特征值与特征向量的求法

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特征值与特征向量的求法

满足 A E 0的数为特征值方程组( A E)X O的非零解为特征向量。(或基础解系)
例1：求矩阵A的特征值与特征向量。
1
2
2
A 2 2 4
2 4 2
解：
1 A E 2
2
2
2
4
2 4
2
1 2 2 A 2 2 4
2 4 2
(1 )(2 )2 16 16 4(2 ) 16(1 ) 4(2 ) (1 )(4 4 2 ) 24 32
T
T
3
求特征值与特征向量的步骤：
1.解 A E 0求出的值；即得到特征值；
2.对每一个，求方程组( A E) X O的基础解系；
即得到属于这个特征值的全部线性无关的特征向量。
练习
5 1 3
C 1
5 3, r(C) 2, a ?
3 3 a
=0是C的特征值吗？为什么？
a 3.
例2：求矩阵B的特征值与特征向量。
矩阵的特征值与特征向量
1.定义2：设A是n阶矩阵，为一个数，若存在非零向量，使A ，则称数为矩阵A的特征值，非零向量为矩阵A的对应于特征值的特征向量。
特征向量为非零向量！
2.矩阵的特征值与特征向量的求法： A , O.
A (A E) O,
是方程组(A E)X O的非零解, A E 0.
2x2
2x3
0
1 (2,1, 0)T ,2 (2, 0,1)T
为属于特征值2的线性无关的特征向量；其全部特征向量为
k11 k22（, k1, k2不全为零）。
同理可求3 7的特征向量为3 (1，2，2)T .
其全部特征向量为k3(k 0).
12

特征值和特征向量

特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，在数学和工程领域中广泛应用。

它们与矩阵与向量的关系密切相关，可以用于解决许多实际问题。

一、特征值与特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵的固有性质，它们描述了矩阵在线性变换下的特殊性质。

特征值（eigenvalue）是一个数，表示矩阵变换后的向量与原向量方向相等或反向。

特征向量（eigenvector）则是与特征值对应的向量。

对于一个n维矩阵A和一个n维向量x，如果满足以下等式：Ax = λx其中λ为标量，称为特征值，x称为特征向量。

我们可以将这个等式分解为(A-λI)x=0，其中I为单位矩阵，如果矩阵A存在一个非零向量x使得等式成立，则说明λ为矩阵A的特征值，x为对应的特征向量。

特征值和特征向量总是成对出现，一个特征值可能对应多个特征向量。

二、特征值与特征向量的求解为了求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以使用特征值问题的基本公式：det(A-λI) = 0其中，det表示行列式求值。

解这个方程可以得到矩阵A的特征值λ。

然后，我们将每个特征值代入方程(A-λI)x = 0，求解得到对应的特征向量x。

三、特征值与特征向量的意义特征值和特征向量在许多应用中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解矩阵的几何性质和变换规律。

在线性代数中，特征值和特征向量有以下几个重要意义：1. 几何意义：特征向量表示了矩阵变换后不改变方向的向量。

特征值表示了特征向量在变换中的缩放因子。

通过分析特征向量和特征值，我们可以了解变换对向量空间的拉伸、压缩、旋转等操作。

2. 矩阵对角化：如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，我们可以将这些特征向量组成一个矩阵P，并将其逆矩阵P^{-1}乘以A和AP^{-1}，就可以得到一个对角矩阵D，D的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。

这个过程称为矩阵的对角化，可以简化矩阵的运算和分析。

3. 矩阵的奇异值分解：特征值和特征向量也与矩阵的奇异值分解密切相关。

计算方法第七章(特征值与特征向量)

