含源电路的欧姆定律
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I1 R1 1
1
A
I2
R2
2
2
B
I
R
3
基尔霍夫方程组的应用
解： 利用基尔霍夫定律 来解这个问题时，可先根 据基尔霍夫第一定律（节 点定律）列出电流方程， 对节点A：
I I1 －I 2 0
I1
R1
1
1
A
I2
R2
2
2
B
I
R
3
由于这电路只有两个节点，所以从节点定律只能得出 一个独立的方程，由此对节点B没有必要再列方程式 了。为了求出各未知电流，还需要两个方程，这两个 方程必须利用基尔霍夫第二定律（回路定律）列出，
dA dq P I dt dt
I 1
I A 2
电池A所消耗的化学能功率P1=IA=224W=48W， 而其输出功率P2=IU12=220W=40W ，消耗于内阻 的功率P3=I 2RiA=42W=8W。 P3等于P1减去P2。
一段含源电路的欧姆定律
（5）输入电池B的功率P4=IU34=142W=28W ， 其中变化为化学能的功率P5=IB=122W=24W ， 消耗于内阻的功率P5= P4 - P5 =I 2RiB=4W。 （6）电阻R上的热功率 P7=I 2R=43W=12W。 最后应当指出：按能量 守恒定律，电池A所消耗的 化学能功率，应等于电池B中 转变为化学能的功率以及消 耗在外电阻和两电池内电阻 上的热功率。
R0
G
R AD
A
I1
I2
I5
RDC
I3
I4
C
D
R
I
来自百度文库
, Ri
K
基尔霍夫方程组的应用
解上面六个方程组成的方程组，可以得到各电流。 实验时，调节D的位置，使G中电流为零，电桥平衡， 此时D移动至O的位置。
I1 I 3 ,
代入回路方程
I2 I4
Rx
B
R0
I1Rx I 2 RAO I1R0 I 2 ROC
表明图中的负载R就象是连接在一个电动势为e 和内阻为Re的电源上一样。换句话说，对于负载R 来说，图中的两个并联电源可以用一个“等效电源 ”来代替。如图所示，等效电动势和等效内阻的公 式如上所示。
基尔霍夫方程组的应用
不仅两个并联使用的电源可以用一个等效电 源来代替，在分析多回路电路中某一分支电路的 电流或电压时，也可以将电路的其余部分用一个 等效电动势和一个等效内阻来代替，这就是所谓 的等效电源原理。
基尔霍夫方程组的应用
对回路B1A2B：
对回路B2A3B：
1 2 I1 R1 －I 2 R2
2 I 2 R2 IR
I1 R1
对这三个联立方程求解
( R2 R) 1 R 2 I1 R1 R2 R1 R R2 R
( R1 R) 1 R 2 I2 R1 R2 R1 R R2 R
I A E dl VA VB A , Ri C C B A Ek dl A Ek dl
B
R
B
电源放电
I S
代入上式，则
I
A , Ri C
电源充电
R
B
一段含源电路的欧姆定律
C B B A E dl A dl C dl A Ek dl C dl B dl VA VB ( I A I C ) S S VA VB ( IR IRi )
24 12 A 2A 3 21
I 1
3
B 4
I A
电流的指向如图中箭头所示的方向。 （2）设所选定的积分路径自1经过电池A 而到2，应 用一段含源电路的欧姆定律得
2
U 12 V1 －V2 IR 2 2 ( 24)V 20 V
一段含源电路的欧姆定律
（3）设所选定的积分顺序 方向自3经过电池B 而到4， 仍应用一段含源电路的欧姆 定律得
I
A I 1 2
U34 V3 －V4 IR 2 1 (12)V 14 V
（4）由电动势的定义可知，当电源中通有电流I时 ，电源作功的功率为
一段含源电路的欧姆定律
I R 3 B 4
基尔霍夫方程组的应用
3. 基尔霍夫方程组的应用
（1）惠斯通电桥
B
Rx
R0
G
R AD
A
I1
I2
I5
RDC
I3
I4
C
D
R
I
, Ri
K
基尔霍夫方程组的应用
应用第一定律，得节点方程组
节点A
节点B
节点D
I1 I 2 I 0 I 3 I 5 I1 0 I 4 I5 I 2 0
I
R
3
B 4
I A I 1 2
基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律
2. 基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律
复杂电路：不能化解为等效的电 阻串、并联电路的组合，含有较 复杂的分支和节点的电路。 复杂电路的基本方程：基尔霍夫定律。
R2 I1 2 , Ri 2 B
C 3 , Ri 3 I3
