云南省2020届高三第一次省统测试数学(理)试卷答案(PDF版)
云南省2020届高三数学第一次高中毕业生复习统一检测试题 理(含解析)
云南省2020届高三数学第一次高中毕业生复习统一检测试题理（含解析）一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则的真子集共有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】先求得两个集合的交集，然后计算出真子集的个数.【详解】依题意，其真子集为，只有一个真子集，故选B.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查真子集的个数，属于基础题.2.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，对题目所给表达式进行化简.【详解】依题意，原式，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.3.设向量，，若，则（）A. B. -1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据即可得出，解出即可．【详解】．故选：【点睛】考查主要考查向量坐标的概念以及平行向量的坐标关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.在的二项展开式中，的系数等于（）A. -180B.C.D. 180【答案】D【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于6，求出的值，即可求得的系数．【详解】的二项展开式的通项公式为，令，求得，可得的系数为.故选：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式，考查二项展开式的特定项的系数的求法，属于基础题．5.执行如图所示的程序框图，则输出的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运行程序，计算的值，当时退出循环，求得输出的值.【详解】运行程序，，判断否，，判断否，，判断否，……，以此类推，，判断是，输出.故选C.【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题.6.如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：）为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图得到几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，由此计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个长方体构成，故体积为，故选A. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查圆柱和长方体体积的计算，属于基础题.7.为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A. 向左平行移动个单位B. 向右平行移动个单位C. 向左平行移动个单位D. 向右平行移动个单位【答案】D【解析】【分析】由题将函数可化为，将的图象转换为，再利用三角函数图像的变换求解.【详解】由题将函数可化为，将的图象转换为，该图象向右平移个单位，即可得到的图象．故选：【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．8.已知，都为锐角，若，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用求得，由此求得的表达式，利用诱导公式化简，并利用齐次方程计算出的值.【详解】由于，所以，所以.故选B.【点睛】本小题主要考查余弦函数的零点，考查诱导公式、二倍角公式以及齐次方程，属于中档题.9.已知是抛物线：上的任意一点，以为圆心的圆与直线相切且经过点，设斜率为1的直线与抛物线交于，两点，则线段的中点的纵坐标为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义求得抛物线的方程，设出斜率为的直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，消去，然后利用韦达定理求得中点的纵坐标.【详解】由于为圆心的圆与直线相切且经过点，根据抛物线的定义可知为抛物线的焦点，故，，所以抛物线方程为.设斜率为的直线的方程为，则，代入抛物线方程得，即，所以，.即中点的纵坐标为，故选A.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.10.在中，内角，，对的边分别为，，，，平分交于点，，则的面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则，根据正弦定理表示出，，即可表示出三角形的的面积，再根据三角函数的化简和正弦函数的图象和性质即可求出.【详解】设，则，，，平分交于点，，在三角形中，，由正弦定理可得，，在三角形中，，由正弦定理可得，，面积，，，，，当时，即时，面积最小，最小值为，故选：【点睛】本题考查了正弦定理的应用和三角形函数的化简，主要考查三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，属于难题．11.双曲线的焦点是，，若双曲线上存在点，使是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据是有一个内角为的等腰三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化简后求得离心率. 【详解】不妨设在第一象限，由于是有一个内角为的等腰三角形，故，代入双曲线方程得，化简得，，解得，故.所以选C.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查等腰三角形的知识，属于基础题.12.已知是自然对数的底数，不等于1的两正数，满足，若，则的最小值为（）A. -1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算公式，化简，求得的值，由此求得的关系式，化简，并利用导数求得最小值. 【详解】依题意，即，由于，故上式解得，即.所以.构造函数（为不等于的正数）.，故函数在上递减，在上递增，所以最小值为.故选D.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用导数求表达式的最小值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题。
2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。
云南省2020届高三第一次省统测试数学(理)试卷(有答案)
云南省2020届高三第一次省统测试数学（理）试卷注童事项：.. …心.1,本医海分150分，考试时何为120分钟。
鲁巒、先域自己药展积淮考证号普荒息填塞祖试爛乘和字她卡上M井捋虐#证号条仍倒耐M在齧廳卡的据定也暨◎'2、选律題的柞答土轟小題遶曲基崇后.JA2B楣笔把答题卡上箱应題冒的答彙赫昔涂黑。
骂衣试足暮、草番承莉警砸卡上的非齧題区域无就©3.席选岸确的伐氐周塞李笔宜接屛隹豔龜卡上坤感妁鑫贮区城帕垢我试题卷、草聘散和答题卡上們非瞽旳区城无雄口................+s选耆題的柞答：光杷所迤邂耳的期号在特幽卡上揭丸的牲工胡2B常笔涂議。
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一、选搁B:本題共12 zbS t每小題5分・扶创分+在毎小题给出的四个选度収R 有一項呈符含世目耍求的，h 设A - [x|jf > 1} > B ^^xpt2 -x-2 <0）»则（G咼Cl5 =（）.A. {x|x>-l} B, {x|-l<xi 1} C &卜1CH<1}' I）. {r|l<x<； 2）2已知Sfeztfi足（17"丽和卜其中f为虛数单位，则S»z在農平面內对应点所在的線限为I ）•…」’. ，A.第一象限氐第二象限C第三象限 D.第四象限去巳知平面同量讪満足O =1, "&叭若“+巧丄仗_坊，则实数祈等于（）去设a ^log a 0J ；■ 6=10^t ft6- c~U M» M ( )A. a<6<cB. b<c<aC. c<a<bD. b<a <c戟学(理科［试鹽患第［頁共&真3.我国古代名着《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺.重四斤, •'斩末一尺.贡二斤J意思是：“现有一金锤，长5尺，头部1尺，重4斤；尾部1尺, 重2斤” •若该金锤从头到尾.毎一尺的重楚构成等琏数列，则该金镭总St为（•）A.6 斤•：’B.7 斤C.9 斤"•D. 15 斤■・. - S .V ・・‘ ••….6.设光线通过一块玻璃，强度损失10%..如果光线原来的强度为k（k>0）,通过*块这样的玻璃以后强度为『，则那么光线强度减弱到原来的+以下时，至少通过这样的玻璃块数为（）（參考数据：lg 2^0.301 lg3« 0.477 ）».A.12 B. 13 . C.14 D. 15 ,7.已知F为抛物线/=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交拋物线于凡3两点，・・ * ・, ■・;；£.・：¥.・•・••则||私|-|呵他值等于（）.- , 1.〔J •八•:乙；J，：；.：' 7 ・.・•［「•，°- .. ! ■..•・；：「.•：：：、.扎8血：•： B. 8 ° ,-：； C. 472. : D.4 ・/ ；?• . r'. 1J I ■ M *._ ・・.・：・••■. ，・-- .•&图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，记1号到16号同学的成绩依次为已M““，儿6,图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（1011A. 16B. 10图2C.7D.6数学（理科）试题卷• ■ p • • • I✓10•如图是某个三棱锥的三视图，若在该三棱锥的外接球内任取一点.则该点在三棱锥内的概率为（1）■11 •已知双曲线M:斗-£> 0, b a 0）的渐近线均和圆N :兀口尸亠6卄5二0相切,a b且双曲线M 的右焦点为圆N 的圆心，则双曲线M 的离心率为（） 人还 B. | C. V3 D.V25-212•已知函数如7-尹有两个不同极值点，则实数询取值范国是（） A. （0,e ） B,（e,+«>）C. （0,-）D.二、填空题；睿题共4小BS.毎小题5分■共20分.13 •设尊比数列仏｝的前刃项和为3,•且4知2®,①成等差数列，若d 严1, •■则S 严,/• . •」•； ''・14. _________________________________________________________________ 著二项式（❻十与的展开式中*的一次项的系数是-70,则°二 _____________________ .X・■ <• • • • " • • • * • • • •• •. 9 • • • •15. 已知函数/w=r!ma,0<x<;r 与八层（仁/?）的图像有三个不同交点，则实数[Vx,X> iT9 113兀B. 13兀屁n 9屈D.—-— 169”169加・'上的取值区间为：•・16.在四面体4BCQ中，AB=BD^AD=CD^AC=BC=4,用平行于AR,CD的平面截此四面体，得到截面四边形ETCH,则四边形面积的最大值为______________________ .数爭（理科）试趙卷第3页三、解答羸 共70分•鮮答应写出文字说明过程成演算步就17T1題为必考題, 每个试IS 考生都亳须件答.第22. 23 M 为选考题，考生根据宴求作答・17.(本小题满分12分)•： •某市在开展创建"全国文明城市”活动中，工作有序扎实，成效显著,尤其是城市 环境卫生大为改观,探得市民好评-“创文”过程中, 某网站椎出了关于环境治理和保护问题情况的问 卷调査,现从参与问卷调査的人群中随机选出200 人，并将这200人按年龄分组；第1级［1525), 第 2 组［25,35),第 3 组［35,45),第 4 组［45$), 第5组［55,65),得到的频率分布直方图如图所示.(1)求出&的值;.(2)若已从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，现要再从这5人中!®机抽取3人进行何卷调査，设第2组抽到§人，求随机变就§的分布列 及数学期望 £&)・•'•••； • ； ••、：、•二•-，■-18.(本小题満分 12 分) :… ' • . ；： '•••- •••-•-："、•■. ■七•.. . ■•厶•t f.■・、• .•/•.0 . • • .. ■.*• •, ■ ■已知函数/(x) = 2 sin(jf - —) cos jt + f 的最大值为1.(1)求『的值；3. '..'. "'；(2)设锐角MBC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a = 2近,A/1BC的.厂:•• ■ ' ••.•••/. ‘:・・• ■ .•- > ; 面积为屁且/⑷号，求b^c的值.数学(理科)试題事（本小题满分12分）；：必•如图,.菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2,它们所在平面互相垂直，EP丄平而ABCD、EF"平面4ECD.；'〈I〉求证：平面XC万丄平面BDF：" .■'* R(2 )若ZCBA= 60° V-求二面角A-BC-F的大小20.（本小题漓分12分）I、* s• '' ；；：；■已知函数, g（x）=ln x-ln a ,其中。