( j p, q) i 1, 2, , n
最后，雅可比方法的计算步骤可以归纳为：（1）确定非对角绝对值最大元位置（p，q），并计算sin和 cos的值；（2）计算迭代矩阵的元素；
（3）计算特征向量；
（4）与计算精度进行比较，以决定第三节 QR 分解方法 3.1 QR 分解设 u 为n维实单位向量，称下面矩阵为Householder矩阵：
则
(2) (3) 1 a12 a13 (3) a 2 23 (3) Q2 A1 Q2Q1 A a33 (3) 0 a 3n
埃特金加速：可以证明：乘幂法线性收敛
mk 1 1
2 mk 1 1
2 1
[ zk 1 10 ] i [ zk 10 ] i
2 1
称为收敛率
由于
zk
线性收敛于 x1 ，于是可以对之进行埃特金加速，
( zk )i ( zk 2 )i ( zk 1 )i2 Wi ( zk )i 2( zk 1 )i ( zk 2 )i
, a
(k) pq
0
第 k 步迭代矩阵的元素为：
a a a
(k ) pj
a a
( k 1) pj
cos a
2
( k 1) qj
sin a
(k ) jp
(k ) k 1) ( k 1) k) aqj a (pj sin aqj cos a (jq ( j p, q ) (k ) pp ( k 1) pp
cos 2a a
( k 1) pp
(k 1) pq
sin cos a
( k 1) pq
(k 1) qq

线性代数矩阵的特征值与特征向量

线性代数矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，具有广泛的应用。

在此，我们将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质和计算方法。

希望能对读者理解这两个概念有所帮助。

1.特征值和特征向量的定义在线性代数中，对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，则称λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。

2.特征值和特征向量的性质（1）对于任意矩阵A和非零向量x，如果Ax=λx，则(x,λ)是(A-λI)的一个特征对，其中I是单位矩阵。

（2）对于任意非零常数k，kλ和kx也是特征值λ和特征向量x的特征对。

（3）如果矩阵A的特征向量x1和x2对应于不同的特征值λ1和λ2，则x1和x2线性无关。

（4）若矩阵A的特征值都不相同，则它一定能够对角化。

3.特征值和特征向量的计算（以2阶矩阵为例）对于一个2阶矩阵A，我们可以通过以下步骤来计算其特征值和特征向量：（1）解特征方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。

（2）将特征值代入(A-λI)x=0，求解x的向量，即为对应于特征值的特征向量。

4.实对称矩阵的特征值和特征向量对于实对称矩阵，其特征值一定是实数且存在线性无关的特征向量。

具体计算方法为：（1）求解特征方程det(A-λI)=0，得到特征值λ1, λ2, ..., λn。

（2）将特征值代入(A-λI)x=0，解出x的向量，即为对应于特征值的特征向量。

5.正交矩阵的特征值和特征向量对于正交矩阵，其特征值的模一定是1，且特征向量是两两正交的。

具体计算方法同样为求解特征方程和特征向量方程。

6.特征值和特征向量的应用特征值和特征向量有广泛的应用，例如：（1）主成分分析（PCA）：利用特征值和特征向量可以找到数据的主要特征方向，用于数据降维和分析。

（2）图像处理：利用特征值和特征向量可以进行图像压缩、增强和分析。

（3）物理学中的量子力学：波函数的特征值和特征向量对应着物理量的测量结果和对应的本征态。

计算方法(5)第四章矩阵特征值和特征向量的计算

n
使得u 0

i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1

1k [1x1

n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk

A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk

u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只要解两个三角形方程组。
且
2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此，用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。
0
0.226

