第四章讲义稳定性分析

第四章稳定性分析
精品
结构稳定性
• 许多结构需要评定它们的结构稳定性。 细立柱，受压杆件，真空容器都是需考 虑结构稳定性的例子。
• 在不稳定（失稳）发生时，结构在载荷
基本无变化F 的情况下（由F于小的载荷扰
动），位移 {u} 发生很大变化。
稳定
不稳定
2021/1/24
Biblioteka Baidu
2
结构稳定性(续)
• 一个理想化的固定端柱子在逐渐增加的
2021/1/24
19
特征值屈曲(续)
• 但是非理想性与非线性使大多数实际结构无法达到它们的理论弹性
屈曲强度。特征值屈曲通常得到非保守 结果，在使用时要小心。
F
歧点
前屈曲
2021/1/24
极限载荷
理想加载路径 非理想结构的加载路径
u
20
特征值屈曲(续)
• 尽管特征值屈曲分析经常得到非保守解 ，但进行线性失稳分析有两个优点：
13
弧长法
• 弧长法是一种用于得到不稳定(KT 0)或负刚度矩阵(KT < 0)问题 的数值稳定解的方法。
• 弧长法可用于比例加载的静力问题。
F
• 尽管弧长法可求解复杂的力位移响 应问题，但它最适合求解不带突然
歧点的平滑响应问题。
u
2021/1/24
14
弧长法(续)
• 通过在求解时引入未知数－载荷因子l (-1 < l < 1)后，弧长法 可在 Newton-Raphson 方法中对载荷与位移同时求解。 Newton-Raphson 方程可重写为,
2021/1/24
Fapp Fcr
KT = 0
KT < 0
Fcr 只能用载荷控 制得到。
u
11
位移控制
• 弧形结构受到逐渐增大的位移载荷，对应于受力载荷，求解是使用
位移控制 完成的。位移控制的优点在于它在Fcr 点外产生一个稳定
求解。（施加的位移可在不稳定点添加约束。）
UY
Fapp
UY
UY
2021/1/24
此问题的求解时，需使用载荷控制 。
F F F
Fapp
2021/1/24
可用载荷控制得到 Fapp 吗？
u
10
载荷控制(续)
• 在Newton-Raphson 法中使用载荷控制的困难在于求解无法越过不 稳定点。在不稳定点(Fcr) ，刚度矩阵KT 奇异 。使用载荷控制， Newton-Raphson 法将不收敛。但是，此种分析对描述结构的前屈 曲特性有益。
Fapp 可通过位移控制得 到。 (Fapp 现在是施加 位移UY 的反作用力。)
u
12
位移控制(续)
• 位移控制的缺点是只有你明确知道施加多大的位移时才可使用！ 如果在弧形结构上施加的不是集中载荷而是压力载荷，则不可能 使用位移控制。
P
对于一些更复杂的加载情况，
通常不知道施加的位移大小。
2021/1/24
轴向载荷(F)作用下，将显示出如下特性
。F F F
歧点
不稳定平衡
Fcr u
中性平衡 稳定平衡
2021/1/24
u
3
结构稳定性(续)
歧点
• 在加载历史中的某一点处,可能有两种分支的解，这一点就是所谓 的歧点。
F
F
P
• 一个理想化的一端固定的立柱，在临界载 荷(Fcr)的作用下，它将有可能向左或向右 弯曲。因此会有两种可能的加载路径。在
F
线性特 征值屈曲
非线性屈曲
理想化加载路径 非理想结构的加载路径
前屈曲
u
2021/1/24
18
特征值屈曲
• 特征值屈曲分析 可预测一个理想线弹性
结构的理论屈曲强度（歧点）。
• 特征值公式决定了结构的歧点。此种方 法相当于教科书上的线弹性屈曲分析方 法。一个Euler 立柱的特征值屈曲解与经 典的Euler解相匹配。
稳定
2021/1/24
不稳定
中性
5
结构稳定性(续)
临界载荷
• 当 F < Fcr时， 立柱处于稳定平衡状态。 如果先施加一个 小的扰动力 (P 0) 然后再删除掉，立柱将会恢复到原始 位置。当 F > Fcr 时，立柱处于非稳定平衡状态，任何扰 动力都将会引起失稳。当 F = Fcr时 ，立柱处于中性平衡 状态，这就是临界载荷。
实际的结构中，由于几何误差或扰动载荷
(P 0) 的存在，它们会决定加载路径。
u
2021/1/24
4
结构稳定性(续)
稳定，不稳定与中性平衡
• 考虑下面所示的球的平衡。如果表面是向上凹的，则平衡是稳定的 。如果受到干扰，球将回到它的初始位置。如果表面是向上凸的， 则平衡是不稳定的，如果受到干扰，球将滚开。如果表面是平的， 则球处于中性平衡态，球将停留在新的平衡位置。
– 相对经济（快速）的分析 – 失稳模态形状可用作非线性屈曲分析的初始
几何缺陷。
2021/1/24
21
特征值屈曲分析的基础
F
歧点
极限点
前屈曲
理想的静力 特性
后屈曲
2021/1/24
理想的加载路径 非理想结构的加载路径 实际动态响应
u
8
载荷控制，位移控制与弧长法
• 为计算结构的静态力位移响应，有不同 的分析技巧。这些技巧包括：
– 载荷控制 – 位移控制 – 弧长法
2021/1/24
9
载荷控制
• 分析如下所示的薄拱形结构突然弯折。当用增量加载(F)的方式完成
[KT]{u} = l {Fa} - {Fnr}
• 为了适应增加的未知数，必须引入一个约束方程，弧长 。弧 长与载荷因子l以及Newton-Raphson 方程中的位移增量{u} 有关。
2021/1/24
15
弧长法(续)
弧长法是借助一条圆 弧将载荷因子增量l 和位移增量u关联起 来。图中所示的是用 于全NewtonRaphson法中的载荷 因子增量l和位移增 量u。
2021/1/24
ArLcenRgath di uun 2sl2
16
弧长法(续)
• 强制Newton-Raphson 迭代沿 着与平衡路径相交的圆弧收敛， 可得到承受零或负刚度的结构的解。
F
ri
ri
ri
ri
ri 弧长半径 收敛子步
平衡路径
u
2021/1/24
17
前屈曲分析
前屈曲分析及破坏载荷分析的分析方法包括： • 线性特征值屈曲 • 非线性屈曲分析
2021/1/24
6
结构稳定性(续)
极限载荷
• 在实际结构中，要获得临界载荷非常困难。由于几何误 差和非线性特性，结构在低于临界载荷的力的作用下就 会变得不稳定。
F
歧点
实际结构的响应，
低于临界载荷就会
Fcr
出现不稳定。
2021/1/24
u
7
结构稳定性(续)
• 一般的非线性载荷位移曲线如下图所示。此图显示了理想的加载 路径，非理想结构的加载路径及结构的动态响应。