辅导讲义：乘法公式的灵活应用
1.乘法公式的应用课件
类型 5 逆向应用公式
•5. (1)计算：(a2－b2)2－(a2＋b2)2； • (2)已知(6x－3y)2＝(4x－3y)2，xy≠0，求 y 的值．
x 解：(1)原式＝[(a2－b2)＋(a2＋b2)][(a2－b2)－(a2＋b2)]
＝2a2·(－2b2) ＝－4a2b2.
• (2)已知(6x－3y)2＝(4x－3y)2，xy≠0，求 y 的值． x
类型 3 添括号后整体应用公式
3. 灵活运用乘法公式进行计算：
(1) 1 m
n
2
2；
2
(2)(a＋2b－c)(a－2b－c)．
2
解：(1)原式＝
1m n 2
2
＝ 1m
2
n
4 1m
n
4
2
2
＝ 1 m2－mn＋n2－2m＋4n＋4.
4
(2)(a＋2b－c)(a－2b－c)．
(2)原式＝[(a－c)＋2b][(a－c)－2b] ＝(a－c)2－4b2 ＝a2－2ac＋c2－4b2.
类型 4 连续应用公式
4．计算：(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)； (2)(3m－4n)(3m＋4n)(9m2＋16n2)．
解：(1)原式＝(a2－b2)(a2＋b2)(a4＋b4) ＝(a4－b4)(a4＋b4) ＝a8－b8.
(2)原式＝(9m2－16n2)(9m2＋16n2) ＝81m4－256n4.
1 (2)
2x2
2x2
1 ;
2
2
(3) (－2a＋3b)2.
解：(1)原式＝(－y－2x)(－y＋2x)
＝y2－4x2.
1 (2)
2x2
2x2
乘法运 算定律的灵活应用
乘法运算定律的灵活应用教学目标1.引导学生能运用乘法分配律进行一些简便运算。
2.培养学生根据具体情况，选择算法的意识与能力，发展思维的灵活性。
3.使学生感受数学与现实生活的联系，能用所学知识解决简单的实际问题。
学情分析学生已经学习掌握了乘法交换律、结合律，并能够初步应用这些定律进行一些简便计算的基础上接着学习了“乘法分配律”不会觉得太难，但是学生在实际应用过程中还是存在不能灵活应用的薄弱环节。
教学重难点1．重点：会运用运算定律进行简单计算。
2．难点：会通过拆数，变式等方法灵活地进行简便计算一、复习导入：1、我们刚刚学习了哪些运算定律，同学们还记得么？谁能说一说？用字母应该怎样表示？乘法分配律还有没有别的形式呢？谁来说一下？（a×（b一c）=a×b一a×c2、导入：嗯，看来大家上节课学得不错，但是大家知道吗，乘法分配律还可以用来进行简便计算，想学学吗？我们一起来学习。
板书：应用乘法分配律进行简便计算二、创设情境，灵活运用1．教师谈话引出情景：王老师购买体育用品（出示主题图），我们来看看，从图上你发现了哪些数学信息？2．根据这些数学信息你能提出哪些数学问题？让学生充分发言，根据学生的回答老师板书问题：（“一打”是12个。
）王老师一共买了多少个羽毛球？3．怎样列式？谁来说说自己列的式子？（板书并问学生各个数字代表什么）2、竖式计算12×25=3003、能不能用乘法分配律进行简便运算呢？12×25=（3×4）×25 12×25=3×（____×____）=（10+2）×25=3× ____ ==____ =问题：1. 你还有别的计算方法吗2. 谁能说一说你对这种解法的理解？3. 比较3种不同的解法，你喜欢哪种？说一说你的理由（后两种方法都关注到了数字的特点，利用运算定律使计算变得简便。
(完整版)乘法公式的灵活运用
1乘法公式的灵活运用一、复习:(a+b)(a-b)=a 2-b 2(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
人教版初中八年级上册数学《乘法公式的灵活运用》精品教案
教学研讨： 说课与反思
1.上课教师说课。 2.上课教师做教学反思。
教学研讨
感谢你的参与 期待下次再见
解：由(a＋b)2＝7得a2＋b2＋2ab＝7① 由(a－b)2＝3得a2＋b2－2ab＝3② 将a2＋b2 和ab分别看作整体，类比解方程组求解， (①＋②)÷2得a2＋b2＝5 (①－②)÷4得ab＝1 ∴a2＋b2＋ab＝5＋1＝6
方法总结 平方差公式：
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方和公式： 完全平方差公式：
⑵19.7×20.3 ＝(20－0.3) (20＋0.3) ＝202－0.32 ＝400－0.09 ＝399.91
(1)2013²－2012×2014＋1 (2)9×11×101×10001．
解：⑴2013²－2012×2014＋1 ＝20132－(2013－1)(2013＋1)＋1 ＝20132－(20132－12)＋1 ＝20132－20132＋1＋1 ＝2
类型二：利用乘法公式的变式求值 已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2 和(a－b)2
解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab 当a＋b＝5，ab＝3时 原式＝52－2×3 ＝19
(a－b)2 ＝(a＋b)2－4ab 当a＋b＝5，ab＝3时 原式＝ 52－4×3 ＝13
已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3，求a2＋b2＋ab的值为______________.