基尔霍夫方程组的应用
这三个电流都是正的，表明图中所假定的电 流方向与实际的电流方向一致，这时两电源都向 负载供电。
I1 R1 1
1
A
I2
R2
2
2
B
I
R
3
基尔霍夫方程组的应用
（2）设已知 1=220V， 2=220V ，R1=R2=10, 但 R=145 ，则算出各电流分别为
(10 145) 220 145 200 5100 I1 A 1.7 A 10 10 10 145 10 145 3000
B
R3
C 3 , Ri 3 I3
R4
D
I2
R1 , R A 4 , Ri 4 1 i1
基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律
应用基尔霍夫定律时的注意事项：
（1）如果电路中有n个节点，那么只有(n-1)个相互 独立的节点电流方程。 （2）新选定的回路中，至少应有一段电路是已选 回路中未曾出现过的。 （3）独立方程的个数应等于未知数的个数。 （4）每一电路上电流的方向可以任意假定，解出 的结果若为负，则说明电流的方向与假定的 相反。
得
A
G
R AD
I1
I2
I5
RDC
I3
I4
C
D
R
RAO Rx R0 ROC
I
, Ri
K
基尔霍夫方程组的应用
（2）电势差计
电势差计是测量未知电动势的一种装置，通常 也叫电位差计或电位计。 节点A： 0 I I I0 回路ABCDA： x
IRi IRG I R
R2
B
R3
C 3 , Ri 3 I3
R4
D
I2
R1 , R A 4 , Ri 4 1 i1
基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律
（2）基尔霍夫第二定律
基尔霍夫第二定律：沿任一闭合回路中电动势的代 数和等于回路中电阻上电势降落的代数和。
IR
I1
2 , Ri 2
R2
I R
电源放电
欧 姆
A , Ri C
I
B
A , Ri C
R
B
电源充电
一段含源电路的欧姆定律
C B B A E dl A dl C dl A Ek dl
B
电源放电时，电流密度与积分方向相反；电源 充电时，电流密度与积分方向相同，且
正负号选取规则：
任意选取线积分路径方向，写出初末两端点的 电势差；电流的方向与积分路径方向相同，电流取 正号，反之为负；电动势指向与积分路径同向，电 动势取正号，反之为负。
I3
I1
R3
I2
R2
A
R1 , R C , R 2 i2 1 i1
3 , Ri 3 B
一段含源电路的欧姆定律
例题10-2 在图所示的电路中，已 知电池A电动势A=24V，内电阻 RiA=2Ω，电池B电动势B=12V ， 内电阻RiB=1Ω ，外电阻R=3Ω 。 试计算
R3
R4
基尔霍夫
D
3 , Ri 3
I2
R1 , R A 4 , Ri 4 1 i1
基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律
（1）基尔霍夫第一定律
节点：三条或三条以上通电导线的会合点。 基尔霍夫第一定律：在任一节点处，流向节点的电 流和流出节点的电流的代数和等于零。
I 0
I1
2 , Ri 2
§10-4 含源电路欧姆定律 *基尔霍夫定律
1. 一段含源电路的欧姆定律
如果研究的电路中包含电 源，则在欧姆定律中应包含非 静电场强，即将欧姆定律的微 分形式推广为
B B A E dl A dl A Ek dl
B
(E E ) k 即 E Ek 积分得
A
1
1
I2
R2
2
2
B
R2 1 R1 2 I3 R1 R2 R1 R R2 R
I
R
3
基尔霍夫方程组的应用
我们可以把式（6）改写为如下形式 R2 1 R1 2 e R1 R2 I R1 R2 R Re R R1 R2 R21 R1 2 e 其中 e ，Re ＝ R1 R2 R Re
x I 0 Rx s I 0 Rs
则有
B
I
x , Ri
G
R
C
Rx x s Rs
I1 A
R
E
I
D
0
I0
K
基尔霍夫方程组的应用
例题10-3 图表示把两个无内阻的直流电源并联起 来给一个负载供电，设已知电源的电动势以及各个 电阻，试求每一电源所供给的电流I1以I2及通过负载 的电流I。
计算结果表示1处的电势V1高 于2处的电势V2 。 现在再从1342这一积分路径来 计算1、2之间的电势差。得
I
R
3
B 4
I A I 1 2
U 12 V1 －V2 IR
所得结果与前相同。
2 3 1 ( 12)V 20V
一段含源电路的欧姆定律
I R 3 B 4
R1
1
Re R2
2
e
R
R