0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T

0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0

1.145
雅可比方法是一个迭代过程，它生成的是一个矩阵的
序列 Ak，当k越大时Ak就越接近于对角矩阵，从而

方阵的特征值与特征向量

方阵的特征值与特征向量
定义：设是阶方阵，若有数和非零向量，使得，称数是的特征值，非零向量是对应于特征值的特征向量。

【例如】：对，有及向量，使得，这
说明是的特征值，是对应于的特征向量。

特征值和特征向量的求法：
1．由得，并且由于是非零向量，故行列式，即
（称之为的特征方程）
由此可解出个根（在复数范围内），这就是的所有特征值。

2．根据某个特征值，由线性方程组解出非零解，这就是
对应于特征值的特征向量。

【例】：求的特征值和特征向量。

解：由，得，解得；
对，求解，得，取对应于的特征向量；
对，求解，得，取对应于的特征向量。

【例】：求的特征值和特征向量。

解：由，解得；
对，解得对应的特征向量；
对，求解，得，取对应的特征向量。

【例】：求的特征值和特征向量。

解：由，解得；
对，解得对应的特征向量；
对，求解，得，
取对应的特征向量。

特征值和特征向量的性质：
1．，
2．若是的特征向量，则对，也是的特征向量。

3．若是的特征值，则是的特征值，从而是的特征值。

4．是的个特征值，为依次对应的特征向量，若
各不相同，则线性无关。

矩阵特征值与特征向量的求法

矩阵特征值与特征向量的求法1. 什么是矩阵的特征值和特征向量？矩阵是线性代数中的一种重要概念，它由行和列组成的二维数组。

在矩阵运算中，特征值和特征向量是非常重要的概念。

特征值（eigenvalue）是一个标量，表示线性变换在某个方向上的缩放因子。

一个方针的特征值是该线性变换在该方向上对原始向量进行缩放或拉伸的倍数。

特征向量（eigenvector）是与特定特征值相关联的非零向量。

它表示在某个方向上进行线性变换后不改变其方向，只改变其长度。

2. 特征值与特征向量的定义设A为n阶矩阵，如果存在数λ和非零列向量x使得Ax = λx则称λ为矩阵A的一个特征值，称x为对应于λ的一个特征向量。

3. 求解矩阵的特征值和特征向量要求解矩阵A的特征值和对应的特征向量，可以通过以下步骤进行：步骤1：求解特征方程特征方程是一个关于λ的多项式方程，可以通过以下公式得到：det(A - λI) = 0其中，A为矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。

步骤2：解特征方程将特征方程化简后，可以得到一个关于λ的代数方程。

解这个方程即可得到矩阵A的特征值。

步骤3：求解特征向量对于每个特征值λ，将其带入原始的特征方程中，并解出对应的特征向量x。

求解过程可以使用高斯消元法或其他方法。

4. 示例假设有一个2x2的矩阵A：A = [[a, b], [c, d]]我们想要求解这个矩阵的特征值和对应的特征向量。

步骤1：求解特征方程根据步骤1，我们需要计算det(A - λI) = 0。

其中，A - λI = [[a-λ, b], [c, d-λ]]det(A - λI) = (a-λ)(d-λ) - bc = 0化简上述等式得到一个二次多项式关于λ：λ^2 - (a+d)λ + (ad-bc) = 0这就是特征方程。

步骤2：解特征方程通过求解特征方程，我们可以得到矩阵A的特征值。

步骤3：求解特征向量对于每个特征值λ，将其带入原始的特征方程中，并解出对应的特征向量x。

矩阵特征值与特征向量

矩阵特征值与特征向量在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念。

它们在很多数学和工程领域都有广泛的应用。

本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的定义、性质以及计算方法。

一、特征值与特征向量的定义1. 特征值：对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k为一个常数，那么k就是矩阵A的特征值。