乘法公式的灵活运用
乘法公式实质是多项式乘法的简便运算，运用乘法公式同样也可以简化 某些乘法运算，下面略举一二.
类型一：利用乘法公式进行简便运算
运用乘法公式简便计算： (1)9982 (2)19.7×20.3
解：⑴9982 ＝(1000－2) 2 ＝10002－2×1000×2＋22 ＝100 0000－4000＋4 ＝996004
乘法公式灵活运用
乘法公式灵活运用乘法公式是数学中常用的一种计算方法，用于求解两个或多个数的乘积。
灵活运用乘法公式可以简化计算，提高解题效率。
本文将从实际问题出发，分析乘法公式的灵活运用方法，以及对应的数学技巧，帮助读者更好地掌握乘法公式的应用。
乘法公式的基本形式是：a×b=c，其中a和b是乘数，c是积。
乘法公式可以用于求解各类数学问题，包括乘法的基本性质、因数分解、最大公约数、公倍数等。
在乘法的基本性质中，乘法公式可以被运用于计算两个数相乘的结果。
例如计算12×35，我们可以使用乘法公式，将12拆解为10+2，35拆解为30+5，然后进行分配律运算：(10+2)×(30+5)=(10×30)+(10×5)+(2×30)+(2×5)=300+50+60+10=420。
这样，我们可以通过分解乘数，将原本复杂的乘法运算简化为几个简单的加法和乘法运算。
乘法公式还可以用于因数分解。
因数分解是将一个数分解为多个乘数的乘积，通过应用乘法公式，可以将这个过程简化。
例如对于数45，我们可以将它分解为3×15，然后继续对15进行因数分解，得到3×5×3、这样，45就可以表示为它的全部因数的乘积。
因数分解在数论、代数等领域有着重要的应用，通过乘法公式，我们可以更轻松地完成这个过程。
乘法公式在解决实际问题时，还可以通过一些数学技巧来进一步灵活运用。
例如在乘法运算中，可以通过重新排序进行简化。
如果要计算3×7×5，我们可以将其按需重新排列，得到5×7×3，然后再进行乘法运算：5×7=35，35×3=105、这样，我们可以通过重新排列乘积的顺序，在保持乘数不变的前提下，使得计算更加简单。
此外，乘法公式还可以和其他数学知识相结合，进一步拓展乘法的应用。
例如在代数中，乘法公式可以用于计算多项式的展开式。
人教版初中数学八年级上册9.解题技巧专题：乘法公式的灵活运用
4ab](a－b)＝[(－3)2＋4×(－2)]×(－3)＝－3.
(2)∵a－c－b＝－10，(a－b)c＝－12，∴(a－b)2＋c2＝[(a－b)－c]2＋2(a－b)c＝(－10)2
＋2×(－12)＝76.
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
1 1 1 1 11
5．解： 1＋ 2
1＋22
1＋24
1＋28
＋ ＝2× 215
1－ 2
1＋ 2
1＋22
1＋24
1＋28
＋＝ 215
( )1 1
11
2×
1－216
＋ ＝2－ ＋ ＝2.