基尔霍夫方程组的应用
再以具体的数值来讨论： （1）设已知， 1=220V， 2=200V， R1=R2 =10, R=45 ，则算出各电流分别为
(10 45) 220 45 200 3100 I1 A 3.1 A 10 10 10 45 10 45 1000 (10 45) 200 45 220 1100 I2 A 1.1 A 10 10 10 45 10 45 1000 10 220 10 200 4200 I3 A 4.2 A 10 10 10 45 10 45 1000
Rx
B
R0
G
R AD
A
I1
I2
I5
RDC
I3
I4
C
D
R
I
, Ri
K
基尔霍夫方程组的应用
应用第二定律，得回路方程组
回路ADCKA：
0 I1Rx I 5 RG I 2 RAD 回路BCDGB： 0 I 3 R0 I 4 RCD I 5 RG
回路ABGDA：
B
Rx
I 2 RAD I 4 RDC I ( Ri R)
B
电流与电动势方向相同时，取负号，反之取正号。 上式称为一段含源电路的欧姆定律。
I
I R B
A , Ri C
A , Ri C
电源充电
R
B
电源放电
一段含源电路的欧姆定律
VA VB IRi 电源放电，端电压低于电动势。 VA VB IRi 电源充电，端电压高于电动势。
I
R
3
B 4
I A I 1 2
（1）电路中的电流； （2）电池A的端电压U12； （3）电池B的端电压U34 ； （4）电池A消耗的化学能功率及所输出的有效功率； （5）输入电池B的功率及转变为化学能的功率； （6）电阻R所产生的热功率。
一段含源电路的欧姆定律
解： （1）应用闭合电路的欧姆定律得 R A － B I I R＋RiA RiB
VA VB
•若I=0，则 电路断开，端电压等于电动势。
•若R=0，则
•若AB接在一起，形成闭合电路，则
R Ri 总电阻 R Ri
闭合电路中的电流等于电源 的电动势与总电阻之比。
I
R I
, Ri
B
A
一段含源电路的欧姆定律
•一段含多个电源的电路的欧姆定律
VA VB IR
B
I
则
I0 R x I R Ri RG
x , Ri
G
R
C
平衡时，I=0，则
I1 A
R
E
x I0 R
I
D
0
I0
K
基尔霍夫方程组的应用
比较法测量未知电动势
接入待测电动势时，平衡时电阻为Rx；在完全 不加变动的线路中，用标准电动势代替未知电动势， 平衡时电阻为RS，则有
1
A
I2
R2
2
2
B
I
R
3
基尔霍夫方程组的应用
解： 利用基尔霍夫定律 来解这个问题时，可先根 据基尔霍夫第一定律（节 点定律）列出电流方程， 对节点A：
I I1 －I 2 0
I1
R1
1
1
A
I2
R2
2
2
B
I
R
3
由于这电路只有两个节点，所以从节点定律只能得出 一个独立的方程，由此对节点B没有必要再列方程式 了。为了求出各未知电流，还需要两个方程，这两个 方程必须利用基尔霍夫第二定律（回路定律）列出，
dA dq P I dt dt
I 1
I A 2
电池A所消耗的化学能功率P1=IA=224W=48W， 而其输出功率P2=IU12=220W=40W ，消耗于内阻 的功率P3=I 2RiA=42W=8W。 P3等于P1减去P2。
一段含源电路的欧姆定律
（5）输入电池B的功率P4=IU34=142W=28W ， 其中变化为化学能的功率P5=IB=122W=24W ， 消耗于内阻的功率P5= P4 - P5 =I 2RiB=4W。 （6）电阻R上的热功率 P7=I 2R=43W=12W。 最后应当指出：按能量 守恒定律，电池A所消耗的 化学能功率，应等于电池B中 转变为化学能的功率以及消 耗在外电阻和两电池内电阻 上的热功率。
R0
G
R AD
A
I1
I2
I5
RDC
I3
I4
C
D
R
I
来自百度文库
, Ri
K
基尔霍夫方程组的应用
解上面六个方程组成的方程组，可以得到各电流。 实验时，调节D的位置，使G中电流为零，电桥平衡， 此时D移动至O的位置。
I1 I 3 ,
代入回路方程
I2 I4
Rx
B
R0
I1Rx I 2 RAO I1R0 I 2 ROC
表明图中的负载R就象是连接在一个电动势为e 和内阻为Re的电源上一样。换句话说，对于负载R 来说，图中的两个并联电源可以用一个“等效电源 ”来代替。如图所示，等效电动势和等效内阻的公 式如上所示。
基尔霍夫方程组的应用
不仅两个并联使用的电源可以用一个等效电 源来代替，在分析多回路电路中某一分支电路的 电流或电压时，也可以将电路的其余部分用一个 等效电动势和一个等效内阻来代替，这就是所谓 的等效电源原理。