2020届云南省曲靖市高三年级第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届云南省曲靖市高三年级第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B =I （ ）A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<【答案】B先求集合B,再利用补集及交集运算求解即可 【详解】由题得R {|1}C A x x =≤，{|12}B x x =-<<，所以(){|11}R C A B x x I =-<≤. 故选B .本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题2．已知复数z 满足(1)||i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：因为(1)||i z i +=||2(1)11(1)(1)i i z i i i i -∴===-++-，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1-在第四象限，故选：D .本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知向量1a =r ，1(,)2b m =r ，若()()a b a b +⊥-r rr r ，则实数m 的值为（ ）A ．12±B ．2C ．12D ．±【答案】D由向量的几何意义，因为()()a b a b +⊥-r rr r ，所以()()0a b a b +⋅-=r r r r ，再运用向量积的运算得到参数m 的值. 【详解】因为()()a b a b +⊥-r rr r ，所以()()0a b a b +⋅-=r r r r ，所以220a b -=r r ，将1a =r 和2221()2b m =+r 代入，得出234m =，所以2m =±，故选D.本题考查了向量的数量积运算，属于基础题．4．设0.61.1 1.1log 0.5,log 0.6, 1.1a b c ===，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A先利用函数的单调性比较a 与b 的大小，再利用中间量比较c 与a 、b 大小． 【详解】解：因为对数函数 1.1log y x =在区间()0,∞+上单调递增，且0.50.61<<， 所以0a b <<， 又0.601.1 1.1>即1c >， 所以a b c <<， 故选：A .本题考察比较大小，属基础题，比较三者的大小时常用中间量(0、1)法，属于基础题． 5．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ） A ．6斤 B ．7斤C ．9斤D ．15斤【答案】D直接利用等差数列的求和公式求解即可. 【详解】因为每一尺的重量构成等差数列{}n a ，14a =，52a =，156a a ∴+=，数列的前5项和为155553152a a S =⨯=⨯=+．即金锤共重15斤， 故选D ．本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.6．设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为()0k k >，通过x 块这样的玻璃以后强度为y ，则()*0.9xy k x N =⋅∈，那么光线强度减弱到原来的14以下时，至少通过这样的玻璃块数为（ ）（参考数据：1g20.3011g30.477≈≈） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15【答案】C推导出10.94xk k <g ，从而0.9109422log 0.254101239lg lg x log lg lg >===-，由此能求出结果． 【详解】解：光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k ，通过x 块这样的玻璃以后强度为y ，则经过x 块这样的玻璃后光线强度为：0.9x y k =g ，Q 光线强度能减弱到原来的14以下， 10.94x k k ∴<g ，0.91094220.6log 0.25413.043101230.0469lg lg x log lg lg ∴>====≈-． ∴至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下． 故选：C ．本题考查函数在生产生活中的实际运用，考查函数、对数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．7．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ） A．B ．8C．D ．4【答案】C将直线方程1y x =-代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出FA FB -的值．【详解】F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241y x y x ⎧=⎨=-⎩，可得x 2﹣6x+1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1． 由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1， ∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|＝()21212436442x x x x +-=-=．故选C ．本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．8．图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为1A ，216,,A A ⋯，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ ）A ．10B ．6C ．7D ．16【答案】A先弄清楚程序框图中是统计成绩不低于90分的学生人数，然后从茎叶图中将不低于90分的个数数出来，即为输出的结果． 【详解】176A =，1i =，16i ≤成立，190A ≥不成立，112i =+=； 279A =，2i =，16i ≤成立，290A ≥不成立，112i =+=；L L L792A =，7i =，16i ≤成立，790A ≥成立，011n =+=，718i =+=；L L L依此类推，上述程序框图是统计成绩不低于90分的学生人数，从茎叶图中可知，不低于90分的学生数为10，故选A ．本题考查茎叶图与程序框图的综合应用，理解程序框图的意义，是解本题的关键，考查理解能力，属于中等题． 9．函数ln ||()x f x x=的大致图象是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A首先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，即可得解. 【详解】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，且ln ||ln ||()()x x f x f x x x--==-=--， 所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B ，当1x >时，ln ||ln ()0x xf x x x ==>，故可排除C ； 当0x >时，ln ||ln ()x x f x x x==，()21ln xf x x -'=，显然当1x >时，()0f x '<，函数()f x 是单调递减的，可排除D ， 故选：A .本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的图象的变化趋势是判断函数的图象的常用方法，属于中档题．10．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为（ ）A ．913πB ．113πC 913D 13【答案】C【详解】试题分析：由题意可知三棱锥的底面是一个直角边为所以三棱锥的体积为12.球的直径2r 为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体长宽高的体对角线，即2r ==所以球的体积为13.所以169π=.故选C.【考点】1.三视图的知识.2.球的内接几何体.3.概率问题.4.空间想象力.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的渐近线均和圆22:650N x y x +-+=相切，且双曲线M 的右焦点为圆N 的圆心，则双曲线M 的离心率为（ ）A B ．32C D【答案】A由题意因为圆22:650N x y x +-+=把它变成圆的标准方程知其圆心为(3,0)，利用双曲线的右焦点为圆N 的圆心及双曲线的标准方程建立a ，b 的方程．再利用双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650N x y x +-+=相切，建立另一个a ，b 的方程．【详解】解：∵ 圆N 的圆心()3,0N ，半径2r =∴双曲线M 的右焦点坐标为()3,0，即3c =，则229a b +=① 又∵ 双曲线M 的一条渐近线方程为0bx ay -=， ∴点N2=，化得2245a b =②联立①②解得：a =，2b =，∴该双曲线M 的离心率为c e a ===故选：A .此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题，属于中档题．12．已知函数2()2xa g x e x =-有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,e B ．(),e +∞C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B求出函数的导函数()xg x e ax '=-，记()()f x g x '=，函数有两个不同的极值点，等价于导函数()f x 有两个不同的零点，对()f x 求导，求出()f x 极值，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】()x g x e ax '=-，记()()f x g x '=，则题设条件转化为函数()f x 有两个不同零点.当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增，不符合题意；当 0a >时，()xf x e a '=-，令()0xf x e a '=-=，解得：ln x a =当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，此时()f x 单调递减 当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 且当1x =-时，1(1)0g e a -'-=+>， 当x a =时，2()0ag a e a -'=>，又∵()f x 有两个不同零点，∴min ()(ln )ln 0==-<f x f a a a a ，即ln 00a a a a -<⎧⎨>⎩，解得a e >，即实数a 的取值范围为(),e +∞，故选：B .本题考查利用导数研究函数的极值与函数的零点问题，属于中档题.二、填空题13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列,若11a =，则4S =____________.【答案】15．由题意得42213412444421512a a a q q q S -=+⇒=+⇒=∴==-14．若关于x 的二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中一次项的系数是70-，则a =__________． 【答案】12-利用二项式定理的展开式的通项公式，通过幂指数为1，即可得到实数a 的值。
云南省云南民族中学2020届高三上学期质量监测(一)理数答案
云南民族中学2020届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACBCCBBDCDAD【解析】1．由(1)(2)0x x +-<，得12x -<<，又x ∈Z ，所以{01}B =，，因此{1}A B =，故选A ．2．∵21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2z ---====-++-，∴||1z =，故选C ． 3．依题意得1(2)210AC BD =⨯-+⨯=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 的面积为115||||55222AC BD =，故选B ． 4．因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以60B =︒，由正弦定理得13sin A =，解得1sin 2A =，因为0180A ︒<<︒，所以30A =︒或150︒(舍去)，此时90C =︒，所以2c =，故选C ．5．基本事件共有24C 6=(种)，设取出2个球颜色不同为事件A ，A 包含的基本事件有1122C C +1111C C 5=(种)，故5()6P A =，故选C ． 6．由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为平面PAD ，且EC 投影在平面PAD 上且为实线，点E 的投影点为PA 的中点，故选B ．7．由题意知，6587M =，所以输出的结果为89，故选B ．8．由题意知，当(02)x ∈，时，()f x 的最大值为2-，令1()0f x a x '=-=，得1x a =，当10x a<<时，()0f x '>；当1x a >时，()0f x '<，∴max 1()ln 12f x f a a ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭，解得e a =，故选D ．9．先根据约束条件画出可行域，找到边界的点，求得BP k ，AP k 数形结合可得结论．不等式组表示的平面区域是如图1所示阴影部分，图1直线20x y -+=与直线360x y --=的交点为(46)A ，，直线20x y -+=与y 轴的交点为(02)B ，，只需求出过P 点的直线经过可行域内的点A 或B 时的斜率，92710BP k -==-，96114AP k -==--，所以结合图象可得7k ≥或1k -≤，故选C ． 10．椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1(0)F c -，且斜率为1的直线为y x c =+，交椭圆于A ，B ，代入椭圆方程，化简可得22222222()20a b y cb y c b a b +-+-=，设11()A x y ，，22()B x y ，，则212222cb y y a b +=+，22221222c b a b y y a b -=+，且112F B AF =，可得212y y =-，21222cb y a b -=+，222221222c b a b y a b --=+，可得22222222222cb c b a b a b a b ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭，可得2292c a =，e =，故选D ． 11．∵CD CA AB BD =++，∴2||()3616642CD CA AB BD CA BD =++=+++=2217CA BD =||||cos 24CA BD CA BD CABD ==-<，>， ∴1cos 2CA BD =-<，>，而二面角与CABD <，>互补，∴所求二面角为60°，故选A ． 12．∵(1)(1)()()ln 11m x m x x f x x x x ϕ--=-=-++在[12]，上是增函数，∴()x ϕ'= 22(22)10(1)x m x x x -+--+≥在[12]，上恒成立，即2(22)10x m x --+≤在[12]，上恒成立，则122m x x -+≥，[12]x ∈，，∴5222m -≥，94m ≥，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由232n=，得5n =，常数项为4425C 80x =．14．因为πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππcos cos 44αα⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=．15．13[(20)][(1)]24f f f f f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．16．设直线AB 的方程为2x my =+，点11()A x y ，，22()B x y ，，由22x my y x=+⎧⇒⎨=⎩，220y my --=，根据韦达定理有122y y =-，不妨令点A 在x 轴的上方，则10y >，又104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴ABO S +△1211112()224AFO S y y y =⨯⨯-+⨯△111192238y y y =+=≥，当且仅当11928y y =，即143y =时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解：（1）由题意知，{1}n a -是等比数列且112a -=， 214a -=，21122a a -=-， ∴11222n n n a --==，∴21n n a =+． ……………………………………（4分）（2）2n n n b na n n ==+，故23123(222322)(123)n n n T b b b b n n =++++=+⨯+⨯+++++++………． 