6反馈线性化解析
六自由度并联机器人线性化反馈RBF神经滑模控制研究
２２并 联 机器 人 的位 置 反解 及 运 动 学逆 解 ＿
首先在上下平 台各建立一坐标系 ， 如图 ２所示。 动坐标 系 Ｐ —
，
ｄ１ ｌ ｄ ｊｄ２ ｊ ３］ ｛ ｄ 。 Ｐ 。式中的 Ｔ ｊ ． ｄ ，－Ｘ Ｙ ｝ ｄ ，Ｉ 为上平台姿
ｌ３ｄ２ ３ ｊ ｄｆ ３ｄ３
坐标系的原点在 固定坐标系中的位置矢量。 当给定机构的各个结 制量。且假设 。 ，）０ｔ（ ，）０ （ ０ ＝ ，ｏＯ０ ＝ 。则有 ： ０ ｉ 构尺寸后 ， 就可以求出在定坐标下的值。 在此为了更好地表示空间某点所作 的平移变换和旋转变换 ，
利 用 齐次 坐标 来表 示点 的空 问位 置 ， 齐 次变换 矩 阵 来 表示 点 引入
难 以凑 效 ， 在 此 领 域 一 直 是 研 究 的 热 点 ， 此 国 内外 学 者 提 出 故 对
原点分 别位于二者的中心 Ｐ和 ０ 依 据并联机器人位姿描述以及 ，
空 间 变换 理 论 可 以得 到 ：在 动 坐 标 系 中 的 任一 向量 Ｒ 可 以 通过 坐标 变 换 的 方法 变 换 到 固定 坐 标 系 中 的 Ｒ。
第 ２期
２１ ０ ０年 ２月
文 章编 号 ：０ １ ３ ９ （ ００）２ ０ ５ — ３ １０ — ９ ７２ １ ０ — １９ ０
机 械 设 计 与 制 造
Ｍ ａ ｈ ｎ ｒ Ｄｅ ｉ ｎ ｃ ｉｅｙ ｓｇ ＆ Ｍａ ｕ ａ ｔ ｅ ｎ ｆ ｃｕｒ １９ ５
六 自由 并联机器人 线性化反馈 Ｒ Ｆ神经滑模控制研 究 术 度 Ｂ
图 １六 自由度 并联 机 器 人 的实 体 图
２６ Ｄ Ｆ 一 Ｏ 并联机器人运动控制模型
２１并 联 机器 人 的机 械 结构 ．
自动控制原理第十章非线性控制系统
自动控制原理第十章非线性控制系统非线性控制系统是指系统动态特性不能用线性数学模型表示或者用线性控制方法解决的控制系统。
非线性控制系统是相对于线性控制系统而言的，在现实工程应用中，许多系统经常具有非线性特性，例如液压系统、电力系统、机械系统等。
非线性控制系统的研究对于实现系统的高效控制和稳定运行具有重要意义。
一、非线性控制系统的特点1.非线性特性：非线性控制系统的动态特性往往不能用线性方程或者线性微分方程描述，经常出现非线性现象，如饱和、死区、干扰等。
2.多变量关联：非线性系统动态关系中存在多个变量之间的相互影响，不同变量之间存在复杂的耦合关系，难以分离分析和解决。
3.滞后响应：非线性系统的响应时间较长，且在过渡过程中存在较大的像后现象，不易预测和控制。
4.不确定性：非线性系统通常存在参数变化、外部扰动和测量误差等不确定性因素，会导致系统性能变差，控制效果下降。
二、非线性控制系统的分类1.反馈线性化控制：将非线性系统通过适当的状态反馈、输出反馈或其它形式的反馈转化为线性系统，然后采用线性控制方法进行设计。
2.优化控制：通过建立非线性系统的数学模型，利用优化理论和方法，使系统达到其中一种性能指标最优。
3.自适应控制：根据非线性系统的参数变化和不确定性，设计自适应控制器，实时调整控制参数，以适应系统的动态变化。
4.非线性校正控制：通过建立非线性系统的映射关系，将测量信号进行修正，以减小系统的非线性误差。
5.非线性反馈控制：根据非线性系统的特性，设计合适的反馈控制策略，使得系统稳定。
三、非线性控制系统设计方法1.线性化方法：通过将非线性系统在其中一工作点上线性化，得到局部的线性模型，然后利用线性控制方法进行设计和分析。
2.动态编程方法：采用动态系统优化的方法，建立非线性系统的动态规划模型，通过求解该模型得到系统的最优控制策略。
3.反步控制方法：通过构造适当的反步函数和反步扩散方程，实现系统状态的稳定和输出的跟踪。
第六章 线性反馈系统的状态空间综合(1)
第六章 线性反馈系统的状态空间综合6.1 引言1）什么是综合问题？系统综合问题由被控系统、性能指标和控制输入3个要素组成。
¾ 被控系统：兼顾应用广泛性和理论分析的简单性，限于考虑严格真线性时不变系统 Cxy t x x Bu Ax x=≥=+=000,)(, ¾ 性能指标：控制系统具备的性能。
¾ 控制输入：通常取反馈形式，包含状态反馈和输出反馈，即系统综合问题就是，对给定的被控系统，确定反馈控制，使得导出的闭环系统运动行为 达到期望的性能指标。
性能指标分类可区分为“非优化型性能指标”和“优化型性能指标”。
非优化型性能指标：属于不等式型指标，目标是使综合的系统达到期望指标。
优化型性能指标：极值型指标，目标为使系统性能指标函数极大或极小。
典型的非优化型性能指标 1) 渐近稳定：镇定问题2) 一组期望闭环极点：极点配置问题 3) MIMO 系统化为多个SISO 系统：解耦问题4) 使输出在外部干扰环境下无静差的跟踪参考信号：跟踪问题优化型性能指标通常取为000>>+=∫∞R Q dx Ru u Qx x u J T T ,,)()(2）研究综合问题的思路建立“可综合条件”，建立确定相应控制规律的“算法”。
3）综合与工程实现中的一些理论问题及外部扰动的影响等。
¾ 状态反馈的物理构成：状态一般不能直接测量，需要引入状态重构或估计；¾ 系统结构参数摄动的影响：系统模型总是存在不确定性因素，鲁棒性问题；¾ 外部扰动的影响：扰动抑制。