我们可以把这个等式改写为(A-kI)X=0，其中I是单位矩阵。

这样，求解特征值就等价于求解矩阵(A-kI)的零空间。

2. 特征向量：特征向量是与特征值相对应的非零向量。

对于一个特征值k，其对应的特征向量X满足AX=kX。

二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量是成对出现的，一个特征值对应一个特征向量。

2. 特征值的个数等于矩阵A的阶数。

特征值可以是实数或复数。

3. 特征向量可以乘以一个非零常数得到一个新的特征向量。

4. 如果矩阵A是实对称矩阵，那么其特征值一定是实数。

如果矩阵A是正定或负定矩阵，那么其特征值一定大于0或小于0。

5. 特征向量相互之间线性无关。

三、特征值与特征向量的计算方法1. 求特征值：求解特征值的常用方法是求解矩阵A的特征多项式的根。

特征多项式的形式为|A-kI|=0，其中|A-kI|表示矩阵A-kI的行列式。

2. 求特征向量：已知特征值k后，将k代入(A-kI)X=0即可得到特征向量。

可以使用高斯-约当消元法或者迭代法来求解。

四、矩阵特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量广泛应用于机器学习和数据分析领域。

在主成分分析（PCA）中，我们可以通过计算数据的协方差矩阵的特征向量来实现数据降维和特征提取。

2. 特征值与特征向量也在图像处理和信号处理中有许多应用。

例如，在图像压缩算法中，我们可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现图像的降噪和压缩。

3. 特征值和特征向量还可以应用于动力系统的稳定性分析。

通过求解动力系统的雅可比矩阵的特征值，我们可以判断系统的稳定性和临界点的类型。

矩阵特征值特征向量的求法与应用

矩阵特征值特征向量的求法与应用矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，具有广泛的应用。

本文将介绍矩阵特征值和特征向量的求法以及其在不同领域的应用。

1.特征值和特征向量的定义给定一个n阶矩阵A，向量x被称为该矩阵的特征向量，如果满足Ax=λx，其中λ为实数，被称为特征值。

特征向量可以通过对角化矩阵D进行求解，D是由特征值构成的对角矩阵。

2.求解特征值和特征向量的方法有多种方法可以求解矩阵的特征值和特征向量，其中最常用的是特征方程法和幂迭代法。

特征方程法是通过求解矩阵的特征方程来得到特征值。

对于n阶矩阵A，其特征方程为det(A-λI)=0，其中I为单位矩阵。

解特征方程得到的λ即为矩阵的特征值，将特征值代入到(A-λI)x=0中进行求解，得到的非零解即为特征值对应的特征向量。

幂迭代法是一种迭代方法，用于求解矩阵的最大特征值和对应的特征向量。

该方法的基本思想是通过不断迭代矩阵A的特征向量序列来逼近最大特征值。

迭代过程中，首先选取一个任意的非零向量x0，然后执行迭代计算xk=Axk-1/，Axk-1，其中，.，表示向量的2-范数，直到收敛为止。

最终得到的向量x即为最大特征值对应的特征向量。

3.特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量在各个领域都有广泛的应用，以下列举了其中一些常见的应用。

（1）物理学中的量子力学中，矩阵的特征值和特征向量用于描述量子系统的能量和态。

（2）工程中的结构动力学中，矩阵的特征值和特征向量用于描述结构的固有频率和振型。

（3）图像处理中，矩阵特征值和特征向量用于图像压缩和特征提取。

（4）机器学习中，矩阵特征值和特征向量用于降维和特征选择，有助于提高模型的泛化能力。

（5）金融中，矩阵特征值和特征向量用于风险评估和资产定价模型。

4.总结矩阵的特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，可以通过特征方程法和幂迭代法求解。

特征值和特征向量在各个领域具有广泛的应用，包括物理学、工程学、图像处理、机器学习和金融等。

矩阵的特征值与特征向量的计算

矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量是线性代数中一个重要的概念，应用广泛于数学、物理、计算机科学等领域。

本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、计算方法，以及其在实际问题中的应用。

一、矩阵特征值与特征向量的定义对于一个n阶矩阵A，若存在一个非零向量X使得AX=kX，其中k 为一个标量，则称k为矩阵A的一个特征值，X为对应于特征值k的特征向量。

特征值与特征向量的计算是一个求解矩阵特征值问题的过程，这在实际中具有很大的意义。

接下来，我们将介绍矩阵特征值与特征向量的计算方法。

二、矩阵特征值与特征向量的计算方法计算矩阵的特征值与特征向量有多种方法，其中比较常用的方法是特征值分解和特征方程。

1. 特征值分解特征值分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵和特征值矩阵相乘的形式，即A=VΛV^-1。