令23222322n T n =+⨯+⨯++…， 则23412222322n T n +=+⨯+⨯++…， 两式相减，得23112(12)22222212n nn n T n n ++--=++++-=--…，∴112(12)22(1)2n n n T n n ++=-+=+-， ∵(1)1232n n n +++++=…， ∴214(1)22n n n n T n +++=-+． …………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴， 可得πsin 2π16ω⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，∴ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ．又12ω<<，∴13ω=，∴函数()f x的最小正周期为3π．…………………………………………（5分）（2）由（1）知2π()2sin36f x x m⎛⎫=-+⎪⎝⎭，∵(π)0f=，∴2ππ2sin036m⎛⎫-+=⎪⎝⎭，∴2m=-，∴2π()2sin236f x x⎛⎫=--⎪⎝⎭，当3π2x≤≤时，π2π5π6366x--≤≤，12πsin1236x⎛⎫--⎪⎝⎭≤≤，∴3()0f x-≤≤，故函数()f x在3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域为[30]-，．………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）设观众评分的平均数为x，则10.0320.0230.0240.0450.0460.0570.0880.1590.21 x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯100.368.04+⨯=（分）．……………………………………………………（3分）（2）①设A表示事件：“1位观众评分不小于8分”，B表示事件：“1位观众评分是10分”，∴()0.361(|)()0.150.210.362P ABP B AP A===++，…………………………（6分）②由题知ξ服从142B⎛⎫⎪⎝⎭，，4444111()C1C(01234)222k kk kP k kξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，…………………………………………………………………（9分）分布列如下表，1()422Eξ=⨯=．…………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：∵MN BC∥，BC AD∥，∴MN AD∥，∵PA⊥平面ABCD，∴PA AD⊥，又∵AD AB ⊥，PA AB A =，∴AD ⊥平面PBA ，∴MN ⊥平面PBA ， 又∵MN ⊂平面AMN ， ∴平面AMN ⊥平面PBA ．……………………………………………（6分）（2）解：如图2，建立空间直角坐标系A xyz -，不妨设1AB =， 则(000)A ，，，(110)C ，，，11022M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， ∴(110)AC =，，，11022AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，设平面AMC 的法向量为()n x y z =，，，则011022x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 令1x =，则1y =-，1z =-，∴(111)n =--，，， 易得平面ADC 的一个法向量为(001)m =，，，∴13cos ||||3m n m n m n ==-=<，>∴二面角M AC D --的余弦值为3……………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）由题意，得3a c -=，则221()3a c b -=， 结合222b a c =-，得2221()()3a c a c -=-，即22230c ac a -+=，亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =， 所以椭圆C 的离心率为12． ………………………………………………（4分）（2）由（1）得2a c =，则223b c =，将33M ⎭，代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得1c =， 所以椭圆方程为22143x y +=．易得直线OM 的方程为12y x =，图2当直线l 的斜率不存在时，线段AB 的中点不在直线12y x =上，故直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，与22143x y +=联立，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=， 由题意得222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->，设11()A x y ，，22()B x y ，，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+， 因为121226()234my y k x x m k +=++=+，所以线段AB 的中点N 的坐标为22433434km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，， 因为点N 在直线12y x =上， 所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =-，所以248(12)0m ∆=->，解得m -<0m ≠，2112|||()AB x x x x =-=+24m m =-又原点O 到直线l 的距离d =所以2211222OABm m S -+===△当且仅当2212m m -=，即m =m -<0m ≠，所以△OAB …………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）（1）解：∵()2e ln(2)x f x x a =-+，∴2()2e 2x f x x a '=-+，∴2(0)2f a'=-， ∴221a-=，∴2a =，∴(0)2ln 2f =-， ∴l ：(2ln 2)y x --=，即l ：2ln 2y x =+-．…………………………（4分）（2）证明：∵1a =，∴()2e ln(21)x f x x =-+，12x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，，∴2()2e 21x f x x '=-+， ∴24()2e 0(21)x f x x ''=+>+， ∴()f x '在12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上为增函数，又∵(0)0f '=，∴当102x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，当(0)x ∈+∞，时，()0f x '>，∴()f x 在102⎛⎫- ⎪⎝⎭，上递减，在(0)+∞，上递增，∴当0x =时，()f x 取得最小值2， ∴()2f x ≥恒成立．……………………………………………………（12分）小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
2020届云南省大理州高三上学期第一次统测考试数学(理)试题word版含答案
2020届云南省大理州高三上学期第一次统测考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|4,|1A x Z x B x x =∈≤=>-，则AB =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 2.在复平面内，复数52ii-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.在等差数列{}n a 中，若3456745a a a a a ++++=，那么5a 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．9 D ．184.2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩()2100,X N σ（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（ ） A ．80 B ．100 C ．120 D ．2005.已知向量a 与b 的夹角为30°，且3,2a b ==，则a b -等于（ ） A ．1 B ．13 C ．13 D ．723-6.函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在x θ=时取得最大值，则tan θ等于（ ）A ．-．7.右边程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入,m n 分别为225、135，则输出的m =（ ）A ．5B ．9C ．45D ．908.已知三个函数()()()32,1,log xf x xg x xh x x x =+=-=+的零点依次为,,a b c ，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b << 9.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．83+B ．8+C ．8+D ．32310.已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O ，04,90BC BD CBD ==∠=，则球O 的表面积为（ ）A ．11πB ．20πC ．23πD ．35π11.已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ）A ．12 B ． 12- C ． 2 D ．-2 12.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2017f x +为奇函数，则不等式()20170x f x e +<的解集是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,+∞ C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22x y +的最大值为______________．14. (2n的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中4x 项的系数为___________．15.在直角坐标系xOy 中，有一定点()1,2M -，若线段OM 的垂直平分线过抛物线()220x py p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是____________．16.若数列{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈；令()3log 1n n b a =+，则123100b b b b ++++=_____________．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos ,24A C A ==． （1）求sinB 的值；（2）若4a =，求ABC ∆的面积S 的值． 18.（本题满分12分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35． （1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由； （2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.下面的临界值表仅供参考：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19.（本题满分12分）在四棱锥中P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA P D F ==、、，分别为PC BD 、的中点. （1）求证：//EF 平面PAD ；（2）在线段AB 上是否存在点G ，使得二面角C PD G --的余弦值为3，若存在，请求出点G 的位置；若不存在，请说明理由.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为12e =，（1）求椭圆C 的标准方程：（2）若12F F 、分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A B 、，求1F AB ∆的内切圆半径的最大值. 21.（本题满分12分）设函数()()()ln 1ln 1G x x x x x =+--． （1）求()G x 的最小值：（2）记()G x 的最小值为e ，已知函数()()()112210x a f x a ea a x++=+-+>，若对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），现以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos sin ρθθ=-．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（2）在曲线C 上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P 的直角坐标；若不存在，请说明理由.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x x =+-.（1）解关于x 的不等式()5f x x -≥；（2）设(){},|m n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小.2020届云南省大理州高三上学期第一次统测考试数学（理）试题参考答案一、选择题二、填空题13. 5 14. 1 15. 54y =- 16. 5050 三、解答题：17.解：（1）由3cos 4A =得sin A =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分所以()sin sin sin cos cos sin 16B AC A C A C =+=+=．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 （2）由正弦定理sin sin a b A B =得sin 5sin a Bb A==．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以ABC ∆的面积1sin 24S ab C ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18.