6.2 反馈6.2.1 状态反馈1)状态反馈结构图2）系统描述⎩⎨⎧=≥=+=CxytxxBuAxx0,)(,:Σ)()()(tvtKxtu+−=⎩⎨⎧=≥=+−=⇒CxytxxBvxBKAxxf,)(,)(:Σ闭环系统传递函数：定理：状态反馈的引入，不改变系统的能控型，但可能改变系统的能观测性。
证明：1）能控性BBKAsICsGK1−+−=)()(设0∑和k ∑的能控型判别矩阵分别为c Q 和ck Q ，有()()n 1n 1ck c −−⎡⎤=−−⎣⎦−−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦−−⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q BA BK BA BKB I KBKBK KA *0I K *BAB A B 00I *000I I KBKBK KA *0I K *Q 00I *000I """""###%#""""###%#"可以看出，ck Q 与c Q 的秩相同，从而k ∑能控，而且仅当0∑能控。
自动控制原理反馈线性化知识点总结
自动控制原理反馈线性化知识点总结自动控制原理中，反馈线性化是一种重要的技术手段，用于对非线性系统进行线性化处理，以便于运用线性控制理论进行分析和设计。
本文将对反馈线性化的知识点进行总结。
一、反馈控制的基本原理反馈控制是指系统通过测量输出信号并与期望信号进行比较，从而产生控制信号作用于系统，使其输出信号趋近于期望值。
反馈控制可以提高系统的稳定性、精度和鲁棒性。
二、非线性系统的线性化1. 线性化的概念线性化是指通过近似处理使非线性系统在某一工作点附近表现出线性系统的特性。
线性化可以使非线性系统的分析和设计更加简化。
2. 线性化方法（1）泰勒级数展开法：通过对非线性函数进行泰勒级数展开，并保留一阶或二阶项，得到线性化后的系统模型。
（2）局部仿射变换法：通过适当的仿射变换，将非线性系统线性化为线性系统。
（3）偏微分方程法：对非线性系统的偏微分方程进行线性化处理，得到线性系统的模型。
三、反馈线性化的基本原理1. 概念反馈线性化是指通过设计反馈控制器，将非线性系统转化为线性系统。
2. 反馈线性化的步骤（1）选择工作点：选择一个具有良好控制性能的工作点作为线性化的基准。
（2）线性化建模：使用线性化方法得到系统在工作点附近的线性模型。
（3）设计反馈控制器：设计合适的反馈控制器，使得线性化后的系统具有期望的响应特性。
（4）验证和优化：通过仿真或实验验证线性化的效果，并对控制器进行优化。
四、反馈线性化的应用1. 飞行器控制在飞行器自动控制系统中，应用反馈线性化技术可以将飞行器的动力学模型线性化，从而进行姿态控制、航迹控制等任务。
2. 汽车悬挂系统控制反馈线性化技术可以将汽车悬挂系统的非线性特性线性化，实现对车身姿态的控制，提高汽车行驶的稳定性和舒适性。
3. 机器人控制在机器人的运动控制中，通过反馈线性化技术可以实现对机器人姿态和轨迹的精确控制，提高机器人的定位和导航能力。
五、反馈线性化的优缺点1. 优点（1）能够将非线性系统转化为线性系统，利用线性控制理论进行设计和分析。
电机的反馈线性化控制
即
ud Lv1 Rsid r iq L
进而导出
uq
JL v2 Lr id Rsiq f r kc pn
2、PMSM 矢量控制系统模型【2】
在分析 PMSM 数学模型的基础上， 提出了建立 PMSM 矢量控制系统仿真模 型的方法，系统设计框图如图。
根据模块化建模的思想，控制系统分割为各个功能独立的子模块，其中主要 包括：反馈线性化控制器模块、PMSM本体模块、坐标变换模。 块等。
2-1PMSM 本体模块【4】
电动机和异步电动机高， 而且不需要从电网吸取滞后的励磁电流，从而大大地节 约了无功功率，极大地提高了电机的功率因数。因此，永磁同步电动机比异步电 动机节电，效率高。 (2)稀土永磁同步电动机较异步电机尺寸大大减少， 成为高密度， 高效率的电机。 (3)转子结构大大简化，提高了电机运行的稳定性。 永磁同步电动机， 按照定子绕组感应电动势波形的不同，可分为正弦波永磁 同步电动机和梯形波永磁同步电动机， 正弦波永磁同步电动机即通常所说的永磁 同步电动机(PMSM)；梯形波永磁同步电动机又称为无刷永磁直流电动机(BLDC)。 无刷永磁直流电机具有功率密度高，控制简单，反馈装置简单等优点，但由电流 换向引起的转矩纹波是无法消除的，特别，在低速区无刷直流永磁电机的脉动转 矩会引起转速波动， 将严重影响驱动的性能，而正弦永磁电动机产生的转矩脉动 通常低于方波电流永磁电动机。 这是由于正弦永磁同步电动机是由正弦交流供电， 不存在换向时的冲击电流， 通过转子位置检测控制电流相位，可以获得平稳的转 矩特性。所以，对高性能调速系统，最好采用永磁同步电动机调速系统，而不采 用无刷直流电机调速系统。
反馈线性化原理与应用
第四章 反馈线性化原理的应用在这一章中将介绍在局部坐标变换和反馈线性化原理基础上的一些推论及其在控制系统设计中的应用。
它们是零动态；局部渐近镇定；渐近输出跟踪；干扰解耦；高增益反馈；具有线性误差动态特性的观测器问题等。
4.1零动态在这一节中我们将介绍并讨论一个重要的概念—“零动态”。
在很多场合中它起着与线性系统中传递函数的“零点”极其类似的作用。
在前述中我们已经看到线性系统的相对阶r 能够被解释为其传递函数的极点数目与零点数目之差。
即若任何一个线性系统其相对阶r 严格小于其维数n ，则其传递函数中必存在零点；反之若r=n ，则传递函数中就没有零点。