其中，V是由特征向量构成的矩阵，Λ是由特征值构成的对角矩阵。

特征值分解的计算步骤如下：（1）求解矩阵A的特征方程det(A-λI)=0，其中I为单位矩阵。

（2）解特征方程，得到矩阵A的特征值λ1、λ2、...、λn。

（3）代入特征值，求解方程组(A-λI)X=0，其中X为特征向量。

（4）将得到的特征向量按行组成矩阵V，特征值按对角线组成矩阵Λ。

2. 特征方程法特征方程法是直接求解矩阵A的特征值的方法。

计算步骤如下：（1）求解矩阵A的特征方程det(A-λI)=0。

（2）解特征方程，得到矩阵A的特征值λ1、λ2、...、λn。

（3）代入特征值，求解方程组(A-λI)X=0，其中X为特征向量。

在实际计算中，可以利用计算机软件或在线计算器进行特征值与特征向量的计算，提高计算的效率。

三、矩阵特征值与特征向量的应用矩阵的特征值与特征向量在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍两个常见的应用场景。

1. 矩阵对角化对于一个n阶矩阵A，若能找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=Λ，其中Λ为对角矩阵，则称矩阵A可对角化。

此时，Λ的对角线上的元素为矩阵A的特征值。

矩阵的特征值及特征向量

１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A
变成
，而可逆矩阵称为进行这一变换的
相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．
对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？解
解之得基础解系
求得基础解系
故不能化为对角矩阵.
解之得基础解系
例2 A能否对角化？若能对角解
解之得基础解系
所以可对角化.
注意
即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．
四、小结
二、特征值和特征向量的性质
证明
则
即
类推之，有
ห้องสมุดไป่ตู้
把上列各式合写成矩阵形式，得
注意
１ . 属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
２ . 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３ . 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．
三、特征值与特征向量的求法
例5 设A是阶方阵，其特征多项式为
解
四、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
思考题
思考题解答
、相似矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的性质三、利用相似变换将方阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念

0第5章特征值及特征向量

(6) A与B相似, 则 ( A) 与 (B ) 相似;
( t ) a0 a1t am t m 其中
(7) A与B相似, 且A可逆, 则 A1 与 B 1 相似。
例1
2 2 0 0 A 0 0 1 与 B 0 1 x
( E A) X 0 (2)
是 A 的特征值使得(2)有非零解 E A 0
(2)的所有非零解向量都是对应于的特征向量.
分析
Ax x A E x 0 或 E A x 0 已知 x 0, 所以齐次线性方程组有非零解
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
0 是 A 的特征向量吗？
(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗? (3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值______.
E A 0 或
A 12 n
(4) A 0 ，A 有一个特征值为______.
第一节方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义二、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的求法
一、特征值与特征向量的定义定义1 设 A 是 n 阶方阵，
若数和 n维非零列向量 X，使得
注意
AX X 成立，则称是方阵 A 的一个特征值， X 为方阵 A 的对应于特征值的一个特征向量。（1） A 是方阵
第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.
2
A E
0 4
2 1 2 0 (2 ) 4 3 1 3
1
1
( 2) 2 ( 1)
特征值为 1 1, 2 3 2. 第二步：对每个特征值

《线性代数》第四章第二节方阵的特征值与特征向量

5.一个特征值具有的特征向量不唯一。
若P是与对应的特征向量，则显然k 0时， kP也是与对应的特征向量.
6.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．
例1
设
A
=
−2 0
1 2
1 0,
求A的特征值与特征向量．
− 4 1 3
分析：
1.特征方程的根就是特征值；
2. (A-E)x=0的通解（去掉零解）就是特征值对应
所以对应于 2 = 3 = 2的全部特征向量为 :
k2 p2 + k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
例2 证明：若是矩阵A的特征值，x 是A的属于的特征向量，则
(1) m是Am的特征值(m是任意常数).
(2) 当A可逆时,−1是A−1的特征值.
证明 (1) Ax = x A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) A2 x = 2 x
有x.
3. A − E = 0 为A的特征方程。
a11 −
a21
an1
a12
a22 −
an2
a1n
a2n
=0
ann −
记 f ( ) = A − E ,它是的n次多项式, 称其
为方阵A的特征多项式 .
( ) 4. 设 n阶方阵A = aij 的特征值为1, 2 ,,
n ,则有 (1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann; (2) 12 n = A .
将1 = 2 = 1代入(A − E )x = 0,
解之得基础解系
− 2
1 = 1 ,
0