解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35， 所以喜欢游泳的学生人数为3100605⨯=人．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为()221004030201016.6710.82860405050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为110， 从而需抽取男生4人，女生2人．故X 的所有可能取值为0，1，2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分()()()2112242422266618620;1;21515155C C C C P X P X P X C C C ==========，X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分1824012151553EX =⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）证明：连接AC ，由正方形性质可知，AC 与BD 相交于点F ， 所以，在PAC ∆中，//EF PA ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 又PA ⊂平面,PAD EF ⊄平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 所以//EF 平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）取AD 的中点O ，连接,OP OF ， 因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以射线,OA OF 和OP 为x 轴，y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，O xyz -，不妨设2AD =．．．．．．．．．．．．．．．． 6分则有()()()0,0,1,1,0,0,1,2,0P D C --，假设在AB 上存在点()1,,0,02G a a <<，则()()()1,2,1,1,0,1,2,,0PC PD DG a =--=--=．．．．．．．．．．．．．． 7分 因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，且底面是正方形， 所以CD ⊥平面PAD ，则CD PA ⊥， 由222PA PD AD +=得PD PA ⊥，所以PA ⊥PDC ，即平面PDC 的一个法向量为()1,0,1PA =-．．．．．．．．．．．．．． 8分设平面PDG 的法向理为(),,n x y z =，由00PD n DG n ⎧=⎨=⎩即020x z x a --=⎧⎨+=⎩，亦即2z xx y a =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，可取(),2n a a =--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分所以cos ,32m n m n m n===⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 解得1,1a a ==-（舍去）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以线段AB 上存在点G ，且G 为AB 的中点，使得二面角C PD G --．．．．．．12分 20.解：（1）由题意可得222212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 解得2,a b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分故椭圆的标准方程为22143x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）设()()1122,,,A x y B x y ，设1F AB ∆的内切圆的半径为R ， 因为1F AB ∆的周长为48a =，()111142F AB S AB F A F B R R ∆=++=， 因此1F AB S ∆最大，R 就最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分112121212F AB S F F y y y y ∆=-=-， 由题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，所以，12122269,3434m y y y y m m --+==++．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，故0∆>，即()()22636340,m m m R ++>∈，则112121212F ABS F Fy y y y ∆=-=-==．．．．．．．．．．．．10分令t =，则1t ≥，121241313F ABt S t t t∆===++．令()13f t t t =+，由函数的性质可知，函数()f t 在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上是单调递增函数，即当1t ≥时，()f t 在[)1,+∞上单调递增， 因此有()()413f t f ≥=，所以13F AB S ∆≤， 即当1,0t m ==时，1F AB S ∆最大，此时max 34R =， 故当直线l 的方程为1x =时，1F AB ∆内切圆半径的最大值为34．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）由已知得()()01,ln ln 1ln 1xx G x x x x'<<=--=-．．．．．．．．．．1分令()0G x '<，得102x <<；令()0G x '>，得112x <<，所以()G x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 从而()min 11ln ln 222G x G ⎛⎫===-⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）中ln 2c =-得()()121xa f x a e a x+=+-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分所以()()221x ax e a f x x-+'=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 令()()21x g x ax e a =-+，则()()20x g x ax x e '=+>．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以()g x 在()0,+∞上单调递增，因为()()01g a =-+，且当x →+∞时，()0g x >，所以存在()00,x ∈+∞，使()00g x =，且()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．．．．．．8分因为()()020010x g x ax e a =-+=，所以0201x ax e a =+，即0201x a a e x +=，因为对于任意的()0,x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立， 所以()()()00min 01210xa f x f x a e a x +==+-+≥．．．．．．．．．．．．9分 所以()20011210a a a x x +++-+≥，即2001120x x +-≥，亦即200210x x --≤，所以0112x -≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 因为0201x ax e a =+，所以02011x a x e a+=>，又00x >，所以001x <≤，从而020x x ee ≤，所以11a e a +<≤，故11a e ≥-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）由题意知曲线C 的参数方程12cos 12sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩可化简为()()22114x y -+-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分由直线l 的极坐标方程可得直角坐标方程为40x y --=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）若点P 是曲线C 上任意一点，则可设()12cos ,12sinP ϕϕ++，设其到直线l 的距离为d ，则d =．．．．．．．．．．．．．．7分化简得d =，当24k πϕπ+=，即24k πϕπ=-时，min 22d =-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 此时点P的坐标为(1 ……………………10分 23.解：（1）()32,033,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-=≤≤⎨⎪->⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分从面得0325x x x <⎧⎨-≥+⎩或0335x x ≤≤⎧⎨≥+⎩或3235x x x >⎧⎨-≥+⎩，解之得23x ≤-或x φ∈或8x ≥， 所以不等式的解集为[)2,8,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．． 5分（2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3m n ≥≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 由于()()()()2422422m n mn m mn n m n +-+=-+-=--．．．．．．．．．．．8分 且3,3m n ≥≥，所以20,20m n ->-<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
云南省红河州2020届高三第一次复习统一检测数学(理)试卷 Word版含解析
红河州2020届高三毕业生复习统一检测理科数学试题卷考试用时120分钟，满分150分．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试卷上的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合A ={1，3，5，7}，B ={x |2≤x ≤5}，则A ∩B =（ ） A. {3，5} B. (3，5)C. {3，4，5}D. [3，5]【答案】A 【解析】 【分析】由集合{}25B x x =≤≤求出大于等于2且小于等于5的正整数有2，3，4，5，再与集合A 求交集可得结果.【详解】集合{1,3,5,7},{|25}A B x x ==≤≤，其中集合B 中的整数组成的集合为{2,3,4,5}，所以{}3,5A B =.故选:A.【点睛】此题考查两集合的交集运算，属于基础题. 2.设121iz i i+=--，则||z =（）A. 0B. 1C.D. 3【答案】B【解析】【分析】先将z分母实数化，然后直接求其模．【详解】11122=2=2 11121i i i iz i i i ii i iz+++=---=---+=（）（）（）（）【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题．3.下图为某地区2007年~2019年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（）A. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B. 财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C 财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D. 城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大【答案】D【解析】【分析】由图可知财政预算内收入08、09、10没有明显变化，即可判断出真假．【详解】由图知，财政预算内收入08、09、10没有明显变化，故A错、B、C明显也错．故选：D．【点睛】本题主要考查折线图的理解和应用，考查学生的识图能力，属于容易题．4.若变量x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A. 1B. -2C. -5D. -7【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y -=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线 20x y -=到可行域边界()3,4A 的位置，由此求得目标函数的最小值为3245z =-⨯=-. 故选：C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.设13,3()log (2),3x e x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则f [f (11)]的值是（ ）A. 1B. eC. 2eD. 1e -【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数解析式，结合对数函数及指数函数求值即可.【详解】解：由分段函数解析式可得：233(11)log (112)log 32f =-==，则[(11)](2)f f f e ==， 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了对数函数及指数函数求值问题，属基础题.6.数列{}n a 是等差数列，11a =，且125,,a a a 构成公比为q 的等比数列，则q =（ ） A. 1或3 B. 0或2 C. 3 D. 2【答案】A 【解析】 【分析】设出等差数列的公差，由1a ，2a ，5a 构成公比为q 的等比数列，列式求出公差，可得选项.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵125,,a a a 构成公比为q 的等比数列，∴2215a a a =⋅，即2(1)14d d +=+，解得0d =或2，所以21a =或3，所以1q =或3， 故选：A ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，属于基础题． 7.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢？”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n =( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】开始，输入1,1,0,1a A S n ====，则2S =，判断210≥，否，循环，12,,22n a A ===， 则92S =，判断9102≥，否，循环，13,,4,4n a A ===则354S =，判断35104≥，否，循环，14,,8,8n a A === 则1358S =，判断135108≥，是，输出4n =，结束.