所以前节中精确线性化所讨论的系统，在某种意义上类似于线性系统中无零点的情况。
在这一节中这种类比将进一步推广。
考虑一个相对阶r 严格小于n 的非线性系统()()x f x g x u ⋅=+()y h x =则可通过坐标变换，变成正则形：()()()()()()Z x h x L h x L h x x x f f r r n ==⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-+φφφξη 11， ξ=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥z z r 1 ， η=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+z z r n 1 其中()()φφr n x x +⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1 ，若能使()L x g i φ=0, n i r ≤≤+1则可将系统变成下列形式：z z 12⋅= z z 23⋅=z z r r -⋅=1()()z b z a z u r ⋅=+ ()z q z r r +⋅+=11()z q z n n ⋅=或写成：()()ξξξξηξη⋅⋅=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥200 r b a u ,, ()ηξη⋅=q ,若x 0是使()()f x h x 0000==,的点，则在x 0一定有ξ=0，虽然此时η可以任意选择，但是不失一般性，可以选η=0，如果x 0是系统的一个平衡点，则在新坐标下也应是一个平衡点。
功率放大器的线性化技术
02 功率放大器线性化的技术 分类
前馈线性化技术
前馈线性化技术通过引入一个额外的反馈环路，将功率放 大器的输出信号反馈到输入端，与原始输入信号进行比较 和调整，以消除非线性失真。
前馈线性化技术具有较高的线性化效果，但需要精确的信 号匹配和调整，因此实现难度较大。
反馈线性化技术
01
反馈线性化技术通过将功率放大 器的输出信号反馈到输入端，并 利用负反馈原理对输入信号进行 修正，以减小非线性失真。
多项式预失真技术通过使用多项式函数来描述功率放大器的非线性特性。预失真器通过 调整多项式的系数来产生补偿信号，以抵消功率放大器的非线性。这种方法的优点是精
度高、计算复杂度低，但需要实时计算多项式函数，可能影响实时性能。
预失真线性化技术的优缺点
优点
预失真线性化技术具有较高的线性度和较低 的成本，适用于各种类型的功率放大器。此 外，由于预失真器位于功率放大器之前，因 此可以避免功率放大器内部的热损耗和可靠 性问题。
。
模拟预失真
适用于对实时性要求较高的系 统，能够快速响应信号的变化 ，但线性化效果可能略逊于数 字预失真。
前馈线性化
通过引入额外的反馈环路，降 低功率放大器的非线性失真， 适用于对噪声和失真性能要求 高的系统。
基带扩展
通过在基带信号上添加适当的 调制，改善功率放大器的线性 范围，适用于宽带信号传输系
多载波技术
通过将信号分割成多个子载波，降 低单个载波的幅度，减小非线性失 真。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
复合反馈技术则是结合前馈和反馈技术的优点， 通过引入前馈和反馈两个环节来进一步改善功率 放大器的线性度。
反馈线性化技术的优缺点
第六章非线性系统的反馈线性化
第六章非线性系统的反馈线性化反馈线性化方法的基本思想是用反馈的方法，将非线性被控对象补偿成为一个具有线性特性的系统，然后利用线性系统理论进行控制系统设计。
基于微分几何的反馈线性化方法是一种精确线性化方法。
6.1 反馈线性化基本概念反馈线性化设计步骤是：（1）通过反馈的方法将非线性系统转化为线性系统，这个过程可以微分几何方法；（2）经过线性化处理后的系统进行设计。
与泰勒级数展开的近视线性化方法不同，它是建立在系统状态变换与非线性反馈基础上的一种精确方法。
它是大范围有效的，而不是仅仅局限于工作点附近。
1水槽的系统模型为()()2h d A h dhu t a ⎡⎤=−∫4()f B =+ xx u 考虑如下系统x是系统状态，f(x)是光滑向量场，u是控制输入，B是输入矩阵且可逆。
设跟踪轨迹为x d 。
=d e x x−定义跟踪误差=f()B d ex x u −− 主要思路是设计如下的补偿控制算法1=(f())d u Bxx ke −−+ =-eke 补偿后的误差动态方程为稳定例2 两关节机械手111212121112122212220H H qhq hqhq q g H H qhq qg ττ−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&&&（6.1）5其中，[]12,Tq q =q 为关节角，[]12,Tττ=τ为关节输入。
12222221222221111211222222221212122221211122122122122cos cos sin cos cos()cos cos()c c c c c c c c c c H m l I m l l l l q I H m l I H H m l l q m l I h m l l q g m l g q m g l q q l q g m l g q q ⎡⎤=+++++⎣⎦=+==++=⎡⎤=+++⎣⎦=+表示成向量形式()(,)()H q qC q q q g q τ++=&&&&两边同乘以1H −，可变成仿射非线性系统（6.1）。
