求空间角的常用方法
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(Ⅱ)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值． (Ⅰ)证明 ∵底面ABCD为菱形， ∴AB＝AD，∠DAB=60º ． ∴△DAB为正三角形． 又E为AB中点， ∴AB⊥DE． 又PD⊥平面ABCD，PE在平面ABCD上的射影为DE， ∴AB⊥PE（三垂线定理）．∵PE∩DE＝E， ∴平面PAB⊥平面PED．
ME 2
在△MOE中， OM D1 F 2 2 1 5
OE EC 2 OC 2 1 ( 2 ) 2 3
OM 2＋OE 2－ME 2 5 3 2 15 由余弦定理得 cosMOE ＝ ＝ 2OM · OE 5 2·5·3
故选B．
点评 求异面直线所成的角，一般都是通 过“选点平移”将异面直线所成的角转化为
5 a 2 2 2 a ∵在Rt△BCF中，BF BC CF a 2 2 1 a ∵ EF PD 2 2
2
a EF 5 ∴在Rt△EFB中， tanEBF 2 BF 5 5 a 2
5 ∴EB与底面ABCD所成角的正切值为 5
点评 求直线与平面所成的角的关键是抓射影，而由斜线上
(Ⅱ)解 ∵AB⊥平面PED，PE 面PED， ∴AB⊥PE． 如图1-10，连结EF． ∵EF 面PED， ∴AB⊥EF． ∴∠PEF为二面角P-AB-F的平面角．
a 2 又∵△DAB为正三角形，E为AB中点，
设PD＝AD＝a，则PF＝FD＝
a ∴AB＝AD＝a， AE 2
DE
4 5
10 5
(B)
15 5
(D)
2 3
解
如图1-4，取 D1C1 的中点M，连结MO，FO．
∵O为底面中心， ∴O为BD中点，从而FO为△DAB的中位线． ∴FO ∴MO
1 AB 2
D1 M
∴四边形 D1 FOM 为平行四边形．
D1 F
故∠MOE(或其补角)即为异面直线 D1 F 和OE所成的角．
4.垂面法
在求解二面角的问题中，若能找到或者作出棱的垂面，则垂面与两个半平面的交 线所成的角即为二面角的平面角． 【例4】 (2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形， ∠DAB=60º ，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点．
(Ⅰ)证明：平面PED⊥平面PAB；
1、定义法
求空间角的大小，一般是根据相关角(如异面直线所成的角、直线和平面所成的
角、二面角的平面角)的定义，把空间角转化为平面角来求解。
【例1】 (2004年天津市高考题)如图1-1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点． (Ⅰ)证明：PA∥平面EBD；
3 a 2
3 7 PE PD2 DE 2 a 2 a a 2 2
2 3 a 2 2 EF FDห้องสมุดไป่ตู้ ED a a 2 2 2
(Ⅲ)解 设AM∩OF＝H，由(Ⅱ)知AH⊥平面BDF．
如图1-8，作AG⊥DF交DF于Ｇ，连结GH，由三垂线定理知GH⊥DF，
∴∠AGH是二面角A-DF-B的平面角．
又∵ AH
2 6 ，AG 2 3
∴ sin AGH
3 2
即 AGH 60
o
o
∴二面角A-DF-B的大小为60
点评 利用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角关键是找垂线，对有棱二 面角通常应注意选取合适的点构造二面角的平面角．
(Ⅱ)求EB与底面ABCD所成的角的正切值．
(Ⅰ)证明 如图1-2，连结AC，AC交BD于O，连结EO． ∵底面ABCD为正方形，∴点O为AC中点． ∵在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO． 又EO 平面EDB，且 PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB
(Ⅱ)解 作EF⊥DC交DC于F，连结BF．设正方形ABCD的边长为a． ∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC． ∴EF∥PD，F为DC中点． ∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影， 故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．
逆定理作出它的平面角，然后再求解． 【例3】 (2004年浙江省高考题)如图1-5，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平 面垂直， AB 2 ，AF＝1，M是线段EF的中点． (I)证明：AM∥平面BDE； (Ⅱ)证明：AM⊥平面BDF；
(Ⅲ)求二面角A-DF-B的大小．
(Ⅰ)证明 如图1-6，设AC，BD交于点O，连EO，矩形AFEC的边长AF＝1，AC=2． ∵O，M分别为AC与EF的中点，
一点作平面的垂线时，需要确定垂足的位置，然后再将这个
角放在三角形中利用三角形的边角关系求解．
2 ．选点平移法
所谓“选点平移法”就是选择适当的点，通过作平行线，构造出所要求的空间角． 至于点的选取何处适当，通常是视具体情况具体分析． 【例2】 (2004年天津市高考题)如图1-3，在棱长为2的正方体ABCD- A1 B1C1 D1 中， O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1 ，AD的中点，那么异面直线OE和FD1 所 成的角的余弦值等于( (A) )。 (C)
∥ OA 1 ∴ EM＝
∴四边形AOEM是平行四边形． ∴AM∥OE．
又OE
AM 平面BDE， ∴AM∥平面BDE． 平面BDE，
(Ⅱ)证明 如图1-7，∵BD⊥AC，BD⊥AF,AC∩AF＝A， ∴BD⊥平面ACEF，DF在平面ACEF上的射影为OF． ∵AO＝AF＝1，AOMF是正方形，OF⊥AM， ∴由三垂线定理得DF⊥AM． 同理FB⊥AM，DF∩FB＝F， ∴AM⊥平面BDF．
共面相交的两直线的夹角来完成，但要特
别注意两条异面直线所成的角的范围是