故选择C. 8.已知函数()sin(2)(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><其图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π．将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说法正确的是（ ） A. 函数()f x 的周期为2πB. 函数()f x 的图象关于点(,0)6π对称C. 函数()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有1个零点 D. 函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象的相邻两条对称轴之间的距离求出周期，则A 错误；根据周期公式求出ω，根据函数图象的对称性求出ϕ，这样可得函数解析式，代入点(,0)6π可知B 错误；根据()06f π-=和()03f π=可知C 错误；由123x ππ≤≤得223x πππ≤+≤，可知D 正确.【详解】∵函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴22T π=，T π=，故A 错误； 由22ππω=得1ω=，()sin(2)f x x ϕ=+， 将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度后的图象对应的解析式为 2()sin 2()sin(2)33f x x x ππϕϕ⎡⎤=++=++⎢⎥⎣⎦，其图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数，所以(0)0f =，所以2sin 03πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以2,3k k Z ϕππ+=∈，因为||2ϕπ<，所以1k =，3πϕ=，于是()sin(2)3f x x π=+．∵()sin 206632f πππ⎛⎫=⨯+=≠ ⎪⎝⎭，∴B 错误； ∵()sin 20663f πππ⎡⎤⎛⎫-=⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2()sin 0333f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，故C 错误； 由123x ππ≤≤得223x πππ≤+≤，所以函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题考查了由三角函数的性质求解析式，考查了正弦函数的周期性、奇偶性、对称中心、零点、单调性，属于基础题.9.已知双曲线22:14x C y -=的右焦点为F ，第一象限内的点A 在双曲线C 的渐近线上，O 为坐标原点，若AOF OAF ∠=∠，则OAF △的面积为（ ）A. 1D. 2【答案】D 【解析】首先过F 作DF OA ⊥于点D ，利用点到直线的距离公式得到1=DF ，根据1tan 2∠==DF AOF OD 得到4=AO ，再计算OAF △的面积即可. 【详解】如图，过F 作DF OA ⊥于点D ，渐近线方程为12y x =，()5,0F .则225112==+DF ，因为AOF OAF ∠=∠，所以=OF AF ，D 为AO 中点. 因为1tan 2∠==DF AOF OD ，所以2=OD ，4=AO . 则14122OAFS=⨯⨯=. 故选：D【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 10.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱AD 上一动点，则下列选项中不正确的是（ ）A. 异面直线1AD 与1A B 所成的角的大小3π B. 直线1A M 与平面11BB C C 一定平行 C. 三棱锥1B BCM -的体积为定值4 D. 1AB D M ⊥ 【答案】C 【解析】A.通过平移找出异面直线AD 1与A 1B 所成角为11A BC ∠，求之即可；B.利用面面平行的性质定理即可判断；C.根据棱锥的体积公式求之即可；D.利用线面垂直的性质定理即可判断．【详解】A.因为11//AD BC ，所以11A BC ∠（或补角）为异面直线1AD 与1A B 所成的角，11A BC 为等边三角形所以113A BC π∠=，得异面直线1AD 与1A B 所成的角的大小为3π，正确； B.平面11//AA D D 平面11BB C C ，1A M ⊂平面11AA D D ， 所以1//A M 平面11BB C C ，正确； C.111111332B BCM BCM V S BB BC AB BB -=⋅=⨯⨯⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=，错误； D.正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11AA D D ，1D M ⊂平面11AA D D ，所以1AB D M ⊥，正确，故选:C ．【点睛】本题考查空间立体几何的综合，涉及异面直线的夹角、线面平行、线线垂直、棱锥体积等问题，灵活运用空间中线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生空间立体感和推理论证能力，属于基础题．11.函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是A. f (b x )≤f (c x) B. f (b x )≥f (c x) C. f (b x)>f (c x) D. 与x 有关，不确定【答案】A 【解析】 【分析】由f （1+x ）＝f （1﹣x ）推出函数关于直线x ＝1对称，求出b ，f （0）＝3推出c 的值，x ≥0，x ＜0确定f （b x ）和f （c x ）的大小． 【详解】∵f （1+x ）＝f （1﹣x ），∴f （x ）图象的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2． 又f （0）＝3， ∴c ＝3．∴f （x ）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增． 若x ≥0，则3x ≥2x ≥1， ∴f （3x ）≥f （2x ）． 若x ＜0，则3x ＜2x ＜1， ∴f （3x ）＞f （2x ）． ∴f （3x ）≥f （2x ）． 故选A ．【点睛】本题是中档题，考查学生分析问题解决问题的能力，基本知识掌握的熟练程度，利用指数函数、二次函数的性质解决问题．12.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1212e e 的最大值为（ ）A.32D. 1【答案】B 【解析】 分析】首先设椭圆的方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为2222221x y a b -=22(0,0)a b >>，点P 在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义得到：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，从而得到112=+PF a a ，212=-PF a a ，利用余弦定理得到2221234a a c +=，从而得到2221314e e +=，再利用基本不等式即可得到答案。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
2020年云南省高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2020年云南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i2．已知平面向量，如果，那么=（）A．B．C．3 D．3．函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣24．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣905．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．566．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B．C．﹣2 D．27．为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．在数列{a n}中，a1=，a2=，a n a n+2=1，则a2020+a2020=（）A．B．C．D．59．“a+b=2”是“直线x+y=0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣2 B．3 C．7 D．1211．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．12．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x﹣90）=则f（10）﹣f（﹣100）的值为．14．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．15．△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．16．已知实数a、b常数，若函数y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，y=+be2x﹣1与y=k（x﹣1）3的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n，3a n﹣2S n=2．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：S n+2S n＜．18．某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（I）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．20．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知f（x）=2x+3﹣．（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD 的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BC•CD=BD•CE；（Ⅱ）若，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．2020年云南省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，复数z1=1+i，z2=1﹣i，则=（）A．B．C．﹣i D．i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z1=1+i，z2=1﹣i，得=，故选：D．2．已知平面向量，如果，那么=（）A．B．C．3 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平行向量的坐标关系便可求出x=，从而得出，这便可得出的值．【解答】解：∵；∴3•（﹣1）﹣6x=0；∴；∴；∴．故选B．3．函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A．﹣4 B．C．D．﹣2【考点】三角函数的最值．【分析】利用倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化积，则答案可求．【解答】解：y=2sinxcosx﹣2sin2x=sin2x﹣（1﹣cos2x）=sin2x+cos2x﹣1==，∴函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为．故选：C．4．（﹣+）10的展开式中x2的系数等于（）A．45 B．20 C．﹣30 D．﹣90【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．【解答】解：（﹣+）10的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）10﹣r•，令=2，求得r=2，可得展开式中x2的系数为=45，故选：A．5．若运行如图所示程序框图，则输出结果S的值为（）A．94 B．86 C．73 D．56【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1i=2，S=4不满足条件i＞5，i=3，S=10，不满足条件i＞5，i=4，S=22，不满足条件i＞5，i=5，S=46，不满足条件i＞5，i=6，S=94，满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为94．故选：A．6．如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩余的几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图），则被削掉的那部分的体积为（）A．B．C．﹣2 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是半圆锥体与直三棱锥的组合体，求出该几何体的体积，再求出圆柱的体积，即可求出被削掉的那部分体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面半径为1，高为2的半圆锥体，与底面为等腰三角形高为2的三棱锥的组合体，其体积为•πr2h+Sh=π×12×2+××2×1×2=；又圆柱的体积为πr2h=π×12×2=2π，所以被削掉的那部分的体积为2π﹣=．故选：B．7．为得到y=cos（2x﹣）的图象，只需要将y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=sin（2x﹣+）=sin（2x+）=sin2（x+），∴将y=sin2x 的图象向左平移个单位，可得y=cos （2x ﹣）的图象，故选：D ．8．在数列{a n }中，a 1=，a 2=，a n a n+2=1，则a 2020+a 2020=（ ） A ．B ．C ．D ．5【考点】数列递推式．【分析】a 1=，a 2=，a n a n+2=1，可得：a 4n ﹣3=，a 4n ﹣1=2，a 4n ﹣2=，a 4n =3．即可得出． 【解答】解：∵a 1=，a 2=，a n a n+2=1， ∴a 3=2，a 5=，…，可得：a 4n ﹣3=，a 4n ﹣1=2． 同理可得：a 4n ﹣2=，a 4n =3． ∴a 2020+a 2020=3+=．故选：C ．9．“a +b=2”是“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线与圆相切的充要条件，可得“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的等价命题“a +b=±2”，进而根据充要条件的定义，可得答案． 【解答】解：若直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切 则圆心（a ，b ）到直线x +y=0的距离等于半径 即=，即|a +b |=2即a +b=±2故“a +b=2”是“直线x +y=0与圆（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=2相切”的充分不必要条件 故选A10．