6自由度控制算法
6自由度控制算法在机器人控制与运动规划中，6自由度（6DoF）控制算法是一种常用的方法。
这种算法可以实现对机械臂或机器人的六个自由度进行精确控制，使其在三维空间内能够实现各种复杂的运动轨迹和任务。
6自由度控制算法的核心思想是：通过对机械臂的关节角度进行精确控制，从而实现末端执行器的运动。
一般来说，典型的6自由度机械臂由6个关节组成，每个关节可以控制一个自由度。
常见的机械臂有工业机械臂、服务机器人臂等。
实现6自由度控制的算法可以分为两个主要步骤：逆运动学求解和控制器设计。
逆运动学求解是根据机械臂的末端位姿（位置和姿态），确定关节角度以实现期望运动。
控制器设计是针对不同的任务需求，设计合适的控制策略以保证机械臂的精确控制和稳定性。
在逆运动学求解方面，一种常用的方法是使用解析解法。
对于六自由度的机械臂，可以通过对正运动学方程求逆，从而得到关节角度与末端位姿之间的映射关系。
一般来说，这种方法可以快速计算出关节角度，但对于一些特殊情况（例如奇异构型）可能无法求解解析解，需要使用数值解法来求解逆运动学问题。
在控制器设计方面，常见的方法包括PID控制、基于模型的控制（如轨迹跟踪控制、力/力矩控制）和基于反馈线性化的控制等。
PID控制是一种经典的控制策略，通过调节比例、积分和微分参数，实现机械臂位置和速度的精确控制。
基于模型的控制方法利用机械臂的动力学模型，通过预测机械臂的运动轨迹或实施力/力矩控制来实现精确控制。
而基于反馈线性化的控制方法，则通过设计非线性转换器和线性控制器，将非线性动力学系统转化为线性系统，从而实现控制目标。
除了逆运动学求解和控制器设计，6自由度控制算法还需要考虑如传感器选取与数据融合、路径规划、碰撞检测和碰撞回避等问题。
传感器可以提供机械臂的姿态和位姿信息，用于控制系统的反馈；数据融合则将多个传感器的信息进行整合，提高机械臂的感知能力。
路径规划是将机械臂的运动轨迹优化为最佳路径，以提高运动效率和精确度。
反馈线性化设计方法_1(6)
反馈线性化设计方法
Frobenius定理：令 f1,f2 ,L,fm 为一组线性无关的矢量场， 当且仅当这个集合为对合时它是完全可积的。
1、双线性： [a1f1 + a2f2 , g] = a1[f1 , g] + a2 [f2 , g] [f , a1g1 + a2g 2 ] = a1[f , g1 ] + a2 [f , g 2 ]
2、斜交换性： [f , g] = −[g, f ] 3、雅可比恒等式：Lad f g h = L f Lg h − Lg L f h 三、微分同胚与坐标变换 微分同胚的概念可看成是熟知的坐标变换概念的推广，其
⎤ ⎥⎦
=
φ(x)
=
⎡2 ⎢ ⎣
x1 3
+ 5x1 sin x2
x22
⎤ ⎥ ⎦
它对所有的 x1 和 x2都有定义，其雅可比矩阵为
∂φ
∂x
=
⎡2 ⎢ ⎣
+5 0
x22
10 x1 x2 2 cos x2
⎤ ⎥ ⎦
它在 x = (0,0) 的秩为2，这个函数在原点定义了一个局部
的微分同解 h(x1, x2 , x3 ) 存在，我们称这组矢量场 {f , g}为
完全可积的。
Frobenius定理提供了一个比较简单确定这些方程可解的
条件：
[f , g] = a1f + a2g
反馈线性化设计方法
这个条件称为矢量场 {f , g }的对合条件。
Frobenius定理断言一组矢量场当且仅当它满足对合条件 时是完全可积的。 定义1：线性无关的矢量场的可积性定义
2、由单独的一个矢量 f 组成的集合总是对合的；
输入 输出反馈线性化
的特征值在左半开平面，则整个状态反馈控制律为
u
a c
[sin(
x1
)
sin
]
1 c
(k1x1
k2
x2
)
消去非线性项的方法普遍适用吗？显然不能希望每个
非线性系统都能消去非线性项，但一定存在具有某种结构
特性的系统，允许消去非线性项。不难看出，如果通过相 减消去非线性项 (x) ，则控制器 u 和非线性项 (x) 必须以
现在就可以用线性控制理论求解这个跟踪控制问题
了。
上述讨论表明，有时对输入-输出映射进行线性化更有 意义，即使以保留一部分状态方程的非线性为代价。这种
情况称系统为可输入—输出线性化的。注意应用输入-输 出线性化，线性化的输入-输出映射并不能说明系统的全 部动态特性。在前面例子中，整个系统表示为
x1 a sin x2 x2 v y x2 注意，状态变量 x1 和输出 y 没有联系，换句话说就是线性
非线性项可以通过控制
u
x12
a
1 cos
x2
v
消去，当 / 2 x2 / 2 时，上式有明确定义。要求出新
坐标系 (z1, z2 ) 中的状态方程，可通过逆变换，即用 (z1, z2 )
表示 (x1, x2)
x1 z1
x2
sin 1
z2 a
9
非线性控制：输入—输出反馈线性化
上式当 a z2 a 时有定义。变换后的状态方程为
18
非线性控制：输入—输出反馈线性化
y(2)
(Lf h) [ f x
(x)
g(x)u]
L2f h(x)
Lg Lf h(x)u