215
215 215
6．B 7.B 8.B 9.1 10.1
11． 解 ： (1)∵a－ b＝ － 3， ab＝ － 2， ∴(a＋ b)(a2－ b2)＝ (a＋ b)2(a－ b)＝ [(a－ b)2＋
人教版初中数学
人教版初中数学 重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！ 人教版初中数学 和你一起共同进步学业有成！
TB:小初高题库
人教版初中数学
解题技巧专题：乘法公式的灵活运用
——计算技巧多，先观察，再计算，事半功倍
◆类型一 利用乘法公式进行简便运算 1．计算 102×98 的结果是（ ）
( )( ) ( ) 1
1
12
8
4．解：(1)原式＝ 40＋ 40－ ＝402－ ＝1599 ；
3
3
3
9
10002 (2)原式＝（250＋2）2－（250－2）2
10002
10002
乘法公式的复习讲义
乘法公式的复习讲义乘法是数学中非常重要的运算法则之一、掌握好乘法公式对于学生来说尤为重要，因此本讲义将以学生易于理解和操作的方式介绍乘法公式的内容。
一、乘法公式的基础1.乘法交换律：乘法运算中，乘数的先后顺序不影响最后的结果。
例如：3×4=4×3=122.乘法结合律：乘法运算中，不同乘数进行相乘后再乘以另一个数，结果相同。
例如：2×(3×4)=(2×3)×4=243.乘法分配律：乘法运算中，一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与这两个数相乘再相加。
例如：2×(3+4)=2×3+2×4=14二、乘法公式的应用1.加法乘法运算律：利用乘法分配律可以进行更加复杂的计算。
例如：(3+2)×4=3×4+2×4=202.幂运算：乘方运算是指一个数连乘几次自己的运算。
例如：2的3次方表示为2³，即2×2×2=83.积的计算：乘法运算中，两个整数相乘得到的结果称为积。
例如：7×6=424.乘法的逆运算：除法是乘法的逆运算，可以通过除法运算求解未知数。
例如：如果6×x=12，那么x=12÷6=2三、乘法公式的综合应用1.平方的乘法公式：一个数的平方是指这个数乘以自己。
例如：(x + y)² = x² + 2xy + y²2.两个不同数的乘法公式：(a+b)(a-b)=a²-b²例如：(3+2)(3-2)=3²-2²=9-4=53.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)例如：4²-3²=(4+3)(4-3)=7×1=74.立方的乘法公式：一个数的立方是指这个数乘以自己两次。
例如：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³注意：(a+b)³不等于a³+b³四、乘法公式的例题应用1.计算16×8÷4=32解析：首先乘法运算，16×8=128，然后除以4，128÷4=322.计算(5+3)×2-7=9解析：先计算括号中的加法，5+3=8，然后乘以2，8×2=16，最后减去7，16-7=93.计算6²+3²=45解析：首先计算平方运算，6²=6×6=36，然后再计算3²=3×3=9，最后相加，36+9=45通过以上的学习和例题应用，相信同学们对乘法公式有了更加深入的理解和掌握。
因材教育整式乘法公式的应用强烈推荐
(1)(3«-2b)(2i?-3a) (2) @ + 3h)(«一3/?)(3) (-0.2x-0.5y)(0.2A + 0.5y) (4)(竺上上尸变式训练2・1： (1) {a + b + 3)(a + h-3) 变式训练 2-2； [2/zr -(/« + n)(m -«))[(-/« - 2//)(2// - w) + 3/r ] 例 3：已知 «-+/>-= 12 db = -3,则{a + b}-的值是学生：_科目：数学 因材教育个性化辅导讲义 第 阶段第 次课較师： 乘法公式的应用 教学目标 重点、难点 1 •掌握完全平方公式打平方差公式的运用 2•运用整体思想灵活运用乘法公式，解决问题 完全平方公式、平方差公式 考点及考试要求知识框架 ―完全平方公式 1. 完全平方公式：(" + b)2= _________ 2. 完全平方公式的特征：左边是两个数的的 _______ 加上或减去这两个数的 _______ 3. 完全平方公式的变式.(1) ("-防= _____________________ 或 ___________ 的平方，右边是这两个数 +h~ = (a + h)~ — 2ab = (a -b)~ + 2ab (2) ab = -[(a + b)--(a-+h-}](a + by + (a - b)~ = 2(/ + b-) (a + h}~=4ah(3) (4) 4、 关于完全平方公式的推广： (1) 从项数推广：(a+h + c}- =a-+h-+c- + 2ah + 2hc + 2ac(2) 从指数推广：(U + h)'=a^ + 3(1-h + 3ab- + /? 5. 平方差公式：=(a + h)^(a-h) 第二部分、典例分析 例1：下列各式中哪些可以运用完全平方公式il •算 _______________ (1) (a + h\a + c) (2) (x +),一y + x) (3) (ab -3xX-3x + ah) (4) (- m - n\nt + n)变式训练1：在下列整式乘法中，集中能用完全平方公式计算的个数是 A 、1个 B 、2个 例2： n 下列各式：(1) (-2"?— 川X2"?+ 〃)C 、3个D 、4个(2)(2-3/)(3/-2) (2) (x-y + 2)(x + y-2)A. 6B. 18 C ・ 3 D. 12变式训练3・1：要使等式(a-h}-+M =(a + b)-成立’求M 的值变式训练3・2：已知(d + b)2=49,("-仍2=9,则宀沪二若数“满足(0-2005)2+(2006 -d)2 =2007,则(a-2005)⑺一2006)=例4：若4x"+kx + 25是一个完全平方式，则$变式训练若x'+4x + /r = Cv + 2)-.则£ = 若x-+2x + k 是完全平方式，则£ = 例5；已知X +丄=2,试求F+±的值.X X"变式训练5・1：已知x-=x + \.