已知变量x 、y 满足条件，则z=2x +y 的最小值为（ ）A ．﹣2B ．3C ．7D ．12【考点】简单线性规划．【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为满足不等式组的可行域，将交点分别求得为（1，1），（5，2），（1，）当x=1，y=1时，2x+y=3当x=1，y=时，2x+y=当x=5，y=2时，2x+y=12∴当x=1，y=1时，2x+y有最小值3．故选：B11．在长为3m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1m的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为3，基本事件的区域长度为1，代入几何概率公式可求【解答】解：设“长为3m的线段AB”对应区间[0，3]“与线段两端点A、B的距离都大于1m”为事件A，则满足A的区间为[1，2]根据几何概率的计算公式可得，故选：B12．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且，如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么=（）A．21 B．14 C．7 D．0【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得c=4，即a2+b2=16，由渐近线方程可得=，解得a，b，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简整理，即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4，由题意可得双曲线M的一个焦点为（﹣4，0），设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得c=4，即a2+b2=16，直线是双曲线M的一条渐近线，可得=，解得a=3，b=，可设P为右支上一点，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=6，①由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=64，②②﹣①2，可得|PF1|•|PF2|=14．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x﹣90）=则f（10）﹣f（﹣100）的值为﹣8．【考点】函数的值．【分析】根据所给解析式凑数计算f（10）和f（﹣100）．【解答】解：f（10）=f=lg100=2，f（﹣100）=f（﹣10﹣90）=﹣（﹣10）=10．∴f（10）﹣f（﹣100）=2﹣10=﹣8．故答案为：﹣8．14．已知三棱锥P﹣ABC的顶点P、A、B、C在球O的表面上，△ABC是边长为的等边三角形，如果球O的表面积为36π，那么P到平面ABC距离的最大值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】求出球心O到平面ABC的距离，即可求出P到平面ABC距离的最大值．【解答】解：△ABC是边长为的等边三角形，外接圆的半径为1，球O的表面积为36π，球的半径为3，∴球心O到平面ABC的距离为=2，∴P到平面ABC距离的最大值为．故答案为：．15．△ABC中，内角A、B、C对的边分别为a、b、c，如果△ABC的面积等于8，a=5，tanB=﹣，那么=．【考点】正弦定理．【分析】求出sinB，利用三角形的面积公式求出c的长度，进一步利用余弦定理求出b的长度，在应用正弦定理和等比性质求出结果．【解答】解：△ABC中，∵tanB=﹣，∴sinB=，cosB=﹣．又S==2c=8，∴c=4，∴b==．∴==．故答案为：．16．已知实数a、b常数，若函数y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，y=+be2x﹣1与y=k（x﹣1）3的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．【考点】函数与方程的综合运用；根的存在性及根的个数判断．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出a，b的值，利用数形结合判断两个函数的交点个数进行求解即可．【解答】解：当x＜1时，函数y=+be2x+1=+be2x+1，则函数的导数f′（x）=+2be2x+1，∵若函数y=y=+be2x+1的图象在切点（0，）处的切线方程为3x+4y﹣2=0，∴f（0）=，且f′（0）=﹣，即a+be=，﹣a+2be=﹣，得a=1，b=0，即y=+be2x+1=，由=k（x﹣1）3得当x=1时，方程成立，当x≠1时，若x＞1得=k（x﹣1）3得=k（x﹣1）2，若x＜1得﹣=k（x﹣1）3得﹣=k（x﹣1）2，若k=0，则两个方程无解，若k＞0时，作出对应函数的图象如右图：此时满足当x＞1时，有一个交点，当x＜1时，有一个交点，此时满足两个函数共有3个交点．若k＜0时，作出对应函数的图象如图：此时满足当x＞1时，没有交点，当x＜1时，则需要有2个交点，由﹣=k（x﹣1）2，得k（x+2）（x﹣1）2+1=0，x＜1，设g（x）=k（x+2）（x﹣1）2+1，则g′（x）=3k（x﹣1）（x+1），x＜1，k＜0，由g′（x）=0，x=﹣1，当x＜﹣1时，g′（x）＜0，当﹣1＜x＜1时，g′（x）＞0，即当x=﹣1函数取得极小值g（﹣1）=4k+1，要使当x＜1时，则g（x）要有2个交点，则极小值g（﹣1）=4k+1＜0，得k＜﹣，此时满足两个函数共有3个交点．综上k的取值范围是k＞0或k＜0，故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2． （I ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求证：S n+2S n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I ）对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2，可得3a 1﹣2a 1=2，解得a 1．当n ≥2时，3a n ﹣1﹣2S n ﹣1=2，可得a n =3a n ﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）证明：由（I ）可得：S n =3n ﹣1．作差代入S n+2S n ﹣＜0，即可证明．＜．【解答】（I ）解：∵对任意正整数n ，3a n ﹣2S n =2，∴3a 1﹣2a 1=2，解得a 1=2． 当n ≥2时，3a n ﹣1﹣2S n ﹣1=2，可得3a n ﹣3a n ﹣1﹣2a n =0，化为a n =3a n ﹣1， ∴数列{a n }是等比数列，公比为3，首项为2． ∴a n =2×3n ﹣1．（2）证明：由（I ）可得：S n ==3n ﹣1．∴S n+2S n ﹣=（3n+2﹣1）（3n ﹣1）﹣（3n+1﹣1）2=﹣4×3n ＜0， ∴S n+2S n ＜．18．某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出事件A的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛，设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，由已知，得，所以事件A的概率为．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．由已知得．…P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以随机变量X的分布列为：X 1 2 3 4P…随机变量X的数学期望．…19．如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（I）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】证明：（I）∵AB=AD，E为BC的中点，∴取BD的中点0，连接AO，OE，则OA⊥BD，OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，∵CD⊥BD，∴OE⊥BD，∵BD∩OA=O，∴AE⊥BD；（Ⅱ）设平面ABD⊥平面BCD，∵OA⊥BD，∴OA⊥面BCD，建立以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AD=CD=2，BC=4，∴OA=OB=OD=，OE=1，则B（0，﹣，0），D（0，，0），E（1，0，0），A（0，0，），C（2，，0），则=（0，，），=（2，，﹣），=（﹣2，0，0），设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=﹣1，x=﹣，即=（﹣，1，﹣1），设平面ACD的一个法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=1，x=0，则=（0，1，1），cos＜，＞==0，即＜，＞=90°则二面角B﹣AC﹣D的正弦值sin90°=1．20．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且=λ．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在m，使+λ=4？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）运用向量的加减运算，可得λ=3，由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得m2==1+，再由不等式的性质，可得所求范围．【解答】解：（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得e==，4=4，a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+x2=1；（Ⅱ）=λ，可得﹣=λ（﹣），+λ=（1+λ），由+λ=4，可得λ=3，由题意可得P（0，m），且﹣2＜m＜2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由=3，可得﹣x1=3x2，①由直线y=kx+m代入椭圆方程y2+4x2=4，可得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0，即有x1+x2=﹣，x1x2=，②由①②可得m2==1+，由1+k2≥1，可得0＜≤3，即有1＜m2≤4，由于m∈（﹣2，2），当m=0时，O，P重合，λ=1显然成立．可得m的取值范围是（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}．21．已知f（x）=2x+3﹣．（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（I）求函数的导数，利用函数极值和导数的关系即可证明当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）判断函数的单调性，根据函数的单调性和值域之间的关系转化为f（x）=x有两个不同的解，构造函数，利用数形结合进行判断即可．【解答】解：（I）由2x+1＞0得x＞﹣，函数的导数f′（x）=2﹣=2﹣==，设g（x）=8x2+8x+2ln（2x+1），则g′（x）=16x+8+=8（2x+1）+，∵2x+1＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在x＞﹣上为增函数，∵g（0）=0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，此时f′（x）＞0，函数f（x）递增，当x＜0时，g（x）＜g（0）=0，此时f′（x）＜0，函数f（x）递减，故当x=0时，f（x）取得极小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x＞0时，函数f（x）递增，若存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则满足，即m，n是方程f（x）=x的两个不同的根，即2x+3﹣=x，则x+3=．即（x+3）（2x+1）=ln（2x+1），设y=（x+3）（2x+1），y=ln（2x+1），作出两个函数的图象，由图象知当x＞﹣时，两个函数没有交点，即方程f（x）=x不存在两个不同的根，即不存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，AB是⊙O的弦，D是的中点，BD 的延长线与CE交于E．（Ⅰ）求证：BC•CD=BD•CE；（Ⅱ）若，求AB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据切线的性质、直径所对的圆周角是直角得到角之间的关系，由三角形相似判定定理和性质，证明结论成立；（Ⅱ）根据等弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠CBD，由直径所对的圆周角、三角形全等判定定理得△BDC≌△BDF，得到CD=FD，BC=BF，根据勾股定理、射影定理求出CD、BC，由割线定理得求出AB．【解答】证明：（Ⅰ）∵BC是⊙O的直径，EC与⊙O相切于C，D是AC弧的中点，∴∠CBD=∠ECD，∠BDC=∠CDE=∠BCE=90°，∴△BCD∽△CED．…∴，∴BC•CD=BD•CE．…解：（Ⅱ）设BA的延长线与CD的延长线交于F，∵D是AC弧的中点，∴∠ABD=∠CBD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BDF=90°，∴△BDC≌△BDF．∴CD=FD，BC=BF，在Rt△CDE中，．∴．∵∠BDC=∠BCE=90°，∴CD2=BD•DE，∴，∴，∴BF=4．…由割线定理得（FB﹣AB）•FB=FD•FC，即，解得．∴．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=．（I）直接写出直线l、曲线C的直角坐标方程；（II）设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）将直线的参数方程相减消去参数t，得到直线l的普通方程，将曲线的极坐标方程两边平方，得出曲线C的普通方程；（II）求出曲线C的参数方程，把参数方程代入点到直线的距离公式，利用三角函数的性质解出d的最值．【解答】解：（I）∵（t为参数），∴x﹣y=﹣3，即x﹣y+3=0．∴直线l的直角坐标方程是x﹣y+3=0．∵ρ=，∴ρ2=，即ρ2+2ρ2cos2θ=3．∴曲线C的直角坐标方程为3x2+y2=3，即．（II）曲线C的参数方程为（α为参数），则曲线C上的点到直线l的距离d==．∴当cos（）=1时，d取得最大值，当cos（）=﹣1时，d取得最小值．∴d的取值是[，]．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（Ⅰ）求证：f（x）≥5；（Ⅱ）若对任意实数都成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于f（x）的分段函数，从而求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出a的范围即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵，∴f（x）的最小值为5，∴f（x）≥5．…（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15﹣2f（x）的最大值等于5．…∵，“=”成立，即，∴当时，取得最小值5．当时，，又∵对任意实数x，都成立，∴．∴a的取值范围为．…2020年8月2日。