同样，如果 Lg Lf h(x) 0 ，则 y(2) L2f h(x) ，且与 u 无关。重
反馈线性化设计方法_1(6)
g3
=0
如果它的解 h(x1, x2 , x3 ) 存在，我们称这组矢量场 {f , g}为
完全可积的。
Frobenius定理提供了一个比较简单确定这些方程可解的
条件：
[f , g] = a1f + a2g
反馈线性化设计方法
这个条件称为矢量场 {f , g }的对合条件。
Frobenius定理断言一组矢量场当且仅当它满足对合条件 时是完全可积的。 定义1：线性无关的矢量场的可积性定义
0 k IJ 0 −k J2
−
k IJ
⎤ ⎥ ⎥
0⎥
⎥ k⎥
J2 ⎥
⎥
0 ⎥⎦
{ } g,
ad
f
g,
ad
2 f
g
,
ad
3 f
g
为常量，它构成一个对合集。
∇z1ad
i f
g
=
0, i
=
0,1,2
⇒
∇z1
⋅
g
=
0, ∇z1
⋅
ad
f
g
=
0, ∇z1
⋅
ad
2 f
g
=
0
∇z1ad
g n−1
f
≠
0
⇒
∇z1
⋅
ad
其中： 令：
f1 (x) = (x15 + x3 )(x3 + cos x2 ) + (x2 + 1)x12
u
=
1 (v − x2 +1
f1 )
有：
&y& = v
反馈线性化设计方法
利用线性控制方法对这个二重积分关系设计跟踪控制器：
13. 反馈线性化 (
全状态反馈线性化正式应用于形如 （13.4） 的非线性 ODE 控制系统模型， 不需要特别指定输出 y (t) 。
2
如上小节一样， 找到反馈变换（13.6）和具有非奇异行列式的状态变换
z (t) = ψ (x(t)) (13.10)
就可以简化系统。这需要等同于
z ˙ (t) = Az (t) + Bv (t)) ， (13.11)
u(t) = M (q (t))(v (t) + F (q (t), q ˙(t))) (13.2)
就可以把（13.1）变换为线性二重积分模型
q ¨(t) = v (t) 。 (13.3)
从（13.1）到（13.3）的变换就是使用强控制权简化系统方程的反馈线性 化典型例子。例如，当（13.1）是欠驱动模型时，也就是，当 u(t) 在 Rk 的给 定子空间时， （13.2）的变换是无效的。同样， 如果 u(t) 必须满足一个预界定， 那么一般不能根据（13.2）得到 v 到 u 的变换。 另外， 反馈线性化基于使用激励信息， 在刚才的例子中就是函数 M 、 F 的精确信息， 和坐标 q (t) 与速度 q ˙(t) 的准确测量。 在某些情况 （包括 （13.1） ） 我们可以将反馈线性化的应用扩展到大致已知和不完全可观的模型，但是信 息流约束仍然是应用反馈线性化的严重障碍。
讲座13： 反馈线性化1
使用控制权将非线性模型转变为线性是实用非线性控制设计中非常普遍 的设计思想。 通常， 这个窍门能帮助我们认出 “简单” 非线性反馈设计任务。
13.1 激励和结果
这一节，我们给出一个有激励的例子，并说明反馈线性化理论的技术目 标。
13.1.1 例： 全驱动机械系统
线性系统理论第六章
0 1 18
1 12 144
所求增益矩阵为
0 0 1
kkQ 4, 66, 14 0 1 12 14, 186, 1220
F 能控（能观）= o 能控（能观）
018
线性反馈系统的时间域综合
状态反馈和输出反馈的比较 反馈信息的性质：
状态 x 可完全地表征系统结构的信息，
状态反馈是一种完全的系统信息反馈。 输出反馈是一种不完全的系统信息反馈。 为了使反馈系统获得良好的动态性能，必须采用完全信息 反馈系统，即状态反馈。
线性定常系统 x A x B u y Cx
控制 u 取为状态 x 的线性函数，
u K xv
称为状态反馈，线性的直接状态反馈。
011
线性反馈系统的时间域综合
控制 u 取为输出 y 的线性函数，
uFyv
称为输出反馈，线性非动态输出反馈，简称为输出反馈。
v 为参考输入。
012
线性反馈系统的时间域综合
u x ：n 维状态向量，y ：q 维输出向量， ：p 维输入向量，
矩阵 A 、B 和 C 为常阵且为给定。
给定 ：期望的性能指标、某些特征向量、或某种期望形式、
或极小（或极大）值一个性能函数。
003
线性反馈系统的时间域综合
所谓综合：
u 寻找一个控制作用 ，在其作用下系统的运动满足所给
出的期望性能指标。
控制作用规律常取为反馈的形式。 抗扰动或抗参数变动，反馈系统优于非反馈系统。 以状态空间法为基础，在时间域内讨论线性反馈系统的综 合问题。 综合是建立在系统分析的基础上的。
002
线性反馈系统的时间域综合
综合问题的提出
6.1 引言
给定系统的状态空间描述：
第七章非线性系统的反馈线性化
反馈线性化方法的基本思想是用反馈的方法，将非线性被 控对象补偿成为一个具有线性特性的系统，然后利用线性系统 理论进行控制系统设计。
基于微分几何的反馈线性化方法是一种精确线性化方法。
7.1 反馈线性化基本概念
反馈线性化设计步骤是：
（1）通过反馈的方法将非线性系统转化为线性系统，这个过 程可以微分几何方法；
（2）经过线性化处理后的系统进行设计。
与泰勒级数展开的近视线性化方法不同，它是建立在系统状
态变换与非线性反馈基础上的一种精确方法。
它是大范围有效的，而不是仅仅局限于工作点附近。
1
例1 考察控制一个水槽的高度h到特定高度hd, 控制输入u，初始 高度为h0.