求下列代数式的值(I) x'-5x + 2： 变式训练SI2.已知七=5,分别求入訂八d 的值例 6：已知 a=-2004- B=2003. C= 一2002. + c" + ah + be-ac 的值.变式训练6J ：对于式子%- + /-_v + 6y + 10-,你能否确世苴值的正负性？若能，请写出解答过 4 程：若不能，请简要说明理由0例7：（探究题）如图1-1-5所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b ） 2 （苴中n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b ） J 展开式中的系数： （«+/?）" =a + b{a + b}~ = «" + 2ab + h~（a+bf =（i^+3（i-b + 3ab-+b^贝+ ____ /+ ____ （Fb+ _____ a-h-+ _____ a b\_______(2) x~ 4-------- ・第三部分、课后练习1、若x + y = 6 , xy = 3 ,求x" + y"的值。
乘法公式的灵活运用
1
（2） 2x 32 2x 32 ；
（2）16x4 72x2 81；
（3）2a bb 2a a 3b2 ． （3） 5a2 6ab 8b2 ．
的特点，准确选用公式，掌握混合运算的解题技巧．
例 2 课本 P79 练一练第 3 题．
学生思考、计算并汇报.参考答案：
行计算，主要有以下几种解法： 到将其转化为两项和的形式，从而
性．
想到构造“整体”的方法．
方法一：把 a b看成一个整
体，
a b c2 (a b) c2 ；
2
方法二：把 a c 看成一个整体，
a b c2 (a c) b2 ；
方法三：把 b c看成一个整体，
课本 P79 练一练第 1、2 题．
2．组内纠错．
参考答案：
通过练习即时巩固新知，发现问题，讲评后再由小 组内互助纠错，能有效帮助后进生，培养学生的合作意 识．
1．（1） b 2 ；（2） a4 2a2 1；
（3） 81a4 18a2 1；
（4） a2 2ab Байду номын сангаасb2 c2 ． 2．（1） ab 5 b2 ；
（1） x 2 2xy y 2 z 2 ；
（4）如何计算
（2） x 2 2xy y 2 16 ；
x y 4x y 4 ？
（3） x 2 y 2 8y 16 ；
（4） x 2 y 2 8 y 16 ．
3
四、练习巩固
1．学生板演，讲评；
(x 1)(x 1)(x2 1)(x4 1)(x8 1)
5
（2）由学生观察思考，口述方法， 的变式，在学生练习纠错的过程中熟练而正确地找出谁
秋八年级数学人教版(江西)课件：解题技巧专题：乘法公式的灵活运用.pptx (共10张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/112021/9/112021/9/112021/9/119/11/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月11日星期六2021/9/112021/9/112021/9/11 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/112021/9/112021/9/119/11/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/112021/9/11September 11, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/112021/9/112021/9/112021/9/11
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
第一章第07讲 解题技巧专题：乘法公式的灵活运用(5类热点题型讲练)(解析版)
第07讲解题技巧专题：乘法公式的灵活运用(5类热点题型讲练)目录【考点一项的位置变换】 (1)【考点二项数的变换】 (2)【考点三简便运算变换】 (4)【考点四连续相乘应用】 (6)【考点五整体代换应用】 (10)【考点一项的位置变换】【考点二 项数的变换】例题：（2023上·福建莆田·八年级莆田第二十五中学校考阶段练习）用乘法公式计算：()()33x y x y +++-．【答案】2229x y xy ++-【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式，掌握公式的形式及数学思想是解题关键．利用平方差公式和完全平方公式，结合整体思想即可求解．【详解】解：()()33x y x y +++-()()[3][3]x y x y =+++-()223x y =+-2229.x y xy =++-【变式训练】1．（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)2()x y z ++(2)()()2323x y x y -+-+【答案】(1)222222x y z xy xz yz +++++(2)22469x y y -+-【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知()()()222222a b a ab b a b a b a b +=++-+=-，是解题的关键．（1）根据完全平方公式进行求解即可；（2）先把()3y -看做一个整体利用平方差公式去中括号，再根据完全平方公式去小括号即可得到答案．【详解】（1）解：原式()()222x y z x y z =++++222222x y z xy xz yz =+++++；（2）解：原式()()2323x y x y =+---éùéùëûëû()2243x y =--()22469x y y =--+22469x y y =-+-．2．