特征值特征向量公式

特征值特征向量公式
特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。

矩阵A的特征向量是与矩阵A相乘后仍然成比例的向量，其比例即为特征值。

特征向量和特征值可以通过以下公式求解：
A*v = λ*v
其中A为待求矩阵，v为特征向量，λ为特征值。

求解方法是将(A-λ*I)v=0，其中I为单位矩阵，得到一个齐次线性方程组，解出
v即可。

特征值可以通过求解矩阵的特征多项式得到。

特征值和特征向量在许多数学领域中都有应用，比如在线性代数、微分方程和物理学中都是重要的工具。

- 1 -。

矩阵的特征值与特征向量的计算与应用

矩阵的特征值与特征向量的计算与应用矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念，广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机科学等。

本文将介绍特征值与特征向量的概念以及它们的计算方法，并探讨它们在实际应用中的重要性。

一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，我们将方阵A的特征向量定义为非零向量v，满足Av=λv，其中λ为该特征向量对应的特征值。

特征值与特征向量是成对出现的，一个矩阵可以有一个或多个特征值与对应的特征向量。

特征向量表示了矩阵在某个方向上的拉伸或压缩效果，而特征值则表示了这个特征向量的比例因子。

特征值和特征向量的计算对于理解矩阵在线性变换中的行为非常重要。

二、特征值与特征向量的计算方法要计算矩阵的特征值与特征向量，可以通过求解特征方程来实现。

特征方程的形式为|A-λI|=0，其中A为待求矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。

解特征方程可以得到特征值的取值。

得到特征值后，接下来需要计算对应每个特征值的特征向量。

特征向量可以通过解线性方程组(A-λI)v=0来求解，其中v为特征向量的系数。

解线性方程组可以使用高斯消元法或其他数值方法。

三、特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量在矩阵对角化中的应用特征值与特征向量的计算可以将一个矩阵对角化，即将矩阵表示为对角矩阵的形式。

对角化后的矩阵具有简洁的形式，可以简化矩阵的计算和分析过程。

2. 特征值与特征向量在物理问题中的应用在物理学中，特征值与特征向量广泛应用于力学、电磁学等领域。

例如，特征向量可以表示力学系统的振动模态，特征值则表示对应振动模态的频率。

3. 特征值与特征向量在图像处理中的应用特征值与特征向量在图像处理中具有广泛应用。

例如，在人脸识别中，可以通过计算图像数据的协方差矩阵的特征值与特征向量，来提取图像的主要特征，从而实现人脸的自动识别。

4. 特征值与特征向量在数据降维中的应用在机器学习中，特征值与特征向量被广泛应用于数据降维。

通过计算数据的协方差矩阵的特征值与特征向量，可以找到数据中最主要的特征，从而实现数据的降维和压缩。

5.2方程的特征值与特征向量

总结：
1.特征方程 A E 0的根，称为的特征值.
2.将代入方程 A E x 0后，求得的全部的非零解，即是相应于的特征向量.
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1 计算A的特征多项式 A E ;
2 求特征方程 A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
a1n a2 n ann
a11 a12 a21 a22 a an 2 n1
a11
则
A E
a12 an 2

a1n a2 n
=0
a21 a n1
a22
〈特征值、特征向量〉设 A 为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零向量 x ，使方程 Ax x （1）
成立，则称为A 的一个特征值，相应的非零向量 x 称为与对应的特征向量。
若是A 的一个特征值，则方程 Ax x 有非零解
Ax x o 有非零解 ( A E ) x o 有非零解
即 p1 +p2 =1 p1 +2 p2， -1 p1 + -2 p2 =0，
p1 ,p2是线性无关的，故由上式得 -1 = -2 =0，即1 =2，
这与1与2是.两个不同的特征值矛盾，因此p1 +p2不是A 的特征向量
三、小结
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
1. 计算A的特征多项式 A E ;
2. 求特征方程 A E 0的全部根1 , 2 , , n , 就是A的全部特征值 ;
3. 对于特征值i , 求齐次方程组
A i E x 0