水槽的系统模型为ddth 0A(h)dh
反馈线性化控制器取为
u [b c sin2 t](ax2 kx)
得到的闭环系统方程为 x kx
对于一般结构，须用微分几何方法 7
7.2 微分几何知识
为了分析非线性系统，把状态变量空间视为微分流形，认 为系统状态方程右端各向量是定义在流形上的向量场集合，这 种应用流形上的向量场来研究非线性动力学方法，被称为微分 几何方法。
q1 q2
hq2
hq1
hq1 0
hq2
q1 q2
g1 g2
1 2
4
其中，q q1, q2 T 为关节角，τ 1,2 T 为关节输入。
H11
m1lc21
I1
m2
l12
l2
c2
2l1lc2
cos q2
I2
H22 m2lc22 I2
H21 H21 m2l1lc2 cos q2 m2lc2 I2
第六章线性系统状态反馈_new
第五章 线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计闭环系统性能与闭环极点（特征值）密切相关，经典控制理论用输出反馈或引入校正装置的方法来配置极点，以改善系统性能。
而现代控制理论由于采用了状态空间来描述系统，除了利用输出反馈以外，主要利用状态反馈来配置极点。
采用状态反馈不但可以实现闭环系统极点的任意配置，而且还可以实现系统解耦和形成最优控制规律。
然而系统的状态变量在工程实际中并不都是可测量的，于是提出了根据已知的输入和输出来估计系统状态的问题，即状态观测器的设计。
§5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置一、状态反馈1、状态反馈的概念状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的输入。
设SISO 系统的状态空间表达式为：bu Ax x+= cx y =状态反馈矩阵为k ，则状态反馈系统动态方程为：()()x A x b v k x A b k x b v=+-=-+cx y =式中：k 为n ⨯1矩阵，即[]11-=n o k k k k ，称为状态反馈增益矩阵。
)(bk A -称为闭环系统矩阵。
闭环特征多项式为)(bk A I --λ。
可见，引入状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征值，c b 、阵均无变化。
【例5.1.1】已知系统如下，试画出状态反馈系统结构图。
u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100200110010 ， []x y 004= 解：[]x k k k v kx v u21-=-=其中[]21k k k k=称为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-==1333222142x y u x x x x xx x说 明：如果系统为r 维输入、m 维输出的MIMO 系统，则反馈增益矩阵k 是一个m r ⨯维矩阵。
即mr rm r r m m k k k k k k k k k k ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2122221112112、状态反馈增益矩阵k 的计算控制系统的品质很大程度上取决于该系统的极点在s 平面上的位置。
17-反馈线性化控制
T(x)是定义域 D R n 上的微分同胚映射， Dz T ( D ) 包含
1
非线性控制：状态反馈控制
原点， ( A, B) 是可控的， ( x ) 对于所有的 x D 是非奇异的， f 0 (0, 0) 0 ，且 f 0 ( , ) ， ( x) 和 ( x ) 连续可微，我们的 目标是设计一个状态反馈控制律，以稳定原点 z 0 。方 程（13.37）～（13.38）是由可输入-输出线性化系统的标 准形（ 13.16）～（ 13.18）推出的。由于输出 y 在状态反 馈稳定问题中不起作用，因此去掉了方程（13.18） 。去掉 方程（13.37）后，系统（13.37）～（13.38）仍包括反馈 线性化系统。我们不只局限于讨论单输入系统或 ( A, B) 为 可控标准形的情况，而是继续讨论一般系统（ 13.37）～ （13.38） ，且其结论将用于标准形（13.37）～（13.38）或
2
非线性控制：状态反馈控制
可反馈线性化系统的特例。 一个状态反馈控制
u ( x ) ( x )v
其中 ( x ) 1 ( x ) ，系统（13.37）～（13.38）简化为“三 角”系统
f 0 ( , ) A Bv
（13.39） （13.40）
虽然反馈线性化为稳定一类非线性系统提供了简单和 系统的方法，但仍需考虑该方法的鲁棒性和有效性。 反馈线性化是基于将非线性项 和 通过解析式的对 消而达到抑制的目的，在数学上精确消去非线性项 和
，要求确切地知道 ， 1 和 T2 。但这对实际中引
起不稳定的一些因素几乎是不可能的，如模型简化、参数 不确定和计算误差等因素。大多数情况下，控制器要采用
f 0 ( , ) 是输入-状态稳定的，否则必须通过进一步 统
控制系统中的反馈线性化与非线性控制
控制系统中的反馈线性化与非线性控制在控制系统中，反馈线性化与非线性控制是两种常见的控制方法。
本文将介绍这两种控制方法的原理、优势和应用场景。
一、反馈线性化控制反馈线性化控制是一种通过对系统进行合理的反馈设计，使非线性系统在某种条件下表现出线性特性的控制方法。
其基本原理是通过对系统输出与状态变量的测量，设计一个适当的反馈控制量来抵消系统的非线性成分，使系统整体呈现线性特性。
