, 已经给出了应力函数Φ , 可按
下列步骤求解。 1. 将Φ代人相容方程 , 显然是满足的。 2. 将Φ代入应力关系式 , 求出应力分量
B ?? ? 3?
x(? 2 Ay 3 ? 2By 2 ? 6Gy ? 2H ) ?
(6Ey ? 2F ) ? ?1gx,
?y
?
? 2?
?x2
?
fyy ?
x( Ay 3 ?
By2 ? Cy ?
D),
? xy
?
?
? 2?
?x?y
?
?
x2 2
(3Ay 2
?
2By
?
C)
?
( A y 4 ? 2B y3 ? 3Gy2 ? 2Hy ? I )。
2
3
5. 考察边界条件 : 在主要边界 y = ± b/2 上, 有
(?
)y y? b / 2
?
? ? 2 gx;
得x(A b3 8
?
b2 B
4
?
C
b 2
?
D) ?
? ? 2 gx;
(a)
(?
)y y? ? b / 2
?
0;
得x(?
b3 A
8
?
B
b2 4
?
C
b 2
?
D)
?
0;
(b)
?( ) xy y ? ? b / 2
? x ? 2B ? 6Cy ? 6Dxy, ? y ? 0, ? xy ? ? ( A ? 3Dy 2 )
3. 考察边界条件: 主要边界 y= ±h/2上, 应精确满足式 (2-15),
(? )y y? ? h/ 2 ? 0, 满足；
?( )xy y? ? h/ 2 ? 0,
得A ? 3 Dh2 ? 0 4
y?0
y?h
l ?? h
应力分布如图所示，当 能解决各种偏心拉伸的问题。
时应用圣维南原理
因则为：在A点的应?力(? 为x ) A零?。bPh设? 板bPh宽e2 为? 0b, ，集中荷载P的偏心距为e。
6
? P ??1? 6e ?? ? 0, F? h ?
e? h, 6
例题3-2 （习题3-7 ）
?
0;
得?Βιβλιοθήκη Baidu
x2 2
3b 2 (A
4
?
Bb ?
C) ?
b4 (A
?
B
b3
?
G
3b 2
?Hb ?
I) ?
0
32 12 4
由上式得到
3b 2 ( A ? Bb ? C) ? 0
4 ( A b4 ? B b3 ? G 3b2 ?Hb ? I ) ? 0
32 12 4
（c, d） （e, f）
求解各系数，由
?
Iy;
d4 f2 dy 4
?
0,
得f2 ? Ey3 ? Fy 2。
代人Φ , 即得应力函数的解答, 其中巳略去了与应力无关的 一次式。
4. 由应力函数求应力分量。将φ代人式 (2-24), 注意体力
f x ? ?1g, f y ? 0 ，求得应力分量为
?x
?
? 2?
?y2
?
fxx ?
x3?? Ay ? ?
在次要边界x=O上, 只给出了面力的主矢量和主矩, 应 用圣维南原理, 用三个积分的边界条件代替。注意 x=O 是
负x面, 图 3-5 中表示了负 x 面上σ x 和τ xy 的正方向,
由此得
?h / 2
(?
?h/2
x ) x ? 0 dy
?
? FN ,
求得 B ? ? FN ; 2h
?h / 2 ?h/2
代入应力公式, 得
?x
?
?
FN h
?
12M h3
y
?
12FS h3
xy,
? y ? 0,
? xy
?
?
3FS 2h
(1?
4
y2 h2
)。
例题3-3 （习题3-11 ）
挡水墙的密度为 ρ 1, 厚度为 b, 图 3-6, 水的密度为ρ 2, 试求应力分量。
解: 用半逆解法求解。
1. 假设应力分量的函数形式。因为在 y =-b/2 边界上,? y ? 0; y =b/2 边界上?, y ? ? ? 2 gx; 所以可假设在区域内 ? y 为
y (?
x ) x? 0 dy
?
?M
, 求得
C
?
?
2M h3
;
?h / 2
? h / 2 (? xy ) x ? 0 dy ? ? Fs ,
得
Ah
?
1 4
Dh 3
?
Fs。
由式（ a），（ b）解出
A?
3Fs ， D 2h
?
?
2Fs 。 h3
最后一个次要边界条件 ( x=l 上 ), 在平衡微分方程和 上述边界条件均已满足的条件下, 是必然满足的, 故不必再 校核。