云南省2020年高考数学一诊试卷(理科)A卷
云南省2020年高考数学一诊试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·浙江模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）如图在复平面内，复数z1,z2对应的向量分别是则复数的值是（）A . -1+2iB . -2-2iC . 1+2iD . 1-2i3. （2分） (2020高一下·宿迁期末) 采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二上·汕头月考) 已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则5. （2分） (2019高二上·咸阳月考) 设是等差数列，是其前n项的和，且，，则下列结论错误的是（）．A .B . 与是的最大值C .D .6. （2分） (2017高二下·双流期中) 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·红河开学考) 若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则r=（）A . 1B . 2C .D . 38. （2分） (2016高一下·龙岩期中) 若如图程序执行的结果是10，则输入的x的值是（）A . 0B . 10C . ﹣10D . 10或﹣109. （2分） (2016高三上·嵊州期末) 已知不等式组表示的平面区域为D，若函数y=|x|+m 的图象上存在区域D上的点，则实数m的最小值为（）A . ﹣4B . ﹣3D .10. （2分）将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是（）A . x=B . x=C . x=D . x=11. （2分）已知点P在抛物线上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为1:3，则点P到x轴的距离是（）A .B .C . 1D . 212. （2分） (2017高一上·西城期中) 若定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意的实数都成立，则称是一个“ 特征函数”则下列结论中正确的个数为（）．① 是常数函数中唯一的“ 特征函数”；② 不是“ 特征函数”；③“特征函数”至少有一个零点；④ 是一个“ 特征函数”；．A .B .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在△ABC中，已知•=2，且∠BAC=30°，则△ABC的面积为________14. （1分）(2016·河北模拟) 设（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（x∈N*），若a1+a2=30，则n=________．15. （1分）记min{a，b}=，若函数f（x）=x2+ax+b在（0，1）上有两个零点，则min{f（0），f（1）}的取值范围是________．16. （1分）在数列{an}中，若a1=2，an+1=（﹣1）n（an﹣1），则a5=________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2019高三上·镇江) 某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD ， CE为路灯灯杆，CD⊥AB ，∠DCE= ，在E处安装路灯，且路灯的照明张角∠MEN= .已知CD=4m ， CE=2m.（1）当M ， D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；（2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.18. （15分） (2017高二下·黑龙江期末) 现有4个人参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求出4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 ,求随机变量的分布列与数学期望．19. （10分） (2015高三上·驻马店期末) 如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD 为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．（1）证明：Q为BB1的中点；（2）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，∠ADC=60°，求平面α与底面ABCD所成锐二面角的大小．20. （10分）(2018·陕西模拟) 已知为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于的动点，且面积的最大值为 .（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆在点处的切线交于点，当点在椭圆上运动时，求证:以为直径的圆与直线恒相切.21. （10分） (2019高三上·南京月考) 设函数， .（1）若 .①求实数的值；②若，证明为极值点；（2）求实数的取值范围，使得对任意的恒有成立.（注：为自然对数的底数）22. （5分）(2017·江门模拟) 极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，两坐标系单位长度相同．已知曲线的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C上到直线l的距离为d的点的个数为f（d），求f（d）的解析式．23. （10分） (2016高二下·黄骅期中) （选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
2020年云南省高考数学一模试卷(理科)-普通用卷
高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合S={0，1，2}，T={0，3}，P=S∩T，则P的真子集共有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知i为虚数单位，则=（）3.A. B. C. D.设向量=（x-1，x），=（-1，2），若，则x=（）A. B.-1 C. D.4.在（x-）的二项展开式中，x的系数等于（）A.-180B.C.D.1805.执行如图所示的程序框图，则输出S的值等于（）6.A. B. C. D.如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：mm）为（）1063A.108+24πB.72+16πC.96+48πD.96+24π7.为得到函数 y =sin3x - x 的图象，只需要将函数 y =2cos3x 的图象（）A.C.向左平行移动 个单位向左平行移动 个单位B.D.向右平行移动 个单位向右平行移动 个单位8.9.已知 α，β 都为锐角，若 tanβ= ，cos （α+β）=0，则 cos2α 的值是（）A.B. C. D.已知 M 是抛物线 C ：y =2px 上的任意一点，以 M 为圆心的圆与直线 x =-1 相切且经 过点 N （1，0），设斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于 P ，Q 两点，则线段 PQ 的中 点的纵坐标为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 810. 在△ABC 中，内角 A ，B ，C 对的边分别为 a ，b ，c ，∠ABC = ，BD 平分∠ABC 交AC 于点 D ，BD =2， △则ABC 的面积的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 611. 双曲线 M 的焦点是 F，F ，若双曲线 M 上存在点 P ， △使PF F 是有一个内角为的等腰三角形，则 M 的离心率是（）A. B. C.D.12. 已知 e 是自然对数的底数，不等于 1 的两正数 x ，y 满足 log y +log x = ，若 log y ＞l ，xyx则 x ln y 的最小值为（ ）A.-1B. C. D.-二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）2 1 2 1 213. 若x，y满足约束条件，则目标函数z=y-x的最大值等于______．14. 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，2），则D（2ξ+3）=______15. 已知函数f（x）=，若f（m）=-6，则f（m-61）=______．16. 已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4，PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD，则球O的表面积为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 数列{an }中，a=2，（n+1）（a-a）=2（a+n+1）．1n+1nn（1）求a，a的值；23（2）已知数列{a }的通项公式是a=n+1，a=n+1，a=n+n中的一个，设数列{}n n n n的前n项和为S，{a-a }的前n项和为T，若＞360，求n的取值范围．n n+1n n18. 为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了A、B两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在[80，100]的为优质品．现从该厂生产的A、B两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）设500件A型产品性能质量评分的中位数为M，直接写出M所在的分组区间；（2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）；A型节排器B型节排器总计优质品非优质品总计500500100022（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为 A 、B 两种不同型号的节排器 性能质量有差异？附：K =．其中 n =a +b +c +d ．P （K 2≥k ） 00.100.0100.001 k 02.7066.63510.82819. 在四棱锥 P -ABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，且∠ABC = ，M ，N 分别为棱 AP ，CD 的中点．（1）求证：MN ∥平面 PBC ；（2）若 P D ⊥平面 ABCD ，PB =2AB ，求平面 PBC 与平 面 PAD 所成二面角的正弦值．20. 已知椭圆 E 的中心在原点，左焦点 F、右焦点 F 都在 x 轴上，点 M 是椭圆 E 上的 1 2动点 △，F MF 的面积的最大值为 ，在 x 轴上方使个．（1）求椭圆 E 的方程；=2 成立的点 M 只有一（2）过点（-1，0）的两直线 l ，l 1 2 分别与椭圆 E 交于点 A ，B 和点 C ，D ，且 l ⊥l 1 2， 比较 12（|AB |+|CD |）与 7|AB ||CD |的大小．2 1 221. 已知e是自然对数的底数，函数f（x）=与F（x）=f（x）-x+的定义域都是（0，+∞）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：函数F（x）只有一个零点x，且x∈（1，2）；00（3）用min{m，n}表示m，n的最小值，设x＞0，g（x）=min{f（x），x- }，若函数h（x）=g（x）-cx在（0，+∞）上为增函数，求实数c的取值范围．222. 已知常数a是实数，曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为1极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cosθ=a sinθ．2（1）写出C的普通方程与C的直角坐标方程；12（2）设曲线C与C相交于A，B两点，求|AB|的最小值．1223. 已知函数f（x）=|2x-a|+|x-2a+3|．（1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≤9；（2）当a≠2时，若对任意实数x，f（x）≥4都成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵S ={0，1，2}，T ={0，3}； ∴P =S ∩T ={0}；∴P 的真子集为：∅，共 1 个．故选：B ．根据集合 S ，T ，即可求出 P ={0}，从而得出集合 P 的真子集为∅，共 1 个． 考查列举法的定义，以及交集的运算，真子集的定义．2.【答案】C【解析】解：====故选：C ．分子分母同乘以分母的共轭复数 1-i ，化简即可． 本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题． 3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系，属于基础题．根据即可得出 2（x -1）+x =0，解出 x 即可．【解答】解：∵， ∴2（x -1）+x =0，．∴故选 C ．4.【答案】D【解析】解：（x - ） 的二项展开式的通项公式为 T = r +1•（-2） •x ，令 10-2r =6，求得 r =2，可得 x 的系数为•（-2） =180，故选：D ．在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 6，求出 r 的值，即可求得 x 的系数． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基 础题．5.【答案】C第 6 页，共 16 页10 r 10-2r 6 2 6【解析】解：模拟执行程序框图，可得第1次运行，S=，a=2第2次运行，S=，a=3第3次运行，S=，a=4…第2019次运行，S=，a=2020刚好满足条件a＞2019，则退出循环，输出S的值为．故选：C．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=2020时，刚好满足条件a ＞2019，则退出循环，输出S的值为．本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，a的值是解题的关键，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左右两边均为圆柱，上部圆柱的底面半径为2，母线长为6，下部是底面边长为6，高为3的长方体．∴该零件的体积V=π×22×6+6×6×3=108+24π．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部是圆柱，下部是长方体，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7.