定态微扰

定态微扰

在实际问题中，薛定谔方程大多数是不能够精确求解的，因此要借助

一些技巧来近似求解，如果我们能够把哈密顿量分解成两部分

H? H?o H，并且H?o能够精确求解，且知其能量本征态方程为H o Ej EjEj，能量本征态并不简并，也就是说，不同的本征态对应着不同的能量，没有两个不同的能量本征态对应着相同的能量值，我们可以把H?'看作是对H?o能量本征值和本征态的一种微扰。

设H? E） E n E），E）是H?能量本征态，而E.为相应的本征值。

由于有H?0|EJ E n|Ej，因此H?o的所有的本征态｛EJ｝构成一组正交完备的基，体系的任何量子态均可以用这一组基来展开。

) n E n), n (.En )。

n

由H? E) E n E”），H ?『可知

(E n H?o) E n)旳E")

（1）

F面介绍微扰的思想，我们将的能量本征态E）和能量本征值En进行逐级展开设

En)巳)1 |2

(2)

其中E n；，1,2；,…分别为零级，1级、2级，…

E n E n a1 a2・・・・

(3)

其中E n.a i.a2,...，分别为零级，1级、2级，…

将(2) (3)式分别代入(1)式得到

(E n H?0 a i a2 ....)(E n) |1)2 ...)H?'(EJ 1 |2)...)

(4)

并令(4)式的同级相等，注意E n ?是零级，H?'是一级。规则是两项相乘等于其级相加，例如(E n H?o) En；』E n.分别为零级和1级，而(E n H o) 14 1分别为1级和2级。于是有方程两边零级相等为：

(E n Ro) Enl 0

(5)

方程两边1级相等为：

(E n R o)|1)ajE n) H?' E n)

(6)

方程两边2级相等为

(E n H?o)|2)a1 1)a2 巴)H?'|1)

(7)

由零级得到本征方程H?o Ej匕匕）

用:；En左乘方程（6）两边得到

（匕|侃H?o） 1（E g|E n）（巳|『|巳）

这是能量的一级修正值，所以E'在一级修正下为

用《E m （m n）左乘方程（6）两边得到

求和符号中’的撇是表示不含m n。因为这一项是发散的，也就说,

m

在定态微扰中，自己对自己的微扰是发散的，因此必需扣除。

用:；En左乘方程（7）两边得到

E n £ H?' E n；E

n H nn

(E m (E n H?

0)1 何a i E n)何R'| 匕｝

(E m 1(E m|H?'|En)

1

H

厂1mn

E n E m E n E m

(9)

所以有

(10)

1 ]E m)(E m1 '占「|E m)

m m E n E m (8)

m E ' E n a a 2 E n :En 冷 En]

H nn '2 H mn m E n E m (E n (E n F?o ) 2〈E n |a i 1(E n |a 2 Ej (E n |『|l ) a i ：En1；, a 2 E n H?' 1. (E n H?'|EQ 〈E n 1〉a 2〈En |『

|E m }(E m ||l ) m a 2

[En H?' E mU E m 1； E H?'巳口巳 1

m

求和符号中’的撇是表示不含m n

m

所以二级修正后的能量为

求和符号中'的撇是表示不含m n

'〔E n H?' Em ；：E m

1 m

'佝 V|Em >(Em H|En ) E n E m m E n IH mn E m E n