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）运用乘法公式计算：(1)()(1)1x y x y +++-(2)2(21)a b +-【答案】(1)2221x xy y ++-(2)2244241a ab b a b --+++【分析】（1）本题考查整式的乘法公式，把()x y +看成一个整体，然后根据乘法公式：()()22a b a b a b -=+-，即可；（2）本题考查整式的乘法公式，把()2a b +看成一个整体，然后根据乘法公式：()2222a b a ab b ±=±+，即可．【详解】（1）()(1)1x y x y +++-()221x y =+-2221x xy y =++-；（2）2(21)a b +-()221a b =+-éùëû()()222221a b a b =+-++2244241a ab b a b =++--+．3．（2023上·全国·八年级专题练习）计算题：(1)2(23)a b c --；(2)2()())2(2x y z x y z x y z +----+-．【答案】(1)222494612a b c ab ac bc ++-+-(2)2522y xy yz+--【分析】本题考查了整式的乘法，乘法公式；（1）根据完全平方公式进行计算即可求解；（2）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．【详解】（1）解：原式222223()(9)a b a b c c =--´-´+222446129a b ab ac bc c =+-+-+222494612a b c ab ac bc -+-=++；（2）原式][222[()][()()]x z y x z y x z y =-+----+2222()()()42x z y x z x z y y =-------2522y xy yz +-=-．【考点三 简便运算变换】例题：（2023上·全国·八年级专题练习）用简便方法计算下列各题．(1)197203´；(2)2998．【答案】(1)39991(2)996004【分析】（1）利用平方差公式进行求解即可；（2）利用完全平方差公式进行求解即可．【详解】（1）解：197203´()()20032003=-+222003=-400009=-39991=；（2）解：2998()210002=-2210002100022=-´´+100000040004=-+996004=．【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方差公式，解题的关键是掌握相应的公式进行变形．【变式训练】1．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）用简便方法计算：(1)2202320222024-´(2)2984984+´+【答案】(1)1(2)10000【分析】本题考查的是平方差公式及完全平方公式，（1）利用平方差公式进行计算即可；（2）利用完全平方公式进行计算即可．【详解】（1）解：2202320222024-´()2202320231(20231)=--´+222023(20231)=--22202320231=-+1=；（2）解：2984984+´+2(982)=+10000=．2．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）用简便算法计算(1)2201720162018-´(2)2220220219698´++【答案】(1)1(2)90000【分析】（1）将20162018´变形为()()2017120171-+，运用平方差公式计算，即可求解；（2）将202196´变形为220298´´，则原式可逆用完全平方公式计算．【详解】（1）解：原式()()220172017120171=--+()222201720171=--22201720171=-+1=．（2）解：原式2220222029898=+´´+【考点四连续相乘应用】(1)上述操作能验证的等式是：______(2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题：①已知2293639a b a b -=+=，，则②计算：22111111234æöæöæ-×-×-ç÷ç÷çèøèøè【答案】(1)()(22a b a b a b -=+-（5）观察以上各式，可以得到：()()1211n n x x x x ---++++=L ____________；【方法应用】（6）利用上述规律，计算20232022202122221+++++L ，并求出该结果个位上的数字．【答案】（1）21x -；（2）31x -；（3）41x -；（4）20241x -；（5）1n x -；（6）202421-，个位上的数字是5【分析】（1）利用平方差公式求解即可；（2）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可；（3）利用多项式乘以多项式运算法则求解即可；（4）根据前3个等式的规律，即可得出结论；（5）根据前4个等式的变化规律，即可得出结论；（6）利用（5）的结论，进行计算，然后根据计算结果得到个位上的数字即可．【详解】解：（1）()()2111x x x -+=-，故答案为21x -；（2）()()211x x x -++3221x x x x x =++---31x =-，故答案为31x -；（3）()()3211x x x x +++-432321x x x x x x x =+++----41x =-，故答案为：41x -；（4）根据前3个等式可得()()2023202220212024111x x x x x x -+++++=-L ，故答案为：20241x -；（5）观察以上各式，可以得到：()()12111n n n x x x x x ---++++=-L ，故答案为：1n x -；（6）20232022202122221+++++L ()()2023202220212122221=-+++++L 202421=-，∵122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=…，又20244506¸=，∴20242的个位上的数字与42的个位上数字相同，∴202421-的个位上的数字为615-=，【点睛】本题考查平方差公式、多项式乘以多项式、数字类规律探究，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．