第二章静电场题解

第二章 静电场

(注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑）

2-1 在边长为a 的正方形四角顶点上放置电荷量为q 的点电荷，在正方形几何中

心处放置电荷量为Q 的点电荷。问Q 为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。

解 如图建立坐标系，可得

x x x x a Q a a q E e e e 2/12242122142

0220⨯⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=πεπε y y y y a Q a a q E e e e 2/12242122142

0220⨯⨯+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯+=πεπε 据题设条件，令 022421=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+Q q ， 解得 ()

2214

+-=q

Q

2-2 有一长为2l ，电荷线密度为τ的直线电荷。

1）求直线延长线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位； 2）求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位。

解 1）如图（a ）建立坐标系，题设线电荷位于x 轴上l ~l 3之间，则x 处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为

()x x x

e E -=2

04d d πετ，x x 04d d πετϕ= 由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位

分别为

()()()x l l x

l l l x x e e E E -=-==⎰⎰0320364d d 0πετ

πετ ()3ln 44d d 0030

3l πετ

πετϕϕ===⎰⎰l l l x x

2）如图（b ）建立坐标系，题设线电荷位于y 轴

上l -~l 之间，则y 处的电荷微元在点()l 2,0处产生的电场强度和电位分别为

()r r

y e E -=2

04d d πετ，r y

04d d πετϕ= 式中，θθ2cos d 2d l y =，θcos 2l r =，51

4sin 22=+=l l l α，分别代入上两式，并考虑对称性，可知电场强度仅为x 方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为

()l l l r y

l x x x x 0000020

054sin 4d cos 4cos 4d 2d 20,2πεταπετθθπετθπεταααe e e e E E =====⎰⎰⎰

()0

100

24.0421tan 21tan ln 2cos d 4d 20,2πετ

ππετθθπετϕϕα

α

=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+==

=-⎰

⎰l

2-3 半径为a 的圆盘，均匀带电，电荷面密度为σ。求圆盘轴线上到圆心距离为b

的场点的电位和电场强度。

解 根据电荷分布的对称性，采用圆柱坐标系。坐标原点设在圆盘形面电荷的圆心，z 轴与面电荷轴线重合。场点P 的坐标为()b ,,0α。在带电圆盘上取一个电荷元σα'''r r d d ，源点坐标为()''r ,,α0。由电荷元产生的电位

d d d ϕσαπε='''

r r R

40

计算P 点电位时，场点坐标()b ,,0α不变，源点坐标()''r ,,α0中'r 'α是变量。 22b r R +'=

整个圆盘形面电荷产生的电位为

()

()

b

b a

b b a

a b r r r a b r r r -+-+=

+'''=+''''=⎰⎰⎰22

2

22

2200202202=

22d 4d d εσεσ

εσπεασϕπ

根据电荷分布的对称性，整个圆盘形面电荷产生的电场强度只有e z 方向的分量

z z z b a b

b b b a b z e e e E ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-=-∇=2202220

122εσεσ

∂∂ϕϕ

2-4 在空间，下列矢量函数中哪些可能是电场强度，哪些不是？回答并说明理由。 1）34e e e y x z +- 2）x y z x z e e e y +-4 3） y z x x z e e e y +-4 4）r r e （球坐标系）5）r 2e α（圆柱坐标系） 解 对于给定各矢量表达式求旋度，可得

1）()01

4343=-∂∂

∂∂∂∂=

-+⨯∇z y x x y x z x e e e e e e y 2）()044=-∂∂

∂∂∂∂

=

-+⨯∇z

y x

z y x z y x x y x

z x e e e e e e y

3）()y x y x z x x

z y z y x x z y e e e e e e e y 244=-∂∂

∂∂∂∂

=

-+⨯∇ 4）()0=⨯∇r r e

5）()()()

z z z z r r r r r r r rA r r r e e e e e 3311122=⋅=⋅∂∂=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∂∂=⨯∇αα

据0=⨯∇E ，可知式3）和式5）不可能是电场强度表达式，而其余各式可

能是电场强度表达式。

2-5 有两相距为d 的平行无限大平面电荷，电荷面密度分别为σ和-σ。求两无穷大平面分割出的三个空间区域的电场强度。

解 如图2-4所示的三个区域中，作高斯面1S ，据高斯通量定理，可得在区域（1）和（3）中，电场强度为零；再作高斯面2S ，据高斯通量定理，可得在区域（2），0

εσ=

E

2-6 求厚度为d ，体电荷密度为ρ的均匀带电无限大平板在空间三个区域产生的电场强度。

解 如图2-5所示的三个区域中，作高斯面1S ，据高斯通量定理，电场强度在1S 上的通量为

1

112d 1

ερdS S E s ==⋅⎰

s E 可得在区域（1）和（3）中，电场强度 0

12ερd

E =

对于区域（2），如图建立坐标系，作高斯面2S ，据高斯通量定理，电场强度在

2S 上的通量为 022221ερxS S E S E =+，得 ⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-=-=22000102d x d x E x E ερερερερ

2-7 有一半径为a 的均匀带电无穷长圆柱体，其单位长度上带电荷量为τ。求空间的电场强度。

解 如图建立圆柱坐标系，设圆柱体的体电荷密度为ρ，

则有 τπρ=⋅2a ，即 2a

πτ

ρ=

作柱对称高斯面，可得

当a r <，02

2ερππr r E =⋅，解得 2

0022a r r E πετερ== 当a r ≥，02ετπ=

⋅r E ，解得 r

E 02πετ

=