特征值与特征向量

4
2 ( 4)( 2)2 0 ，
故 A 的全部特征值为 1 4 ， 2 2 （二重）．
1.1 特征值与特征向量的概念
当 1 4 时，解齐次线性方程组 (4E A)x 0 ：
7 2 1 1 0 1/3
1
由
4E
A
2
2
2
0
1
2/3
得基础解系
p1
2
，故对应于
1
4
的全部特征向量为：
1.2 特征值与特征向量的性质
性质 3 设是方阵 A 的特征值，则（1） c 是 cA 的特征值 (c R) ；（2） 2 是 A2 的特征值，进一步推出 k 是 Ak 的特征值；（3）() 是 (A) 的特征值，其中(A) a0 E a1A an1An1 an An 是矩阵 A 的多项式；（4）当 A 可逆时， 1 和 A 分别是 A1 和 A* 的特征值．
5
0
1
0
得
基
础解
系
是
1 1
，
故
k1
1 1
(k1
0)
是矩阵
A
对应于
1
4 的全部特征向量．
当
2
2
时，解齐次线性方程组
(2E
A) x
0
，由
2E
A
5
5
1 5
1
0
1 0
得基
础解系是ຫໍສະໝຸດ 1 5 ，故
k2
1
5
(k2
0)
是矩阵
A
对应于 2
2
的全部特征向量．
1.1 特征值与特征向量的概念
3 2 1
1.2 特征值与特征向量的性质

(完整版)线性代数第五章特征值与特征向量(自考经管类原创)

Ak
( PP 1 )k
Pk P1
0 P
k
5
P1
上例中，对二阶方阵AP，存在可逆矩阵P, 使得P1AP .
对角阵的对角元是A的特征值，可逆阵P 即为相应对角元位置的特征值的线性无关的特征向量组成.
接下来，主要研究方阵化对角阵的问题.
定义设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
特征值， A 为 A 的一个特征值.
问题（：1）已知是A的特征值，求f (A)特征值
（2）已知f (A)=O，求A的特征值
例6 设3阶矩阵A的一个特征值是-3，则-A2必有一个特征值 ___
例7
设A=
1 0
2 3
,求B=A2
-2A+3E 的所有特征值 2
例8 设三阶矩阵A的特征值分别为1，2，3, 则 A 2E __
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
当1 1时,解方程E A x 0.由
1 1 1 1 0 1
E
A
0
3
0
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1
故对应于1 1的全体特征向量为
k p1
E A
a21
L
a22 L
LL
an1
an2 L
a1n
a2n
L
ann
称E A 为A的特征方阵 .
记 f E A ,它是的 n 次多项式,
称其为方阵 A的特征多项式 .
称以为未知数的一元n 次方程 E A 0
为A的特征方程 .

矩阵特征值与特征向量的求解

矩阵特征值与特征向量的求解矩阵是线性代数中最为基础的概念之一，而矩阵的特征值与特征向量则是矩阵在理论和实际应用中的非常重要的概念。

在本文中，将着重介绍矩阵特征值与特征向量的求解方法，以及在实际问题中的应用。

一、矩阵特征值与特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量是矩阵代数理论中的重要概念，它们的定义如下：定义1：对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ，和一个n维非零向量p，使得下面的等式成立：Ap=λp其中，λ称为A的特征值，p称为A的特征向量。