基尔霍夫方程组的应用
对回路B1A2B：
对回路B2A3B：
1 2 I1 R1 －I 2 R2
2 I 2 R2 IR
I1 R1
对这三个联立方程求解
( R2 R) 1 R 2 I1 R1 R2 R1 R R2 R
( R1 R) 1 R 2 I2 R1 R2 R1 R R2 R
I A E dl VA VB A , Ri C C B A Ek dl A Ek dl
B
R
B
电源放电
I S
代入上式，则
I
A , Ri C
电源充电
R
B
一段含源电路的欧姆定律
C B B A E dl A dl C dl A Ek dl C dl B dl VA VB ( I A I C ) S S VA VB ( IR IRi )
24 12 A 2A 3 21
I 1
3
B 4
I A
电流的指向如图中箭头所示的方向。 （2）设所选定的积分路径自1经过电池A 而到2，应 用一段含源电路的欧姆定律得
2
U 12 V1 －V2 IR 2 2 ( 24)V 20 V
一段含源电路的欧姆定律
（3）设所选定的积分顺序 方向自3经过电池B 而到4， 仍应用一段含源电路的欧姆 定律得
I
A I 1 2
U34 V3 －V4 IR 2 1 (12)V 14 V
（4）由电动势的定义可知，当电源中通有电流I时 ，电源作功的功率为
一段含源电路的欧姆定律
I R 3 B 4
基尔霍夫方程组的应用
3. 基尔霍夫方程组的应用
（1）惠斯通电桥
B
Rx
R0
G
R AD
A
I1
I2
I5
RDC
I3
I4
C
D
R
I
, Ri
K
基尔霍夫方程组的应用
应用第一定律，得节点方程组
节点A
节点B
节点D
I1 I 2 I 0 I 3 I 5 I1 0 I 4 I5 I 2 0
I
R
3
B 4
I A I 1 2
基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律
2. 基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律
复杂电路：不能化解为等效的电 阻串、并联电路的组合，含有较 复杂的分支和节点的电路。 复杂电路的基本方程：基尔霍夫定律。
R2 I1 2 , Ri 2 B
C 3 , Ri 3 I3
基尔霍夫方程组的应用
这三个电流都是正的，表明图中所假定的电 流方向与实际的电流方向一致，这时两电源都向 负载供电。
I1 R1 1
1
A
I2
R2
2
2
B
I
R
3
基尔霍夫方程组的应用
（2）设已知 1=220V， 2=220V ，R1=R2=10, 但 R=145 ，则算出各电流分别为
(10 145) 220 145 200 5100 I1 A 1.7 A 10 10 10 145 10 145 3000
B
R3
C 3 , Ri 3 I3
R4
D
I2
R1 , R A 4 , Ri 4 1 i1
基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律
应用基尔霍夫定律时的注意事项：
（1）如果电路中有n个节点，那么只有(n-1)个相互 独立的节点电流方程。 （2）新选定的回路中，至少应有一段电路是已选 回路中未曾出现过的。 （3）独立方程的个数应等于未知数的个数。 （4）每一电路上电流的方向可以任意假定，解出 的结果若为负，则说明电流的方向与假定的 相反。
得
A
G
R AD
I1
I2
I5
RDC
I3
I4
C
D
R
RAO Rx R0 ROC
I
, Ri
K
基尔霍夫方程组的应用
（2）电势差计
电势差计是测量未知电动势的一种装置，通常 也叫电位差计或电位计。 节点A： 0 I I I0 回路ABCDA： x
IRi IRG I R
R2
B
R3
C 3 , Ri 3 I3
R4
D
I2
R1 , R A 4 , Ri 4 1 i1
基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律
（2）基尔霍夫第二定律
基尔霍夫第二定律：沿任一闭合回路中电动势的代 数和等于回路中电阻上电势降落的代数和。
IR
I1
2 , Ri 2
R2
I R
电源放电
欧 姆
A , Ri C
I
B
A , Ri C
R
B
电源充电
一段含源电路的欧姆定律
C B B A E dl A dl C dl A Ek dl
B
电源放电时，电流密度与积分方向相反；电源 充电时，电流密度与积分方向相同，且
正负号选取规则：
任意选取线积分路径方向，写出初末两端点的 电势差；电流的方向与积分路径方向相同，电流取 正号，反之为负；电动势指向与积分路径同向，电 动势取正号，反之为负。