【答案】D【解析】解：函数y=sin3x-x，转换为y=2sin（3x-）的图象．将y=2cos3x的图象转换为y=2sin（3x+），该图象向右平移个单位，即可得到y=2sin（3x-）的图象．故选：D．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换和诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由 β 为锐角，且 tan β= ，联立，可得 sin β= ，cos再由 α，β 都为锐角，可得 0＜α+β＜π，又 cos （α+β）=0，得 α+β= ，则 cos α=sin β= ．．∴cos2α=2cosα-1=．故选：B ．由已知求得 sin β，进一步求得 cos α，利用二倍角的余弦求解 cos2α 的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基 础题．9.【答案】A【解析】解：设 M （x ，y ），0 0∵以 M 为圆心的圆与直线 x =-1 相切且经过点 N （1，0），∴x 0+1=，又 y =2px ．∴p =2． 即可得抛物线方程为 y =4x ．由y +y =4，12⇒y -4y -4b =0．∴线段 PQ 的中点的纵坐标为 故选：A ．=2设 M （x ，y ），可得 x +1=，又 y =2px ．求得 p =2．联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得答案．本题考查了抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题． 10.【答案】B【解析】解：设∠A =α，则0＜α＜ ，∠C =π- -α= -α，∵∠ABC = ，BD 平分∠ABC交 AC 于点 D ，BD =2，∴∠ABD =∠CBD =在三角形 ABD 中，∠ADB =π- -α= -α，由正弦定理可得=，2 20 0 22 2∴AB==，在三角形CBD中，∠CDB=π--（-α）=+α，由正弦定理可得，∴BC=∴△ABC面积=，S=AB•BCsin=××=•=•，=（2+）=（2+），∵0＜α＜，∴＜2α+＜，∴＜sin（2α+）≤1，∴当sin（2α+）=1时，即α=时，△ABC面积S最小，最小值为•（2+6）=4，故选：B．设∠A=α，则0＜α＜，根据正弦定理表示出AB，BC，即可表示出三角形的ABC的面积，再根据三角函数的化简和正弦函数的图象和性质即可求出本题考查了正弦定理的应用，三角形函数的化简，三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，属于难题．11.【答案】C【解析】解：设双曲线的焦点在x轴上，且P为左支上一点，∠PF F=120°，且|PF|=|F F |=2c，12121可得|PF|=2=2c，则|PF|-|PF|=2a，即为221c-2c=2a，可得e= = =．故选：C．可设双曲线的焦点在x轴上，且P为左支上一点，运用余弦定理和双曲线的定义，以及离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：log y+log x=，可得log y+x y x解得log=2或log=，x x=，∵logx y＞l，y y∴log xy =2，∴ =2，即 ln y =2lnx ， ∴x ln y =2x lnx ，令 f （x ）=2x lnx ，x ∈（0，+∞）， ∴f ′（x ）=2（1+ln x ），当 0＜x ＜ 时，f ′（x ）＜0，函数 f （x ）单调递减，当 x ＞ 时，f ′（x ）＞0，函数 f （x ）单调递增，∴f （x ） =f （ ）=- ，min故 x ln y 的最小值为- ，故选：D ．由题意可得 log =2，即可得到 x ln y =2x lnx ，令 f （x ）=2x lnx ，x ∈（0，+∞），求导，根 据导数和函数最值得关系即可求出本题考查了导数和函数的最值得关系，考查了运算求解能力，属于中档题． 13.【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如 图：由 z =y -x 得 y =x+z ，平移直线 y =x +z ，由图象可知当直线 y =x +z 经过 点 A 时，直线 y =x+z 的截距最大，此时 z 最大，由，解得 A （1，3），此时 z =3-1=2，故答案为：2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键． 14.【答案】8【解析】解：∵随机变量 ξ 服从正态分布 N （1，2），∴D （ξ）=2，则 D （2ξ+3）=2 ×D （ξ）=8． 故答案为：8．由已知求得 D （ξ），再由 D （2ξ+3）=2 ×D （ξ）得答案． 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础题． 15.【答案】-4【解析】【分析】当 m ＜3 时，f （m ）=3 -5=-6，无解；当 m ≥3 时，f （m ）=-log （m +1）=-6，由此能求2出 m 的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】y x2 2 m -2解：∵函数 f （x ）=，f （m ）=-6，∴当 m ＜3 时，f （m ）=3 -5=-6，无解；当 m ≥3 时，f （m ）=-log （m +1）=-6，2解得 m =63，∴f （m -61）=f （2）=3 -5=-4．故答案为：-4． 16.【答案】16π【解析】解：如图，∵PA ⊥PD ，∴△APD 为 △R t ，∵平面 PAD ⊥平面 ABCD ，取 AD 中点 G ，在平面 ABCD 内，过 G 作 AD 的垂线，则四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心在该垂线上， 又 AD=DC =AB =2，BC =4，求得∠ADC =120°， 过 D 作 AC 的垂线，两垂线相交于 O ，则O △为ADC 外接圆的圆心，也是四棱锥 P -ABCD 的外接球的球 心，△则ADC 外接圆的半径即为四棱锥 P -ABCD 的外接球的半径，设为 R ，由，得 R =2．∴球 O 的表面积为 S =4π×2 =16π．故答案为：16π．由题意画出图形，可 △知ADC 外接圆的圆心即为四棱锥 P -ABCD 的外接球的球心，由正 弦定理求得半径，代入球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 17.【答案】解：（1）数列{a }中，a =2，（n +1）（a -a ）=2（a +n +1）．n1n +1 nn则：，．（2）由数列{a }的通项公式是 a =n +1，a =n +1，a =n +n 中的一个和 a =6， n n n n 2得到数列{a }的通项公式为：n=n （n +1）．所以：则：所以：，=（1- ）+（ ．）+…+（ ）=1-．由于（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）=a -a ，a =n （n +1）， 213 2 n +1 nn+1 1n所以：（a -a ）+（a -a ）+…+（a -a ）=n （n +3）．2 13 2 n +1 n即：，由：，m -2 2-2 2 2 2 2解得：n＞17或n＜-21故n的取值范围是：n＞17且为正整数．【解析】（1）首先利用数列的通项公式求出第二项和第三项．（2）利用裂项求和和叠加法，求出前n项和，进一步建立不等式求出n的取值范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法和裂项求和在数列中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）M所在的分组区间为[70，80）．（2）列联表如下：优质品非优质品总计A型节排器180320500B型节排器140360500总计3206801000（3）由于K==≈7.352＞6.635，故有99%的把握认为A，B两种不同型号的节排器性能质量有差异．【解析】（1）根据中位数的定义进行判断即可（2）根据条件完成列联表（3）根据表中数据得到K的值，结合独立性检验的性质进行判断即可本题主要考查独立性检验的应用，根据列联表中的数据进行计算是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19.【答案】（1）证明：设PB的中点为G，连接MG，GC，∵M，G分别为AP，PB的中点，∴MG∥AB，且MG=，由已知得CN=，且CN∥AB，∴MG∥CN，且MG=CN．∴四边形MGCN是平行四边形，∴MN∥GC．∵MN⊄平面PBC，CG⊂平面PBC，∴MN∥平面PBC；（2）解：连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接CO，OG，设菱形ABCD的边长为a，由题设得，PB=2a，PD=，OG∥PD，OG⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OG为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0），∴设，），A（，0，0），D（0，-，0），B（0，，0），C（，0，，，是平面PBC的一个法向量，22则，令x=1，得．同理可求得平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞==．则平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为=．【解析】（1）设PB的中点为G，连接MG，GC，由三角形中位线定理可得MG∥AB，且MG=，结合已知得到MG∥CN，且MG=CN，则四边形MGCN是平行四边形，求得MN∥GC，再由线面平行的判定可得MN∥平面PBC；（2）连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接CO，OG，设菱形ABCD的边长为a，由题设得，PB=2a，PD=，OG∥PD，OG⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OG为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC与平面平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：（1）根据已知设椭圆的E的方程为+=1，（a＞b＞0），c=，∵在x轴上方使∴在x轴上方使=2成立的点M只有一个，=2成立的点M是椭圆E的短轴的端点，当点M是短轴的端点时，由已知可得，解得a=2，b=，∴椭圆E的方程为+=1，（2）12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．若直线AB的斜率为0或不存在时，|A B|=2a=4，且|C D|==3，或|C D|=2a=4，且|A B|==3，由12（|AB|+|CD|）=12（3+4）=84，7|AB||CD|=7×3×4=84，∴12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．若AB的斜率存在且不为0时，设AB=k（x+1），k≠0，由可得（4k+3）x+8k x+4k-12=0，设A（x，y），C（x，y），则x+x=-1 12212•∴|AB|=|x-x|=12，x x=12=，，2222同理可得|CD|==，∴+= =，∴12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．综上所述12（|AB|+|CD|）=7|AB||CD|．【解析】（1）由题意可知：由已知可得，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）对k分类讨论，把直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式、弦长公式即可得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】（1）解：∵f′（x）=，∴切线的斜率k=f′（1）=，又f（1）=，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=；（2）证明：∵F（x）=f（x）-x+，f（x）=，∴F（1）=＞0，F（2）=＜0，∴F（1）•F（2）＜0，则在（1，2）上存在x，使得F（x）=0成立，00∵F′（x）=，∴当x≥2时，F′（x）＜0，当0＜x＜2时，由x（2-x）≤，得F′（x）≤∴F（x）在（0，+∞）上是减函数，＜0．∴若x1＞0，x＞0，x≠x，则F（x）≠F（x），21212∴函数F（x）只有一个零点x，且x∈（1，2）；00（3）解：g（x）=∵函数F（x）只有一个零点x，，∴F（x）=0，即．∴，故h（x）=．∴h（x）在（0，+∞）上为增函数⇔h′（x）≥0在（0，x0），（x，+∞）上恒成立．0当x＞x时，h′（x）=0，即在（x，+∞）上恒成立．0设u（x）=（x＞x），只需c≤[u（x）]，minu′（x）=，u（x）在（x，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，u（x）的最小值，则c．当0＜x＜x时，h′（x）=1+恒成立．，由上述得，c＜0，则h′（x）＞0在（0，x）上综上所述，实数c的取值范围是（-∞，]．【解析】（1）求出原函数的导函数，得到切线的斜率f′（1），再求出f（1），利用直线方程的点斜式求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）由F（x），得F（1）=＞0，F（2）=＜0，可得（1，2）上存在x，使得F（x）=0成立，然后利用导数证明F（x）在（0，+∞）上是减函数，可得函数F（x）0只有一个零点x，且x∈（1，2）；00（3）由题意写出h（x）=，由函数F（x）只有一个零点x，可得．把h（x）在（0，+∞）上为增函数转化为h′（x）≥0在（0，x），0（x，+∞）上恒成立．然后分类求解得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，属难题．22.【答案】解：（1）曲线C的参数方程为1（t为参数），转换为直角坐标法方程为：y-8x-16=0．曲线C的极坐标方程为cosθ=a sinθ．2转换为极坐标方程为：ρcosθ=aρsinθ．转换为直角坐标方程为：x-ay=0．（2）设A（ay，y）B（ay，y），1122由于得到：y-8ay-16=0，所以：y+y=8a，y y =-16，1212，所以：：|AB|=．=当a=0时，|AB|=8，所，22第15 页，共16 页【解析】（1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=3|x-1|，由f（x）≤9得|x-1|≤3，由|x-1|≤3得-3≤x-1≤3，解得：-2≤x≤4，故a=2时，关于x的不等式的解集是{x∈R|-2≤x≤4}；（2）①当a＞2时，＜2a-3，f（x）=，故f（x）在（-∞，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）=f（）= -3，min由题设得-3≥4，解得：a≥；②当a＜2时，＞2a-3，f（x）=，故f（x）在（-∞，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）=f（）= +3，min由题设得-+3≥4，解得：a≤-综上，a的范围是（-∞，-]∪[，，+∞）．【解析】（1）代入a的值，解绝对值不等式，求出不等式的解集即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。