辅导讲义：乘法公式的灵活应用

(3)()； (4) -(a z 0, m >

n)

； ⑸(b) ■令(旳・

常用的乘法公式:

22

(1)()() 22 2

⑵()+2

22 2

⑶()-2

(4) ()(a 22)33

⑸()(a 22)3- b 3

(6) (严+222.

(7) a 2221/2〔 ()2+() 2+() 2〕

222 , 2 (8) a 1/2〔 () + () 2 2「

+()〕

(9) ()33+3a 2323;

(10) ()33-3a 2323;

课题 乘法公式的灵活应用

教学内容

正整数指数幂的运算法则:

⑴• ； (2)()；

一、归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式:

① 位置变化， x y _y • x i=x 2 _y 2

② 符号变化，(-x+y y X$_y 2= x 2_y 2

③ 指数变化，x 2 y 2 x 2-y 2 =x 4-y 4

④ 系数变化，(2a+b)(2a —bHa 2_b 2

⑤ 换式变化，，z mU- z m]

2 2

’ 2；Z m

=x y - z m z m

2 2 V 2 山 2 *

=X y - z 亠亠亠m

2 2 2 c 2

=x y -z -2-m

二x -一 y -z

2^22

二x -2 y -z

连用公式变化，x y x-y x 2 y 2

2 2 2 2

-x -y x y 4 4

二x -y

逆用公式变化，（X —y+z$_（x*y-z ）

i x-y z x y-z x-y z - x y-z ] =2x -2y 2z --4 4

例1已知a • b =2， ab =1，求a 2 b 2的值

例 2•已知 a • b = 8， ab = 2，求(a - b)2 的值。

2

例 3 :计算 1999 -2000 X 1998

例4:已知2，1，求a 22和()2的值。

例5:已知2, 2,14。求x 22的值。

例6:判断(2+1) (22+1) (24+1)……(22048+1 ) +1的个位数字是几?

x_y z x-y-z

2 2

-x-y -z 2

-x-y x-y -z 2 2 2 增项变化, 【精讲精练】

例7 •运用公式简便计算

(1)1032(2) 1982

例8 •计算

(1) a 4b-3c a-4b-3c (2) 3x y-2 3x-y 2

例9 •解下列各式

（4）已知x 」=3，求x 4

丄的值

x x

二、乘法公式的用法

（一） 、套用：这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去 脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例 1.计算：5x 2 3y 2 5x 2 -3y 2

（二） 、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例 2.计算：1-a a 1 a 2 1 a 4 1

例 3.计算：3x 2y-5z 1 -3x 2y-5z-1

三、逆用：学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置, 得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

2 . 2

例 4.计算：5a 7b -8c i i5a - 7b 8c

(1) (2) (3) 已知a 2・b 2

=13, =6，求

已知a b 7, a-b 4,求a 「b ，的值。 已知 a a —1 - a 2_b =2,求?

2, a-b 2的值 2 2 a --ab 的值。 例10.四个连续自然数的乘积加上 1,一定是平方数吗？为什么?

例 11.计算 (1) x^x 1 2

2 (2) 3m ・ n-p

四、变用：题目变形后运用公式解题。

例5.计算：x • y _2z x y 6z

五、活用：把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

2 2 2

1. a b：-2ab =a b

2 2 2

2. a「b i 亠2ab =a b

2 2 2 2

3. ab i 亠i〕a- b i；=2 a b

2 2

4. a b i [a- b i；=4ab

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力

例6.已知a-b=4，ab=5，求a2b2的值。

例7.计算：(a+b+ c-d ) +(b+c + d-a )

例8.已知实数x、y、z满足x・y=5, z2二xy・y-9，那么x 2y 3z=( )

三、学习乘法公式应注意的问题

(一)、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数” 例1 计算(-2 X2-5)(2 x2-5)

例2计算(+4b)

(二)、注意为使用公式创造条件例3 计算(25)(25).

例4 计算⑴2(a21)2(a63+1)2

2 4 8

例5 计算(2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1).

（二）、注意公式的推广计算多项式的平方，由，可推广得到：（）2222+22ac2 •

可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍.

例6计算（23）2

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 （1）已知10，x33=100,求x22的值；

（2）已知：27, 6,求（2y）2的值.

例8 计算()2+() 2+()+() I

（五）、注意乘法公式的逆运用例9 计算（23 c）2-（2 b-3 c）2.

例10 计算(2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4a)+(4 a-5 b)

四、怎样熟练运用公式：

（一）、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方. 明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式.

（二）、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算（2y—3z）2,若视2y为

公式中的a，3z为b,则就可用（a—b）22- 22来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式

特征，合理调整变化，使其满足公式特点.

常见的几种变化是：

1、位置变化如（35y）（5y—3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算

了.

2、符号变化如如 (-2vm- 7n) (2nn- 7n)变为一(2m+7n) (2m- 7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不变或不这样变，可以吗？)

3、数字变化如 98X 102, 9纟，912等分别变为(100-2) (100+2, (100—1) 2, (90+1) 2后就能够用乘法公式加以解答了.