【考点五 整体代换应用】例题：（2023上·甘肃平凉·八年级统考期末）阅读理解：1．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知5a b +=，3ab =，求22a b +的值．【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3)()； (4) -(a z 0, m >n)； ⑸(b) ■令(旳・常用的乘法公式:22(1)()() 22 2⑵()+222 2⑶()-2(4) ()(a 22)33⑸()(a 22)3- b 3(6) (严+222.(7) a 2221/2〔 ()2+() 2+() 2〕222 , 2 (8) a 1/2〔 () + () 2 2「+()〕(9) ()33+3a 2323;(10) ()33-3a 2323;课题 乘法公式的灵活应用教学内容正整数指数幂的运算法则:⑴• ； (2)()；一、归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式:① 位置变化， x y _y • x i=x 2 _y 2② 符号变化，(-x+y y X$_y 2= x 2_y 2③ 指数变化，x 2 y 2 x 2-y 2 =x 4-y 4④ 系数变化，(2a+b)(2a —bHa 2_b 2⑤ 换式变化，，z mU- z m]2 2’ 2；Z m=x y - z m z m2 2 V 2 山 2 *=X y - z 亠亠亠m2 2 2 c 2=x y -z -2-m二x -一 y -z2^22二x -2 y -z连用公式变化，x y x-y x 2 y 22 2 2 2-x -y x y 4 4二x -y逆用公式变化，（X —y+z$_（x*y-z ）i x-y z x y-z x-y z - x y-z ] =2x -2y 2z --4 4例1已知a • b =2， ab =1，求a 2 b 2的值例 2•已知 a • b = 8， ab = 2，求(a - b)2 的值。
2例 3 :计算 1999 -2000 X 1998例4:已知2，1，求a 22和()2的值。
例5:已知2, 2,14。
求x 22的值。
例6:判断(2+1) (22+1) (24+1)……(22048+1 ) +1的个位数字是几?x_y z x-y-z2 2-x-y -z 2-x-y x-y -z 2 2 2 增项变化, 【精讲精练】例7 •运用公式简便计算(1)1032(2) 1982例8 •计算(1) a 4b-3c a-4b-3c (2) 3x y-2 3x-y 2例9 •解下列各式（4）已知x 」=3，求x 4丄的值x x二、乘法公式的用法（一） 、套用：这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去 脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例 1.计算：5x 2 3y 2 5x 2 -3y 2（二） 、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例 2.计算：1-a a 1 a 2 1 a 4 1例 3.计算：3x 2y-5z 1 -3x 2y-5z-1三、逆用：学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置, 得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
2 . 2例 4.计算：5a 7b -8c i i5a - 7b 8c(1) (2) (3) 已知a 2・b 2=13, =6，求已知a b 7, a-b 4,求a 「b ，的值。
已知 a a —1 - a 2_b =2,求?2, a-b 2的值 2 2 a --ab 的值。
例10.四个连续自然数的乘积加上 1,一定是平方数吗？为什么?例 11.计算 (1) x^x 1 22 (2) 3m ・ n-p四、变用：题目变形后运用公式解题。
例5.计算：x • y _2z x y 6z五、活用：把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：2 2 21. a b：-2ab =a b2 2 22. a「b i 亠2ab =a b2 2 2 23. ab i 亠i〕a- b i；=2 a b2 24. a b i [a- b i；=4ab灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力例6.已知a-b=4，ab=5，求a2b2的值。
例7.计算：(a+b+ c-d ) +(b+c + d-a )例8.已知实数x、y、z满足x・y=5, z2二xy・y-9，那么x 2y 3z=( )三、学习乘法公式应注意的问题(一)、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数” 例1 计算(-2 X2-5)(2 x2-5)例2计算(+4b)(二)、注意为使用公式创造条件例3 计算(25)(25).例4 计算⑴2(a21)2(a63+1)22 4 8例5 计算(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1).（二）、注意公式的推广计算多项式的平方，由，可推广得到：（）2222+22ac2 •可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍.例6计算（23）2（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 （1）已知10，x33=100,求x22的值；（2）已知：27, 6,求（2y）2的值.例8 计算()2+() 2+()+() I（五）、注意乘法公式的逆运用例9 计算（23 c）2-（2 b-3 c）2.例10 计算(2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4a)+(4 a-5 b)四、怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方. 明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算（2y—3z）2,若视2y为公式中的a，3z为b,则就可用（a—b）22- 22来解了。