0， 此题选点还可选取D1 C 的中点或 2
选取BC的中点P，然后再作相应的辅助线。
3.垂线法
当已知条件中出现二面角中一个半平面内一点到另一个半平面的垂线时(或虽未
给出这样的垂线，但由已知条件能够作出这样的垂线)，可依据三垂线定理或其
ME 2
在△MOE中， OM D1 F 2 2 1 5
OE EC 2 OC 2 1 ( 2 ) 2 3
OM 2＋OE 2－ME 2 5 3 2 15 由余弦定理得 cosMOE ＝ ＝ 2OM · OE 5 2·5·3
故选B．
点评 求异面直线所成的角，一般都是通 过“选点平移”将异面直线所成的角转化为
5 a 2 2 2 a ∵在Rt△BCF中，BF BC CF a 2 2 1 a ∵ EF PD 2 2
2
a EF 5 ∴在Rt△EFB中， tanEBF 2 BF 5 5 a 2
5 ∴EB与底面ABCD所成角的正切值为 5
点评 求直线与平面所成的角的关键是抓射影，而由斜线上
(Ⅱ)解 ∵AB⊥平面PED，PE 面PED， ∴AB⊥PE． 如图1-10，连结EF． ∵EF 面PED， ∴AB⊥EF． ∴∠PEF为二面角P-AB-F的平面角．
a 2 又∵△DAB为正三角形，E为AB中点，
设PD＝AD＝a，则PF＝FD＝
a ∴AB＝AD＝a， AE 2
DE
4 5
10 5
(B)
15 5
(D)
2 3
解
如图1-4，取 D1C1 的中点M，连结MO，FO．
∵O为底面中心， ∴O为BD中点，从而FO为△DAB的中位线． ∴FO ∴MO
1 AB 2
D1 M
∴四边形 D1 FOM 为平行四边形．
D1 F
故∠MOE(或其补角)即为异面直线 D1 F 和OE所成的角．
4.垂面法
在求解二面角的问题中，若能找到或者作出棱的垂面，则垂面与两个半平面的交 线所成的角即为二面角的平面角． 【例4】 (2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形， ∠DAB=60º ，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点．
(Ⅰ)证明：平面PED⊥平面PAB；
1、定义法
求空间角的大小，一般是根据相关角(如异面直线所成的角、直线和平面所成的
角、二面角的平面角)的定义，把空间角转化为平面角来求解。
【例1】 (2004年天津市高考题)如图1-1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点． (Ⅰ)证明：PA∥平面EBD；
3 a 2
3 7 PE PD2 DE 2 a 2 a a 2 2
2 3 a 2 2 EF FDห้องสมุดไป่ตู้ ED a a 2 2 2
(Ⅲ)解 设AM∩OF＝H，由(Ⅱ)知AH⊥平面BDF．
如图1-8，作AG⊥DF交DF于Ｇ，连结GH，由三垂线定理知GH⊥DF，
∴∠AGH是二面角A-DF-B的平面角．
又∵ AH
2 6 ，AG 2 3
∴ sin AGH
3 2
即 AGH 60
o
o
∴二面角A-DF-B的大小为60
点评 利用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角关键是找垂线，对有棱二 面角通常应注意选取合适的点构造二面角的平面角．
(Ⅱ)求EB与底面ABCD所成的角的正切值．
(Ⅰ)证明 如图1-2，连结AC，AC交BD于O，连结EO． ∵底面ABCD为正方形，∴点O为AC中点． ∵在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO． 又EO 平面EDB，且 PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB
(Ⅱ)解 作EF⊥DC交DC于F，连结BF．设正方形ABCD的边长为a． ∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC． ∴EF∥PD，F为DC中点． ∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影， 故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．
逆定理作出它的平面角，然后再求解． 【例3】 (2004年浙江省高考题)如图1-5，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平 面垂直， AB 2 ，AF＝1，M是线段EF的中点． (I)证明：AM∥平面BDE； (Ⅱ)证明：AM⊥平面BDF；
(Ⅲ)求二面角A-DF-B的大小．
(Ⅰ)证明 如图1-6，设AC，BD交于点O，连EO，矩形AFEC的边长AF＝1，AC=2． ∵O，M分别为AC与EF的中点，
一点作平面的垂线时，需要确定垂足的位置，然后再将这个
角放在三角形中利用三角形的边角关系求解．
2 ．选点平移法
所谓“选点平移法”就是选择适当的点，通过作平行线，构造出所要求的空间角． 至于点的选取何处适当，通常是视具体情况具体分析． 【例2】 (2004年天津市高考题)如图1-3，在棱长为2的正方体ABCD- A1 B1C1 D1 中， O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1 ，AD的中点，那么异面直线OE和FD1 所 成的角的余弦值等于( (A) )。 (C)
∥ OA 1 ∴ EM＝
∴四边形AOEM是平行四边形． ∴AM∥OE．
又OE
AM 平面BDE， ∴AM∥平面BDE． 平面BDE，
(Ⅱ)证明 如图1-7，∵BD⊥AC，BD⊥AF,AC∩AF＝A， ∴BD⊥平面ACEF，DF在平面ACEF上的射影为OF． ∵AO＝AF＝1，AOMF是正方形，OF⊥AM， ∴由三垂线定理得DF⊥AM． 同理FB⊥AM，DF∩FB＝F， ∴AM⊥平面BDF．
共面相交的两直线的夹角来完成，但要特
别注意两条异面直线所成的角的范围是
0， 此题选点还可选取D1 C 的中点或 2
选取BC的中点P，然后再作相应的辅助线。
3.垂线法
当已知条件中出现二面角中一个半平面内一点到另一个半平面的垂线时(或虽未
给出这样的垂线，但由已知条件能够作出这样的垂线)，可依据三垂线定理或其