I3
I1
R3
I2
R2
A
R1 , R C , R 2 i2 1 i1
3 , Ri 3 B
一段含源电路的欧姆定律
例题10-2 在图所示的电路中，已 知电池A电动势A=24V，内电阻 RiA=2Ω，电池B电动势B=12V ， 内电阻RiB=1Ω ，外电阻R=3Ω 。 试计算
R3
R4
基尔霍夫
D
3 , Ri 3
I2
R1 , R A 4 , Ri 4 1 i1
基尔霍夫(G.R.Kirchhoff)定律
（1）基尔霍夫第一定律
节点：三条或三条以上通电导线的会合点。 基尔霍夫第一定律：在任一节点处，流向节点的电 流和流出节点的电流的代数和等于零。
I 0
I1
2 , Ri 2
§10-4 含源电路欧姆定律 *基尔霍夫定律
1. 一段含源电路的欧姆定律
如果研究的电路中包含电 源，则在欧姆定律中应包含非 静电场强，即将欧姆定律的微 分形式推广为
B B A E dl A dl A Ek dl
B
(E E ) k 即 E Ek 积分得
A
1
1
I2
R2
2
2
B
R2 1 R1 2 I3 R1 R2 R1 R R2 R
I
R
3
基尔霍夫方程组的应用
我们可以把式（6）改写为如下形式 R2 1 R1 2 e R1 R2 I R1 R2 R Re R R1 R2 R21 R1 2 e 其中 e ，Re ＝ R1 R2 R Re
x I 0 Rx s I 0 Rs
则有
B
I
x , Ri
G
R
C
Rx x s Rs
I1 A
R
E
I
D
0
I0
K
基尔霍夫方程组的应用
例题10-3 图表示把两个无内阻的直流电源并联起 来给一个负载供电，设已知电源的电动势以及各个 电阻，试求每一电源所供给的电流I1以I2及通过负载 的电流I。
计算结果表示1处的电势V1高 于2处的电势V2 。 现在再从1342这一积分路径来 计算1、2之间的电势差。得
I
R
3
B 4
I A I 1 2
U 12 V1 －V2 IR
所得结果与前相同。
2 3 1 ( 12)V 20V
一段含源电路的欧姆定律
I R 3 B 4
R1
1
Re R2
2
e
R
R
基尔霍夫方程组的应用
再以具体的数值来讨论： （1）设已知， 1=220V， 2=200V， R1=R2 =10, R=45 ，则算出各电流分别为
(10 45) 220 45 200 3100 I1 A 3.1 A 10 10 10 45 10 45 1000 (10 45) 200 45 220 1100 I2 A 1.1 A 10 10 10 45 10 45 1000 10 220 10 200 4200 I3 A 4.2 A 10 10 10 45 10 45 1000
Rx
B
R0
G
R AD
A
I1
I2
I5
RDC
I3
I4
C
D
R
I
, Ri
K
基尔霍夫方程组的应用
应用第二定律，得回路方程组
回路ADCKA：
0 I1Rx I 5 RG I 2 RAD 回路BCDGB： 0 I 3 R0 I 4 RCD I 5 RG
回路ABGDA：
B
Rx
I 2 RAD I 4 RDC I ( Ri R)
B
电流与电动势方向相同时，取负号，反之取正号。 上式称为一段含源电路的欧姆定律。
I
I R B
A , Ri C
A , Ri C
电源充电
R
B
电源放电
一段含源电路的欧姆定律
VA VB IRi 电源放电，端电压低于电动势。 VA VB IRi 电源充电，端电压高于电动势。
I
R
3
B 4
I A I 1 2
（1）电路中的电流； （2）电池A的端电压U12； （3）电池B的端电压U34 ； （4）电池A消耗的化学能功率及所输出的有效功率； （5）输入电池B的功率及转变为化学能的功率； （6）电阻R所产生的热功率。
一段含源电路的欧姆定律
解： （1）应用闭合电路的欧姆定律得 R A － B I I R＋RiA RiB
VA VB
•若I=0，则 电路断开，端电压等于电动势。
•若R=0，则
•若AB接在一起，形成闭合电路，则
R Ri 总电阻 R Ri
闭合电路中的电流等于电源 的电动势与总电阻之比。
I
R I
, Ri
B
A
一段含源电路的欧姆定律
•一段含多个电源的电路的欧姆定律
VA VB IR
B
I
则
I0 R x I R Ri RG
x , Ri
G
R
C
平衡时，I=0，则
I1 A
R
E
x I0 R
I
D
0
I0
K
基尔霍夫方程组的应用
比较法测量未知电动势
接入待测电动势时，平衡时电阻为Rx；在完全 不加变动的线路中，用标准电动势代替未知电动势， 平衡时电阻为RS，则有