反馈线性化控制的优势在于对于非线性系统，可以通过合适的线性化方法，将非线性控制问题转化为线性控制问题，这样就可以利用线性控制理论进行分析和设计。
同时，反馈线性化控制还具有更好的鲁棒性和稳定性，能够在系统参数变化和外界扰动的情况下依然保持较好的控制性能。
反馈线性化控制的应用范围非常广泛，包括机器人控制、飞行器控制、汽车控制等领域。
例如，在机器人控制中，通过对机器人状态的反馈测量和适当的控制策略，可以使机器人在复杂环境中实现高精度的运动控制。
二、非线性控制非线性控制是指在控制系统中使用非线性控制器来对非线性系统进行控制的方法。
相比于线性控制，非线性控制能够更好地适应系统的非线性特性，并提供更强大的控制能力。
非线性控制方法有很多种，其中常见的包括PID控制、模糊控制和神经网络控制等。
这些方法通过对系统进行建模和控制器的设计，可以实现系统的稳定性、鲁棒性和响应速度等性能指标的优化。
非线性控制广泛应用于工业过程控制、电力系统控制、自动驾驶等领域。
例如，在电力系统控制中，非线性控制能够有效地解决电力系统中的稳定性和电压控制等问题，提高系统的可靠性和性能。
总结：控制系统中的反馈线性化与非线性控制是两种常见的控制方法。
反馈线性化控制通过合理的反馈设计将非线性系统转化为线性控制问题，具有较好的鲁棒性和稳定性；非线性控制则直接针对非线性系统进行控制，能够更好地适应系统的非线性特性。
这两种控制方法各有优势，并在不同领域有着广泛的应用。
在实际应用中，根据具体系统的特点和控制要求来选择适合的控制方法，才能取得理想的控制效果。
6反馈线性化
12
6.1 直观概念
6.1.1 反馈线性化及其标准形
基本思想：消去一个非线性系统中的非线性部分，使闭环系统成 为一个线性系统。
例：控制水槽液位
考查控制一个水槽液面的高度h到一个特 定高度h_{d}.控制输入是水槽的输入流 量u,初始高度为h_{0}
水槽的系统模型为：
其中，A_{h}是水槽的横截面，a是出水管横截面
事实上, 该微分同胚在如下区域 {( x1 , x2 ),| x2 | / 2} 内都是正确的。在这个 区域之外，反函数不唯 一，所以不是微分同胚
② 对可以线性化的非线性系统如何找出适当的变换？
22
本章内容
直观概念 数学工具 单输入-单输出系统的输入-状态线性化
23
6.2 数学工具
向量函数 f : Rn Rn是Rn空间的向量场
一个向量场是光滑的是指函数f(x)有任意阶连续偏导数
h 状态 x的一个光滑标量函数 h( x), 记h的梯度为 h x
Lypunov函数V沿系统轨线的 导数用李导数如何表示？
25
设f和g是R n上的两个向量场。 f和g的李括号是一个新的向 量场， [ f , g ] gf fg 李括号[ f , g ]通常记为ad f g.可递推定义多重李括号 ad 0 gg f ad if g [ f , ad if-1 g ]
回到原状态 x_{1} 和 x_{2} ，与该控制规律相对应的原控制输入为
总的闭环系统的方框图为：
21
注： ① 控制规律并不是在全局范围内成立。考虑u=1/cos(2x)项
② 状态变换和输入变换都是通过反馈得到的，不同于雅可比线
性化
如何借鉴前面的成功设计，把输入-状态线性化推广到一般非线性系
反馈线性化的初等理论
第三章 反馈线性化的初等理论3.1 局部坐标变换我们将按照循序渐进的方式来研究有关于非线性系统的反馈控制规律的一系列问题。
首先我们在本章讨论单输入单输出系统，然后在后面的章节中将其大多数结果推广到多输入多输出系统。
1·相对阶（或相对度）定义单输入单输出系统若写成下列形式(称仿射非线性系统)()()u x g x f x+= （1·1a ） ()y h x = （1·1b ）则系统在点x 0上，说他具有相对阶r ，若下面两个条件成立 (对所有x 0的邻域上的x 及所有k<r-1)()()()()i L L h x ii L L h x g f k g f r =≠-0010注意在某些情况下相对阶不能被确定，事实上，当()L h x g ，()L L h x g f ，……函数序列的首函数不是一致为零（在x 0的邻域上），而在x=x 0点上又精确为零时就出现这种情况。
然而很清楚地，相对阶能够被确定的点的集合是系统（1·1）被定义的集合U 的一个稠密的开子集。
2·举例考虑状态空间的范德波尔振荡方程：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+=∙11222121012x x h y u x x x x u x g x f x ωμως 则：()()()[]()()()[]()()()()[]L L h x L h x hx g x L h x h x x f x x x L L h x L h x x g x g f g f g f f 02211001010010110==⋅=⎡⎣⎢⎤⎦⎥===*⎡⎣⎢⎤⎦⎥==⋅=⎡⎣⎢⎤⎦⎥=≠∂∂∂∂∂∂∴我们可以看到在x 0为任意值时，其邻域上均有：()()()()i L L h x ii L L h x g f g f 0010==≠可得出 r-1=1 ，则即 r=2因此系统在任何点x 0上均有相对阶为2,然而若输出函数为 ()y h x x ==sin 2,那么()L h x x g =cos 2。
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1 非线性控制问题
如果控制系统的任务涉及大范围或高速运动,动力学中的非线性
影响很重要.