（三）、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点.常见的几种变化是：1、位置变化如（35y）（5y—3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了.2、符号变化如如 (-2vm- 7n) (2nn- 7n)变为一(2m+7n) (2m- 7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不变或不这样变，可以吗？)3、数字变化如 98X 102, 9纟，912等分别变为(100-2) (100+2, (100—1) 2, (90+1) 2后就能够用乘法公式加以解答了.4、系数变化如(4嗚)(2m-专)变为2(2叫)(2m-扌)后即可用平方差公式进行计算了.5、项数变化如口( 32z) (x—36z)变为(34z —2z) (x —342z)后再适当分组就可以用乘法公式来解了.(四)、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便. 如计算(a2+1) 2•( a2—1) 2,若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便.即原式=[(a2+1) (a2—1) ]2= (a4—1) 28—2a4+1.对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的，还要注意逆向(从右到左) 运用.如计算(1- -) (1-■ ) (1-4 )•••( 1- 4 ) (1 —A )，若分别算出各因式2 3 4 9 10的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题.即原式=(1 -扌)(1+2)(1—1)(代)X _ X=1 X 2 X £ X 4 X…X 2 X 11 =丄X 11=耳.2 23 3 10 10 2 10 20有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a22= () 2—2, a22= (a—b) 2+2等.用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效. 如已知7，—18，求m2，m- n2的值.面对这样的问题就可用上述变式来解，即m2= () 2—272—2X(—18) =49+36=85,m- n2= () 2—37s—3X(—18) =103.下列各题，难不倒你吧？！1、若丄5,求(1) a2+4 , (2) (a—1) 2的值.a a a2、求(2+1) (22+1) ( 24+1) (28+1) (216+1) (232+1) (264+1) +1 的末位数字.五、乘法公式应用的五个层次乘法公式：(a + b)(a —b) —b , (a ± b) ± 2 + b ,(a ± b)(a 2± + b2)3± b3.第一层次一一正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用.第二层次——逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用.例2计算(1)1998 2 — 1998 • 3994+ 19972;第三层次——活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式; 有时根据需要创造条件，灵活应用公式.例 3 化简：(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1. 例 4 计算：(2x — 3y — 1)( — 2x — 3y + 5)第四层次一一变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式, 如 a 2 + b 2=(a + b)2 — 2，a 3 + b 3=(a + b)3— 3(a + b)等，则求解十分简单、明快.例5已知a + 9，14,求2a 2 + 2b 2和a 3 + b 3的值. 第五层次 综合后用 ：将(a + b) + 2 + b 和(a — b) — 2+ b 综合,2 2 2 2 2 2可得(a + b) + (a — b) =2(a + b) ; (a + b) — (a — b) =4；例 6计算：(2x + y — z + 5)(2x — y + z + 5).六、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式:f2 1 } (A 31 1 A(1) —a - —b — a + — ab 2 } {9 3 4 J (2)( - 2x — y)(2x - y).等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷.例1计算fa + b]对于学习的两种(三个)乘法公式：平方差公式：()()冬完全平方公式：()22+22; ()22-22，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。
假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。
如图1,两个矩形的面积之和(即阴影部分的面积)为()()，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式()()22;图2中的两个图阴影部分面积分别为()2与()2,通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：()22+2：与()22-22。