定义2：矩阵的特征向量可以是实数向量，也可以是复数向量，而特征值则只能是实数或复数。

定义3：矩阵的特征值λ满足方程式|A-λI|=0，其中I是n阶单位矩阵。

二、求解矩阵特征值与特征向量的方法1、特征值的求解特征值的求解是通过求解|A-λI|=0来完成的。

由于矩阵的行列式是一个多项式函数，所以可以将其转化为特征多项式，例如对于一个3阶方阵，其特征多项式为：f(λ)=|A-λI|=λ³+a₂λ²+a₁λ+a₀然后，将f(λ)的系数带入求解f(λ)=0的公式中即可求出所有的特征值λ。

其中，特征值λ的个数与A的阶数n相同。

2、特征向量的求解特征向量的求解可以通过将特征值带入到( A-λI ) p=0中得到，其中p是特征向量。

进一步地，可以将该方程转换为线性方程组Ax=0的形式，即：(A-λI)p=0假设矩阵A有k个不同的特征值λ₁,λ₂,...,λ_k，则对于每个特征值λ_i，可以得到对应的特征向量p_i，其个数与该特征值的重数r_i有关。

对于一个n阶矩阵，其总共的特征向量数为n。

三、矩阵特征值与特征向量的应用矩阵的特征值与特征向量在科学技术和工程技术中应用广泛，下面列举几个例子：1、在线性代数中，特征值与特征向量可以用于判断矩阵的相似性，同时也可以用于计算矩阵的行列式、逆矩阵、转置矩阵等。

2、在物理学中，矩阵的特征值可以用来描述量子力学的波函数，特征向量则可以用来描述波函数的各项系数。

特征值特征向量

二、特征值与特征向量的求法
(1) 令 A − λ I = 0, 求出λi
(2)对每个λi , 令( A − λi I ) x = 0, 求出基础解系ξ1 , ..., ξ t ,
则对应于λi的全部特征根为: x = c1ξ1 + Biblioteka .. + ct ξ t .
注: 1) 特征向量不唯一; 2）λi 对应的特征向量不构成向量空间
T
当λ2,3 = 1 时, 解方程 ( A − 1 ⋅ I ) x = 0, 得
基础解系
ξ 2 = ( −1, −2,1)
T
∴ λ2,3 = 1的特征向量为: kξ 2 , k ≠ 0, k ∈ R
显然，显然，ρ λ2 = 1 ≤ 2 = mλ2 .
− 2 1 1 的特征值与特征向量． A 例３设 = 0 2 0 , 求A 的特征值与特征向量． − 4 1 3
(少了个0向量).
λi的特征子空间=λi的特征向量+零向量
即为(A − λi I ) x = 0的解空间,记为N(A − λi I )
dim ( N ( A − λi ) ) 称为λi的几何重数, 记为ρ λi
称λi 在f (λ ) = 0的重数为代数重数,记为mλi
(代数重数 ≥ 几何重数 )
3. 方阵A与A 的特征值相同，
T
但特征向量却未必一样.
0 0 A= , λ1,2 = 0, 1 0 0 x = c 1
0 1 A= , λ1,2 = 0, 0 0
1 x = c 0
4. 设 Ax = λ x , 且 A 可逆，则可逆，
∴ y j T Axi = y j T λi xi , xi T AT y j = xi T λ j y j

特征值与特征向量的求法

特征值与特征向量的求法

特征值和特征向量

计算方法第七章(特征值与特征向量)

线性代数矩阵的特征值与特征向量

计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算

方阵的特征值与特征向量

矩阵特征值与特征向量的求法

矩阵特征值与特征向量

矩阵特征值特征向量的求法与应用

矩阵的特征值与特征向量的计算

矩阵的特征值及特征向量

0第5章 特征值及特征向量

《线性代数》第四章第二节 方阵的特征值与特征向量

特征值 特征向量公式

矩阵的特征值与特征向量的计算与应用

5.2方程的特征值与特征向量

特征值与特征向量

(完整版)线性代数第五章特征值与特征向量(自考经管类原创)

矩阵特征值与特征向量的求解

特征值特征向量

计算方法(5)第四章矩阵特征值和特征向量的计算

0第5章特征值及特征向量

《线性代数》第四章第二节方阵的特征值与特征向量

特征值特征向量公式