设计问题：对于给定的被控物理系统，构造反馈控制规律，使得 闭环系统呈现出期望的性态。 控制系统的任务可分为两类: 镇定(或调节)和跟踪(或伺服) 镇定问题中,控制器称为镇定器(或调节器)使闭环系统的状态被 镇定到平衡点附近.如冰箱温度控制，飞行器高度控制 跟踪问题中，设计的目标是构造控制器（跟踪器），是系统的输 出跟上一个给定的时变轨线。如飞机沿指定的路线飞行
s 2 2s 2 u yd s 1
系统有一个极点恰好等于原系统的不稳定零点，造成u指数发散 即非最小相位系统的完全跟踪只能通过无穷大输入来实现。
所以，非最小相位系统的控制设计目标不应该是完全跟踪或渐
近跟踪，而应该满足于有界误差跟踪
6
2 期望性态的规定
线性控制系统中，期望性态包括时域情形和频域情形 时域：上升时间、超调量、调节时间 频域：传递函数的低频和高频特性等 对非线性系统的规定没这么系统化、明显 非线性系统对一个指令的响应不能反映对其它指令的响应；
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6.1 直观概念
6.1.1 反馈线性化及其标准形
基本思想：消去一个非线性系统中的非线性部分，使闭环系统成 为一个线性系统。
例：控制水槽液位
考查控制一个水槽液面的高度h到一个特 定高度h_{d}.控制输入是水槽的输入流 量u,初始高度为h_{0}
水槽的系统模型为：
其中，A_{h}是水槽的横截面，a是出水管横截面
将被控对象动态 方程修改为所期 望的形式。
4
1.2 跟踪问题
给定非线性动力系统 x f ( x, u , t )， y h( x ) 和期望的输出轨线 yd , 寻找控制规律 u，使得系统从 中某个区域内的任意点 出发， 整个状态保持有界的同 时，跟踪误差 y (t ) yd (t )趋于零
J m glsin
任务是将摆从 \theta 较大的角度控制到垂直的位置
可以选择镇定器为 kd k p m glsin 得到全局稳定的闭环系 统J kd k p 0
也可以选择镇定器为 kd 2m glsin 得到稳定的闭环系统 J k d m glsin 0
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第6章 反馈线性化
• 核心思想：把一个非线性系统代数地转化为一个 （全部或部分）线性系统，以便使用线性系统的 技巧 • 反馈线性化和普通线性化（如雅可比线性化）的 区别：反馈线性化不是通过系统的线性逼近，而 是通过状态变换和反馈得到的。
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本章内容
直观概念 数学工具 单输入-单输出系统的输入-状态线性化
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如果选取u(t)为 得到系统是线性的，即
其中，v是一待定“等价输入”
选取v为液面高度误差
~
的函数:
~
a是一正常数，所得闭环系统为 h a h 0
这表明当t 时， h(t ) 0
~
而实际的输入流量是由非线性控制规律决定：
如果期望液面高度是一个已知的随时间变化的函数h_{d}，则等价输入v可 选为
② 用一组微分方程对物理系统建模 ③ 对系统设计控制规律 ④ 对所得控制系统进行分析和仿真 ⑤ 用硬件实现控制系统
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（1）非线性系统建模 •模型要比较精确但易于处理 •建模不仅仅是得到物理系统的标称模型，也要提供模型不确 定性的特性，以便进行鲁棒设计、自适应设计或仿真。模型 不确定性是模型和实际物理系统之间的差距。 （2）反馈和前馈 反馈在非线性系统控制器设计中也起着基本作用 和线性控制相比，前馈在非线性控制中的重要性更加明显 前馈用来抵消已知干扰的影响，提供预期的动作 通常，如果在控制规律中不用前馈，稳定的控制非线性系统 是不可能的
仍然有t 时， h(t ) 0
~
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补充:
线性系统的能控概念、能控标准形 N阶齐次常系数线性微分方程的解的形式，及其稳定性
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反馈线性化的思想可以简单地应用于一类能控标准型的非线性系统中 系统
x( n) f ( x) b( x)u
其中,u是标量控制输入，f(x)和b(x)是状态的非线性函数 能控标准形的状态方程可表示为：
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4 非线性控制设计方法
（1）试探法 利用分析工具来指导对可以根据分析和仿真结果来证实的控制器的研究 相平面法、描述函数法、Lyapunov方法都可用 依赖于经验和直觉 对复杂系统，经常失效
（2）反馈线性化方法 将非线性系统（完全或部分地）化为线性系统，然后利用线性系统设计 方法完成控制设计。
（3）鲁棒控制 在鲁棒非线性控制（如滑模控制）中，控制器同时考虑了标称模型 和一些模型不确定性 （4）自适应控制 目前自适应控制主要用于动态结构已知，但有未知常数或时变参数的系 统
3
1.1 镇定问题
给定由方程x f ( x, u, t )描述的非线性动力系统 ， 寻找控制规律，使得系 统从中某个区域内的任意点 出发， 当t 时，状态x 0
注：如果控制目标是驱使状态到达某个非零点x_{d}，我们可以 将 x-x_{d} 看作状态，将问题化为零点调节问题。
例：倒立摆镇定问题
对其频域描述是不可能的
期望性态通常考虑下面性质： ① 稳定性 ② 响应的精度和速度 ③ 鲁棒性（系统工作时，应当能够抵挡一些被忽略因素的影响） 题 非线性控制设计步骤 给定一个需要控制的物理系统，可通过以下步骤来设计:
① 指定系统的期望形态，选择执行器和传感器
如果对于适当的初值 ,闭环系统跟踪误差为零 : y(t ) yd (t ) t 0
称控制系统有完全跟踪能力。 渐近跟踪意味着渐近地达到完全跟踪 对于非最小相位系统，完全跟踪和渐近跟踪都不能实现。
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例如，非最小相位线性 系统 y 2 y 2 y u u
假设完全跟踪可以实现 ,即y(t ) yd (t ), t 0.那么输入u满足 u u ( yd 2 yd 2 yd )